高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题二 高考中的三角函数综合问题文档强练 文 新人教A版(1)

π 1． (2013 安·徽皖南质检)已知函数f(x) ＝ Asin( ωx＋ φ) A ＞ 0， ω＞ 0， |φ|＜ ， x ∈ R 的图2象的一部分如下图．(1)求函数 f(x)的分析式；(2)当 x ∈ － 6，－2时，求函数 y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)的最大值与最小值及相应的 x 的值．3解： (1)由图象知 A ＝ 2， T ＝ 8，2π π∵T ＝ ω＝ 8，∴ω＝ 4.π又∵图象经过点 ( －1,0)，∴2sin － 4＋φ ＝ 0. π π∵|φ|＜2，∴φ＝ 4.π π∴f(x)＝ 2sin 4x ＋4 .(2)y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)π ππ π π＝ 2sin 4x ＋4 ＋ 2sin 4x ＋ 2＋ 4π π π ＝ 2 2sin4x ＋ 2 ＝ 22cos 4x.23π ππ∵x ∈－ 6，－ 3 ，∴－ 2 ≤ 4x ≤ － 6.π π 2时， y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)获得最大值 6；当 π ∴当 ，即 x ＝－4x ＝－ π，即 x ＝－ 4 时， 4x ＝－ 6 3y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)获得最小值－ 2 2.2． (2012 ·高考湖北卷)已知向量 a ＝ (cos ωx－ sin ωx， sin ωx )， b ＝ (－ cos ωx－ sin ωx ,23cos ωx )，设函数 f(x)＝ a ·b ＋ λ(x ∈R )的图象对于直线x ＝ π对称，此中 ω，λ为常数，且ω∈(1) 求函数 f(x)的最小正周期；3π (2) 若 y ＝ f(x) 的图象经过点 π，求函数 f(x)在区间 0， ， 0 上的取值范围．452 23sin ωx·cos ωx＋ λ解： (1)f(x) ＝ sin ωx－ cos ωx＋ 2π ＝－ cos2ωx＋ 3sin2ωx＋ λ＝ 2sin 2ωx－ 6 ＋ λ.由直线 x ＝ π是函数 f(x)图象的一条对称轴，可得πsin 2ωπ－ 6 ＝±1，ππ k 1因此 2ωπ－ 6＝ k π＋2(k ∈Z )，即 ω＝2＋ 3(k ∈Z )．1 5 又 ω∈2， 1 ，故 ω＝ 6.1，1 .2因此 f(x)的最小正周期是6π5 .(2)由 y ＝ f(x) 的图象过点π，得 f π， 0 4 ＝ 0，45 π π π即 λ＝－ 2sin 6× 2－6 ＝－ 2sin 4＝－ 2，即 λ＝－ 2.5π故 f(x)＝ 2sin 3x － 6 － 2，3π π 5 π 5π由 0≤x ≤ 5 ，有－ 6≤ 3x －6≤ 6 ， 因此－ 1≤ sin 5 π≤1，得23x － 6 5π－ 1－ 2≤2sin 3x － 6 － 2≤ 2－ 2，故函数 f(x)在 0，3π5 上的取值范围为 [－ 1－ 2， 2－ 2]．3π3． (2013 锦·州质检 )向量 a ＝ (2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 4 ，且 a ·b ＝－ 2.(1)求向量 b ； (2)若 t ＝ (1,0)，且 b ⊥ t ，c ＝ cosA ， 2cos2C，此中 A 、B 、C 是△ ABC 的内角，若△ ABC2的内角 A 、 B 、C 挨次成等差数列，试求 |b ＋ c |的取值范围．解： (1)设 b ＝ (x ， y)，则 a ·b ＝ 2x ＋ 2y ＝－ 2，且 |b |＝a ·b＝ 1＝ x 2＋ y 2，3π|a |cos 4x ＝－ 1，x ＝ 0，∴解得或y ＝ 0，y ＝－ 1.∴b ＝(－1,0)或 b ＝ (0，－ 1)．(2)∵b ⊥t ，且 t ＝ (1,0)，∴b ＝ (0，－ 1)．π∵A 、 B 、C 挨次成等差数列，∴ B ＝ 3.2C∴b ＋c ＝ cosA ， 2cos 2 －1 ＝ (cosA ， cosC)．∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋ cos 2C1 ＝ 1＋2(cos2A ＋ cos2C)1 4π ＝ 1＋2 cos2A ＋ cos3 －2A113＝ 1＋2 cos2A －2cos2A － 2 sin2A 1 π＝ 1＋2cos 2A ＋3 . π π 5π∵2A ＋ 3∈ 3， 3 ，π 1∴－1≤ cos 2A ＋ 3 ＜ 2，1 2 5∴ ≤|b ＋ c | ＜ ，242≤ |b ＋c |＜ 5∴2 2 .4． (2011 高·考福建卷 )设函数 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ，此中，角 θ的极点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ， y)，且 0≤θ≤ π.(1)若点 P 的坐标为 1，3，求 f(θ)的值；22x ＋ y ≥ 1(2)若点 P( x ，y)为平面地区 Ω： x ≤ 1，上的一个动点，试确立角θ的取值范围，y ≤ 1并求函数 f(θ)的最小值和最大值．3sin θ＝ 2 ，解： (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得1cos θ＝2.3 1于是 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ＝ 3× 2 ＋ 2＝ 2.(2)作出平面地区 Ω(即图中暗影部分 )如下图，此中 A(1,0)， B(1,1)，C(0,1) ．π于是 0≤ θ≤ 2.π又 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ＝ 2sin(θ＋ 6)，π π 2π≤θ＋ ≤且 6 6 3 ，π π π故当 θ＋ 6＝ 2，即 θ＝3时，f(θ)获得最大值，且最大值等于 2；π π 当 θ＋ 6＝ 6，即 θ＝ 0 时，f(θ)获得最小值，且最小值等于 1.π ππ5．已知函数 f(x)＝ 2cos(x ＋ 3)[sin( x ＋ 3) － 3cos(x ＋ 3)] ．(1)求 f(x)的值域和最小正周期；π(2)若对随意 x ∈ [0， 6] ，使得 m[f(x)＋ 3]＋ 2＝0 恒建立，务实数m 的取值范围．π π π解： (1)f(x) ＝ 2sin(x ＋ )cos(x ＋)－ 2 3cos 2(x ＋)3332π2π＝ sin(2x ＋ 3 )－ 3[cos(2x ＋ 3 )＋ 1]2π 2π ＝ sin(2x ＋ 3 )－ 3cos(2x ＋ 3 )－ 3π＝ 2sin(2x ＋ 3)－ 3.π ∵－1≤ sin(2x ＋3)≤ 1，∴－2－ 3≤ π2π2sin(2 x ＋3， T ＝ ＝ π，3)－ 3≤ 2－2即 f(x)的值域为 [ － 2－ 3， 2－ 3]，最小正周期为 π.π π π 2π(2)当 x ∈[0， 6] 时， 2x ＋ 3∈[3， 3 ]，π3故 sin(2x ＋ 3)∈[ 2 ， 1]，π此时 f(x)＋ 3＝ 2sin(2x ＋ 3)∈[ 3，2]．由 m[f(x)＋3]＋2＝ 0 知， m ≠ 0，且 f(x)＋ 3＝－ 2 ，m 2m ＋ 3≤ 02≤2，即∴ 3≤ －m2 ＋2≥0，m解得－ 2 3 3≤ m ≤－ 1.即实数 m 的取值范围是－ 2 33，－1 .6.(2013 安·徽名校质检 )如下图， A 、 B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点，点 P在单位圆上，∠ AOP ＝ θ(0＜ θ＜ π)， C 点坐标为 (－ 2,0)，平行四边形 OAQP 的面积为 S.→ →(1)求 OA ·OQ ＋ S 的最大值；(2)若 CB ∥ OP ，求 sin 2θ－ π的值．6解： (1)由已知得 A 、 B 、P 的坐标分别为 (1,0)、 (0,1)、(cos θ，sin θ)，∵四边形 OAQP 是平行四边形，→ → →＋ (cos θ， sin θ)＝ (1＋ cos θ， sin θ)， ∴OQ ＝ OA ＋ OP ＝ (1,0)→ → ∴OA ·OQ ＝1＋ cos θ，又平行四边形 → →OAQP 的面积 S ＝ |OA| ·|OP|sin θ＝ sin θ， → → θ＋ π ＋ 1. ∴OA ·OQ ＋S ＝ 1＋ cos θ＋ sin θ＝ 2sin 4∵0＜θ＜ π，π → →2＋ 1.∴当θ＝ 时， OA ·OQ ＋ S 的最大值为4→ →(2)由题意知， CB ＝ (2,1)， OP ＝ (cos θ， sin θ)，∵CB ∥OP ，∴tan θ＝12，π∵0＜θ＜ π，∴0＜ θ＜2，由 cos θ＝ 2sin θ， cos 2θ＋ sin 2θ＝ 1，52 5得 sin θ＝ 5 ， cos θ＝ 5 ，∴sin2θ＝ 2sin θcos θ＝ 4， cos2θ＝ cos 223， 5θ－ sin θ＝ 5 π π π ∴sin 2θ－6 ＝ sin2θcos 6－ cos2θsin 6＝ 4× 4 3－ 3 3－3× 1＝ 10 .5 2 5 2。

专练23 高考大题专练(二）三角函数的综合运用1．［2020·全国卷Ⅱ］△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知cos2错误!＋cos A＝错误!.（1）求A；(2）若b－c＝错误!a,证明：△ABC是直角三角形．2．［2019·全国卷Ⅲ］△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin错误!＝b sin A。

(1）求B；（2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1,求△ABC面积的取值范围．3．[2019·天津卷]在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c。

已知b＋c＝2a,3c sin B＝4a sin C。

（1）求cos B的值；(2)求sin错误!的值．4．[2020·山东青岛一中高三测试]已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2错误!sin x cos x(x∈R）．(1）求f错误!的值;(2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．5．［2020·全国卷Ⅰ］△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝错误!c，b＝2错误!，求△ABC的面积；（2)若sin A＋错误!sin C＝错误!，求C。

专练23高考大题专练(二)三角函数的综合运用1。

解析：（1)由已知得sin2A＋cos A＝错误!，即cos2A－cos A ＋错误!＝0.所以错误!2＝0，cos A＝错误!.由于0<A<π，故A＝错误!。

(2）由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝错误!sin A。

由（1)知B＋C＝错误!,所以sin B－sin错误!＝错误!sin错误!。

即错误!sin B－错误!cos B＝错误!，sin错误!＝错误!.由于0<B<错误!，故B＝错误!.从而△ABC是直角三角形．2．解析：本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况；考查学生逻辑推理能力和运算求解能力；考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．（1）由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A.因为sin A≠0,所以sin错误!＝sin B。

弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .ABC c , sin sin2 ． 2 2（I）试判断△ABC的形状 ;（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 ．已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5．已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x ， xπ π．x4，4 2（1）求f ( x)的最大值和最小值；（2）f ( x) m 2 在 x π π上恒成立，求实数m 的取值范围．，4 26．在锐角△ABC 中,角．．的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当 号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x（ Ⅰ ）cos2x21 2sin 2xπ．3又∵ xπ ππ 2xπ 2π， ， ∴≤≤，4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3，3∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．（Ⅱ ） ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 ， xπ π ，4，2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)， ．6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)一、单选题2TC1.已知cos。

= 一，0 < a < 勿，贝!jtan( -------- a)=( )3 4A.--B. -7C. -4A/5 - 9D. 4右-92.设函数f(x) = x3,若0<6><yHt, 恒成立，则实数扪的取值范围是A. (-8,1)B. ［一°°,；］C.(YO,0)D. (0,1)3.如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为人=40的楼/W的底部《处和楼顶B处分别测得仰角6=60。

，a=30。

，若山坡高为a=35,则灯塔的高度是( )A. 20B. 25C. 20^/2D. 30TT4.已知函数/(x) = A sin — x, g (x) = - 2), fc > 0. & 知A = 1 时，函数/z(x) = y(x)-g(x)的所有零点之和为6,贝。

当A = 2时，函数h(x) = f(x)-g(x)的所有零点之和为A. 6B. 8C. 10D. 125.下列说法中正确的是A.若数列｛%｝为常数列，贝州％｝既是等差数列也是等比数列；B.若函数六了)为奇函数,贝0/(0) = 0；C.在AABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件；D.若两个变量X，，的相关系数为「，贝越大，x与 > 之间的相关性越强.6.要得到函数y = 4sin］4x-f|的图像，只需要将函数y = 4sin4x的图像( )A.向左平移尚个单位B.向右平移%个单位C.向左平移：个单位D.向右平移:个单位7. 将函数f (x) = cos(2x-g)向左平移中(9>0)个单位长度，所得图像的对应函数为g(x),则“9 =；‘是“g(x)为奇函数"的( )取值范围是( )变横坐标压缩为原来的?，得到函数顼:的图象，则使球为增函数的一个区间是12.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为二、填空题13. A>4BC 的内角 4、B 、C 的对边分别为 a, b, c,已知 c+b (sinA - cosA) =0, c= ^2 , a =1,则人=.14. 在 AABC 中，若Z? = 2asinB,则 A 等于15. 甲船在岛A 处南偏西50。

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

三角函数02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知角的终边经过点．(1) 求的值；(2）求的值．【答案】由角的终边过点知：， ，， (1） =， (2）=…11分 =。

2．已知函数. (Ⅰ）求函数的值域；α(3,4)P -sin()cos()tan()πααπα-+-+α(3,4)P -224sin 5(3)4α==-+223cos 5(3)4α==--+44tan 33α==--sin()cos()sin cos tan()tan πααααπαα-+-+=+4343()/()55320--=-))cos(2)23(cos()2sin(πααπαπ--+⋅+)cos 2(sin cos ααα+24336()2()55525⨯-+⨯-=2()23cos 2sin 333x x x f x =-()f x(Ⅱ）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值【答案】（1） ∵，∴ ∴ ∴函数的值域为(2）， ∴，而， ∴. 在中，，，∴， 得 解得 ∵， ∴.3．如图所示，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ABC ,,A B C ,,a b c ()1f C =2b ac =sinA 22()cos 133x x f x =+-22sin()136x π=+-x R ∈21sin()136x π-≤+≤232sin()1136x π-≤+-≤()f x [3,1]-2()2sin()1136C f C π=+-=2sin()136C π+=(0,)C π∈2C π=Rt ABC ∆2b ac =222c a b =+22c a ac =+2()10aa c c+-=a c =0sin 1A <<1sin 2a A c -==【答案】设用t 小时，甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，∠ABC=1200，根据余弦定理得，AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·Bccos ∠ABC即(28t)2=(20t)2+(20t)2－2×9×20tcos1200，整理得，128 t 2－60t －27=0，(4t －3)(32t+9)=0，解得或(舍). 所以AC=21，BC=15， 在△ABC 中，， 所以∠BAC=380，所以甲船应沿南偏西70方向行驶.答：甲船应沿南偏西70方向，用0.75h 能尽快追上乙船.4．已知向量,函数． (Ⅰ）求函数的最小正周期;(Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．【答案】(Ⅰ）3t 4=9t 32=-015BC sin1202sin BAC 0.6186AC21⋅∠===≈1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-()()2f x a b a =+⋅-()f xT a b c ABC ∆A B C A 4a c ==()1f A =,A b ABC ∆S 2()()22f x a b a aa b =+⋅-=+⋅-21sin 1cos 22x x x =++-因为,所以5．化简：【答案】原式=6．已知函数(I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；(Ⅱ）在锐角△ABC 中，若，求△AB C 的面积．【答案】(1) (2) 1cos 21sin 2222x x -=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=-2ω=22T ππ==）（）（（）（αππααπααπ+++323tan --cos )(cos )-cos sin αααααααα333323cos tan sin tan cos )cos (cos )sin (==-⋅⋅-2()2sin cos f x x x x x R =+-∈()1,2f A AB AC =⋅=)32sin(2)(π+=x x f ππ==22T 22=s。

高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.已知函数f (x )=2sin ωx cos ωx-π6-12(0<ω<2),函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,且b-a 的最大值为π2,求f (x )在-π2,π2上的单调递减区间.2.(2021湖南怀化高三二模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足2tanBtanA+tanB =bc . (1)求角A ;(2)若a=√13,b=3,求△ABC 的面积.3.(2021天津静海一中高三月考)已知锐角三角形ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,且b cos C+√3b sin C=a+c.(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面积为√3,求a,c.4.平面凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AD=3,AB=4.(1)若∠ABC=45°,求CD;(2)若BC=2√5,求AC.5.(2021江苏徐州高三二模)若f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,f(0)=12,f5π12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,f A-B2−π12=35,求cos A-B2,并证明sin A>2√55.6.(2021河南郑州高三三模)在△ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分∠BAC.(1)若sin∠ABC=√5,求cos∠BAC;5(2)若AD=AC,且△ABC的面积为√7,求BC.高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.解f (x )=2sin ωx cos ωx-π6-12=2sin ωx cos ωx cos π6+sin ωx sin π6-12=√3cos ωx sin ωx+sin 2ωx-12=√32sin2ωx-12cos2ωx=sin 2ωx-π6.若f (x )在[a ,b ]上单调递增,且b-a 的最大值为π2, 则T=π=2π2ω,故ω=1,所以f (x )=sin 2x-π6.由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π(k ∈Z ),得π3+k π≤x ≤5π6+k π(k ∈Z ),令k=0,得π3≤x ≤5π6;令k=-1,得-2π3≤k ≤-π6.又-π2≤x ≤π2, 所以f (x )在-π2,π2上单调递减区间为-π2,-π6,π3,π2.2.解(1)由2tanBtanA+tanB =bc 及正弦定理可知,2sinBcosB sinA cosA +sinBcosB=sinBsinC ,所以2sinB cosB·cosA ·cosB sin(A+B)=sinB sinC,因此2cos A=1.又A ∈(0,π),所以A=π3.(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得13=9+c 2-3c , 所以c 2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4. 从而S △ABC =12bc sin A=12×3×4×√32=3√3.3.解(1)由正弦定理得sin B cos C+√3sin B sin C=sin A+sin C=sin(B+C )+sin C=sin B cos C+cos B sin C+sin C. 因为C 为三角形内角,sin C ≠0,所以√3sin B-cos B=1,sin B-π6=12.因为-π6<B-π6<π3,则B-π6=π6,即B=π3. (2)由已知S=12ac sin B=√34ac=√3,得ac=4.又a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,即a 2+c 2-4=ac ,解得a=c=2.4.解(1)连接BD ,在Rt △BAD 中,由AB=4,AD=3,∠BAD=90°, 得BD=5,∴sin ∠ABD=35,cos ∠ABD=45.∵∠ABC=45°,∴∠DBC=45°-∠ABD ,∴sin ∠DBC=sin45°·cos ∠ABD-cos45°·sin ∠ABD=√22×45−√22×35=√210. 在Rt △BCD 中,由∠BCD=90°,知CD=BD ·sin ∠DBC=5×√210=√22.(2)连接AC ,由(1)知BD=5,在Rt △ABD 中易知sin ∠ABD=35,cos ∠ABD=45. 在Rt △BCD 中,由BC=2√5,BD=5,得CD=√5. 易知sin ∠CBD=√55,cos ∠CBD=2√55. ∴cos ∠ABC=cos(∠ABD+∠CBD )=cos ∠ABD ·cos ∠CBD-sin ∠ABD ·sin ∠CBD=45×2√55−35×√55=√55. 在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=42+(2√5)2-2×4×2√5×√55=20, ∴AC=2√5.5.解(1)由f (0)=12,得sin φ=12.又0<φ<π2,故φ=π6. 由f5π12=0,得sin ω·5π12+π6=0,所以ω·5π12+π6=2k π+π(k ∈Z ),即ω=2+24k5(k ∈Z ).由ω>0,结合函数图象可知12·2πω>5π12,所以0<ω<125.又k ∈Z ,所以k=0,从而ω=2,因此f (x )=sin 2x+π6.(2)由fA -B 2−π12=sin(A-B )=35,因为0<B<A<π2,所以0<A-B<π2,故cos(A-B )=45. 因为cos(A-B )=2cos 2A -B2-1,于是cosA -B 2=√1+cos(A -B)2=3√1010. 所以sinA -B 2=√1-cos 2A -B 2=√1010. 又A+B>π2,故A=A+B 2+A -B 2>π4+A -B 2.又y=sin x 在0,π2上单调递增,且A ∈0,π2,π4+A -B 2∈0,π2, 所以sin A>sinπ4+A -B 2=sin π4cosA -B 2+cos π4sinA -B 2=√22×3√1010+√1010=2√55.6.解(1)令△ABC 的边AC ,AB ,BC 为b ,c ,a ,由题意可得c=2b , ∵AB>AC ,∴∠ABC<∠ACB ,∴∠ABC 为锐角,即cos ∠ABC=√1-15=2√55.∵AC sin ∠ABC=AB sin ∠ACB,∴sin ∠ACB=2√55.∵∠ACB ∈(0,π),∴cos ∠ACB=±√55. ∴cos ∠BAC=-cos(∠ABC+∠ACB )=sin ∠ABC sin ∠ACB-cos ∠ABC cos ∠ACB.当cos ∠ACB=√55时,cos ∠BAC=√55×2√55−2√55×√55=0. 当cos ∠ACB=-√55时,cos ∠BAC=√55×2√55+2√55×√55=45.所以cos ∠BAC=0或45.(2)设∠CAD=∠DAB=θ,由于S △ABC =S △ACD +S △ADB , 所以12AC ·AD sin θ+12AB ·AD sin θ=12AB ·AC sin2θ, 由AD=AC ,AB=2AC 可得3sin θ=4sin θcos θ.因为sin θ≠0,则cos θ=34,sin θ=√1-cos 2θ=√74, S △ABC =12AC ·AB sin2θ=b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=√7,解得b 2=83.又cos2θ=2cos 2θ-1=18,∴a=√b 2+4b 2-2b ·2bcos2θ=2√3,即BC=2√3.。

高考大题强化练(二)三角综合问题1．已知函数f(x)＝cos 2ωx ＋ 3 sin 2ωx ＋t(ω＞0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴间的距离为π4 ，图象过点(0，0).(1)求f(x)的表达式和f(x)的递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g(x)的图象．若函数F(x)＝g(x)＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．〖解 析〗(1)因为f(x)＝cos 2ωx ＋ 3 sin 2ωx ＋t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ＋t ，f(x)的最小正周期为2π2ω＝π2 ，所以ω＝2.因为f(x)的图象过点(0，0)，所以2sin π6 ＋t ＝0， 所以t ＝－1，即f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 －1.令2k π－π2 ≤4x ＋π6 ≤2k π＋π2 ，k ∈Z ， 12 k π－π6 ≤x ≤12 k π＋π12 ，k ∈Z ， 故f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π6，k π2＋π12 ，k ∈Z . (2)将函数f(x)的图象向右平移π8 个单位长度，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π2＋π6 －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 －1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 －1的图象．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，所以2x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 ，故g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的值域为〖－ 3 －1，1〗.若函数F(x)＝g(x)＋k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有且只有一个零点，即函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 －1的图象和直线y ＝－k 存在交点，根据图象可知，－ 3 －1≤－k ＜ 3 －1或－k ＝1. 解得1－ 3 ＜k ≤ 3 ＋1或k ＝－1，故实数k 的取值范围是(1－ 3 ， 3 ＋1〗∪{－1}． 2．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 sin (x －π4 )＋ 3 sin x cos x.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若f(θ)＝12 ，求角θ的取值集合；(3)设f ⎝⎛⎭⎫α2＋π4 ＝33 ，f ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝13 ，且－π2 ＜α＜0，π4 ＜β＜π2 ，求cos (α－2β)的值．〖解 析〗f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3 sin x cos x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋ 3 sin x cos x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋ 3 sin x cos x＝12 sin 〖2(x －π4 )〗＋3 sin x cos x ＝－12 cos 2x ＋32 sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 .(1)最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)f(θ)＝sin (2θ－π6 )＝12 ，所以2θ－π6 ＝π6 ＋2k π或2θ－π6 ＝5π6 ＋2k π，k ∈Z ， 所以θ＝π6 ＋k π或θ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，故角θ的取值集合为{θ|θ＝π6 ＋k π或θ＝π2 ＋k π，k ∈Z }．(3)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝33 ，所以sin 〖2(α2 ＋π4 )－π6 〗＝33 ， 即sin (α＋π3 )＝33 .因为－π2 ＜α＜0，所以α＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝63 .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝13 ，所以sin 〖2(β－π4 )－π6 〗＝13 ， 即sin (2β－2π3 )＝13 .因为π4 ＜β＜π2 ，所以2β－2π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2β－2π3 ＝223 .所以cos (α－2β)＝－cos 〖(α＋π3 )－(2β－2π3 )〗 ＝－cos (α＋π3 )·cos (2β－2π3 )－sin (α＋π3 )·sin (2β－2π3 ) ＝－63 ×223 －33 ×13 ＝－539 .3．如图，设A ，B 是半径为1的圆O 上的动点，且A ，B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.(1)若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45 ，求5sin (－θ)－5cos (π＋θ)＋3tan θ的值； (2)设f(θ)＝|BC|2，求函数f(θ)的解析式和值域．〖解 析〗(1)因为A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45 ，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ.所以根据三角函数的定义可知，sin θ＝45 ，cos θ＝35 ，tan θ＝43 ， 5sin (－θ)－5cos (π＋θ)＋3tan θ＝－5sin θ＋ 5cos θ＋3tan θ＝－5×45 ＋5×35 ＋3×43 ＝3.(2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°. 所以cos ∠COB ＝cos (θ＋60°)，所以f(θ)＝|BC|2＝|OC|2＋|OB|2－2|OC|· |OB|cos ∠COB ＝2－2cos (θ＋60°)， 因为30°＜θ＜90°，所以f(θ)∈(2，2＋ 3 ).4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan A ＋B 2 ＋tan C 2 ＝433 .(1)求角C 的大小；(2)已知△ABC 不是钝角三角形，且c ＝2 3 ，sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 〖解 析〗(1)因为A ＋B ＋C ＝π，所以tanA ＋B 2 ＋tanC 2 ＝tan π－C 2 ＋tan C2＝433 ，所以( 3 tan C 2 －1)(tan C2 －3 )＝0， 解得tan C 2 ＝33 或tan C2 ＝3 ， 因为C ∈(0，π)，所以当tan C 2 ＝33 时，C 2 ＝π6 ，即C ＝π3 ； 当tan C 2 ＝ 3 时，C 2 ＝π3 ，即C ＝2π3 . 故角C 的大小为π3 或2π3 .(2)因为△ABC 不是钝角三角形，所以C ＝π3 ， 所以sin C ＝32 ，A ＋B ＝2π3 ， 因为sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，所以32 ＋sin (2π3 －2A)＝2sin 2A ， 即32 ＋32 cos 2A ＋12 sin 2A ＝2sin 2A ， 整理得，3 sin 2A －cos 2A ＝1， 即sin (2A －π6 )＝12 ，所以2A －π6 ＝π6 ＋2k π或2A －π6 ＝5π6 ＋2k π，k ∈Z ， 解得A ＝π6 ＋k π或A ＝π2 ＋k π，k ∈Z ， 因为A ∈(0，π2 〗，所以A ＝π6 或π2 .当A ＝π6 时，B ＝π2 ，因为c ＝23 ，所以a ＝2， 所以S △ABC ＝12 ac ＝23 ；当A ＝π2 时，B ＝π6 ，因为c ＝2 3 ，所以b ＝2， 所以S △ABC ＝12 bc ＝23 . 综上所述，△ABC 的面积为2 3 .5．现给出两个条件：①2c － 3 a ＝2b cos A ，②2a sin 2B 2 ＋2b cos 2A2 ＝b ＋c.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 〖解 析〗选择条件：①2c － 3 a ＝2b cosA ， (1)因为由余弦定理可得2c － 3 a ＝2b cos A ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以整理可得a 2＋c 2－b 2＝ 3 ac ， 可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6 . (2)因为b ＝2，B ＝π6 ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 可得4＝a 2＋c 2－2ac·32 ，所以4＝a 2＋c 2－ 3 ac ≥2ac － 3 ac ，可得ac ≤8＋4 3 ，当且仅当a ＝c 时等号成立， 所以S △ABC ＝12 ac sin B ≤12 ×(8＋4 3 )×12 ＝2＋3 ，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3 . 选择条件：②2a sin 2B 2 ＋2b cos 2A2 ＝b ＋c ，(1)由条件可得2a·1－cosB 2 ＋2b·1＋cos A2 ＝b ＋c ，整理可得a －a cos B ＋b cos A ＝c ， 所以由正弦定理可得sin A －sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ， 又因为sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋sin B cos A ， 所以整理可得sin A ＝2sin A cos B ， 因为sin A ＞0， 所以cos B ＝12 ， 因为B ∈(0，π)， 所以B ＝π3 .(2)因为b ＝2，B ＝π3 ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得4＝a 2＋c 2－2ac·12 ，所以4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，可得ac ≤4，当且仅当a ＝c 时等号成立， 所以S △ABC ＝12 ac sin B ≤12 ×4×32 ＝3 ，即△ABC 面积的最大值为 3 .6．△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3 2 ，b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A. (1)求b ＋csin B ＋sin C的值；(2)若bc ＝b ＋c ，求△ABC 的面积．〖解 析〗(1)由b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A 得b 2＋c 2－a 22bc ＝ac cos C ＋c 2cos A2bc ， 又由正、余弦定理得cos A＝sin A cos C ＋sin C cos A 2sin B ＝sin （A ＋C ）2sin B ＝12 ， 而0＜A ＜π， 故A ＝π3 ， 又a ＝3 2 ，从而b ＋csin B ＋sin C＝asin A ＝2 6 .(2)由余弦定理得cos A ＝12 ＝b 2＋c 2－182bc， 即(b ＋c)2－3bc ＝18，又bc ＝b ＋c ，故(bc)2－3bc ＝18，解得bc ＝6， 故△ABC 的面积为S △ABC ＝12 bc sin A ＝332 .。

三角恒等变换1、已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.解 (1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝co s αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.2、已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，∴0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 3、已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.4、设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172505、已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．解析 ∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin 2α＝429，cos 2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.答案23276．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． A.12 B.33 C.22 D.32解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝12.答案 A 7.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )．A ．－79 B.79 C.29 D ．－23解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13.所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79.答案 B8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )．A.1825B.725 C ．－725 D ．－1625 解析 因为sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725.答案 C9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )． A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17. 答案 B10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A.255 B ．－3510 C ．－255 D ．－31010解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255.答案 C11．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 答案 ± 312、已知cos 4 α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－15613．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解 (1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32sin 2α－12cos 2α ＝32×2425－12×725＝243－750. 14．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6的值．(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值．解 f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32，∴0＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14＜12，又∵α∈()0，π，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－154，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝14×12＋154×32＝1＋358. 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )．A.1318B.1322C.322D.16解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.答案 C15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足t an (α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )． A.14 B.34 C.34 2 D.32解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β，解得tan α＝3tan β1＋4tan 2β，因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan β＞0.所以tan α＝31tan β＋4tan β≤321tan β·4tan β＝34，当且仅当1tan β＝4tan β，即tan 2β＝14，tan β＝12时取等号， 所以tan α的最大值是34. 答案 B16.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则tan 2α＝________.解析 由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝3cos α，即32sin α＝52cos α，所以tanα＝533， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×5331－⎝ ⎛⎭⎪⎫5332＝－5311. 答案 －5311。