2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x xx x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为 h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，ACBD（第16题）VE F直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．（第18题）2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线x的交点为，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =-2，得f (2)= f (-2)+ f (2)，所以f (-2)=0， 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (-1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4， 所以AD == 当且仅当5m =n =±AD ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，（第14题） CADB（第15题）所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分 又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分ACBD（第16题）VE FO17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o45，所以1h r=，圆锥的体积为231111ππ33V r h r==，圆柱的体积为222πV r h=．……2分因为1290πV V+=，所以23221π90ππ3V r h r==-，所以32222709033r rhr r-==-．……4分因为311π90π3V r=<，所以r<0r<<．所以32222709033r rhr r-==-，定义域为{|0r r<<．……6分（2）圆锥的侧面积21πS r r==，圆柱的侧面积222πS rh=，底面积23πS r=．……8分容器总造价为1232y aS aS=++2222π2π2πr a rh a r a=++2222π()a r rh r=++()22902π23ra r rr⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a rr=+．……10分令254()f r rr=+，则254()2f r rr'=-．令()0f r'=，得3r=．当03r<<时，()0f r'<，()f r在(0 3)，上为单调减函数；当3r<<()0f r'>，()f r在(3上为单调增函数．因此，当且仅当3r=时，()f r有最小值，y有最小值90πa元．……13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分又离心率caa=，……4分所以222222()a c a b==-，所以22a=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧+-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ= 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =，11y =， 代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n n b b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x -+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

2018年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题 第I 卷(必做题，共160分)、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 •设复数z 满足(2 -i)z =1 i ( i 为虚数单位)，则复数z 二▲ 2 •已知集合, B 」0,2?，贝U AUB 共有 ▲ 个子集.3 •根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ •4 •在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9个小矩形的面积和的 丄，且第一组5 数据的频数为25，则样本容量为▲在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的渐近线方程为y = x ,若函数y 二sin( •・x W )(门，0)的部分图象如图所示， 则•，的值为 ▲•现有5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 5的卡片，它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取 2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 •9 •在三棱锥P-ABC 中，D , E 分别为PB , PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V ,三棱锥P - ABC 的体积为V ，则也=▲•V 2T ■ T10 •设点P 是 ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且BC • 2BA =3BP ,设1011 .已知数列｛a n ｝中，a 1 =1, a ? =4 , a^10 .若｛a n ^a n ｝是等比数列，则a^_▲_i=12212.已知 a , b R , a b ，若 2a -ab -b -4=0，则 2a-b 的最小值为▲ •2 2 2 2 213•在平面直角坐标系 xOy 中，动圆C:(x-3)，(y-b)二r (其中r -b <9)截x 轴所得的弦长恒为4 .若过点O 作圆C 的一条切线，切点为 P ，则点P 到直线2x • y -10 =0距离的 最大值为S —1IT Whil e 1 ：：：7S — S + 3I — I + 2End While Print S--1PD = h AB +P AC 贝V 九+ 卩=(2,0)，则双曲线C 的方程为 ▲ 函数f(x)二-4的定义域为_▲且它的一个焦点为（第 7题）▲ .14.已知 —〔0,2二，若关于k 的不等式•而一 .CO^^k si n 3v_cos 3r 在「：，-2 ］上恒成立, 则二的取值范围为 ▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. 已知向量 订二(sin 今，舟),n 二(-2 厂.3cos|)，函数 f(x)二m n .(1) 求函数f(x)的最小正周期；T 呻7T(2) 若 m // n ，且 x 三(0,—)，求 f (4x)的值.216.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，CD // AB , AB=2CD , AC 交BD于O ，锐角 PAD 所在平面 PAD 丄底面 ABCD ,圆 O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，BC // AD , E ,F 在AD 上，且 1OE =OF BC, EG 二 FG .2(1)设.AOB -二，试将多边形 ABCDFGE 面积S 表示成二的函数关系式;(1) 求证: (2) 求证:PA// 平面 QBD ;BD _AD . 17.如图所示,(2)多边形已知函数f(x) =(x-1)e x ax 2，其中a R , e 是自然对数的底数. (1)若a =0 ,求函数y = f (x)的单调增区间; (2)若函数f (x)为R 上的单调增函数，求 a 的值;(3) 当a 0时，函数y = f (x)有两个不同的零点 x ! , x 2，求证：为x 2 0 .已知数列 江［的前n 项和为S n ,把满足条件空S n (N *)的所有数列〈aj 构成的集合 (1) 若数列订」通项公式为a n 1，求证：爲〕M ；2(2) 若数列faj 是等差数列，且^a n - n» M ，求2a^a 1的取值范围；(3 )设b n 二丄(n ・N *)，数列Sn ［的各项均为正数，且 'a n 〉M •问数列 Y 中是否存在 a n无穷多项依次成等差数列？若存在， 给出一个数列:a 的通项；若不存在，说明理由.18.2 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知F ,2分别为椭圆 笃•爲=1 ( a b 0 )的左、右a b A(2 ,0)和点(1,3e)，其中e 为椭圆的离心率. 焦点，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程; (2)过点A 的直线I交椭圆于另一点 B ，点M 在直线I 上，且OM =MA .若 MF ! _ BF 2 , 求直线I 的斜率.19.20.21 •【选做题】本题包括学习必备欢迎下载2018年高考模拟试卷（4）数学u （附加题）A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A •［选修4』：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB为O O的直径，D为O O上一点，过若DA = DC,求证：AB = 2BC.C •B .［选修4 _2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知a,b・R，向量为r二2是矩阵A J a 2的属于特征值-3的一个特征向量.1 b 1（1）求矩阵A的另一个特征值；（2）求矩阵A的逆矩阵A」.C .［选修4 Y:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x - -1 -电t5— ft （t为参数）•以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为匸= 2-2cos（—.—）.4 求直线l被曲线C所截得的弦长.D .［选修4七：不等式选讲］（本小题满分10分）已知实数x, y, z满足x + y + z = 2，求2x2 3y2 z2的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内.作答.22. (本小题满分10分)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4 .现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)在各项均不相同的数列a1 , a2, a s，…，a. (N*)中，任取k(k・N ,且k_n)项变动位置，其余n-k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为P n(k).(1 )求P4(0) F4(1) F4(2) F4(3)的值；(2)求P5(5)的值；n nA kF n(n—k) A n 1=(n 1)、P n(n—k)(3)设k - ，求证：k=°.2018年高考模拟试卷(4)参考答案数学I一、填空题： 1. 1 + 3i ［解析】i)(2 D =口 . 5 5 2 _i (2 —i)(2 i) 52. 8【解析】由条件得 AUB 二｛-1,0,2｝，所以AUB 的子集有8个.3. 10【解析】由题意可知 ^1 3 3 ^10.4. 150【解析】设第一个小矩形面积为 x ，由6x =1，得x = 2，从而样本容量为 25 6 = 150 .62 25.x 2 -y 2 =1【解析】设双曲线 C 的方程为 笃-爲=1(a 0,b ■ 0)，因为双曲线C 的渐近线方a b程为y =_x ，所以a =b ，又因为一个焦点为(.2,0)，所以c= .2，所以a=b=1，所以双曲线 C 的方程为x 2 - y 2 =1g)x -4 _0,所以 X 乞-2号音2込，所以.牛4.210=3 2n 丄—2，所以送 a =3049 .i 士12. 3【解析】因为 a , b R , a b , 2a 2 -ab -b 2 -4 =0 ,所以(a -b)(2a b) =4 .6. (_：:, -2］【解析】由已知得，7. 4【解析】由图知函数的周期为8 . 3【解析】从5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 55 的卡片中随机种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有 12种情况,_ 1 __PABS PAB h , V | = V E39.-【解析】因为V 2 =V C4所以也V 2 2_ABDS DAB3所以其概率为聖.20 51 1 h 1S PAB V2 ,3 2 2 410三【解析】因为BC 2BA =3BP ，所以BC -BP =2(BP -BA)，即3 1—?=P ，所以AP 」AC ,3TT T 1 T —I T 1 T 所以 ADAD 11. 3049【解析】 a n 1 一弘=3 2n1，所以 a n 二印•(a ? —aj •—a ?) - (a^a nJ )3令 a _b =t , 2a b =4 , t 0 ,则 a =丄 t 4 , b =2 2 _t , t t f 3*t ' 所以2a _b 令 1) > 3 2. t -J =8,当且仅当t =1时取等号. 所以2a - b 的最小值为8 .313. 3 5 [解析】因为动圆C:(x —3)2・(y-b)2 =r 2 (其中r 2 -b 2 <9 )截x 轴所得的弦长恒为4,所以r 2 =b 2 4 ,设P(x °, y °),由已知条件得，9 b^r 2 x 2 - y 2 ,所以x ] y 2 = 5 ,即点P 在10 圆x 2+y 2=5,所以点P 到直线2x+y_10=0距离的最大值为 ~^卡屈=3眞. V 53' cos 3v - sinv -• cosv ,题意即为 f (k) > 0在[-匚j -2 ]上恒成立，即f min (k) > 0 .由于日€0,2兀),Si n 日> 0且cose > 0,则日乏|0,弓.f(k) =0 > 0恒成立，符合;sin ? v -COS3.0 ,所以f (k)在［-匚3 -2 1上单调递增，不符合;sin J-cosJ ：：：0，所以 f (k)在-:,-2 1 上单调递减,此时 f min (k) = f (-2) = -2 sin ： - cos - 、. sin- cos 二 > 0 , 即 2sin % sin v < 2cos % COST .令 f(x)=2x 3+7X ( x > 0)，不等式即为 f (sin6) < f(cos0),J由于f (x) =6x 2 1x^ > 0 ,所以f(x)在0,匚 上单调递增, 而当 v -[0, -j)时，si n^ ::: COST ，所以 f(sin 二)< f(cos^)恒成立.综上所述，二的取值范围是1), =(|, ■ 3COS 2),x C0S2 = sin -15 .解：(1) ； m = (si 门乡, 1 x 3 .f (x)二 m n sin2 2 2 =sinXCOSn+ COS -S in n= sin x n,23 2 3 2 3所以函数f (x)的最小正周期为T 二肚=4 n 1 鸣 2 (2)T m= (si 门乡,* , n =(* , ^3 COS |)T 呻，且 m // n ,..... ^4 分'14.0,才【解析】f(k)=ksi n 3 —_02当-(「，亍］时,当 二［0，；)时,.Xx 1 1sin ■ 3cos0 ,222 2sin X蔷，因为侧面 PAD_底面ABCD ，平面PAD^l 平面ABCD 二AD ,PH 平面PAD ，所以PH _平面ABCD , ...................... 8分 又BD 二平面 ABCD ，所以PH _BD , ...................... 10分 因为「PAD 是锐角三角形，所以 PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA_BD ，所以BD _平面PAD , ....................... 12分又AD 平面PAD ,所以BD _AD . ...................... 14分17•解：连接 EF ,BE,OB,OG ,-OE =OF 」BC , ■ BC =EF _ BE _ EO , 2 - EG =FG , OG _ EF ,......... 2 分(1 )在 Rt BEO 中,BO =1 , AOB - J ,EO =cos v , BE =sin ：, BC =EF =2cos 丁 ,.... 4分1 1s 弟形ABCD S EGF (AD BC) BE — EF OG2 211 二(2 2cosRsin 2cos^ 1 =sin^cos 亠sin 亠 cos^,寫：二(0,—).2 2 2(0,2)，10分.sin 2x =2sin c 矗^'33吊x cos x 二 2 - 6 6 6 512分2\t3cos2x =1 -2sin x =1 -2 () 6 1.f (4x) sin 2x cos2x211 53 1216.证明：(1) 因为 AB//CD , 所 AO =2OC , 又 PQ =2QC ， 所以 PA / /OQ ， 又OQ 二平面QBD ， PA 二平面QBD , 所以PA//平面QBD . ........... 6分 (2)在平面PAD 内过P 作PH _ AD 于H ,如图，连接 AB =2CD , OQ , .cosx = 1 —sin 2 x =33""6"14分B学习必备欢迎下载(2)令t 二sin v cos J,匚三(0, —),2学习必备 欢迎下载=0,t 2 _1兀则 sin ncos，且 t = 2 sin(r —)三(1, . 2], 2 4t 2 _1 t 2 1 1s - t =- t 一一 = —(t i )2 -1, t ・(1, 2],2 2 2 2当 t = 2，即 时，S max =—2 ,42即多边形ABCDFGE 面积S 的最大值为—2平方米.2 18 •解：(1)因为椭圆经过点 A(2,0)和点(1,3e),a =2,所以 1 9c i =1,|4 4 b 2 b 2 c 2 二a 2,2 2 解得a =2, b = •3, c =1,所以椭圆的方程为 丄 11 .4 3(2)解法一：由(1)可得 F(-1 ,0) , F 2(1,0), 设直线I 的斜率为k ，则直线I 的方程为y =k(x -2).y =k(x 「2),由方程组 2 y 2 消去y ,整理得(4k 23)x 2 -16k 2x 16k 2乞 +L —1 4 3 _1 ,2f 2\解得x =2或X =8k2 _6 ,所以B 点坐标为8k2 _6 , -12k.4k 2 +3\4k +3 4k +3丿由OM =MA 知，点 M 在OA 的中垂线x =1上, 所以 F 1M =(2，-k) , F 2B = 8k ^6 -1,4k +3 4k +34k +3 4k +3222若 MF — BF 2，贝y FM F 2B =8k2一18 ¥4k +3 4k+3解法二：由（1）可得 Fd-1,0） , F 2（1, 0）,设 B(x 0, y 0) ( X 。

（第3题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（9）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则c o s (2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++（第4题）1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列． （1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．DA（第21-A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ．MC 1B 1A 1CBA（第22题）3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×328．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为3，则该三棱柱的体积是▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． 17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，A BCP（17题图）FE求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝fn (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，C2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144． 9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32． 11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合； 若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝na n－n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点，∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ． ∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M CFDD解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S=⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝ap，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q＜0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q＞0，且不妨设由f ′(x)＝0得f ′(x)有唯一零点x0＝log q tln q，于是当x＞x0时，f ′(x)恒大于0或恒小于0，当x＜x0时，f ′(x)恒小于0或恒大于0，这样f(x)在区间(0，x0)与(x0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解．……………………10分当q＜0时，如果t＞0．如果n为奇数，则方程①变为|q|n+tn+s＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n为偶数，则方程①变为|q|n－tn－s＝0．由q＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A中的元素个数最多有3个．………………………………12分再由当a n＝6n－8，，b n＝(－2)n，则a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．A＝{1，2，4}．由此，可知集合A中的元素个数最多有3个．…………………16分数学Ⅱ（附加题）21A．证明：连AC，在△ABC与△ADP中，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ADP＝∠ABC，又因为AD·BC＝DP·AB，即ADDP＝ABBC，所以△ABC∽△ADP，所以∠BAC＝∠DAP．因为直线PA与圆O相切，所以∠DAP＝∠ACD，所以∠BAC＝∠ACD，所以，A B∥CD，所以圆内接四边形ABCD为等腰梯形，所以AD＝BC．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

专业资料2018年高考模拟试卷（4）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的 最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O A B C D E F专业资料（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围； （3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在 无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．域内作答．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． 若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量． （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．专业资料【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位 置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=．9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA -=-，即2P C A P =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=．11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．专业资料令a b t -=，42a b t +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．因为动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ++令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤，由于1221()602f x x x -'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=，…… 8分sin x ∴=(0,)2xπ∈，cos x ∴==…… 10分 sin 22sin cos 2x x x ∴=⋅==，…… 12分 225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 2226f x x x ∴===． …… 14分 16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分 又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ，12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥，EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分 （1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,)2πθ∈． ………8分（2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，专业资料则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =，即4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12 ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分 直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分 由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ， 所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增． 因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，专业资料2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立， 所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分 20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nSS +≤，所以1312112×2n n n n S SS S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=，又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=， 即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分专业资料∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为6，………8分 直线l 被曲线C 所截得的弦长为5=．………10分 （说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221))1](23)y z x y z +⋅+++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分 （2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分 （3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n kn n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

4高三数学试卷第1页共17页2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第I 卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 .已知集合 A={1 , 4}, B={ x|1< x <3}，则 A H B= ▲ .22. 设复数z （2 i ） （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲3. 函数的y ... 3 log 2 x 定义域为 ▲4. 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为:s 0i[| :t 1t I 'For I From 1 To 3 !|:s s+I :'t 11 II:End For 丨r stii:Print ri i ! ________________________________________ i（第4题）5. 如图是甲、乙两位同学在 5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小） 的那一位同学的方差为 ▲.6. 将黑白2个小球随机放入编号为 1, 2, 3的三个盒子中，则黑白两球均不在 1号盒子 的概率为 ▲ .7. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数y cos2x 的图象向右平移 一个单位得到g （x ）的图6象，贝U g （—）的值为▲ .22y 28.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 198 79 210013（第 5 题）近线的距离为—▲卄丄冗 c r「sinx 2cosx砧/古斗▲9. 若tan x 3，贝U 的值为▲4 3sinx 4cosx10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x€ R都有f(x+4)= f(x)+ f(2), f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为▲.11.已知S n为数列｛a n｝的前n项和，且a； 1 a n1a n 1, S I32a13 , 则｛a n｝的首项的所有可能值为▲.5 0与圆C 2212.在平面直角坐标系xOy中，已知直线丨：3x 4y:x y 10x 0交A, B两点，P为x轴上一动点，则△ ABP周长的最小值为▲.2 亠x x a , x > a ,、卄13. 已知函数f (x) 2记A ｛x|f(x) 0｝，右AI ( ,2)x x 3a, x a .则实数a的取值范围为▲.14. 若厶ABC中，AB= , 2，BC=8, B 45°,D ABC所在平面内一点且满足uuu uuur uuur uur(AB AD) (AC AD) 4，贝V AD长度的最小值为▲二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)如图，在厶ABC 中，a, b, c 为A B, (1)求证：sinC 2sin( A B)；3(2 )若 cos A，求 tanC 的值.5请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字 1C 所对的边，CD 丄AB 于D ，且BD AD c .2(第 15 题)16. (本小题满分14分)在正四棱锥V ABCD 中，E , F 分别为棱VA , VC 的中点. (1) 求证：EF //平面 ABCD ; (2) 求证：平面 VBD 丄平面BEF .锥的底面半径都为r cm .圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为 45° ;圆柱的高为18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : £ 占1(a b 0)离心率为甘，其短轴a b 2长为2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，A 为椭圆C 的左顶点，P , Q 为椭圆C 上两动点，直线 PO 交AQ 于E ,17. (本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为 90 n cm 3, (第16题)它是由圆锥和圆柱两部分连接而成， 圆柱与圆h 2 cm .已知圆柱底面的造价为 2a 元/ cm 2,圆柱侧面造价为a 元/ cm 2,圆锥侧面造价为、.2a 元/cm 2. (1) 将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域; (2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？h 2（第 17题）存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) x k lnx, k N *， g(x) cx 1，c R . (1) 当k 1时，① 若曲线y f (x)与直线y g(x)相切，求c 的值；② 若曲线y f (x)与直线y g(x)有公共点，求c 的取值范围.(2) 当k >2时，不等式f (x)>ax 2 bx >g(x)对于任意正实数x 恒成立，当c 取得 最大值时，求a ,b 的值.直线 QO 交AP 于 D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1 , k 2，且k ,k 2 luir ADuir uur DP ， AEuu n EQ19.(本小题满分 16分）设数列｛a “｝的前n 项和为 S n ， 已知 a 1 1 ，S n 1 1 （ n N ）.(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列;(2)若数列｛b n ｝满足：b! 1，b n b n7an 1①求数列｛b n ｝的通项公式; ②是否存在正整数n ,使得4 n 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不为非零实数)2S n2018年高考模拟试卷（2）数学u （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定 两题，并在相应的答题区域内作答 A .［选修4 —1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 上两点，EM = EN ,点F 在MN 的延长线上.求证：/B .［选修4— 2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下，四边形 ABCD 变成四边形 ABCD ，其中 A(1 ,1) , B( 1 , 1) , C( 1 , 1) , A (3,3) , B( 1 ,1) , D (1, 1). (1) 求矩阵M ;(2) 求向量DC 的坐标.x = t ,l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方y = t — 3程是p= 4cos 0,求直线I 被圆C 截得的弦长.D .［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）E ,F . M , N 为 AB , CD BFM = Z AFM .C .［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 A已知 x>0, y>0, z>0, 2x 2y z 1，求证:【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内.作答. 22. (本小题满分10分)某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛.已知该同学数学获一等奖的概率为 2，物理，化学，生物获一等奖的概率都是-1，且四门学科 32是否获一等奖相互独立.(1) 求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； (2) 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望 E X23. (本小题满分10分)已知函数 f(x) x x 1，记 f ’(x) f(x)，当 n 》2 时，f n (x) f n1(f(x)). (1) 求证：f 2(x)在(1,)上为增函数；(2) 对于任意n N *，判断f n (x)在(1,)上的单调性，并证明.3xy yz zx < -.52018年高考模拟试卷(2)参考答案、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.{1}【解析】依题意，A n B={1} 3 4i 【解析】由于z (2 i)23 4i ，所以z 的共轭复数为3 4i .0,8【解析】由3 log 2x > 0,解得0 x < 8 .36【解析】s 1 2 3 6, t 1 2 3 6，输出的结果r 6 6 36.2【解析】由茎叶图可知， x 88 89 90 91 9290 ,c1 5一 c所以甲的方差为s2 5,1(x ' x)2 2；有2 2 4种，所以概率为4 .2x的距离为4.3 1 2 得 sin x 2cos x tan x 21 ( 3)' 3sin x 4cos x 3tan x 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以2,得 f(2)= f( 2)+ f(2)，所以 f( 2)=0，f(2)=0，所以 f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f(2【解析】g(x) cos 2x3，所以 【解析】一条渐近线 y2x 与右准线xg (2) cos 5的交点为 5_1 32 .乙卫)，其到另一条渐近 5将以上各式相加，得 12. 14【解析】设直线11. 3, 4【解析】因为 所以 a 2 1 a ； a ：, 又S 3a 123，所以a f同理乙的方差为 4，所以比较稳定的是甲.9【解析】所3 3 9 种, “黑白两球均不在1号盒子”【解析】由tan x tan x10.x= 1) + f(2)= f(1)+0= 4 .对称点为B ，易知B B 恰为圆C 的直径，记A B 与x 轴 交于点 Q ,则 PA PB PA PB >AB ,所以△ ABP 的周长的最小值为 AB AB ，易求得结果为14.再考虑临界位置不难求解.14. 2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意,设所以uuuuur设 D(x , y)，所以 AB ( 1 ,1)，AC1v (m n)2 (7m n)2 1 .50m 2 2n 2 12mn8 8当且仅当5m= n= 2 5时，AD 取得最小值 2 . 二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 15. (本小题满分14分)(1)证明：因为BD AD ,2n24> 8210mn2413.,丄【解析】条件可转化为函数 f(x)4在(，2)上存在零点， 所以方程x 2 | x a | 2a 有根，所以函数g (x) x 2与h(x) | x a | 2a 的图象 有交点的横坐标在(，2)上，注意到函数h(x) | x a | 2a 的图象为顶点(x 2 |x a| 2a 6•—2a 」.，2一1—・一4 —_2 .a , 2a )在直线y=2x 上移动的折线,uuu UULT 所以(AB AD)LULT uur(AC AD) (x y)(7x 即(x y)(y 7x)x 4，令y m，则 y 7x n 所以AD x 2 y 213B( 1 , 1y(7 ,y) xy8216. (本小题满分14分)(1)因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF // AC ,……3分又因为 EF 平面ABCD , AC 平面ABCD , 所以EF //平面ABCD .(2)连结 AC , BD 交于点O ，连结VO . 因为V ABCD 为正四棱锥， 所以VO 丄平面ABCD .又AC 平面ABCD ，所以VO X AC . 又因为 BD X AC , EF // AC , 所以EF 丄VO , EF 丄BD . •…又 VO , BD 平面 VBD , VO A BD=O 所以EF 丄平面VBD ,……12分又EF 平面BEF ，所以平面 VBD 丄平面BEF .……14分所以 acosB bcosAlC，由正弦定理，得sin AcosB 1sin B cos A —sin C ,所以 sin C 2sin(A B).(2)解：由(1)得，sin(A B) 2sin( A B),所以 sin AcosB cosAsinB 2(sin AcosB cos As in B),化简，得 3cos A si nB si n AcosB . 10分 又cosA 3，所以sinA 害，所以tanA ，tan B 9,12分所以 tanCtan(A B)tan A tan B 1 tan Ata nB48 1114分6分(第 16题)18.17. (本小题满分14分)(1)解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h r ,圆锥的体积为V 3 n 2h 1 3 n 3，圆柱的体积为 V n 2h 2 ...... 2分3 32d 3因为V V 90n ,所以 V 2n h 2 90 n 3n ,o所以h 2270 r 3 3r 290 rF 3...... 4分因为V 1 n390 n,所以 r 3-10 .因此0r 3310 .所以h 2270 r 33r 2 90 r孑3，定义域为 {r |0 r3310}....... 6分(2)圆锥的侧面积Sn . 2r 2 n 2,圆柱的侧面积Sa2 n h 2，底面积S 32n .……8分当3 r 3110时，f (r) 0 , f (r)在3,33 10上为单调增函数.因此，当且仅当r 3时，f(r)有最小值，y 有最小值90 n a 元.……13分(本小题满分16分) (1 )解：因为短轴长2b=2，所以b=1, ....................................................... 又离心率-¥，所以a 2c ,…… a 2 2 2 2 2 2所以a 2c 2(a b )，所以a 2 ,高三数学试卷第102 ni(r 2 rh 2 r 2) 2n a 2r 2「9° 310n a 「254••…10分3r令 f (r) r 254，则 f (r)2r 54r 2.令 f (r) 0 ,得 r 3 .容器总造价为y 2aS aS 2 2aQ当0 r 3时, f (r) 0 , f(r)在(0,3)上为单调减函数; 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm . 14分2 22 n a 2 n h 2a2 n ay|L2 分.JP4分、丿XX.E页共17页2对任意n N 都成立,高三数学试卷 第13页共17页2所以椭圆C 的标准方程为今 y 2 1 .……6分 (2)由(1),点 A( 42,0)，设 P(x ,yj , D(X o ,y °),则％ 匕儿,y ok 2X o ,所以221.所以数列｛ a n ｝为等比数列，首项为 1,公比为2.19. (本小题满分16分) (1 )解：由 S n 12£1，得 S n 2£ 1n 》2),两式相减，得a n 1 2a n o ，即an 12a n因为印1，由佝 a 2) 2耳1，得a 22，所以竺2 ,a 1an 1所以a nuur 因为ADiuur X DP ，所以Xoy o2(X 1 X o )L ①L ②’(y i y o )L L 由①得,■^X o X 1由②得，y 1宜 k X )k 2(X i 11分两边同时乘以k i 得,k 12x k i k 2(x i 所以 X1(1 2k 12)y i.2k 12，(1 2kf)代入椭圆的方程得, 1，14分同理可得， 2 -A122 丄2 k2k'1 2 k ；'16分(2)①由(1)知，a n 2n 116分由7冷，得b n1 7 2，n n 1 n n 1. _即 2 b n 1 2 b n 1，即 2 b n 1 2 b n 1 ,因为b 1，所以数列2n1b n是首项为1，公差为1的等差数列. 所以2n1b n 1 (n 1)所以b n茹.nb i ,i 1两式相减，(2)0(2)1(2)2 L (护1(1)n 1 ($TT22 (n 2) (2)n,所以T n 4 (2n 4) (l)n.12分n由b ii 14 n，得4 (2n 4) (A n，即显然当n2时，上式成立,设 f (n) 山 2n1( n Nn)，即f(2)因为f(n 1) f(n)常(罟 2所以数列f(n)单调递减,所以f(n) 0只有唯一解n所以存在唯一正整数n 2 , 使得nb 4 n成立.i 120.(本小题满分16分)(1)解：当k 1 时，f (x) xlnx，所以 f (x) 1高三数学试卷第12页共ln x .17页10分②设T n则T n 1 2 (2)11 23 G)2 L n (1)n1,所以1T n 1 ($ 2 3 (2)31、nn (寸),16分1ln沟c①①设切点为P(x°, y°)，则y。

2018年普通高等学校招生统一考试模拟题（新教材）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至10页。

共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

符合题目要求的.(1)已知M {|sin }y y x cotx ==⋅，则M = (A ) [-1,1] (B ) ]1,1(　- (C ) (-1,1) (D )[-1,1)(2)两个非零向量e 1、e 2不共线，若(k e 1+e 2)∥(e 1+k e 2) ，则实数k 的值为 （A ）1 （B ）-1（C ） ±1 （D ） 0(3)有以下四个命题，其中真命题为(A )原点与点(2,3)在直线2x +y -3=0的同侧 (B )点(2,3)与点(3,1)在直线x-y =0的同侧 (C )原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的异侧 (D )原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的同侧 (4)①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验.Ⅰ.随机抽样法；Ⅱ.分层抽样法.上述两问题和两方法配对正确的是 (A )① Ⅰ,② Ⅱ (B )① Ⅱ,② Ⅰ (C ) ① Ⅰ,② Ⅰ (D ) ① Ⅱ,② Ⅱ (5) 如果a 、b ∈R ，则“ab =0”是“|a |+|b |=|a +b |”成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又不必要条件(6)已知函数xx f )21()(=，其反函数为)(x g ，则)(2x g 是（A ）奇函数且在),0(+∞上单调递减 （B ）偶函数且在),0(+∞上单调递增 （C ）奇函数且在)0,(-∞上单调递减 （D ）偶函数且在)0,(-∞上单调递增(7)以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.其中正确的命题是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④(8)函数y =x 2-1的图象上任意一点到点(0,-0.75)的距离等于到直线a y =的距离，则a 等于 (A ) －1.1825 (B ) －1.25 (C ) －1.125 (D ) －1(9)从单词“education ”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at ”(“at ”相连且顺序不变)的概率是 （A ）118 （B ）1378 （C ）1432（D ）1756(10)已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为 （A ）30 （B ）12 （C ）32 （D ）10(11)已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值 (A )6或5(B )－1或4 (C )6或－1(D ) 4或5(12)对某种产品市场产销调查情况如图所示，其中：l 1表示产 品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销售情况.你认为下列叙述较为合理的是（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况 ，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年 增长率递增.(A)（1）（2）（3） (B)（1）（3）（4）(C)（2）（4） (D)（2）（3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (13)将函数)(x f y =的图象向左平移43π个单位后，得到函数x y 2cos -=的图象，则函数)(x f ＝ .(14)将一张坐标纸折迭一次，使得点)2,0(与点)0,2(-重合，且点)2002,2001(与点),(n m 重合，则n m -的值是 .(15)A 、B 是半径为R 的球面上的两点，它们的球面距离是大圆周长的四分之一，经过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是 .(16)测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高一千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变，如果地面温度为19℃，则T （单位：℃）与h （千米）之间的函数关系是 ．三、解答题：本大题共6个小题共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题12分）如图四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，向量CM 与PN 的夹角为1200，2QC QM =.①求⊙C 的方程；②求以N M 、为焦点，过点Q P 、的椭圆方程.(18)（本小题满分12分）锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且)())((c b b c a c a -=-+.①求A ∠的大小；②)62sin(sin 22π++=B B y 取最大值时，求B ∠的大小；③比较c b +与a 2的大小．P QNCM(19)（本小题12分）如图所示，在正方形ABCD 的四边BC CD AD AB 、、、上分别取点E 、F 、G 、H ，使λ====HB CH GD CG FD AF EB AE ::::，对角线BD AC 、交于点O ，现把正方形沿BD 折起.① 求证：EH ∥平面ACD ；② 当λ为何值时，EFGH 是正方形？③ 当正方形ABCD 的边长为2，21=λ，且EFGH 是正方形时，求三棱锥BCD A -的体积.A EBCHGFDAEBCHGF D OO(20)(本题满分12分)设等比数列{}n a 的各项为实数，前n 项的和为S n ，公比为q .(1)若5S ，15S ，10S 成等差数列，求证：52S ，10S ，2010S S -成等比数列； (2)若52S ，10S ，2010S S -成等比数列，试问5S ，15S ，10S 一定成等差数列吗？请说明理由.(21) （本小题满分12分）医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过118的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）已知：lg2=0.3010．(22)（本题满分14分）设二次函数)00()(2≠>++=bc a c bx ax x f 且.①若1|)1(||)1(||)0(|=-==f f f ，试求)(x f 的解析式，并求)(x f 的最小值； ②若(1)f 是函数()f x 的极值，且)(x f 的图象在x 轴上截得的弦长不小于2，试分别确定b 、c 的符号.③问在②的条件下，是否存在实数a ，使得函数lg[()2]y f x x =-在区间(,3]-∞上是单调函数？若存在，请求出实数a 的值. 若不存在，请说明理由.2018年普通高等学校招生统一考试模拟题（新教材）数 学（理工农医类）答 案一、选择题：1~5 C C C B A 6~10 D D B A B 11~12 C D 二、填空题13 sin 2x 14 -1 152R 16 196 (011)-47 (11)h h T h -≤≤⎧=⎨>⎩ 三、解答题17 ①22+y =4x2218 ①=3A π②=3B π③由222222()22b c b c b c bc a ++≤≤+-=推得2b c a +≤ (也可根据三角知识解答) 19 ①略 ②λ=120 (1)由已知得，1q ≠，且55102S S S =+，即15510111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---， 整理，得105210q q --=，解得：512q =-， ∴1022222211110(1)19[]()[1()]()0112161a q a a S q q q-==--=>---520101115201021(1)(1)(1)2()2[]1119=()161a q a q a q S S S q q qa q----=⋅⋅-----∴21052010102()0S S S S S =-≠，且即52S ，10S ，2010S S -成等比数列.(2)不一定成立.例如：1q =时，显然52S ，10S ，2010S S -成等比数列，但5S ，15S ，10S 不成等差数列21 ①在第2 7天 ②在第一次注射后的第4天 22 ①2()1f x x x =+-，其最小值为54-或2()1f x x x =--，其最小值为54- ②b 、c 都取负号. ③不存在。

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =,则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+(i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2,3，4,5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ，使得2210x x -λ+<成立"是假命题,则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =,122210S S =+,则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形,且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面,则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 363f x a x x =+-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-,则正实数a的最小值为 ▲ ．1872212（第4题）13．在平面凸四边形ABCD 中,AB =3CD =,点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <)．若存在[]011x ∈-，,使0()0f x ≤，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α),n ＝(－1，2)． (1）若m ∥n ，求错误!的值； （2）若|m －n ｜＝错误!，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； (2）BM ACP ⊥平面．ABCDPM（第16题）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是:线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元． (1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2)试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4．（1)求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ,2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ,求点A 的坐标．OABCD（第17题）设区间[33]D =-，,定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++(0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；(2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性; ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式; (2)记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+(*22k n k n ∈+N ，，≥)．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题．．．．,．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．A．［选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分)如图,已知AB,CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．［选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是3cos13sin3 xyαα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl被曲线C截得的线段长．D．［选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c∈R，且3a b c++=，22226a b c++=，求a的取值范围．DCBA（第21—A题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥，2AB =,4AC =,13AA =.D 是线段BC 的中点。

B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（10）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合，，则▲．2．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为▲．3．用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生随机地编号为，按编号顺序平均分为个组．若第组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为▲．4．幂函数的单调增区间为▲．5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值为▲．6．在矩形中中，，在上任取一点，则△ABP的最大边是的概率为▲．7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为▲．8．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一）9．已知正三棱柱的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为▲．10．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则的值为▲ ．11．已知函数若函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是▲．12．如图，已知正方形的边长是2，是的中点，是以为直径的半圆上任意一点，则的取值范围是▲ ．13．已知正数满足，则的最小值为▲ ．14．已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，． （1）求的值；（2）求c 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，F 为 PO 的中点.（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB ＝PC ，求证：CF ⊥平面PBD .17．(本小题满分14分已知椭圆：的右准线的方程为，左、右两个焦点 分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）过两点分别作两条平行直线和交椭圆于两点（均在x 轴上方），且等于椭圆的短轴的长，求直线的方程.18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成 直四棱柱，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心在梯形内部，∥，60°，，设． （1）求梯形的面积；（2）当取何值时，四棱柱的体积最大？并求出最大值． （注：木材的长度足够长）19．(本小题满分16分)已知数列的首项（），其前项和为，设（）．（1）若，，且数列是公差为3的等差数列，求；（2）设数列的前项和为，满足．①求数列的通项公式；② 若对且，不等式恒成立，求a的取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数，（，）．（1）当时，① 若函数与在处的切线均为，求的值；② 若曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，设，若函数存在两个不同的零点求证：．2018年高考模拟试卷（10）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆的半径与互相垂直，为圆上一点，直线与圆交于另一点，与直线交于点，过点的切线交线段于点．求证：．B．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵，．若矩阵满足，求矩阵的特征值和相应的特征向量．C．[选修：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最大距离．D．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知，且，求证：≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知定点，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，Array使得，且．（1）求动点的轨迹；（2）过点任作一条直线与相交于，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．求证：动点在定直线上．（第22题）1B 1A1C1M O23．（本小题满分10分）已知数列是公差为的等差数列．在的每相邻两项之间插入这两项的算术 平均数，得到新数列，这样的操作叫做该数列的1次“”扩展．连续次“” 扩展，得到新数列．例如：数列1，2，3第1次“”扩展后得到数列1，， 2，，3；第2次“”扩展后得到数列1，，，，2，，，，3． （1）求证：为等差数列，并求其公差；（2）已知等差数列共有项，且．若的所有项的和为，求使成立的的取值集合．2018年高考模拟试卷（10）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】391 4．【答案】 5．【答案】4【解析】当时，，此时不成立． 6．【答案】【解析】设，当时，， 所以所求概率为：． 7．【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程可知；又由题意，那么，双曲线方程为． 8．【答案】必要不充分【解析】由，因为，所以要使，必须 ，即，所以“”是“”的必要不充分条件． 9．【答案】【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线的中点，连结，，所以三角形为直角三角形，，，所以，所以该棱柱外接球的表面积为．10．【答案】【解析】令，即，所以，因为，所以，即，从而．11．【答案】【解析】依题意，即记函数结合函数图象知，．12．【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，，所以，其中，且．由于，所以，所以．13．【答案】【解析】，令，则，记，由得，．经检验，当时，，所以的最小值为．14．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则由，由数列恰有6项落在区间内，得即令，则时，该不等式表示的区域为如图所示的四边形内部，及其边、(不含顶点、)，其中，，，．，，此时，，，即，，公差的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC中，因为，，，由正弦定理得，，…… 2分于是，即，…… 4分又，所以．…… 6分（2）由（1）知，， 则，， …… 10分 在△ABC 中，因为，，所以． 则． ……12分 由正弦定理得，． …… 14分16．(本小题满分14分) 【证】（1）连接，因为PD // 平面ACE ，面，面面，所以PD //OE . …… 3分因为四边形ABCD 是正方形知，所以为中点，所以E 为PB 的中点. …… 6分 （2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以， 所以.因为F 为PO 中点，所以. …… 8分 又因为PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD ，所以PC ⊥BD . …… 10分 而四边形ABCD 是正方形，所以， 因为平面，，所以平面， …… 12分 因为平面，所以. 因为平面，，所以CF ⊥平面PBD . …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题设，，， …… 3分得，，故椭圆方程为. …… 6分ABCDPOEF（2）连结BO并延长交椭圆E于D，则易证，所以.因为，所以，所以三点共线. …… 8分当轴时，不合题意；当CD不与x轴垂直时，设，代入椭圆方程并化简得，…… 10分设，则，所以.又，所以，得，…… 13分所以直线的方程为. …… 14分18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，，所以梯形的高．又，，…… 3分所以梯形的面积…… 5分（）．…… 8分（2）设四棱柱的体积为，因为，所以．…… 10分设，因为，所以，所以，．由，…… 12分令，得，与的变化情况列表如下：由上表知，在时取得极大值，即为最大值，且最大值．…… 15分答：当时，四棱柱的体积取最大值为． 16分19．(本小题满分16分)解：（1）由条件知，即，…… 2分所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由，，所以，即，所以，．所以．…… 5分（2）①由，得（），由于符合上式，所以（），…… 7分所以．所以，即，所以数列为等比数列，且公比为，因为，所以（）．…… 10分②不等式即为，由于，所以不等式即为．当是奇数时，，，所以，即对且恒成立，所以，解得．…… 13分当为偶数时，，，由，得对且恒成立，所以，解得，因为，所以a的取值范围是．…… 16分19．(本小题满分16分)20．(本小题满分16分)解：（1）当时，，所以，．①由题意，切线的斜率，即，所以．…… 2分②设函数，．“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．求导，得．（ⅰ）当时，由，得，所以函数在单调递减．因为，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．…… 5分（ⅱ）当时，，当变化时，与的变化情况列表如下：所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．注意到，且，若，则，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．若，取，，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．若，取，由于，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的取值范围是或．…… 9分（2）当时，．因为，所以，即．令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处有极大值，所以．令，，…… 12分则，所以在上单调递增，从而，所以，而在上递减，且，所以，即．…… 16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)【证】连结，则，因为，所以．…… 2分因为，所以，因为，所以，所以，…… 6分所以．因为是圆的切线段，所以，所以．…… 10分B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设，由，即，得解得所以．…… 5分设，令，得，．当时，，取；当时，，取．…… 10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．因为，所以，…… 2分将其化为普通方程，得3xy60．…… 4分将曲线C：化为普通方程，得x2y24．…… 6分所以圆心到直线l：3xy60的距离d3．…… 8分所以P到直线l的最大距离为d25．…… 10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)【证】因为，且，所以…… 5分≥，所以≥．…… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)（1）解：设，，．由，得，即．…… 2分因为，所以，所以．所以动点的轨迹为抛物线，其方程为．…… 5分（2）证：设直线的方程为，代入，得，设，，则有．直线的方程为；直线的方程为，所以交点．7分设，注意到及，则有，因此动点在定直线（）上．…… 10分23．(本小题满分10分)（1）证：①当时，与的算术平均数为，则为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．…… 2分②假设当时，数列为等差数列，且公差，则当时，数列中相邻两项与的算术平均数为，由，知数列中任意相邻两项的差为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．由①②可知，为等差数列，且公差．…… 5分（2）解：（方法一）由已知可知，设数列的项数为，则，且，所以，所以，即．所以．…… 7分则．令，则．由可知，，，所以，所以在上单调递增．又因为，所以使成立的的集合为．…… 10分（方法二）同上可得，令，则，则单调递增，以下同上．…… 10分。

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则MN = ．2．已知复数z 在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为2，则复数z 的实部 为 ． 3．采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间[]241,360上的人数为 ．4．运行如图算法语句，则输出的结果为 ．5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的 放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．6．已知{}n a 是等差数列，满足75230a a --=，则a 9 = ． 7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．8．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围是 ．9．若1cos()33πα-=，则sin(2)απ6-= ．10．ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．11．已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实212002Print S I WhileS I I S S I End While I ←←≤←+←⨯马鸣风萧萧AE D CB数a 的取值范围为 ．12. 已知直线l 经过点()1,1P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为37，则直线l 的方程为 ．13．已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出以下几个结论：①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②1)()(2121<--x x x f x f ；③1221)()(x x f x x f +<+； ④)()(2112x f x x f x <，其中正确的命题的序号是 ．14．对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，若21n a n =+，则集合S 中各元素之和为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中，CA ＝CD ＝12AB ＝1， AB AC ⋅＝1， sin ∠BCD ＝35．（1）求BC 的长；（2）求三角形ACD 的面积．16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．（1）求证：AE //面DBC ；（2）若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．C A B马鸣风萧萧O B MC D EF （第17题）N xy17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA ，单位百米. 已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不 计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数()2202y x x =-+剟的图象.若点M 到y 轴距离记为t .(1) 当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； (2) 当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？18．（本小题满分16分）已知椭圆C 中心在坐标原点，对称轴为y 轴，且过点(4,2)M 、(6,3)N .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于,P Q .试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．马鸣风萧萧19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b(a ，b ，λ为实常数)．（1）若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程；②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．（2）若λ＝1，b ＜a ，求不等式f (x )≥1的解集构成的区间D 的长度．（定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．）20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1=1t S ，当n ≥2时，M n = n t S －1n t S -，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若马鸣风萧萧不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点．若60BAC ∠=， 2BE =，4BC =，求线段CD 的长．B ．（选修4－2：矩阵与变换）变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；（2）求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．C ．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．A CB O D E马鸣风萧萧D ．（选修4－5：不等式选讲）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）已知b a ,为整数且0a b >>，222sin ab a b θ=+，其中02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，=n A ()22sin na bn θ+，求证：对一切正整数n ，n A 均为整数．马鸣风萧萧2015年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}0,3； 2．1； 3．6； 4．7； 5．29； 6．3 ； 7．5π； 8． (1,2] ； 9．79-；10．()2,6-．【解析】14AM AB m AC =+⋅，根据向量分解基本定理，可得13,44m ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以()1344AM BM AM BA AM AB m AC AB m AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+=+⋅-+⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2133162,644AB m AC AB m AC m ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=-+∈-⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．(],2-∞-．【解析】()0f x <的解集为(1,1)a a -+，所以()1f x a ≤-或()1f x a ≥+恒成立，又[)()1,f x ∈-+∞，所以112a a -≥+⇒≤-．12．670x y +-=或670x y +-=．【解析】设直线l 与1l 和2l 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()()1122221212106037x y x y x x y y ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪-+-=⎪⎩，令12x x t -=，可得125y y t -=-，代入()()22121237x x y y -+-=可得6t =或1t =-，而所求直线的斜率12125y y tk x x t--==-，代入可得16k =-或6k =-，所以所求直线的方程为670x y +-=或670x y +-=． 13． ④.【解析】x x x f ln )(= ，所以()1ln f x x '=+，令()1ln 0f x x '=+<，得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以x x x f ln )(=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，而在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是单调递增，可知①不正确，令()()F x f x x =-，则()()1ln F x f x x ''=-=，可得()()F x f x x =-在()0,+∞不是单调的，马鸣风萧萧所以②③不正确，令()()ln f x G x x x==，得()()f x G x x=是单调递增，所以④正确．14．24212n n +-．【解析】考察(1)i j a a i j n +≤<≤中[]3,21i j n +∈-，S 中的元素组成23n -项的等差数列，1218,4n n a a a a n -+=+=，所以各元素之和为24212n n +-． 二、解答题15．（1）1cos 1cos 2AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⋅∠=⇒∠=在⊿ABC 中由余弦定理知2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅⋅∠= 所以3BC =.（2）在⊿ABC 中, 2222AB AC BC ACB π=+⇒∠=,34sin sin()cos ((0,))sin 255BCD ACD ACD ACD ACD ππ∠=∠+=∠=∠∈⇒∠=,1142sin 112255ACD S CA CD ACD ∆=∠=⨯⨯⨯=.16．（1）过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥ 面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO ⊂面DBC ， 所以DO ⊥ 面ABC ．又AE ⊥ 面ABC ，则AE //DO ． 又AE Ø面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE // 面DBC ．（2）由（1）知DO ⊥ 面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ． 又AB ⊥ BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥ 面DBC ．因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥ DC ．又BD ⊥ CD ，AB ∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥ 面ABD ．又AD ⊂ 面ABD ，故可得AD ⊥ DC ．17．(1) 由题意得()214,39M ，又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--，即92234+-=x y .(2) 由(1)易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y .令0=y 得()122x t t =+，令0x =得22y t =+.由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤. ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t =++.令()()31444g t t t t=++，马鸣风萧萧则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=.当63t =时，()603g '=;当()622,3t ∈-时，()603g '<;当6(,1)3t ∈时，6()03g '> ∴当63t =时，min 68()() 6.39g t g == ∴所求面积的最小值为86 6.9-.18．(1)依题意，设此椭圆方程为221mx ny +=，过点(4,2)M 、(6,3)N ，可得1641691m n m n +=⎧⎨+=⎩，解之得11,2412m n ==， 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． (2)(i)当直线,OP OQ 的斜率均存在时,不妨设直线1:OP y k x =,2:OQ y k x = 依题意10021||221k x y k -=+,化简得222010010(8)280x k x y k y --+-= ， 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，22201220844228y b b ac b b ac c k k a a a x --+----===-. 因220012412x y +=，所以22001122y x =-. 所以21220141282x k k x -==--, 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =，马鸣风萧萧因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22221212111(12)(12)224x x x x --=， 所以221224x x +=， 221212y y +=，所以2236OP OQ +=．(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=综上，2236OP OQ +=．19． (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x (x 2－1)2，可得f ′( 2)＝－42，又f (2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0． ②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b， 则f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b ；(Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧4b －1，－13＜b ＜0，9b －92－6b，b ≤－13．,马鸣风萧萧(2) f (x )≥1即1x －a ＋1x －b≥1． (*) ①当x ＜b 时，x －a ＜0，x －b ＜0，此时解集为空集．②当a ＞x ＞b 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≤(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0，设g (x )＝x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )，因为△＝(a －b )2＋4＞0，所以g (x )有两不同的零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，又g (a )＝b －a ＜0，g (b )＝a －b ＞0，且b ＜a ，因此b ＜x 1＜a ＜x 2，所以当a ＞x ＞b 时，不等式x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0的解为b ＜x ≤x 1．③当x ＞a 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≥(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≤0，由②知，此时不等式的解为a ＜x ≤x 2 ,综上所述，f (x )≥1的解构成的区间为(b ，x 1]∪(a ，x 2]，其长度为(x 1－b )＋(x 2－a )＝x 1＋x 2－a －b ＝a ＋b ＋2－a －b ＝2．20．（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n 2， ①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12， 此时n t S ＝3n －12(1＋3n －12)2，1n t S -＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2， 则n M ＝n t S －1n t S -＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2， 所以n M 为一整数平方．马鸣风萧萧因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（2）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以n t S ＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12， 因为q 为正有理数，所以设q ＝r s(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)． 因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数． 若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12s n －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12 (1＋q ＋q 2)，于是t 32 t 12＝1＋q ＋q 2． 因为1＋q ＋q 2∈N *，所以t 32 t 12∈N *． 又t 3t 1为有理数，从而t 3t 1必为整数，即1＋q ＋q 2为一整数的平方． 但q 2＜1＋q ＋q 2＜(q ＋1) 2，即1＋q ＋q 2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n }．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．A ．因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=，因为2BE =，4BC =，所以90BEC ∠=，则23EC =．又因为2BE EC ED =⋅，所以233ED =， 所以23432333CD EC ED =-=-=． B ．（1）10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，12012111012M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标是'(1,2)P -.（2）211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是⎧⎨⎩000x y x x y -==，即⎧⎨⎩00x y y y x ==-，所以所求曲线的方程是2y x y -=.马鸣风萧萧C ．（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．D ．由题知，a b a b a x x ++-≤-+-21恒成立， 故|1||2|x x -+-不大于a b a b a ++-的最小值，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴a ba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x ． 22．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===； （2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==； 1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)168P ξ===； 所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14-． 23．构造n A 的对偶式()22cos n n B a bn θ=+，下面用数学归纳法证明更强的结论：n A ，n B 都是整数． ξ 1- 0 1 P 38 1218马鸣风萧萧（1）当1=n 时，由222sin ab a bθ=+知2222cos a b a b θ-=+，则()221sin 2A a b ab θ=+=，()22221cos B a b a b θ=+=-，于是1A ，1B 都是整数；（2）假设当k n =时，k A 、k B 都是整数，则当1+=k n 时，()sin 1221+++=k k b a A ()()()Z A B B A k k b a k k k k ∈+=++=++11122sin cos cos sin 1θθθθθ．同理可得，Z A A B B B k k k ∈-=+111．由（1）、（2）知n A 、n B 都是整数．。

2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4}，若A A B ={4}，则x 的值为▲.2. 若复数Z1= 2+i, z1 -z2（） z2 = 5，则z2= ▲ .3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20 , 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲.5. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动•某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲.26. 函数y log2（3 2x x ）的值域为▲.7. 已知P ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 n且/ APO = / BPO = / CPO=30°则三棱锥的体积为▲.28. 已知双曲线x2— 1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为—，过A作斜率为k的直线I交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N, 2若AN UJUJTNM，贝U k的值值为▲19. 已知函数f(x) = cosx(sin x+ cosx)—,若f()22—，则cos(— 2 )的值为▲6 410 •已知a n是首项为1,公比为2的等比数列, 数列b n满足b印，且b n a i a2 La n 1 a n a n 1 L a2 a1 (n》2, n，若a m (b m 28) 2018，则m的11.定义在1,1上的函数f (x)sin x ax b(a 1)的值恒非负，贝U a b的最大值12.在厶ABC中，若35UUJUUU21uuruuurAB BC15uur uuu，贝H cosC 的值为BC CA13.在平面直角坐标系xOy 中, 2 y 1,直线l : x ay 3 0 ,过直线l上一点Q作圆O的切线，切点为uunP,N，且QPUJIT 2QN ,则正实数a的取值范围是▲3 —14.已知偶函数y f(x)满足f(x 2) f(2 2x)，且在x 2,0 时，f (x) x 1 ,若存在x-i, X2,L , x n满足0W x-i x2X n ,x-i f x2 f x? f X3 f X n 1 2017，则X n最小值二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) As in x A 0,0 的最小值是一2,其图象经过点M (— ,1) •3(1) 求f (x)的解析式;(2)已知(o,牙)，且 f ()8，2 524f () ，求f ( )的值.1316. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD 90 , AD // BC , AD 2BC , AB PA.(1) 求证：平面PAD 平面ABCD ；(2) 若E为PD的中点，求证：CE //平面PAB .A17. (本小题满分14分)有一块以点0为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离0点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA, 0B，其中小路的宽度忽略不计.(1) 若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2) 若要这块圆形广场的最大面积. (结果保留根号和)在△ ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18. (本小题满分16分)如图，点a n 1 2a n 8 , {g} , &分别为椭圆b： b； 14S n+25的左、右顶点和右焦点，过点n N的直线｛务｝(异于｛0｝轴)交椭圆C于点｛g｝, c. a. b n .(1)若AF 3，点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程;(2)已知直线(r s t)的斜率是直线r，s, t斜率的f(m x) f (x)倍.①求椭圆C的离心率;②若椭圆C的焦距为f(m x)19. (本小题满分16分)已知函数f (x) xlnx ax2.(1) 若曲线y f (x)在x 1处的切线过点A(2, 2).①求实数a的值；f (x) 1②设函数g(x) ，当s 0时，试比较g(s)与g(-)的大小;x s1(2) 若函数f (x)有两个极值点X1 , X2 ( X1 X2),求证：f(xj -.220. (本小题满分16分)设数列｛a n｝的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m , n N*，均有(n m)S n m (n m)(S n S m) ” 的数列｛a n｝为“好”数列.（1 ）试分别判断数列｛a n ｝ , ｛b n ｝是否为好”数列，其中a n 2n 1, b 2n 1 ,n N * ,并给出证明；（2）已知数列｛C n ｝为好”数列.① 若C 20172018，求数列｛C n ｝的通项公式；② 若G p ，且对任意给定正整数p ，s （ s 1），有G ，C s ，C t 成等比数列,求证：t > s 2 •2018年高考模拟试卷（9）数学U （附加题）21 •【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题,并在相应的答题区域内作答 A •［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 为O O 的直径，BD 是O O 的切线，连接 AD 交O O 于E ,若BD // CE ,2AB 交 CE 于 M ，求证：AB AE ADxxx 2v已知点A 在变换T :y作用后，再绕原点逆时针旋转 90 ,v v v得到点B •若点B 的坐标为（3,4），求点A 的坐标.B •［选修4 — 2:矩阵与变换］ （本小题满分10分）（第 21-A ）C .［选修4 —4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C的方程为2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴x 3t 1I的参数方程为(t为参数)，若直线I y 4t 3与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围.D .［选修4 —5:不等式选讲］(本小题满分10分)3 2 1已知正数a,b,c满足2a 3b 6c 2，求的最小值.a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内作答.连接AM, AC,CM，若MAQ 90 .(1)求直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值；(2)求平面CAM与平面AAC1C所成的锐二面角.23.(本小题满分10分)(1)求证：kC：k (n k)C：；1 ；(2)求证：1008( 1 )n C n 1 n 0 2017 n 2017 n 2017正半轴建立平面直角坐标系，设直线22.已知直三棱柱ABC A1BQ1 中，ABC为等边三角形, 延长BB1至M，使BB1B1M ,B1B(第22 题)M2018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题:1 .【答案】4【解析】因为AQB ={4}，所以4 € A,故x= 4.2 .【答案】2+i5【解析由z i Z2 = 5,得玄=化=2-i,所以Z1= 2+i.' 2+i3 .【答案】50【解析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 .4 .【答案】30【解析】A 3, N 1,输出3；A 6, N 2，输出6；A 30, N 3，输出30；则这列数中的第3个数是30.15 .【答案】丄5【解析】两名同学抢红包的事件如下：(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53, 2.33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19 , 2.33) (3.21 , 0.73) (3.21 , 2.33) (0.73 , 2.33),共10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53 , 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P —1.10 56 .【答案】,2【解析】因为3 2x x2(x 1)2 4 0,4 ,所以log2(3 2x x2) ,2 ,即值域为,2 .7 •【答案】9、34【解析】设球的半径为R, △ ABC的外接圆圆心为0',则由球的表面积为16n,2 )因为f （壘所以sin 2 a+ cos 2 a= 3cos(- 所以 4cos — cos2 4sin 一sin2 4厘 cos22si n2可知4n 1 2= 16n,所以R = 2•设△ ABC 的边长为2a , 因为/ APO =Z BPO =Z CPO = 30° OB = OP = 2, 所以 BO '= ~^R = 3, 00 ' = , OB 2- BO ' 2= 1 , PO ' = 00 ' + 0P = 3•在△ ABC 中，O ' B = |2a = 3, 所以a = 3，所以三棱锥PABC 的体积为V = * * 32X sin60° 3=2 3 248 .【答案】3c32【解析】对于椭圆，显然 b 1,--，所以椭圆方程为 今y 2 1，设N （x o ,y 。

2018 年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．复数z a i （a R ，i是虚数单位），若z2是实数，则实数 a 的值为▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，角的始边为射线Ox，点P1，2 在其终边上，则 sin 的值为▲．3．设全集 U 是实数集R，M x x 3，N x x 2，则图中暗影部分所表示的频次会合为▲．组距U（第 3题）视力（第 4题）4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45 名学生的高校招生体检表中视力状况进行统计，其结果的频次散布直方图如右上图．若某高校开始A专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有▲人能报考 A 专业．5．袋中共有大小同样的 4 只小球，编号为 1， 2， 3，4．现从中任取 2 只小球，则拿出的 2 只球的编号之和S0 n 2n n+1n+1 MnS S+log 2M是奇数的概率为▲ ．否6．履行如下图的算法，则输出的结果是▲ ．S≥22 2 是x y 输出 S 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 1k k 3 结束的一个焦点为 ( 5,0) ，则该双曲线的离心率为▲ ．（第 6题）8．现用一半径为10 cm，面积为80? cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定连接部分及铁皮厚度忽视不计，且无消耗），则该容器的容积为▲ cm 3．9． 平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝ 3，∠ BAD ＝ 60°，点 E ，F 分别知足→→ → → uur uur▲ ．AE ＝ 2ED ， DF ＝ FC ，则 AF BE 的值为10． 设 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和，若知足a 4 + 3a 11= 0，则S 21 = ▲ ．S1411．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ykx 被圆 x 2 y 2 2mx 2 3my 3m 21 0截得的弦长是定值（与实数 m 没关），则实数 k 的值为 ▲ ．12．在△ ABC 中， cos A 2sin B sin C ， tan B tanC 2 ，则 tanA 的值为▲ ．13． 设 F 是椭圆x2＋y2＝ 1(a ＞0，且 a ≠2)的一焦点，长为3 的线段 AB 的两个端点在椭a24圆上挪动．则当 AF BF 获得最大值时， a 的值是▲ ．·14．设函数 f ( x)2k 17 x 2 ，x ≤ 0，k x4，此中 k0 ．若存4 g( x) x2，x 0 ，3在独一的整数 x ，使得 f (x)g (x) ，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．15． (本小题满分 14 分)3在△ ABC 中， A 为锐角，且 sin A．5（1）若 AC2， BC6，求 AB 的长；5 （ 2）若 tan AB1，求 tanC 的值．316． (本小题满分 14 分 )如图，在三棱锥P ABC 中， AC BC ，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC //平面 PDE．P（1）求证：DE //平面 PBC；（2）若平面 PCD⊥平面 ABC，求证：平面 PAB⊥平面 PCD ． AEC DB17． (本小题满分14 分（第 16 题）设 l1， l2， l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l 2间的距离是1 m，l2与l3间的距离是 2 m，△ ABC 的三个极点分别在l1， l2， l3．（ 1）如图 1，△ ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（ 2）如图 2，△ ABC 为直角三角形，且 B 为直角极点，求 AB 4BC 的最小值．Al1 Al1Bl2Bl2l 3 l3C C图 1 图 218． (本小题满分16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设 P 为圆O：x2 y 2 2 上的动点，过P 作 x 轴的uuur uuuur y 垂线，垂足为Q，点 M 知足PQ 2MQ ．A （1）求证：当点 P 运动时，点 M 一直在一个确立的椭圆上；PT·M （2）过点 T 2 ，t (t R ) 作圆 O 的两条切线，切点分别O Q xB为 A，B．①求证：直线AB 过定点（与t 没关）；（第 18 题）②设直线 AB 与（ 1）中的椭圆交于C， D 两点，求证：AB ≤2．CD19． (本小题满分16 分 )设等差数列a n是无量数列，且各项均为互不同样的正整数，．（ 1）设数列a n其前n项和为S n，b n Sn1， n N *．a n①若 a2 5 ， S540 ，求 b2的值；②若数列b n为等差数列，求b n；（ 2）求证：数列a n中存在三项（按本来的次序）成等比数列．20． (本小题满分16 分 )已知函数f ( ) e x， g( x)2 x mx ．（ 1）若直线y kx 1与 f (x) 的图象相切，务实数k 的值；（ 2）设函数h( x) f ( x) g( x) ，试议论函数 h(x) 在 (0 ，) 上的零点个数；（ 3）设x1，x2 R ，且 x1 x2 ，求证： f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x1)．2 x2 x12018 年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附带题 )21．【选做题】此题包含 A、 B、 C、 D 四小题，请选定两题，并在相应的答题地区内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD ， BA 、 CD 的延伸线交于点 E ．求证： AE 均分DAF ．B FAC D E（第 21— A 题）B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换](本小题满分10 分)1 aT M把直线l： 2x y 3 变换为自己，务实数已知矩阵 M 所对应的变换b 3a ，b 的值．C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程](本小题满分10 分 )x t cos mC：x 5cos已知直线 l ：（ t 为参数）恒经过椭圆y （ ?为参数）y t sin 3sin 的右焦点，务实数m 的值．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲]( 本小题满分10 分 )设 a1，a2 ，a31 1 1a2 a3≥ 9 ．均为正数，且a21 ，求证： a1a1 a3【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答卷纸指定地区内作答．．．．．．．．．22． (本小题满分 10 分 )设随机变量ξ的散布列为 P( k ) k k !，此中 k N *，k 6 ，c为常数．c（1）求 c 的值；（2）求ξ的数学希望 E(ξ?)．23． (本小题满分10 分)已知数列 a nC1n 1 C n2 2 C n3 3 C n n n * 知足 a n C n 2 22 23 2n ，n N ．（1）求a1，a2，a3的值；（2）猜想数列a n的通项公式，并证明．2018 年高考模拟试卷（7）参照答案一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．【答案】 0【分析】 z221 2ai 是实数，则a 0 ．a ia22．【答案】2 55【分析】依据三角函数定义，2 2 5．sin22( 1)2 53．【答案】2,3【分析】图中暗影部分所表示的会合为( C U M ) I N ，即为 2,3 ．4． 【答案】 18【分析】校 A 专业对视力要求不低于的学生数为45 1 0.75 0.25 0.2 18 ．5． 【答案】23【分析】 从 4 只小球中任取 2 只小球共有 6 种取法， 此中 2 只球的编号之和是奇数的有4 种，则所求概率为 2 ．36． 【答案】 2【分析】依据循环，挨次获得n, M , S 的值分别为3, 44 ；3 ,log 2 34,5, log 24log 2 5 ， ， 11, 12, log 2 4 log 2 5 L log 2 12 ，4 3 411 3 4 11由于 Slog 2 4log 2 5 L log 2122≥ 2 ，因此最后的输出结果为2．3 4117． 【答案】52【分析】由题意， 2k3 5 ，即 k4，因此双曲线为x 2y 21 ，因此离心率为5． 428． 【答案】 128π【分析】设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，由题意， πr 1080π，得 r 8 ．因此 h 6 ，容积为 1πr 2h 1 π 82 6 128π．3 39． 【答案】 6uur 2 uuur uur uuur uuur uuur 1 uur uur uuruur 2 uuuruur由于 AEAD ， AFAD DFAD2 AB ； BE BA AE AD AB ，那么33uur uuruuur 1 uur 2 uuur uuur2 uuur 2 1 uur 2 2 uur uuur8 4 6 ．AF BEAD ABADABAD AB 3 AB AD 6233 210． 【答案】 76【分析】由 a 411q71，因此 S211 q 21 7 ．+ 3a = 0，知3 S141q 14611． ?【答案】3322【分析】由 x2y22mx 2 3my 3m 21 0 得， x my 3m m21 ，km 3m2则圆心 m ， 3m 到直线 y kx 的距离为，设截得的半弦长为 p ，1 2k22 3k 1 m 2 k 222k3 m211（与实数 m 没关），则 pm 1 k21 2k因此 3k1 0 ， k3 ．312． ?【答案】 1【分析】由 cosA 2sin B sinC 得， cos BC 2sin B sin C ，即 cosBcosC sin Bsin C 2sin Bsin C ，因此 tan B tanC1 ，因此 tan Atan BCtan B tan C2 1 ．tan B tanC 1 1 1813．【答案】 3或 3．【剖析】当 a ＞2 时，设椭圆的此外一个焦点为F ′，联络 AF ′， BF ′．则 AF ′＋ BF ′≥|AB |＝ 3．故 AF ＋ BF ＝ 4a － (AF ′＋ BF ′)≤4 a － 3．AFBF 2 4 a － 3 24 a － 3因此 AF BF ≤(·) ≤() ．当且仅当线段AB 过点 F ′，且 AF ＝ BF ＝时，·222上式等号建立，此时， AB ⊥ x 轴，且 AB 过点 F ′．于是224 a － 3 23 222 234c ＝ |FF ′|＝(2 ) － (2) ＝ 4a － 6a ，即 c ＝ a － 2a ．3 8则 a 2＝ 4＋ (a 2－2a)，得 a ＝3．近似地，当 0＜ a ＜ 2 时，可得 a ＝ 3． 14． ?【答案】17 ，63【剖析】当 k16时， f (x) ，g ( x) 的图象相切； k6 时， f (x) ，g ( x) 的图象均过点32，4 ， 4，16 ，故独一的正整数 x 3 ，同时k 17≤k ，进而17≤k ≤6 ．4 3二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15． (本小题满分 14 分)解：（ 1）由于 sin A3 ， A0 ，π，5 224因此 cos A1 sin 2A 1 33 分55 ．2b2c2a22 2 c 26ABCcos A452bc52 2 cc8AB8655321tan Asin A5 38cos A4 45tan A tan A B3 1 13 tan Btan AA B43 111 tan A tan AB 1 3 194 3ABCAB Cπ3 13tanCtan A Btan Atan B49 7914tan A tan B13131 34916(14)1BC //PDE BCABCPDE IABC=DEBC DE.3DEPBC BC PBCDE //PBC621BCDEABCE AC D ABACBCABCD9PCDABCPCD I ABCCD ABABCAB PCD 12AB PABPABPCD1417(14解：（ 1）如图 1，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 ，于点 D ， E ，设 DBA，则 EBC2 ．DAl 13则 AB1 ， BC 2Bl 2． 2 分coscos 2π312 ，l由于 ABBC ，因此EC3cos cos2π图 13化简得 5cos3sin，因此 tan5 3，则 cos2 3 ，37因此边长 AB12 21 ．6 分3cos（2）如图 2，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 于点 D ， E ．设 DBA，则 EBCπ ，DAl21 则 AB1， BC 2．Bl 2cos sin于是 AB4 BC1 8．8 分cos sin记 f ( ) 18πE Cl 3cossin ，0 ，2 ．图 2求导，得 f ( )sin 8cos sin 38cos 3tan 38． 10 分cos2sin2sin 2cos 2sin 2 cos 1令 f () 0 ，得 tan2 ．记 tan2 ，列表：0 ， 0，π2 f ( ) － 0＋f ( )↘极小值 ↗当0 时， f ( ) 取最小值，此时 sin2 5 ， cos5， f ( 0 )5 5 ．5512 分答：（1）边长AB为2 21m；（ 2） AB 4 BC 长度的最小值为 5 5 m． 14 分318． (本小题满分 16 分 )解：（1）设点 M ( x，y) ，由uuuur uuur2MQ PQ ，得 P x ， 2 y ．由于 P 为圆O： x2 y2 2 上的动点，因此 x222 ，即x 2y22 y 1 ，2因此当点 P 运动时，点M 一直在定椭圆x2y 2 1 上． 4 分2（2）①设 A( x1，y1 ) ， B(x2，y2 ) ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为： y y1 x1 x x1，即 x1x y1 y x12y1 2 ，y1由于 x12 y1 2 2 ，因此 x1x y1 y 2 ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为：x 2 ，综上，直线 AT 的方程为： x1x y1 y 2 ．同理，直线 BT 的方程为： x2 x y2 y 2 ．又点 T 2 ，t (t R ) 在直线 AT， BT 上，则 2 x1 ty1 2 ，①2 x2 ty2 2 ，②由①②知，直线 AB 的方程为：2x ty 2 ．因此直线 AB 过定点1，0 ．9 分②设 C( x3，y3 ) , D (x4，y4 ) ，则 O 到 AB 的距离 d2， AB 2 r 2 d 2 22t 2 4．11 分4 t2 t 2 42x ty 2由 22 ，得 (t 2 8) y2 4ty 4 0 ，x1 2 y于是 y 3 y 44t ， y 3 y 44，t 2t 2 88t22 t22t 2因此 CD1y 3y 448，13 分4t 28于是AB22(t 8) t 2 ， CD(t 2 4) t 2 4AB≤ 2(t 28) t 22≤ 2(t 28)2 t 22 ≤ 2 (t 2 4)2 t24CD( t 24) t 24t 4 (t 2 6) ≥ 0（明显） 因此AB≤ 2 ．16 分CD19． (本小题满分 16 分)解：设等差数列a n的公差为 d ．由于无量数列 a n 的各项均为互不同样的正整数，因此 a 1 N * ， d N * ．（1）①由 a 25 ， S 540得， a 1 d 5 ， 5a 1 5 4 d 40 ， 2 分2解得 a 1 2 ， d 3 ．因此 b 2 S 2 1 a 1 2 ． 4 分a 2a 25②由于数列 b n 为等差数列，因此 2b 2 b 1 b 3 ，即 S 2 1S 1 1 S 3 1． 2 a 1 a 3a 22 2a 1 d 13 a 1 d ，解得 a 1 d （ d 0 已舍）． 6 分因此 a 1 da 1 2 dn n1此时， b nS n 12 a 11n 18 分．a nna21（ 2）由于 a a 1 1 a 1a 1 1 1 d 是数列 a n 的第 a 1 1 项，a a 1 (d 2) 1a 1a 1 (d 2) 1 1 d 是 a n的第 a 1 (d2) 1 项，且aa 12a 121 d 2， a 1 a a 1 ( d 2) 1a 1a 1 a 1(d 2)d ，1因此 a a 1 2a 1 a a 1 ( d 2) 1 ．1又 a 1 a 1 1 a 1 ( d 2) 1，因此数列a n 中存在三项 a 1 ， a a 1 1 ， a a 1 ( d 2) 1 按本来的次序）成等比数列．16 分20． (本小题满分 16 分)解：（ 1）设直线 y kx 1 与 f (x) 的图象的切点为 (x 0 ，e x 0 ) ．由于 f (x)x，因此e x 0k， 2 分ekx 0e x1因此 e x 0 ( x 0 1) 1 0 ．令 (x) e x ( x 1) 1 ， ( x) e x x ．令 (x) 0 得 x 0 ．x (，0) 0 (0， ) ( x) － 0＋( x)↘↗因此 min ( x) (0) 0 ，因此 x 0 （ 2） h( x) e xmx 2 (x 0) ．令令 t ( x)e x m (x0) ， t (x)2xx(0 ，2)t (x) －t (x)↘0 ，因此 k 1．4 分h( x)0 得 e xm ．x 2e x (x 2) ． x 32(2， ) 0＋↗当 x 2 时， t( x) 有最小值 t (2) e 2m ．4由于 t( x) 在 (0 ， ) 上的图象是连续不停的，当 me 2时， t(x)0在 (0， ) 上恒建立，因此 h( x) 在 (0 ， ) 无零点；4当e 2 时， t min ( x) 0 因此 h(x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4 m21 1当 me时，此时 t min ( x)t(2) 0 ，由于 t 1m 2e mm m2e m10 ，4mm因此 t( x) 在 (0 ，2) 上有且仅有一个零点．3m又由于 t(3m)e 2 m1 2 (e 3m 9 m 3 ) ，9m9m令 u( x)ex1x 3 ， x (2,) ，3则 u (x)e x x 2 ， u (x) e x 2 x ，因此 u (x) e x 2 0 ．因此 u (x) 在 (2， ) 上单一递加，因此 u (x)u (2)e 2 4 0 ，因此 u ( x) 在 (2， ) 单一递加，因此 u ( x) u (2)e 2 4 0 ，因此 u (x) 在 (2，) 单一递加，因此 u( x)u(2)28 0 ，e3因此 e x1 x 3 在 (2， ) 恒建立，3因此 e 3 m 9m 3 ，即 t(3m) 0 ，因此 t (x) 在 (2， ) 上有且仅有一个零点． 因此 h(x) 在 (0 ， ) 上有两个零点．综上所述， me 2 时， h(x) 在 (0 ， ) 无零点；4m e 2 时， h( x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4me 24 时， h( x) 在 (0 ，) 有两个零点．10 分（ 3）由于 f (x) e x 在，上单一增，且 x 2x 1 ，因此 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ， x 2x 1 0 ，f (x 1 ) f ( x 2 )f ( x 2 ) f (x 1 )ex1ex2ex2ex1x 2 x 1因此2x 2 x 12x 2 x 1 21(x 2 x 1 )e x2x 111( x 2 x 1 ) 12( ) ．2e x 2x 1 1 2e x2 x11令 (x)x 21( x 0) ， (x)1 2e x(e x1)2．2 e x1 2 (ex1)22(ex1)2由于 x 0 ，因此 ( x) 0 ，因此 (x) 在 (0 ， ) 上单一递加，因此(x)(0) 0 ，因此 ( ) 式建立，因此 f ( x 1 ) f (x 2 )f ( x 2 ) f ( x 1 ) ．2x 2 x 1x x e2e 1xxe2e 116 分数学Ⅱ (附带题 )21．【选做题】 此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或 ．演算步骤．C ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)F证明：由于四边形ABCD 是圆的内接四边形， BA因此 EAD BCD ．2 分由于 BCBD ，因此 BCDBDC ．4 分 C DE又 BAC EAF ， 6 分 （第 21—A 题）BACBDC ，8 分因此 EADEAF ，即 AE 均分 DAF ．10 分D ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]( 本小题满分10 分)解：设 P(x ，y) 是 l ： 2 x y3 上随意一点，在矩阵 M1 a ( x ，y ) ，b 对应的变换获得点为31 a xx x x ay ，5 分由3 y，得y bx3 y ，by代入直线 l ： 2x y 3 ，得 ( 2 b)x (2 a3) y 3 ，7 分 因此2 b 2 ，1 ，b 4 ．10 分2a3 1 解得 a，C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ](本小题满分10 分)解：将直线 l 化为一般方程，得 ytan (x m)3 分将椭圆 C 化为一般方程，得x 2 y 2 ．6 分259 1由于 a 5,b 3,c 4 ，则右焦点的坐标为 (4,0) .8 分 而直线 l 经过点 (m,0) ，因此 m4 .10 分D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]( 本小题满分 10分)证明：由于 a 1，a 2，a 3 均为正数，且111 1 ，a 1 a 2a 311a 3 )1111113因此 a 1 a 2 a 3 ( a 1 a 2 ≥3 a 1a 2 a 3 3 3 9 ，a 1 a 2a 3a 1 a 2 a 3（当且仅当 a 1 a 2 a 3 3 时等号建立）8 分因此 a 1a 2 a 3≥ 9 .10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分． 22． (本小题满分 10 分)解：（ 1）由于 k k!( k 1)1 k! (k 1) k ! k ! (k1)! k! ，5又由概率散布的性质可知P(k) 1 ，k 15k k ! 1 51 51 719 即k k!(k 1)! k !6! 1! 1 ， k 1 c c k 1c k 1cc 因此 c ??719．3 分（ 2）由（ 1）知P(k) k k ! kN *，k 6719 ， ，于是 P(2) 2 2! 4 ， P(1)1 ， P(3) 3 3! 18 ，719 719719 719 719P( 4)4 4! 96 ， P(5)5 5! 600 ．8 分719 719 719 719因此 ξ的数学希望 E( ξ?) 112 43 184 965 600719719719 7197193447 ． 10 分71923． (本小题满分 10 分)解：（ 1） a 1= 2 ， a 2 = 4 ， a 3 = 8 ．3 分（ 2）猜想： a n = 2n ．证明：①当 n 1，2， 3 时，由上知结论建立；5 分②假定 n k 时结论建立，则有 a kC 1k 1 C k 2 2C k 3 3K C k kkk．C k22 22 3 2 k2则 n k 1 时， a k 1C 1k 1 1 C k 2 1 2 C 3k+1 3K C k+k+11k+ 1．C k 122 23k+ 12 2由 C n k 11C n k 1 C n k 得1 02 13 2a k 1C k 0 C k 1 C k 1 C k 22 2 C k 2C k 33 C k 3K22kk- 1k+ 1C k+kC k+kC k+ 1 k+ 1kk+ 1222k12k 1k+ 1C k 1C k 2C k 3 K C k k C k+ 1 k+ 1 ，2 2223 2k 2 k+1a k 1k1 0 C 1k2 C k 23 C k k 1k C k+k+ 11 k+ 1 )2(C k 11 2 2 K k 1 2 k22 22 k1 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k11k-1C k+k 1 k + C k+k+ 11 k ) ．(C k 1 2122 2 k 1 2k2k+ 1(2 k 1)!(2 k 1)!( k 1)1(2 k 1)!(2 k2)1 k+ 1又2k=k !(k 1)! (k 1)k !( k1)!(k 1)!(k 1)!2 C k+ 1 k 1 C k+ 1k 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k 11 k -1 C k+k 1 k C k+k+ 11k 1 ) ，2 1 (C k 1 1 2 2 k 1 k k 12 22 2 2 于是 a k 2 k1 12ak 1．因此 a k12k 1 ， 故 n k 1 时结论也建立．由①②得， a n = 2 n ，nN * ．10 分。

2018年高考模拟试卷〔6〕南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷〔必做题，共160分〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽假设干名学生测量视力，假设高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，假设抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如下图的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．假设该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-〔0ω>〕的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．假设△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ．11．假设函数()1()log 1a x f x =+-〔0a >且1a ≠〕没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，假设函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题总分值14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．〔1〕假设3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； 〔2〕假设5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题总分值14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． 〔1〕求证：AF ⊥DD 1； 〔2〕求证：AD //平面1MBC ． BA〔第16题〕B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题总分值16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．假设椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过椭圆右焦点F 的直线〔不经过P 点〕与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．〔本小题总分值16分〕某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米〔其中a 为正常数〕，过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． 〔1〕设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； 〔2〕试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O〔17题图〕F E19．〔本小题总分值16分〕已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)假设函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k的取值范围．20．(本小题总分值16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)假设A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷〔6〕数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线P A 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕假设两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．〔第21题〔A 〕【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．〔本小题总分值10分〕如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．〔1〕当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；〔2〕当CF 与平面ACDλ的值．23．〔本小题总分值10分〕设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)假设x ＞0，且e x ＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷〔6〕参考答案数学Ⅰ1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．3 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．假设01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；假设1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2 ＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n }成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在〔0,2〕上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B c A B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：〔1〕当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 假设(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 〔2〕因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：〔1〕∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 〔2〕连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：〔1〕设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，BAE 〔第15〔2〕题图〕B 1A 1C 1M C FDD所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分〔2〕设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由〔1〕知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．〔方法一〕〔1〕由12tan 5CAB ∠=得12sin CAB =∠，5cos CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CABAE AP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 〔方法二〕(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 〔方法三〕〔1〕以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)(①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ〔附加题〕21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线P A 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋〔y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=〔y －3)2－4〔y 2 －3y ＋3〕=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝错误!－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一,高二，高三在校生数分别为1200,1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为错误!，则该三棱柱的体积是 ▲ ． 7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1,t 为任意的实数．则|AB ，→＋t 错误!｜的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，,若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分）已知向量(1,)m =a ,(2,)n =b ．（1)若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2)若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．（本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD 117．（本小题满分16分）如图,设椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0)，离心率e＝错误!，F为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x轴的上方,且PF⊥x轴,线段PF＝错误!．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆右焦点F的直线（不经过P点）与椭圆交于A，B两点，当APB∠的平分线为PF 时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处,已知045BAP∠=，12 tan5CAB∠=．（1）设AE x=米，AF y=米，求y关于x的函数关系式及定义域；（2）试确定E,F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．A OBO COPO（17题图）FE19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈。