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第四章对偶性¡一、生产技术和成本函数之间的对偶关系¡二、生产技术和条件要素需求函数之间的对偶关系¡三、对偶关系的推广¡四、对偶关系的一种几何说明¡五、对偶性的意义¡六、应用¡七、补充：一个重要的命题12第四章对偶性一、生产技术和成本函数之间的对偶关系¡已知成本函数具有以下特征(1),,0(2)000(3),,,tw y t w y t w y w y w y w y w w w y w ϕϕϕϕϕϕ∀>≥∀≥∀≥≥≥，，一次齐次性：（）=（）非负性：（，）单调性：（）（）当（4）凹性：（）在上是凹的。
3第四章对偶性¡定理1给定一个可微的成本函数，如果它满足以上的条件（1）－（4），则它是下列生产技术的成本函数：¡证明,w y ϕ（）{}()0:,0V y x wx w y ϕ∗=≥≥∀≥（）第四章对偶性¡证明第一步：建立一个表达式。
根据Shephard ’s lemma, 对于任何的w >0 有再由于j （w,y ）在w 上是一次齐次的，故根据数欧拉定理有其中根据j （w,y ）的单调性,有x(w,y)≥04nw y w y x w y w w 1(,)(,)(,)(,)ϕϕ∂∂=∂∂LL ni i i i w y w y w w wx w y w 1(,)1(,)(,)ϕϕ=∂⋅==∂∑于是，得到如下表达式：第二步：根据j （w,y ）的凹性特征，给定一个w ’≥0,有5w y wx w y w (,)(,)0(1)ϕ=∀≥w y w y D w y w w w y x w y w w w y x w y w x w y w w y x w y w w y by w x w y xi e w y w x w y w x w V y x y ''''''''''(,)(,)(,)()(,)(,)()(,)(,)(,)(,)(,)(,)((1)(,)(2).(,)(1)(,)(,)(3))ϕϕϕϕϕϕϕϕ≤≤∀+−=+−=+−=+−∈=∀¡由（3）式显然可知，对于w ’≥0 ，x(w ’,y)和x(w,y) 都可以生产y ，而j （w ’,y ）=w ’x(w ’,y)为最小成本。
第二部分生产与成本¡第一章关于技术的描述¡第二章利润最大化¡第三章成本最小化¡第四章对偶性1第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数232.1 利润最大化¡利润最大化模型一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之一）经济含义：每种要素的“边际收益”= 该要素的“边际成本”（即：要素的边际产品价值VMP xi = 要素价格wi ）xM ax x p f x wx π()()=−i i ni f x p w x 1,2()=∂=∂L L42.1 利润最大化一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之二利用图形）: 等利润线的运用图示（在生产函数的坐标平面）x py x wx p w py x wx p w w y x x p pw p pππππππ已知：利润函数 （）（）其中为常数进一步令为常数，则有等利润线方程（）其中为常数整理得 等利润线的斜率＝（ ；纵截距＝,,,()())=−=−=+()().x d f x w d f x o rp w F O C d x p d x i e V M P w ==⇒=2.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡由图形直接得到启示：生产函数为凹函数。
562.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡SOC ：要求利润函数相应的为负定。
结论：由于假设生产函数是正则严格凹函数，所以利润最大化的SOC 得到满足。
[]H 111111121112111222122212221220pf pf pf f f p opf pf f f πππππ=<==>LL2.1 利润最大化三、方法的局限性7第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数892.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡引：利润最大化最优解的三种函数形式xpf x wx FOC SOC FOC x p w y f x p w y p w π（p ） 若和成立，则可从中求出最优解：最优要素投入素组合: 即要素需求函数将其代入生产函数得: 即产品供给函数代入目标函数得：(p,w)即利润函数max ()(,)((,))(,)−==102.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数一、要素需求函数x(p,w)的性质：比较静态分析1、考虑一种投入、一种产出的利润最大化模型¡模型及推导xpf x wx FOC pf x p w w SOC pf x p w x p w w pf x p w wf x x p w w pf x p w 若最优解存在，则可写为（1）可写为（1）式对求导,有：由于在一般情况下，，故有'''''''''max ():((,))0:((,))0(2)(,)((,))10()0(,)1((,))−−=<∂−=∂≠∂=∂112.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡经济含义x p w x f x p w wf x p w x p w w第一生产函数关于的二阶导数与成反方向变化。
