第三章 股票与期权的二叉树模型1

二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。

该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。

二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。

该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。

该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。

二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。

它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。

此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。

总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。

该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。

二叉树期权定价模型（一）单期二叉树定价模型（1）一定数量的股票多头头寸（2）该股票的看涨期权的空头头寸股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险，即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。

C0＝1＋r－d Cu u－1－r Cdu—d 1+r u—d 1+r最初，投资于0.5股股票，需要投资25元；收取6.62元的期权费，尚需借入18.38元。

半年后，股价如果股价涨到66.66元，0.5股股票收入33.33元，借款本息18.75（18.35*1.02）看期权的持有人会执行期权，期权出售人补足价差14.58（66.66-50），投资人的净损益＝0股价如果跌到37.5元，0.5股股票收入18.75元，支付借款本息18.75元，投资人的净损益为0因此该看涨期权的公平价值就是6.62元。

（二）两期二叉树模型把6个月的时间分为两期，每期3个月。

现在股价50元，看涨期权的执行价格52.08元。

每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。

股价：计算Cu的价值：有两种办法：1.复制组合定价H＝（23.02－0）÷（75.10－50）＝0.91713借款＝（50×0.91713）÷1.01＝45.40元3个月后股票上行的价格是61.28元Cu＝投资成本＝购买股票支出－借款＝61.28×0.91713－45.40＝10.8元2.风险中性定价期望报酬率＝1%＝上行概率×22.56%＋下行概率×（－18.4%）[22.56%＝（74.10－61.28）/61.28 18.4%＝（50－61.28）/61.28上行概率＝0.47363期权价值6个月后的期望值＝0.47363*23.02+（1-0.47363）*0＝10.9030元Cu＝10.9030÷1.01＝10.8元根据Cu和Cd计算C0的价值：1.复制组合定价H＝（10.8-0）/（61.28-40.80）＝0.5273借款＝（40.80×0.5273）÷1.01＝21.3008元C0＝投资成本＝购买股票支出－借款＝50×0.5273－21.3008＝5.062.风险中性原理C0＝0.47363×10.8÷1.01＝5.06元（三）多期二叉树模型u ＝1＋上升百分比＝d ＝1－下降百分比＝1 / ue ＝自然常数，约等于2.7183σ＝标的资产连续复利收益率的标准差t ＝以年表示的时段长度。

期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。

该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。

在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。

从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。

在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。

在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。

这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。

在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。

在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。

在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。

树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。

根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。

期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。

此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。

然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。

首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。

其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。

总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。

该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。

虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。

期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。

它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。

期权定价的二叉树模型学习笔记（I）编者按:二叉树模型是金融衍生产品期权定价的离散模型.人们可以借助二叉树模型分别对欧式看涨看跌期权、美式看涨看跌期权进行期权金定价.抛开金融意义不谈,单从数学角度出发,这部分运用的数学知识仅是微积分的基本知识点.额外需要注意的是,在二叉树章节中反向归纳法(倒向归纳法)是特别重要的一种方法,其在涉及到有关期权问题的证明中显得尤为重要.之所以运用反向归纳法,是因为期权定价中我们已知未来某一时刻的期权状态,由此出发逐步倒向递推在时刻的价格.本系列是笔者学习二叉树模型所做的课堂笔记一部分,仅供参考!Hedging Concept（套期保值概念）Firstly,we should learn the definition of One-Period & Two-State.Definition1.1(One-Period): Assets are traded at & only, hence the term one period.Definition1.2(Two-State): At the risky asset has two possible values(states):& ,with their probabilities satisfying Question:If risky asset and risk free asset ,known ,when two possibilities,.(for strike price ,expired time .) If known at ,how to find out whenDefinition1.3(Hedging Definition):For a given option ,trade shares of the underlying asset in the opposite direction so that the portfoliois risk-free.We can solve Meanwhile,we can getDefine a new Probability MeasureNotice that期权价的期望表示和风险中性测度Notice that denotes that the expectation of the random variable under the probability measure .Let be a certain risky asset, and is a risk-free asset, then iscalled the discounted price(also known as the relative price) of the risky asset at time .Theorem2.1:Under the probability measure ,an option's discounted price is its expectation on the expiration date.i.e Remark:In order to examine the meaning of the probability measure ,consider is an underlying risky asset.It is easy to calculateRisk-Neutral World(风险中性世界)Definition3.1(Risk-Neutral World):Under the probability measure ,the expected return of a risky asset at is the same as the return of a risk-free bond.A financial market possessing this property is called a Risk-Neutral World.Definition3.2(Risk-neutral measure):The probability measure defined byis called by risk-neutral measure.Definiton3.3(The risk-neutral price):The option price given under the risk-neutral measure is called the risk-neural price. Replication(复制),等价性定理In a market consisted of a risky asset and a risk-free asset ,if there exists a portfoliosuch that the value of the portfolio is equal to the value of the option at ,then is called a replicating portfolio of the option ,then option priceTheorem4.1:In a market consisted of•a risky asset ;•a risk-free asset .Then is true if and only if the market is arbitrage-free.In fact, if the market is arbitrage-free, then there exists a risk-neutral measure defined bysuch that二叉树的构造This means that if at the initial time the price of the underlying asset is , then at , will have possible values Denote未完待续......。