6.3-第六章-多项式回归-响应面

1 X
x12
x22
xk21
x12
x122
x1k2
1 x1n x2n xkn 1 x1n x12n x1kn
和
y 1
Y
y2
y n
求得 XX、XY和( XX)-1，并由
b=( XX)-1( XY)获得相应的多项式回归统计数。
(四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律；
② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等；
③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
F
Qk
Uk /k /[n(k 1
)]
(11·24)
可测验多项式回归关系的真实性。
相关指数：Ry·x，x2， ，，kxk次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
Ry· x，x2， ，xk Uk /SSy
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
SSy=Uk+Qk
(11·21)
SSy YY(1Y)2/n Qk YYbXY
Uk bXY(1Y)2/nSSy Qk
k 次多项式的离回归标准误可定义为：
(11·22)
s y/x，x2， ，xk
Qk n(k1)
(11·23)
即是多项式回归方程的估计标准误。
二、多项式回归的假设测验
多项式回归的假设测验包括三项内容： ①总的多项式回归关系是否成立？
说明的部分所占的比率。
R2 y· x，x2， ，xk
Uk
SSy
(二) k 次多项式必要性的假设测验
若k次多项式的k次项不显著，可由（k-1）次方程 描述Y 与X 的曲线关系。
有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度， 对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是 否“合算”。因此由：
F Qk
S Pyx SSy SSx
(11·9)
显著，回归统计数：
b SPyx / SS x
ln a y bx
a e ln a
(11·10)
四、Logistic曲线方程的配置
y
1
k aebx
（a、b、k均＞0） (11·11)
K 可由两种方法估计：
①如果y是累积频率，则显然k=100%；
一、曲线回归分析的一般程序
曲线方程配置(curve fitting)：是指对两个变数资料 进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过 程。
由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基 本步骤：
1．根据变数X 与Y 之间的确切关系，选择适当的曲
线类型。 2．对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原
ln a y bx
(11·5)
a e ln a
三、幂函数曲线方程 yˆ ax b 的配置
yˆ ax b
(11·6)
当 y 和 x 都大于0时可线性化为：
lnyˆlnablnx
(11·7)
若令 ylny，xlnx，即有线性回归方程：
yˆlnabx
(11·8)
若线性相关系数：
ryx
②如果y是生长量或繁殖量，则可取3对观察值
（x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入
(11·11)
得：
y1 y2
k k
(1 (1
ae bx1 ) ae bx 2 )
y 3 k (1 ae bx 3 )
若令x2(x1，x3)解/2得：
ky22(y1y3)2y1y2y3 y22 y1y3
二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置
yˆ aebx
两边取对数：
lnyˆlnabx
(11·1) (11·2)
令 ylny ，可得直线回归方程：
yˆlnabx
若 y 与x的线性相关系数：
ryx
S Pyx SSy SSx
(11·3) (11·4)
显著，就可进一步计算回归统计数：
b SP yx / SS x
②能否以k-1次多项式代替k次多项式，即是否有必 要配到k次式？
③在一个k次多项式中，X 的一次分量项、二次分量 项、…、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和
平方和并入误差)？
(一)多项式回归关系的假设测验
多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起，具
有： k。
离回归(Qk)：与X 的不同无，具有 n(。k1)
(三)多项式回归统计数的计算 可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归
的统计数。
令 x1 x，x2 x2 ， … xk xk，(11·19)可化为：
y ˆk a b 1 x 1 b 2 x 2 b k x k (11·20)
可采用矩阵方法求解。即由
1 x11 x21 xk1 1 x11 x121 x1k1
移项，取自然对数得：
ln(kyˆ)lnabx yˆ
(11·12) (11·13)
令 y ln(k y) ，可得直线回归方程：
y
yˆlnabx
y 和 x 的相关系数：
r y x
SPyx
SS y SS x
回归统计数 a 和 b 由下式估计：
(11·14) (11·15)
b SP yx / SS x
第十章 曲线回归
➢ 第一节 曲线的类型与特点 ➢ 第二节 曲线方程的配置 ➢ 第三节 多项式回归
曲线回归(curvilinear regression)或非线性 回归(non-linear regression)：两个变数间 呈现曲线关系的回归。
曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二 乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征 和规律的方法。
理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，
需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小(的y当 yˆ选)2。 (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小 二乘法拟合。
yˆ2ab1xb2x2
(11·17)
三次多项式的方程式为：
y ˆ3ab1xb2x2b3x3
(11·18)
多项式方程的一般形式为：
y ˆka b 1 x b 2x2 b kxk
(二)多项式方程次数的初步确定
(11·19)
多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势 的峰数＋谷数＋１。若散点波动较大或峰谷两侧不 对称，可再高一次。
对于表13.66的数据可以采用二元二次多项式拟合， 那么产量可表示为：
y i jb 0 b 1 N i b 2 P j b 3 N iP j b 4 N i 2 b 5 P j 2 i j
表13.66 大麦氮磷肥配比试验结果
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7a bxy1yb
a＞， 0b＜0
a＞ 0，b＞ 0
x
a x
图11.4 方程 yˆ 的x图象
b
a bx
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
b
yˆ
1
k aebx
k
k 2
k 1 a
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序 二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置 三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
一、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx
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