2019-2020学年云南师大附中高三(上)第一次月考数学试卷2(8月份) (含答案解析)

2023届云南师大附中八月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.已知集合A ={1,2,3,4}，集合B ={y ∣y =x ,x ∈A }，则A ∩B =()A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，2，3，4}2.已知复数z =2+3i ，则z 2-z 在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源的汽车，包括纯电动汽车和其他类型车辆(如增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车等).具有环保、节能、效率高、使用成本低、噪音小等优势.近年来，我国新能源汽车市场飞速发展.如图1所示为2015年至2021年H1(H1表示上半年)中国新能源汽车保有量统计情况，根据图中所给信息，以下说法错误的是()纯电动汽车保有量（万辆）其他类型车辆保有量（万辆）2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年HI110493400310211507192281257318339100200300400500600单位：万辆2015~2021年HI 中国新能源汽车保有量统计A.中国新能源汽车保有量在2017年首次突破百万辆B.自2015年起至2021年H1，中国新能源汽车保有量每年都在增加C.2016年纯电动汽车保有量增长率最大D.相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率降低了4.已知直线l :(a -1)x +y -3=0，圆C :(x -1)2+y 2=5，则“a =-1”是“l 与C 相切”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.1-1x2 (x +2)6的展开式中x 3的系数为()A.160B.-160C.148D.-1486.已知M 是抛物线C ：x 2=4y 上一点，F 为抛物线的焦点，点N (0，-2)，|MF |=|NF |，则△MFN 的面积为()A.22B.23C.32D.337.《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中史湘云作东海棠诗社，拟了十二首菊花诗邀众姐妺并宝玉作诗. 若已知贾宝玉作了《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作了《忆菊》《画菊》两首，剩下八首诗分由林黛玉、史湘云、探春作了，且每人至少作了两首，则不同的情况有()A.980B.490C.5880D.29408.已知a =e 0.11，b =1.11.1，c =1.11，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a二、不定项选择题(本大题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9.《蝶恋花∙春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”. 如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中A.秋千绳与墙面始终平行B.秋千绳与道路始终垂直C.秋千板与墙面始终垂直D.秋千板与道路始终垂直()10.若向量AB =(1，m )，AC =(-1，2)，且AB 与AC 夹角的正弦值为45，则△ABC 的面积可为()A.5B.2C.2511D.101111.已知函数f (x )=sin ωx +π3(ω>0)，则()A.当ω=2时，函数y =f (x )的图象关于点π3，0 对称B.当ω=2时，函数y =f (x )在-5π12，π12 上单调递增C.当13<ω<1时，函数y =f (x )在π6，π2 上有零点D.当13<ω<1时，函数y =f (x )在π6，π2上的最大值为112.已知F 为椭圆的焦点，A ，B 分别为椭圆的两个顶点(且A 不是离F 最近的那个顶点)，若|AF |=3，|AB |=5，则椭圆的离心率可以为()A.15B.116C.23D.25-34334三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线y =e x -1+2x 在x =1处的切线方程为.14.普罗斯数是具有如下形式的数：k ⋅2n +1，其中k 是奇数，n 是正整数，且2n >k .如41=5×23+1就是一个普罗斯数.普罗斯数是以数学家法兰西斯∙普罗斯的名字命名的，结合普罗斯定理可以用来判断普罗斯数是否为素数.现从30以内的6个普罗斯数中任取两个，这两个数都是素数的概率为.15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144π，则圆台的体积为.16.已知函数f (x )和g (x )定义域均为R ，且y =f (2+3x )为偶函数，y =g (x +2)+1为奇函数. 对于∀x ∈R ，均有f (x )+g (x )=2x +x 2，则f (3)⋅g (3)=.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，BC <AC ，D 为BC 边上的中点，△ABC 的面积为3．(1)求AD 的长；(2)点E 在边AC 上，且2sin ∠ABE =3sin ∠AEB ，BE 与AD 相交于点M ，求∠DME 的余弦值.记S n 为数列a n 的前n 项和，已知S n -1n是首项为3，公差为1的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：当n ≥2时，1S 2+1S 3+⋯+1S n<a n -1a n +1-12.19.(本小题满分12分)某单位有100名职工，想通过验血的方式筛查某种病毒的携带者.假设随机一人血检呈阳性的概率为1%，为了提高化验效率，现随机按5人一组分组，然后将各组5人的血样混合后进行化验，如果混合样本呈阴性，说明该组人员全部是阴性，不必再化验；如果混合样本呈现阳性，则需要对每个人再分别化验一次．设每个人需要的化验次数为X ，则当混合样本呈阴性时，X =15，当混合样本呈阳性时，X =65．(1)求随机变量X 的数学期望；(结果保留三位小数，参考数据：0.995≈0.951)(2)已知携带该病毒的概率为0.5%，在携带该病毒的情况下血检呈阴性的概率为1%，若该单位某职工血检呈阳性，求该职工确实携带该病毒的概率．20.(本小题满分12分)如图3，在多面体ABCDEF 中、四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，平面FBC ⊥平面ABCD ，BF ⊥CF ，DE =AD =2．(1)求多面体ABCDEF 体积的最大值；(2)当多面体ABCDEF 体积取最大值时，求直线DF 与平面EBC 所成角．AB CD EF已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F (c ，0)，从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件，求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，记△AOB ，△FOB 面积分别为S 1，S 2，若S1S 2=3+1，求直线l 的方程．(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)22.(本小题满分12分)设a ∈R ，函数f (x )=x -a ln x ．(1)若f (x )有最小值1，求a 的值；(2)已知m >1，讨论函数g (x )=e xx-x m -x +(1+m )ln x 在(1，+∞)上的零点个数．数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2023届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDBCCDA【解析】1．集合{1234}A =，，，，集合{1232}B =，，，，故{12}AB =，，故选A ．2．23i z =+，则2(1)(23i)(13i)133i z z z z -=-=++=-+，在复平面内对应的点在第二象限，故选B ．3．2017年中国新能源汽车保有量首次突破100万辆，A 正确；自2015年起，中国新能源汽车保有量每年都在增加，B 正确；2016年纯电动汽车保有量增长率大于100%，其他年份都小于100%，故C 正确；2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率为310381，2018年为211261，计算得310211381261>，故相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率增加了，故选D ．4．当1a =-时，直线l ：230x y -+=，圆C ：22(1)5x y -+=的圆心为(10)C ，5，圆心C 到直线l 55=所以直线l 与圆C 相切；当直线l 与圆C 相切时，25(1)1a -+解得32a =或1-；所以“1a =-”是“l 与C 相切”的充分不必要条件，故选B ． 5．6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为33566C 2C 216012148-=-= ，故选C ．6．已知点(01)F ，，设点00()M x y ，，0||1MF y =+，又||||3MF NF ==，故02y =，故0||2x =，01||||322MFN S FN x ==△，故选C ． 7．将八首诗分成三份，每份至少两首，则共有2242338648632222C C C C C C 490A A +=种不同的分法；再将不同的三份分配给林黛玉、史湘云、探春，又有33A 6=种不同的分配方式，故共有49062940⨯=种不同的情况，故选D ． 8．显然，a b c ，，皆为正数．欲比较a 和b 的大小，只需比较ln a 和ln b 的大小．0.11ln ln e 0.11a ==，数学参考答案·第2页（共9页）1.1ln ln1.1 1.1ln1.1b ==，即比较0.11和1.1ln1.1的大小即可，易证：ln 1(0x x x <->且1)x ≠，故1.1ln1.1 1.1(1.11)0.11<⨯-=，故a b >，构造函数1.1()(1)(1.11)f x x x =+-+，则0.10.1() 1.1(1) 1.1 1.1[(1)1]f x x x '=+-=+-，故当0x >时，()f x 单调递增，故1.1 1.1(0.1)(10.1)(1.10.11) 1.1 1.110f =+-⨯+=->，即b c >，综上a b c >>，故选A ．二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACDBDABDAB【解析】9．显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化．而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直，故选ACD ． 10．2|||3|cos |5||||15AB AC AB AC AB AC m -<>===+， ，解得2m =或211m =-．故||AB =22125+=或22255||11111AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又22||(1)25AC =-+=，ABC S =△ 1||||sin 2AB AC AB AC <>，，故1455225ABC S ==△或1554525ABC S =△ 1011=，故选BD ． 11．当2ω=时，π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ()sin 2sin π033f x ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，由正弦函数图象的对称性知A 正确；当5ππ1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，πππ2322t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，，π23t x =+单调递增，sin y t =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上亦单调递增，故()y f x =在5ππ1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，故B 正确；当ππ62x <<时，πππππ63323x ωωω+<+<+，又113ω<<，故7πππ1863ω<+且ππ5π236ω+<，此时()y f x =没有零点，故C 错误；又πππππ63223ωω+<<+，故()y f x =的最大值一定为1，故D 正确，故选ABD ．12．不妨设焦点在x 轴上且F 为右焦点，显然A 不会是右顶点．分类讨论：①若A 为左顶点，B 为右顶点，数学参考答案·第3页（共9页）则325a c a +=⎧⎨=⎩，，解得5212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，此时离心率15c e a ==；②若A 为左顶点，B 为上（下）顶点，则2235a c a b +=⎧⎨+=⎪⎩，，无解，不满足；③若A 为上（下）顶点，B 为左（右）顶点，则2235a a b =⎧⎨+=⎪⎩，，无解，不满足；④若A 为上（下）顶点，B 下（上）顶点，则325a b =⎧⎨=⎩，，解得11c =11c e a ==，综上，故选AB ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案3y x =25633π66【解析】13．对函数1e 2x y x -=+求导得1e 2x y -'=+，故当1x =时，斜率11e 23k -=+=，又切线过点(13)，，故切线方程为33(1)y x -=-，即3y x =． 14．易知30以内的6个普罗斯数分别为3，5，9，13，17，25（12324332152192113321172125321=+=+=+=⨯+=+=⨯+，，，，，），其中素数有4个，从中任取两个，由古典概型可知，这两个都是素数的概率为2426C 62C 155==． 15．设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h ．由312π144π23V R ==球，解得6R =，由题意知222R r h =+，代入解得33h =，故圆台体积11()33(9π36π9π36π633π33V h S S S S =+=⨯+⨯=下下圆台上上．16．(23)y f x =+为偶函数，即(23)(23)f x f x +=-，故()y f x =的图象关于直线2x =对称，(2)1y g x =++为奇函数，即(2)1(2)1g x g x -+=-+-，故()y g x =的图象关于点(21)-，对称．x ∀∈R ，均有2()()2x f x g x x +=+，故12(1)(1)213f g +=+=，因为()y f x =关于直线2x =对称，故(1)(3)f f =，因为()y g x =关于点(21)-，对称．故(1)2(3)g g =--，故有(3)(3)5f g -=，又32(3)(3)23=17f g +=+，数学参考答案·第4页（共9页）解得(3)11(3)6f g ==，，故(3)(3)f g 66=．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）由1sin 32ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠=△2AB =，23AC = 可得1sin 2BAC ∠=，又(0π)BAC ∠∈，，BC AC <， 所以π6BAC ∠=．…………………………………………………………………………（2分） 由1()2AD AB AC =+，得22211(2)(41212)744AD AB AC AB AC =++=++= ，所以7AD ．……………………………………………………………………………（4分） （2）在ABE △中，sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，由2sin 3sin ABE AEB ∠=∠，可知3AE =E 为AC 的中点， 2222BE AB AE AE =+-⨯πcos16BE ⨯=，………………………………………………（6分） 所以M 为ABC △的两条中线AD ，BE 的交点，2273AM AD ==，2233BM BE ==， ………………………………………………………………………………………（8分） 所以2227cos cos 2AM BM AB DME AMB AM BM +-∠=∠==⨯， 所以DME ∠的余弦值为7．………………………………………………………（10分） 18．（本小题满分12分）（1）解：∵1n S n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为1的等差数列，∴3()11n n nS =+--， ∴2221(1)n S n n n ++=+=．……………………………………………………………（2分） ∴当2n ≥时，12n S n -=，121n n n a S S n -=-=+．………………………………………（4分）数学参考答案·第5页（共9页）又114S a ==不满足21n a n =+，∴{}n a 的通项公式41212.n n a n n n *=⎧=⎨+∈⎩N ，，，≥且…………………………………………（6分） （2）证明：当2n ≥时，21111(1)1(1)1n S n n n n n =<=-+++， ………………………………………………………………………………………（8分）112111222212n n a n n a n n --=-=-+++，………………………………………………………（9分） ∴23111111111111233412112n n S S S n n n n +++<-+-++-=-=-+++， ∴231111112n n n a S S S a -+++<-+．………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）X 的取值为15，65，55160.990.95110.990.04955P X P X ⎛⎫⎛⎫==≈==-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，16()0.9510.0490.24955E X ≈⨯+⨯=∴．…………………………………………………（6分）（2）设事件A ：血检呈阳性；事件B ：携带该病毒． 则由题意有()0.01()0.005(|)0.01P A P B P A B ===，，，∵(|)(|)1P A B P A B +=，∴(|)0.99P A B =．…………………………………………（8分） ∴()()(|)0.0050.99P AB P B P A B ==⨯，………………………………………………（10分） ∴()0.0050.99(|)0.495()0.01P AB P B A P A ⨯===， 所以血检呈阳性的人确实携带该病毒的概率为49.5%．……………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，∴四棱锥E ABCD -的体积11822233V =⨯⨯⨯=，……………………………………（1分）过点F 作FH BC ⊥交BC 于点H ，如图所示，数学参考答案·第6页（共9页）∵平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH BC ⊥，FH ⊂平面FBC ，∴FH ⊥平面ABCD ，ED FH ∥∴，又FH ⊂平面FBC ，ED ⊄平面FBC ，ED ∥∴平面FBC ，而DC BC DC FH FH BC H FH BC =⊂，，，，⊥⊥平面FBC ，DC ∴⊥平面FBC ．∴2133E BCF D BCF BCF V V S BF CF --==⨯=△， 在Rt BCF △中，22242BF CF BC BF CF +==⨯≥，∴当且仅当BF CF =时，BF CF ⨯有最大值2，E BCF V -有最大值23， ………………………………………………………………………………………（5分） ∴多面体ABCDEF 体积有最大值103．…………………………………………………（6分） （2）以D 为原点，DA DC ，，DE 所在的直线分别为x y ，，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，可知(000)D ，，，(002)E ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，当BF CF =时，(121)F ，，，……………………………………………………………（8分） 设平面EBC 的法向量为()y z n x =，，，(222)EB =-，，，(200)CB =，，，(121)DF =，，，则202220n CB x n EB x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩，，令1z =，则(011)n =，，． ……………………………………………………………………………………（10分） 设直线DF 与平面EBC 所成角为θ， ∴33sin |cos |2||||26n DFn DF n DF θ=〈〉===， ，数学参考答案·第7页（共9页）故直线DF 与平面EBC 所成角为π3．…………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） 解：（1）若选①②，可知2222223c a b b c a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，，，解得132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴C 的方程为2213y x -=．………………………………………………………………（4分） 若选①③，因为b a >，∴323b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，∴13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，， ∴C 的方程为2213y x -=．………………………………………………………………（4分） （2）0(2)F ，，由题意知，直线l 斜率不为0，∴设直线2l x ty =+：． 由22213y x x ty ⎧⎪⎨-=⎪=⎩+，，得22(31)1290t y ty -++=， 设1122()()A x y B x y ，，，，12||||y y >，则可知2310t -≠且0∆>恒成立，1212221293131t y y y y t t -+==--，，…………………………………………………………（7分） ∵120y y >，∴3t <3t > ∵12||1131||AOB AOF BOF AOF BOF BOF BOF S S S S y S S S y -==-=-=△△△△△△△，∴1223y y =． 由221212212()210231y y y y t y y t +-+=-，得21222110231y y t y y t ++=-，∴22102431t t +=-， ∴3t =±3t <或3t >数学参考答案·第8页（共9页）∴直线l 的方程为323y =或323y =． ……………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()1a x a f x x x-'=-=． 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增，不满足题意；………………………………………………………………………………………（2分）当0a >时，令()0f x '=，得x a =；令()0f x '>，得x a >；令()0f x '<，得0x a <<． ∴()f x 在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增，∴当x a =时，()f x 有最小值ln a a a -，∴ln 1a a a -=．………………………………………………………………………………………（4分）令()ln h x x x x =-，()ln h x x '=-，∴当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，max ()(1)1h x h ==． ∴当且仅当“1a =”时，ln 1a a a -=．综上，1a =．……………………………………………………………………………（6分）（2）令e ()(1)ln 0x m g x x x m x x =--++=，得e (ln )ln xm m x x x x x--=-， ∴ln e (ln )ln x x m m x x x x ---=-，令()ln F x x x =-，可得ln (e )()x x m F F x -=．由（1）知，当1x >时，ln 1x x ->，∴ln e e x x ->，又1m >，∴1m x >．∵()F x 在(1)+∞，上单调递增，∴ln e x x m x -=，∴ln ln x x m x -=，∴(1)ln 0x m x -+=．………………………………………………………………………………………（9分）令1a m =+，则2a >，由（1）知，()ln f x x a x =-在(1)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增， ()f x 有最小值()ln f a a a a =-，数学参考答案·第9页（共9页） 又()ln h x x x x =-在(2)+∞，上单调递减，(e)0h =， ∴当2e x <<时，()0h x >；当e x >时，()0h x <； ∴当2e a <<时，()f x 的最小值ln 0a a a ->，(1)ln 0x m x -+=无解； 当e a =时，()f x 的最小值ln 0a a a -=，(1)ln 0x m x -+=只有1个解； 当e a >时，()f x 的最小值ln 0a a a -<，又e a a >，2(e )e 0a a f a =->，(1)1f =， 故(1)ln 0x m x -+=有2个解．综上，对(1)x ∈+∞，，当e 1m >-时，()g x 有2个零点；当e 1m =-时，()g x 有1个零点；当1e 1m <<-时，()g x 没有零点．……………………………………………………（12分）。

云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，Z为整数集，则A. B. C. D. 0，【答案】A【解析】解：．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.若复数z满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A. 0B. 1C.D.【答案】B【解析】解：；点P在y轴上；；．故选：B．根据条件，可先求出，根据点P在y轴上，即可得出，从而求出m．考查向量坐标的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，起点在原点的向量坐标为终点坐标，向量坐标的加法和数乘运算．4.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由～，可知该正态分布密度曲线的对称轴为，所以，故选：D．根据X服从正态分布正态分布密度曲线的对称轴为，由图象的对称性可得结果本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．5.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作，书中许多题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有名的一个；“九百九十九文钱，甜果苦果买一千四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟延”则所买甜果的个数为A. 343B. 345C. 567D. 657【答案】D【解析】解：设甜果、苦果的个数分别是x和y，则，解得，故选：D．根据题意设甜果，苦果个数，列二元一次方程组，求解即可．此题考查了二元一次方程组，难度不大．6.如图，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得，侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4，四棱锥的体积为，半圆锥的体积为，该几何体的体积为，故选：C．由三视图还原原几何体，可知原几何体为一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥，再由棱锥体积减去半圆锥体积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，联立解得：．故选：D．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】解：由程序框图知，第一次循环：，，，；第二次循环：，，，；第三次循环：，，，；第四次循环：，，，，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.已知函数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数满足，是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，向右平移两个单位，得到，，，．故选：B．是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，从而向右平移两个单位，得到，进而，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由题意得数，，，将的图象向左平移个单位长度得到函数：，再将函数向上平移1个单位长度得到函数的图象，即，所以当时，，故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的关系式，最后求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为2的直线l与C交于A，B两点若C的准线上一点M满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线焦点，设直线AB的方程为，联立方程组，消元得．设，，．则，．，．，，即．．，整理得：，解得．则．故选：C．写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据列方程解出M的坐标即可求得则．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．12.已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，有下列命题：该三棱锥的体积是；该三棱锥内切球的半径是；该三棱锥外接球的表面积是．其中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图1所示，三棱锥中，，取BC，PA的中点D，E，作如图的连接则，，平面PAD并求得：；，三棱锥的体积为，正确；设内切球的半径为r，球心为M，显然四个面三角形全等，解得，正确；事实上，外接球球心O必在过D点与BC垂直的平面PAD内，和过E点与PA垂直的平面BCE内，故O点在平面PAD和平面BCE的交线DE上，在内，同样，在内，≌，即O为DE的中点，可求得外接球半径R的平方：外接球故错误故选：B．利用过BC中点D与BC垂直的截面三角形PAD为底，以BC高求得体积，验证正确；利用四面全等，由内切球球心为顶点把三棱锥等分四份，不难求得半径r，验证正确；首先确定DE中点为外接球球心，不难求解，验证错误．此题综合考查了锥体体积的灵活处理，内切球及外接球半径的解法，难度适中．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______【答案】2【解析】解：如图所示阴影部分为满足约束条件的可行域，当直线l：过点时，最小，z取得最大值2．故答案为：2．先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点A 时，从而得到的最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14.已知双曲线C：的焦点为，，离心率为若C上一点P满足，则C的方程为______．【答案】【解析】解：由双曲线的定义可知，由，得，则，所以双曲线C的方程为．故答案为：．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．15.在数列中，，，则数列的通项______．【答案】【解析】解：由题意可得：，利用累加法，得：，，于是：．故答案为：直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，累加法在求数列通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：画出函数的图象如图所示：，当时，是在点处的切线，也是在点处的切线，如图所示．过点与点的直线为：．数形结合可知，时，函数的图象与有两个交点．即函数恰有两个零点，故答案为：．画出函数的图象，数形结合，可得时，函数的图象与有两个交点，进而可得答案．本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，函数的零点，数形结合思想，难度中档．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且．求的值；若，，求的面积．【答案】本小题满分12分解：由题，得，可化得，，，，由正弦定理，得分由，，及余弦定理得，又由知，代入中，解得，则，分【解析】由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由，即，可求，由正弦定理即可求得．由及已知及余弦定理得a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间100的为一等品；指标在区间的为二等品现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中有一等品：件，二等品：件，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．记事件A为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则；分由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为，二等品的频率为；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数～，所以，，，；的分布列为：所以数学期望为分【解析】由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值；由题意知随机变量～，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题．19.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，．求证：平面平面PBD；若，，，E为线段PA的中点，求二面角的余弦值．【答案】本小题满分12分证明：如图，连接PO．在菱形ABCD中，O是AC的中点，且，，在中，．又，PO、平面PBD，平面PBD．又平面PAC，平面平面分解：在菱形ABCD中，，，则，又，．在等边中，，．是BD的中点，，在中，，．又，AC，平面ABCD，平面分以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题知0，，1，，，0，分为线段PA的中点，，，0，，设y，是平面BDE的一个法向量，则，．设y，是平面CDE的一个法向量，则，分，二面角的余弦值为分【解析】连接PO，推导出，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．求出，推导出，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：的左焦点为，且点在C上．求C的方程；设点P关于x轴的对称点为点不经过P点且斜率为k的直线l与C交于A，B 两点，直线PA，PB分别与x轴交于点M，N，若，求k．【答案】解：设右焦点为，则，由题意知，，由椭圆的定义，得，所以，又椭圆C的半焦距，所以，所以椭圆C的方程为，由点P关于x轴的对称点为点q，则轴．如图7所示，由，得．设直线PA的方程为，，则直线PB的方程为．图7设，由得，且，即．由于直线PA与C交于P，A两点，所以，；同理可得，，所以．综上，得直线l的斜率k为．【解析】根据椭圆的定义可求出a，再根据半焦距c，可求得b，则C的方程可写出；根据两个角相等，推出两直线斜率为相反数，设出直线PA，与椭圆联立可解得A的坐标，同理得B的坐标，最后用斜率公式可求得斜率．本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．21.已知函数．求的单调区间和极值；当时，若，且，证明：．【答案】解：函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．证明：当时，，，依题意，，则，所以，即由均值不等式可得，所以，则有．而，将代入上式得，令，则，，，，即，在上单调递减，于是，即，得证．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，为参数，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若射线l：与曲线，的交点分别为A，B异于原点，求的取值范围．【答案】解：曲线的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．射线l：的倾斜角，由，得：，由，得，所以．由，所以，故的取值范围为：【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变变换和函数的定义域求出函数的值域．1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设实数x，y满足．若，求x的取值范围；若，，求证：．【答案】解：由，得，所以不等式，即为，所以有或或解得或或，所x的取值范围为．证明：，，所以，当且仅当，即时取等号．又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．【解析】分3种情况去绝对值解不等式，再相并；先变形：，再用基本不等式．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

云南省师范大学附属中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(2i)(1i)(2)(2)i(1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ． 2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x>，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，GP AP <；当点P 位于线段DC 上时，0GPAP >，故当GP AP 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--，当3||AP =时，取得最小值34-，故选C ．5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c==，故2||F H ==；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故2||F H b=，于是b =，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2c e a ==，故选A ． 6．根据正弦定理，由2sin 4sin c A C =，得4ac =，则由π3B =，得2224a c b +-=，则ABC S =△=A ．7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =，故选C.8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．图9．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5AC D ∠=，故选A ．10．π()cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得其图象如图3， 由题意得11π17ππ66ωω<≤，即111766ω<≤，故选B ． 11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f xzf x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半 径为r ，则2212||||||||||A B A F B F A F A F ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r+⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得π6x ω+… 2π 3π xπ6ω-… 11π6ω 17π6ω π2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0…图图图22(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F SS S F F y =+=+△△△12212121212111||||||(||||)||||2222F F y F F y y F F y y =+=-=⨯=121===1t ≥，则13t t +=+=()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时， 2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．21e 2x y '=，则012xy ='=，故12y x =．14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得s i n c o ss i n c αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(1α=或sin21α=>舍去．16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠，解得PA =PA PB PC ===ABC △中，3AD =，则2AE =，在PAE △中，2PE ==，则AE BE CE ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图图（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=；当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去），所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222nn n T ---=++++，两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--，所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分）因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，，422221345ii x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分）∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯， …………………（4分）ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分） （2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=，从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分） （3）由表二得22200(90158510)8 2.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分）因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”． ………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，AB PA PB ===则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=，所以PC AC ⊥，PC BC ⊥， ………………………………………（2分）又因为ACBC C =，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ．………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =(202)-，，，PB = (022)-，，，(02)PD a =-，，， ……………………（6分）平面PBC 的法向量1u =(100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． 1212cos30||||u u u u ︒=，解得a =， ……………………………………（8分）则602PD ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，平面PAB 的法向量3(111)u =，，， ………………………（10分）设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则33||14sin 7||||PD u PD uθ==-，所以所求角的正弦值为. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，图则2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x x y y y +=+=，，由24x y =，得214y x =，故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为12P x x k y x ='==．………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =，所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得204x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，， 于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分） 联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=，∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴12111||||2222PAB S PM x x a =-=⨯=△ 故PAB △的面积为定值2 ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解． 令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分） 再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x '=++>，所以()p x 在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值，于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln 11111e ln 201a a a a H a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <， 2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，．综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l的参数方程为1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，． ………………………………………（4分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1cos )sin )143t t αα++=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos )10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分） 所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥， ……………………………………………（2分）得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）（2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥， ∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。

2019届云南省师范大学附属中学高三第八次月考数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,0,1}A =-，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1,2}-D. {1,0,0,1,1,2}-【答案】C【解析】【分析】根据集合并集定义即可求得B A .【详解】由并集的运算可得 {}1,0,1,2A B ⋃=-故选C.2.复数1z ii =+在复平面上对应的点位于 【】 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解：∵复数1i i +=11112i i i i i -+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是（11,22）∴复数1i i +在复平面内对应的点位于第一象限，故选A3.下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程0.52=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加y x0.5个单位.其中正确的结论是（）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数r的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④。

【详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D4.已知{}n a是正项等比数列，若1a是2a，3a的等差中项，则公比q=（）A. -2B. 1C. 0D. 1，-2 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的定义及等比数列通项公式，可得关于q的方程，由正项等比数列即可求得公比q。