山东省淄博市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文

2014-2015学年山东省淄博七中高二（下）4月月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A.1B.-1C.D.-【答案】A【解析】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．本小题主要考查复数的概念．是基础题．2.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【答案】A【解析】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．3.设f（x）=，，，，（其中e为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：=+=+=+2=．故选C．把积分区间[0，e2]分为[0，1]和[1，e2]，然后在这两个区间上分别积分即可．本题考查了分段函数的定积分，分段函数在不同区间上的表达式不同，所以要分区间积分．4.函数y=x2-lnx的单调递减区间为（）A.（-1，1]B.（0，1]C.[1，+∞）D.（0，+∞）【答案】B【解析】解：∵y=x2-lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2-lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．由y=x2-lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2-lnx的单调递减区间．本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．5.已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A.e2B.eC.D.ln 2【答案】B【解析】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．考查函数的单调性问题．7.已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A.{x|-1＜x＜1}B.{x|x＜-1}C.{x|x＜-1或x＞1}D.{x|x＞1}【答案】D【解析】解：，则＜，∴φ（x）在R上是减函数．，∴＜的解集为{x|x＞1}．故选D．先把不等式＜移项并设φ（x）=f（x）--，然后求出导函数φ′（x）又因为函数′＜，所以φ′（x）＜0即φ（x）是减函数由f（1）=1求出φ（1）=0，根据函数是减函数得到＜的解集即可．此题考查了导数的运算，函数单调性的应用，以及利用导数研究函数的增减性．8.若对任意的x＞0，恒有lnx≤px-1（p＞0），则p的取值范围是（）A.（0，1]B.（1，+∞）C.（0，1）D.[1，+∞）【答案】D【解析】解：因为对任意的x＞0，恒有lnx≤px-1⇒p≥恒成立，设f（x）=只须求其最大值，因为f'（x）=，令f'（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，故f（x）在x=1处取最大值且f（1）=1．故p的取值范围是[1，+∞）．故选D．先把lnx≤px-1转化为p≥恒成立，再利用导函数求函数f（x）=的最大值，让p与其最大值比较即可．在解决恒成立问题时，一般常用转化思想，比如本题就是把lnx≤px-1转化为p≥恒成立．9.已知函数f（x）=x-sinx，若x1、，且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A.x1＞x2B.x1＜x2C.x1+x2＞0D.x1+x2＜0【答案】C【解析】解：函数f（x）=x-sinx是奇函数，由条件知，x1、x2是对称或“对等”的，因此可排除A与B，再取x1=0、检验即知正确选项是C．故选C．根据条件可知x1、x2的大小是不能确定的，从而可排除选项A和B，再取x1=0、检验即可得到答案．本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性的性质，同时考查了排除法解决选择题，属于中档题．10.已知函数f（x）=e x，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A.2B.2+ln2C.e2D.2e-ln【答案】B【解析】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，∴|AB|=2-lnm，令y=-lnx（x＞0），则y′=-，∴x=，∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，∴y=-lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴x=时，|AB|min=2+ln2．故选：B．由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.dx= ______ ．【答案】4π【解析】解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，故dx=S扇形=×42×π=4π．故答案为：4π．由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，其面积是圆的面积的四分之一，问题得以解决．本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．12.若函数y=-x3+ax有三个单调区间，则a的取值范围是______ ．【答案】（0，+∞）【解析】解：∵数y=-x3+ax有三个单调区间，∴y′=-x2+a的图象与x轴有两个交点，∴△=0-4（-1）a=4a＞0∴a＞0，故答案为：（0，+∞）．根据函数y=-x3+ax有三个单调区间，可知y′有正有负，而导函数是二次函数，故导函数的图象与x轴有两个交点，△＞0，即可求得b的取值范围．考查利用导数研究函数的单调性，把函数有三个单调区间，转化为导函数的图象与x轴的交点个数问题，体现了转化的思想，属基础题．13.已知a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上单调递增，则a的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：∵f（x）=x3-ax，∴f′（x）=3x2-a=3（x-）（x+）∴f（x）=x3-ax在（-∞，-），（，+∞）上单调递增，∵函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上单调递增，∴≤1⇒a≤3∴a的最大值为3故答案为：3．先利用导函数求出原函数的单调增区间，再让[1，+∞）是所求区间的子集可得结论．本题考查了用导函数求原函数的单调区间．在用导函数求原函数的单调区间时，导函数大于0对应的区间是原函数的单调增区间；导函数小于0对应的区间是原函数的单调减区间．14.曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是______ ．【答案】【解析】解：设直线2x-y+c=0与直线2x-y+1=0平行，且与曲线y=2lnx相切，切点为P（m，2lnm）由y'=，即有=2，解得m=1，可得切点为P（1，0），可得P到直线2x-y+1=0的距离d==，即曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是．故答案为：．设直线2x-y+c=0是曲线y=2lnx的切线且与直线2x-y+1=0平行，利用导数的几何意义求出切点坐标，再由点到直线的距离公式，即可算出曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0的最短距离．本题求曲线上动点到直线的最短距离，着重考查了点到直线的距离公式和导数的几何意义等知识，属于中档题．15.已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第70个数对是______ ．【答案】（4，9）【解析】解：由已知可知：其点列的排列规律是（m，n）（m，n∈N*）m+n的和从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大．而m+n=2只有一个（1，1）；m+n=3有两个（1，2），（2，1）；m+n=4有3个（1，3），（2，2），（3，1）；…m+n=11有10个（1，10），（2，9），…，（10，1）；m+n=12有11个（1，11），（2，10），…，（11，1）；其上面共有1+2+…+11=66个；m+n=13的有（1，12），（2，11），（3，10），（4，9），（5，8），（6，7），（7，6）…故第70个数对是（4，9）．故答案为：（4，9）由已知可知：其点列的排列规律是（m，n）（m，n∈N*）m+n的和从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大．据此即可得出．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知F（x）=dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．【答案】解：依题意得，，定义域是（0，+∞）．（2分）（1）F'（x）=x2+2x-8，令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4；令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，且函数定义域是（0，+∞），∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且，，F（3）=-6，∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是．（10分）（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F （x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是．本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．17.已知a＜2，函数f（x）=（x2+ax+a）e x．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）的极大值是6e-1，求a的值．【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）e x，∴f′（x）=（x2+3x+2）e x=（x+1）（x+2）e x，由f′（x）≥0，得x2+3x+2≥0，解得x≥-1或x≤-2．∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2]，[-1，+∞）．（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]e x，由f′（x）=0，解得x=-2或x=-a．∵a＜2，∴-a＞-2．列表如下：由表格可知：当x=-2时，函数f（x）求得极大值，且f（-2）=（4-a）e-2．∴（4-a）e-2=6e-1，解得a=4-6e．∴a的值是4-6e．【解析】（1）通过求导，利用f′（x）≥0即可得出；（2）先求出f′（x），得出其单调区间，列出表格，即可得出a的值．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值等性质是解题的关键．18.用数学归纳法证明等式：12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）（n∈N*）证明：（1）当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×（2+1）=-3，故左边=右边，∴当n=1时，等式成立；（2）假设n=k（k∈N）时，等式成立，即12-22+32-…+（2k-1）2-（2k）2=-k（2k+1）成立，那么n=k+1时，左边=12-22+32-…+（2k+1）2-（2k+2）2=（k+1）（-2k-3）=-（k+1）[2（k+1）+1]综合（1）、（2）可知等式12-22+32-42++（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）对于任意正整数都成立．【解析】用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．19.已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在，内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．【答案】解（1）′，′，f（2）=aln2-4b．∴，且aln2-4b=-6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，则′，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．在，内，当x∈，时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在，内有两个不等实根的充要条件是＞即1＜m≤．【解析】（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为3元，并且每件商品需向总店交a （1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10-x）2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．【答案】解：（1）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的解：函数关系式为L（x）=（x-3-a）（10-x）2，x∈[7，9]，（2）L'（x）=（x-10）（3x-2a-16），令L'（x）=0，得或x=10，∵1≤a≤3，∴．①当时，即时，当x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，故L（x）max=L（7）=36-9a，②当＞时，即＜时，，时，L'（x）＞0；，时，L'（x）＜0，∴L（x）在，上单调递增；在，上单调递减，故，答：当，每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为36-9a万元；当＜每件商品的售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元．【解析】（1）首先，根据利润函数，建立利润函数解析式，写出函数的定义域；（2）先求解L'（x），然后，令导数为0，求解极值点，然后，对极值点的取值进行讨论，从而求解最大值．本题综合考查了函数的综合运用，利用导数求解函数的最值问题等知识，属于中档题．21.已知函数f（x）=e x-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅱ）f′（x）=e x-a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f（x）＜mx在，上有解，即，使f（x）＜mx成立，即，使＞成立，所以＞．令，′，所以g（x）在，上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-1，所以m∈（e-1，+∞）．【解析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）由函数f（x）=e x-ax得到f′（x）=e x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在，上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．。

2014-2015学年山东省淄博市张店六中高二（下）期末数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={x|x2+2x-3=0}，N={-1，2，3}，则M∪N=（）A.{-1，3}B.{-1，1，3}C.{-1，1，2，-3，3}D.{-1，1，-3}【答案】C【解析】解：由M中方程变形得：（x-1）（x+3）=0，解得：x=1或x=-3，即M={-3，1}，∵N={-1，2，3}，∴M∪N={-1，1，2，-3，3}，故选：C．求出M中方程的解确定出M，找出M与N的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知复数z满足（1-i）z=i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：由（1-i）z=i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.函数的定义域为（）A.[1，+∞）B.（1，+∞）C.，∞D.，【答案】A【解析】解：要使函数有意义，有，解得x≥1，所以函数f（x）的定义域是[1，+∞），故选：A．由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零，列出不等式组，求出函数的定义域本题考查函数的定义域的求法，注意根据解析式和限制条件列出不等式组，定义域要用集合或区间表示4.“cosα=”是“α=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=，”，“α=”⇒“cosα=”．故选B．“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=，”，“α=”⇒“cosα=”．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．5.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A.f（x）=x2B.f（x）=C.f（x）=e xD.f（x）=sinx【答案】D【解析】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（-x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6.下列命题中的假命题是（）A.∀x∈R，2x＞0B.∃a∈（0，1），log a＞0C.∀x∈（0，1），x＜1D.∃α∈（0，），sinα+cosα=【答案】D【解析】解：对于A，根据指数函数的性质，可知正确；对于B，根据对数函数的单调性，可知正确；对于C，根据指数函数的性质，可知正确；对于D，sinα+cosα=sin（α+），∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴α∈（0，），sinα+cosα，故不正确．故选：D．利用指数函数、对数函数、三角函数的性质，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，正确运用指数函数、对数函数、三角函数的性质是关键．7.已知向量与的夹角为60°，且||=||=2，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为（）A. B.1 C.2 D.-【答案】B【解析】解：∵向量与的夹角为60°，且||=||=2，∴向量•=||||cos60°=2×2×=2，∵=λ+，且⊥，∴•=（λ+）•=0，即λ•+•=0，则λ•（-）+•（-）=0，即λ•-λ2+2-•=0，则2λ-4λ+4-2=0，2λ=2，解得λ=1，故选：B．根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键．8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A.关于点（，0）对称B.关于直线x=对称C.关于点（，0）对称D.关于直线x=对称【答案】D【解析】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x-）+φ]=sin（2x-+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=-，故函数f（x）=sin（2x-），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x-）关于直线x=对称，故选：D．由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x-+φ]是奇函数，可得φ=-，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．设，，，则（）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（c）＞f（a）＞f（b）D.f（c）＞f（b）＞f（a）【答案】C【解析】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）；|a|=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a|，c=＜＜；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．根据已知条件便可判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系．考查偶函数的概念，函数单调性的定义，根据对数函数的单调性判断对数的取值情况，以及减函数定义的运用．10.如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A.[1，+∞）B.，C.[0，1]D.，【答案】D【解析】解：f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，y==x-1+，y′=-•=；故y==x-1+在[-，]上是减函数，故“缓增区间”I为[1，]；故选D．由题意，求f（x）=的增区间，再求y==x-1+的减函数，从而求缓增区间．本题考查了函数的性质应用，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知函数f（x）=，则f（f（））的值是______ ．【答案】【解析】解：由题意可得：函数f（x）=，∴f（）=log2=-2∴f（f（））=f（-2）=3-2+1=．故答案为：．根据对数的运算法则可求出f（4）的值，从而可将f（f（4））从内向外去除括号，求出所求．本题主要考查了函数求值，解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式，并且加以正确的运算，属于基础题．12.已知=（2，1），=（1，-3），若=+2，=2-x，且⊥，则x= ______ ．【答案】【解析】解：∵=（2，1），=（1，-3），∴=+2=（4，-5），=2-x=（4-x，2+3x），又⊥，∴•=4（4-x）-5（2+3x）=0；解得x=．故答案为：．根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，求出x的值．本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．x，y）的四组数值分别是根据上表可得回归方程x+，据此模型预报当x为20时，y的值为______ ．【答案】26.5【解析】解：==17.5，==39∴回归方程过点（17.5，39）代入=-5x+得39=-5×17.5+，∴=126.5∴x=20时，y=-5×20+126.5=26.5，故答案为：26.5．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知（，）在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，求出对应的a值，即可得出结论．本题就是考查回归方程过定点（，），考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题．14.已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为______ ．【答案】（-∞，-3）∪（6，+∞）【解析】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，∴f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，∴△=4m2-12（m+6）＞0解得m＜-3或m＞6．故答案为：（-∞，-3）∪（6，+∞）．求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．15.已知函数f（x）=M sin（ωx+φ），（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）= ______ ．【答案】2【解析】2解：已知函数f（x）=M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，所以：M=2，根据函数的图象，设A（x1，2），B（x2，-2），则：所以：|x1-x2|=3，所以函数的周期为6，所以：，解得：ω=，由于：f（0）=1，所以：f（0）=2sinφ=1又，所以：φ=，所以：f（x）=2sin，则：f（-1）=，故答案为：2．首先利用函数的图象确定函数的最大值，进一步利用两点间的距离求出函数的周期，进一步利用f（0）=1，求出φ的值最后确定函数的解析式，最后求出结果．本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，已知sin（+A）=，cos（π-B）=-．（1）求sin A与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【答案】解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2-2accos B得49=25+c2-5c，解得c=8或c=-3（舍去），∴b=7，c=8．【解析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17.已知p：x2+4mx+1=0有两个不等的负数根，q：函数f（x）=-（m2-m+1）x在（-∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【答案】解：p：x2+4mx+1=0有两个不等的负根⇔＞＜，解得m＞----------（2分）q：函数f（x）=-（m2-m+1）x在（-∞，+∞）上是增函数，则0＜m2-m+1＜1，解得0＜m＜1---（5分）若p或q为真，p且q为假，则p，q为一真，一假，（1）若p真，q假，则＞或，解得m≥1；----（8分）（2）若p假，q真，则，解得0＜m≤----（11分）＜＜综上，得m≥1，或0＜m≤---------------（12分）【解析】求出命题p，q成立的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可．本题主要考查复合命题之间的关系的应用，求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．18.已知函数f（x）=+cx+d的图象过点（0，3），且在（-∞，-1）和（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在R上的极值．【答案】解：（1）∵f（x）的图象过点（0，3），∴f（0）=d=3∴，∴f'（x）=x2+2bx+c又由已知得x=-1，x=3是f'（x）=0的两个根，∴故…（8分）（2）由已知可得x=-1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点∴f（x）极大值=f（x）极小值=f（3）=-6…（12分）【解析】（1）函数f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数，说明x=-1，x=3是f'（x）=0的两个根，求导后解方程即可；（2）利用导数求极值，先求函数的导函数，令导函数等于0，解出x的值，为函数的极值点，由已知可得x=-1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点，然后把极值点代入原函数，求出函数值即可．本题主要考查了应用导数求函数的极值、导数在函数中的应用，极值的意义，解题时要透彻理解函数与其导函数的关系，熟练运用消元化简的技巧提高解题效率19.设函数（其中ω＞0），且f（x）的最小正周期为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．【答案】解：（Ⅰ）函数=2sin（2ωx+）（其中ω＞0），它的最小正周期为=2π，∴ω=，故f（x）=2sin（x+）．（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）=2sin（2x+）的图象，令2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．【解析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的周期性求得ω的值．（Ⅱ）由条件利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）的增区间．本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦函数的周期性和单调性，以及函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．20.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】解：（1）当＜时，；当x＞10时，W=x R（x）-（10+2.7x）=98--2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1-=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【解析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）-成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．21.已知函数f（x）=x2-2alnx+（a-2）x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性．【答案】解f′（x）=x-+a-2=，（x＞0），（1）当a=1时，f′（x）=，f′（1）=-2，∴所求的切线方程为y-f（1）=-2（x-1），即4x+2y-3=0．（2）①当-a=2，即a=-2时，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当-a＜2，即-2＜a＜0时，∵0＜x＜-a或x＞2时，f′（x）＞0；-a＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a），（2，+∞）上单调递增，在（-a，2）上单调递减；③当-a＞2，即a＜-2时，∵0＜x＜2或x＞-a时，f′（x）＞0；2＜x＜-a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上单调递增，在（2，-a）上单调递减，综上a=-2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．-2＜a＜0时，f（x）在（0，-a），（2，+∞）上单调递增，在（-a，2）上单调递减，a＜-2时，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上单调递增，在（2，-a）上单调递减．【解析】先求出函数的导数（1）将a=1代入，求出f′（1）的值，从而求出切线方程；（2）通过讨论a的范围，求出f′（x）的符号，从而得到函数的单调性．本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．。

2014-2015学年山东省淄博市八校高二（下）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）A. B.2 C.- D.【答案】D【解析】解：==由解得a=．故选D．复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出a．本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1-x，根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，即4次射击全部没有命中目标的概率为1-=，有（1-x）4=，解可得，x=，故选B．根据题意，设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1-x，又由题意，可得4次射击全部没有命中目标的概率为，即（1-x）4=，解可得答案．本题考查相互独立事件的概率计算，注意利用对立事件概率的性质进行分析解题．3.若＞，则a的值是（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】解：∵（x2）′=2x，′，∴==（a2-1）+lna由＞，所以（a2-1）+lna=3+ln2，所以a=2．故选A．先由微积分基本定理求解等式左边的积分，然后用求得的结果等于3+ln2，则a可求．本题考查了定积分的求法，解答的关键是找出被积函数的原函数，属基本题．4.二项式的展开式的常数项为第（）项．A.17B.18C.19D.20【答案】C【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=••（-2）r•=（-2）r••．令=0，解得r=18，故常数项是递19项，故选C．先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.下列说法错误的是（）A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【答案】B【解析】解：根据相关关系的概念知A正确，根据线性回归直线不一定过样本数据点中的任意一个点，要通过样本中心点，故B不正确，对于这组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，根据对R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，知C，D正确，故选B．根据线性回归直线不一定过样本数据点中的任意一个点，要通过样本中心点，对于这组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，根据对R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好．本题考查相关关系的概念，考查残差点的分布特点与拟合效果的关系，考查相关系数与拟合效果的关系，考查线性回归直线与这组数据对应的点之间的关系，本题是一个基础题．6.用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243B.252C.261D.279【答案】B【解析】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900-648=252．故选B．求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．7.从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A/B）．又P（AB）=P（A）==，P（B）==，由公式P（A/B）===，故选A设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8.在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=-3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=-b），则a=（）A.-24B.35.6C.40.5D.40【答案】D【解析】解：∵a=-b=8-（-3.2）10=40，故选D．先求出横标和纵标的平均数，根据a=-b，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值．题目中给出公式，只要代入求解即可，得到结果．本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．9.在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（）A.有95%的把握认为两者有关B.约有95%的打鼾者患心脏病C.有99%的把握认为两者有关D.约有99%的打鼾者患心脏病【答案】C【解析】解：∵计算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，故选C．这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．10.给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′．若f″（x）＞0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凹函数．以下四个函数在（0，）上是凹函数的是（）A.f（x）=sinx+cosxB.f（x）=lnx-2xC.f（x）=-xe-xD.f（x）=-x3+2x-1【答案】C【解析】解：对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，当x∈（0，）时，f″（x）＜0，故不为凹函数，排除A；对于f（x）=lnx-2x，f′（x）=-2，f″（x）=-，x∈（0，）时，f″（x）＜0，故不为凹函数，排除B；对于f（x）=-xe-x，f′（x）=（x-1）e-x，f″（x）=（2-x）e-x，x∈（0，）时，f″（x）＞0，故为凹函数，对于f（x）=-x3+2x-1，f′（x）=-3x2+2，f″（x）=-6x，x∈（0，）时，f″（x）＜0，故不为凹函数，排除D；故选：C．由题目中的信息可知，分别将四个选项中的函数求导，再求导．再判断f″（x）是否大于0即可．本题通过新定义函数来考查已有的知识的运用即恒成立问题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.设随机变量ξ～N（1，1），P（ξ＞2）=p，则P（0＜ξ＜1）的值是______【答案】【解析】解：ξ～N（1，1），Eξ=1，由正态分布图形可知图形关于x=1对称，故P（0＜ξ＜1）=（1-P（ξ＞2））=-P故答案为：-P随机变量ξ～N（1，1），为正态分布，期望为1，由正态分布图形可知图形关于x=1对称，故P（0＜ξ＜1）=（1-P（ξ＞2））本题考查正态分布的概率问题，属基本题型的考查．解决正态分布的关键是抓好正态分布的图形特征．12.若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于______ ．【答案】2【解析】解：f'（x）=sinx+xcosx，′，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故答案为：2．先求出导函数f'（x），求出′的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．13.设随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），则P（＜＜）= ______ ．【答案】【解析】解：随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），可得：，解得a=10，P（＜＜）==．故答案为：．利用概率分布列求出a，然后求解P（＜＜）即可．本题考查离散型随机变量的分布列，概率的求法，考查计算能力．14.观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是______ ．【答案】3602【解析】解：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+[2（61-1）-1]=3602．故答案为：3602．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+[2（61-1）+1]，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，比较基础．15.设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=，，＞，取函数f（x）=2-x-e-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f K（x）=f（x），则K的最小值为______ ．【答案】1【解析】解：f′（x）=-1+e-x=，当x＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此当x=0时，函数f（x）取得最大值f（0）=1．∵对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f K（x）=f（x）≤1，又对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f K（x）=f（x），∴故K的最小值为1．故答案为：1．利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，和函数f K（x）的定义即可得出．本题考查了导数研究函数f（x）的单调性极值与最值和新定义，属于难题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X为取出3球中白球的个数，已知．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及其数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则，即，解得n=6．故袋中白球的个数为6；（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X的取值为0，1，2，3．则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=．随机变量X的分布列如下：．【解析】（I）设袋中有白球n个，利用古典概型的概率计算公式即可得到P（X=3）=，解出即可；（II）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X的取值为0，1，2，3．利用超几何分布P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即可得出．熟练掌握古典概型的概率计算公式和超几何分布的概率计算公式是解题的关键．17.用数学归纳法证明：1+++…+＜2（n∈N+）．【答案】证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=2，1＜2，所以不等式成立．…（3分）（2）假设n=k时不等式成立，即1+++…+＜2，…（5分）则当n=k+1时，1+++…++＜2=＜=，…（10分）即当n=k+1时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…（12分）【解析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．18.已知（+）n的展开式前三项中的x的系数成等差数列．（1）展开式中所有的x的有理项为第几项？（2）求展开式中系数最大的项．【答案】解：（1）因为展开式前三项中的x的系数成等差数列，所以，所以n=8或n=1（舍去），n=8时，展开式的通项公式为T r+1=，由题意，4-r必为整数，从而可知r必为4的倍数，∴r=0，4，8，∴展开式中所有的x的有理项为第1，5，9项；（2）设第r+1项为系数最大的项，则由且，可得，∴2≤r≤3，∴r=2或r=3，∴系数最大的项为和．【解析】（1）根据展开式前三项中的x的系数成等差数列，可得，求出n，写出展开式的通项公式，根据x的指数为整数，即可得出结论；（2）设第r+1项为系数最大的项，则由且，可得，求出r，即可求展开式中系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．19.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和（Ⅰ）如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？（Ⅱ）求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．【答案】解：（I）设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，；；．所以ξ的分布列为∴Eξ=3.6同理，设选手甲在B区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，所以η的分布列为：∴Eη=3，∵Eξ＞Eη，∴选手甲应该选择A区投篮．（Ⅱ）设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，有（I）知：＞且或且故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为．【解析】（I）由题意选手甲在A，B区投篮的次数X，Y这两个随机变量符合二项分布，再利用二项分布的定义找到随机变量X，Y的分布列，再利用期望公式即可求得；（II）由题意设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，有（I）知结果．此题考查了学生的理解能力及计算能力，还考查了随机变量的定义及其分布列，还考查了随机变量的期望的定义．20.已知函数f（x）=alnx-（a为常数）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求a的值；（2）讨论函数g（x）=f（x）-x的单调性．【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）′，由曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，可得′，解得a=3；（2）g（x）=f（x）-x=alnx--x，g′（x）=-1+==，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，若a-1＞1即a＞2时，由g′（x）＞0得1＜x＜a-1，由g′（x）＜0得0＜x＜1或x＞a-1，则a＞2时，g（x）的增区间为（1，a-1），减区间为（0，1），（a-1，+∞）；若a-1=1即a=2时，g′（x）＜0，即有g（x）的减区间为（0，+∞）；若0＜a-1＜1即1＜a＜2时，可得g（x）的减区间为（0，a-1），（1，+∞），增区间为（a-1，1）；若a-1≤0，即a≤1时，g（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．综上可得，当a＞2时，g（x）的增区间为（1，a-1），减区间为（0，1），（a-1，+∞）；当a=2时，g（x）的减区间为（0，+∞）；当1＜a＜2时，g（x）的增区间为（0，a-1），（1，+∞），减区间为（a-1，1）；当a≤1时，g（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）【解析】（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得′，解方程即可得到a的值；（2）求出g（x）的导数，并分解因式，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，对a讨论，当a＞2时，当a=2时，当1＜a＜2时，当a≤1时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，掌握导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率和分类讨论的思想方法是解题的关键．21.已知函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．（1）求a，b的值；（2）当，时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（3）证明对任意的正整数n，不等式＞都成立．【答案】解：（1）∵f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R），∴′，∵函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x，∴′，∴…（4分）（2）由（1）知f（x）=x2-ln（x+1）（x＞-1）∵当x∈[-，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，∴关于x的方程x2-ln（x+1）+x=m在[-，1]上有两个不相等的实根．…（5分）令F（x）=x2-ln（x+1）+x，（x＞-1），′==，由F′（x）=0，得x=0或x=-（舍去）．当-1＜x＜0时，F′（x）＜0；当x＞0时，F′（x）＞0．∴F（x）在x=0处取得极小值，∴F（x）min=F（0）=0，又F（-）==-，F（1）=2-ln2，由F（1）-F（-）==＞，知F（1）＞F（-），∴，…（9分）（3）令g（x）=f（x）-x3=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1）′，∵0＜x≤1，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0，∵，，∴g（）=f（）-＜0，∴对任意的正整数n，不等式＞都成立．…（14分）【解析】（1）由′，函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x，知′，由此能求出a，b的值．（2）由（1）知f（x）=x2-ln（x+1）（x＞-1），由当x∈[-，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，知关于x的方程x2-ln（x+1）+x=m在[-，1]上有两个不相等的实根．由此能够求出实数m的取值范围．（3）令g（x）=f（x）-x3=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1），则′，故g（x）在（0，1]上为减函数，由此能够证明对任意的正整数n，不等式＞都成立．本题考查导数性质的应用，具体涉及到函数的单调性、极值、切线方程，不等式、一元二次方程根的判别式等基本知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答．。

2014-2015学年山东省淄博市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）A．B．2C．﹣D．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知在处有极值，则（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝D．a＝04．（5分）若，则a的值是（）A．2B．3C．4D．65．（5分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++6．（5分）设f0（x）＝sin x+cos x，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x）．则f2016（x）＝（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x 7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是（）A．B．C．1D．9．（5分）在R上可导的函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝f（），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）半径为r的圆的面积S（r）πr2，周长C（r）＝2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′＝2πr；对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于上述的式子：．12．（5分）已知f（x）＝2|x|，则∫f（x）dx＝．13．（5分）若曲线f（x）＝x•sin x+1在x＝处的切线与直线ax+2y+1＝0互相垂直，则实数a等于．14．（5分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＞0的解集为．15．（5分）在对于实数x，[x]表示不超过的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21按照此规律第n个等式为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i），当实数m取什么值时，（1）复数z是实数；（2）复数z是纯虚数；（3）复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．17．（12分）已知复数，且，求倾斜角为θ并经过点（﹣6，0）的直线l与曲线y＝x2所围成的图形的面积．18．（12分）设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{a n}的一个通项公式并证明你的结论．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y＝x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．21．（15分）已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y＝﹣x．（1）求a，b的值；（2）当时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（3）证明对任意的正整数n，不等式都成立．2014-2015学年山东省淄博市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）A．B．2C．﹣D．【解答】解：＝＝由解得a＝．故选：D．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：B．3．（5分）已知在处有极值，则（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝D．a＝0【解答】解：求导函数，可得y′＝a cos x+cos3x∵在处有极值，∴时，y′＝a cos+cosπ＝0∴a＝2故选：B．4．（5分）若，则a的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵（x2）′＝2x，，∴＝＝（a2﹣1）+lna由，所以（a2﹣1）+lna＝3+ln2，所以a＝2．故选：A．5．（5分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选：D．6．（5分）设f0（x）＝sin x+cos x，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x）．则f2016（x）＝（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x 【解答】解：∵f0（x）＝sin x+cos x，∴f1（x）＝f0′（x）＝cos x﹣sin x，f2（x）＝f1′（x）＝﹣sin x﹣cos x，f3（x）＝﹣cos x+sin x，f4（x）＝sin x+cos x，以此类推，可得出f n（x）＝f n+4（x）∴f2016（x）＝f504（x）＝f0（x）＝sin x+cos x×4故选：A．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据y＝f（x）的图象可得，原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为减、增、减，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为﹣、+、﹣，结合所给的选项，故选：A．8．（5分）曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是（）A．B．C．1D．【解答】解：联立得x1＝0，x2＝1，所以曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积S＝＝＝﹣＝．故选：A．9．（5分）在R上可导的函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝x2+ax+2b，设x2+ax+2b＝（x﹣x1）（x﹣x2），（x1＜x2）则x1+x2＝﹣a，x1x2＝2b，因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜﹣a＜3，0＜2b＜2，﹣3＜a＜﹣1，0＜b＜1．∴﹣2＜b﹣2＜﹣1，﹣4＜a ﹣1＜﹣2，∴，故选：A．10．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝f（），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：设h（x）＝xf（x），∴h′（x）＝f（x）+x•f′（x），∵y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）＝f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a＝f（）＝h（），b＝﹣2f（﹣2）＝2f（2）＝h（2），c＝（ln）f（ln）＝h（ln）＝h（﹣ln2）＝h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）半径为r的圆的面积S（r）πr2，周长C（r）＝2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′＝2πr；对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于上述的式子：．【解答】解：V球＝，S球＝4πR2，所以．故答案为：．12．（5分）已知f（x）＝2|x|，则∫f（x）dx＝．【解答】解：f（x）＝2|x|＝，∴∫f（x）dx＝（）x dx+2x dx＝|+|＝+＝，故答案为：．13．（5分）若曲线f（x）＝x•sin x+1在x＝处的切线与直线ax+2y+1＝0互相垂直，则实数a等于2．【解答】解：f'（x）＝sin x+x cos x，，即函数f（x）＝x sin x+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1＝0的斜率是，所以，解得a＝2．故答案为：2．14．（5分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【解答】解：由图可知函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递增，∴在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）区间f′（x）＞0，在（﹣1，1）函数f（x）单调递减，∴f′（x）＜0，所以x与f′（x）同正负的区间有：（﹣1，0 ），（1，+∞），故不等式xf′（x）＞0的解集为：（﹣1，0 ）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0 ）∪（1，+∞）15．（5分）在对于实数x，[x]表示不超过的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21按照此规律第n个等式为[]+[]+…+[]＝2n2+n．【解答】解：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以[]＝[]＝[]＝1，[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝2，…，因为等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边＝n（2n+1）＝2n2+n，即[]+[]+…+[]＝2n2+n．故答案为：[]+[]+…+[]＝2n2+n．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i），当实数m取什么值时，（1）复数z是实数；（2）复数z是纯虚数；（3）复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．【解答】解：复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，（1）若复数z是实数，则由m2﹣3m+2＝0，得m＝1或m＝2．（2）若复数z是纯虚数，则由，得m＝﹣．（3）若复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．所以2m2﹣3m﹣2＝m2﹣3m+2，解得m＝±2．17．（12分）已知复数，且，求倾斜角为θ并经过点（﹣6，0）的直线l与曲线y＝x2所围成的图形的面积．【解答】解：∵z＝sinθ+2i，∴，有∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴直线l的斜率k＝tan＝1，又∵直线l过点（﹣6，0），∴直线l的方程为y＝x+6．联立，解之得x＝﹣2，或x＝3．所要求的面积S＝（x+6﹣x2）dx＝（＝．18．（12分）设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{a n}的一个通项公式并证明你的结论．【解答】解：（1）由a1＝2，得a2＝a12﹣a1+1＝3由a2＝3，得a3＝a22﹣2a2+1＝4由a3＝4，得a4＝a32﹣3a3+1＝5（1）用数学归纳法证明①由a1＝2＝1+1知n＝1时，a n＝n+1成立设n＝k（k属于正整数）时a n＝n+1成立，即a k＝k+1则当n＝k+1时，因为a n+1＝a n2﹣na n+1，所以a k+1＝a k2﹣k（k+1）+1＝（k+1）2﹣k（k+1）+1＝k2+2k+1﹣k2﹣k+1＝k+2综上，a n＝n+1成立19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y＝x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解答】解：（I）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）＝0，得x＝80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x＝80时，h（x）取到极小值h（80）＝11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（I）当k＝2时，由于所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）当k＝0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k＝1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．21．（15分）已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y＝﹣x．（1）求a，b的值；（2）当时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（3）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R），∴，∵函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y ＝﹣x，∴，∴…（4分）（2）由（1）知f（x）＝x2﹣ln（x+1）（x＞﹣1）∵当x∈[﹣，1]时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，∴关于x的方程x2﹣ln（x+1）+x＝m在[﹣，1]上有两个不相等的实根．…（5分）令F（x）＝x2﹣ln（x+1）+x，（x＞﹣1），＝＝，由F′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣（舍去）．当﹣1＜x＜0时，F′（x）＜0；当x＞0时，F′（x）＞0．∴F（x）在x＝0处取得极小值，∴F（x）min＝F（0）＝0，又F（﹣）＝＝﹣，F（1）＝2﹣ln2，由F（1）﹣F（﹣）＝＝，知F（1）＞F（﹣），∴…（9分）（3）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x2﹣ln（x+1）﹣x3（0＜x≤1），∵0＜x≤1，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上为减函数，∴g（x）＜g（0）＝0，∵，∴g（）＝f（）﹣＜0，∴对任意的正整数n，不等式都成立．…（14分）。