福建高考数学文科

精品文档 精品文档绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. 设点(,)P x y ,则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的 （ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. 若集合{1,2,3}A =,{1,3,4}B =,则A B I 的子集个数为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 16 4. 双曲线221x y -=的顶点到其渐进线的距离等于（ ）A .12B .22C . 1D . 25. 函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）A .B .C .D .6. 若变量x ,y 满足约束条件2,1,0,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥则2z x y =+的最大值和最小值分别为（ ）A . 4和3B . 4和2C . 3和2D . 2和0 7. 若221x y +=,则x y +的取值范围是（ ）A . [0,2]B . [2,0]-C . [2,)-+∞D . (,2]-∞-8. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数n 后,输出的(10,20)S ∈,那么n 的值为（ ）A . 3B . 4C . 5D . 69. 将函数ππ()sin(2)()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x 的图象都经过点3(0,)P ,则ϕ的值可以是 （ ）A .5π3B .5π6C .π2D .π610. 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r,则该四边形的面积为（ ） A . 5B . 25C . 5D . 1011. 已知x 与y 之间的几组数据如下表：x1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y bx a =+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ''=+,则以下结论正确的是（ ）A . $,bb a a ''>>$ B . $,bb a a ''><$ C . $,bb a a ''<>$D . $,bb a a ''<<$ 12. 设函数()f x 的定义域为R ,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A . x ∀∈R ,0()()f x f x ≤B . 0x -是()f x -的极小值点C . 0x -是()f x -的极小值点D . 0x -是()f x --的极小值点姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知函数32,0,()πtan,0,2x xf xx x⎧⎪=⎨-⎪⎩＜≤＜则π(())4f f=________.14.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事件“310a-＜”发生的概率为________.15.椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F,2F,焦距为2c.若直线)y x c=+与椭圆Γ的一个交点M满足12212MF F MF F∠=∠,则该椭圆的离心率等于_________.16. 设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数()y f x=满足：（ⅰ）{()|}T f x x S=∈；（ⅱ）对任意12,x x S∈,当12x x＜时,恒有12()()f x f x＜,那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合：①A=N,*B=N；②{|13}A x x=-≤≤,{|810}B x x=-≤≤；③{|01}A x x=＜＜,B=R.其中,“保序同构”的集合对的序号是_________.（写出所有“保序同构”的集合对的序号）三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列{}na的公差1d=,前n项和为nS.（Ⅰ）若1,1a,3a成等比数列,求1a；（Ⅱ）若519S a a>,求1a的取值范围.18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD-中,PD⊥平面ABCD,AB DC∥,AB AD⊥,5BC=,3DC=,4AD=,60PAD∠=o.（Ⅰ）当正视方向与向量ADu u u r的方向相同时,画出四棱锥P ABCD-的正视图（要求标出尺寸,并写出演算过程）；（Ⅱ）若M为PA的中点,求证：DM∥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥D PBC-的体积.19.（本小题满分12分）精品文档某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：2 2112212211212()n n n n nn n n nχ++++-=（注：此公式也可以写成22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++）20.（本小题满分12分）如图,抛物线2:4E y x=的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,||CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.（Ⅰ）若点C的纵坐标为2,求||MN；（Ⅱ）若2||||||AF AM AN=g,求圆C的半径.21.（本小题满分12分）如图,在等腰直角OPQ△中,90POQ∠=o,22OP=,点M在线段PQ上.（Ⅰ）若5OM=,求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上,且30MON∠=o,问：当POM∠取何值时,OMN△的面积最小？并求出面积的最小值.22.（本小题满分14分）已知函数()1e xaf x x=-+（a∈R,e为自然对数的底数）.（Ⅰ）若曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线平行于x轴,求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的极值；（Ⅲ）当1a=时,若直线:1l y kx=-与曲线()y f x=没有公共点,求k的最大值.2()P kχ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828精品文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学(文史类)答案解析11精品文档精品文档。

2020年全国统一考试文科数学试卷+解析（福建卷，含解析）第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1+i)+(2-3i)=a+bi（a,b∈R,i是虚数单位），则a,b 的值分别等于（）A．3, -2 B．3, 2 C．3, -3 D．-1, 4【答案】A【解析】试题分析：由已知得3 - 2i =a +bi ，所以a = 3,b =-2 ，选A．考点：复数的概念．2．若集合M ={x -2 ≤x < 2}，N ={0,1, 2}，则M N 等于（）A．{0}B．{1}C．{0,1, 2}D{0,1}【答案】D考点：集合的运算．3.下列函数为奇函数的是( )A．y =x B．y =e x C．y = cos x D．y =e x -e-x【答案】D【解析】试题分析：函数y =x 和y =e x 是非奇非偶函数；y = cos x 是偶函数；y =e x -e-x 是奇函数，故选 D．考点：函数的奇偶性．4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为 1，则输出y 的值为（） A．2B．7 C．8 D．128【答案】C【解析】⎧2x , x ≥ 2,试题分析：由题意得，该程序表示分段函数 y = ⎨ ⎩9 - x , x < 2，则 f (1) = 9 -1 = 8，故选 C ．考点：程序框图．5．若直线 x + y= 1(a > 0,b > 0) 过点(1,1) ，则a + b 的最小值等于（ ）a bA ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C考点：基本不等式．6. 若sin α =-5，且α 为第四象限角，则tan α 的值等于（ ）13 A ． 12B ． - 12C ． 5D ． - 55 5 【答案】D【解析】1212试题分析：由sin α =- 5 ，且α 为第四象限角，则cos α = 1-sin2α =12，则tan α =sin α⎨ 1=- 51213，故选 D ．13cos α考点：同角三角函数基本关系式．7．设a = (1, 2)， b = (1,1) ， c = a + kb ．若b ⊥ c ，则实数k 的值等于（ ） A ． - 3 B ． - 5 C ． 5 D ． 32 3 3 2【答案】A考点：平面向量数量积．8. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1, 0) ．且点C 与点 D 在函数⎧x +1, x ≥ 0 f (x ) = ⎪ - x +1, x < 0的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 ⎪⎩ 2（ ）1A ． 61 B ． 43C ． 81 D ．2【答案】B考点：古典概型．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ． 8 + 2B ．11+ 2C ．14 + 2 2D ．15yCxABF⎨【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2 ，直角腰长为1，斜腰为 ．底面积为2⨯ 1⨯3 = 3 ，侧面积为则其表面积为 22+2+4+2 2=8+2 ，所以该几何体的表面积为11+ 2，故选 B ．考点：三视图和表面积．⎧x + y ≥ 010.变量 x , y 满足约束条件⎪x - 2y + 2 ≥ 0 ，若 z = 2x - y 的最大值为 2，则实数m 等于（ ）⎪⎩mx - y ≤ 0 A ． -2 B ． -1 C ．1 D ． 2 【答案】C【解析】21112试题分析：将目标函数变形为 y = 2x - z ，当 z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤ 0 时，不满足题意；当 m > 0 时，画出可行域，如图所示， 其中 B (2, 2m) ．显然O (0, 0) 不是最优解，故只能 2m -1 2m -1B ( 2 , 2m ) 是最优解，代入目标函数得 4 - 2m = 2，解得m = 1，故选C ． 2m -1 2m -1 考点：线性规划．2m -1 2m -1x 2 y 211.已知椭圆 E : a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ，直线l : 3x - 4y = 0 交椭圆E 于 A , B 两点．若 AF + BF= 4 ，点 M 到直线l 的距离不小于 4，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） 53 3 3 3A ． (0, 2 ]B ． (0, 4]C ．[ 2,1) D ．[ 4 ,1)【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12.“对任意 x ∈π(0, ) 2 ， k sin x cos x < x ”是“ k < 1 ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件–4–3–2–1–123–2–3–42 =【答案】B考点：导数的应用．第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为．【答案】25【解析】45 试题分析：由题意得抽样比例为1，故应抽取的男生人数为500⨯1= 25．考点：分层抽样．900 20 20 14．若∆ABC 中，AC =，A = 450 ，C = 750 ，则BC = ．【答案】【解析】试题分析：由题意得B = 1800 -A -C = 600 ．由正弦定理得3 ⨯ 2所以BC = 2 =．32ACsin B=BCsin A，则BC =AC sin A，sin B考点：正弦定理．15.若函数f (x) = 2 x-a (a ∈R) 满足f (1+x) =f (1-x) ，且f (x) 在[m, +∞) 单调递增，则实数m 的最小值等于．【答案】1【解析】试题分析：由f (1+x) =f (1-x) 得函数f (x) 关于x = 1 对称，故a = 1，则f (x) =2 x-1 ，由复合函数单调性得f (x) 在[1, +∞) 递增，故m ≥ 1，所以实数m 的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．16.若a,b是函数f (x)=x2 -px +q(p >0, q >0)的两个不同的零点，且a,b, -2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q的值等于．【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)等差数列{a n }中，a2 = 4 ，a4 +a7 =15．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b=2a n-2+n，求b+b+b+⋅⋅⋅+b的值．n 1 2 3 10【答案】（Ⅰ）a n =n + 2 ；（Ⅱ）2101 ．【解析】) ⎨ 试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得a 1, d ，进而求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列前 n 项和，首先考虑其 通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题b n = 2 + n ，故可采取分组求和法求其 n前 10 项和．试题解析：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ．⎧⎪a 1 + d = 4由已知得⎨(a + 3d ) +(a ， + 6d =15 ⎪⎩ 1 1 ⎧a 1 = 3解得 ．⎩d =1所以a n = a 1 +(n -1)d = n + 2 ．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组频数 1[4,5)2（Ⅰ）现从融合指数在[4,5) 和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在[7,8]的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．9【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）6.05 ．解法一：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，共9个．所以所求的概率P=9 ．10（II）这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5⨯2+ 5.5⨯8+ 6.5⨯7+ 7.5⨯3= 6.05 ．20 20 20 20解法二：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1,B2}，共1个．所以所求的概率P= 1-1=9．10 10（II）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值．19．（本小题满分 12 分）已知点F 为抛物线E : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，点A(2, m) 在抛物线E 上，且AF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G(-1, 0) ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）y2 =4x；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由AF=3可得2+p=3，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必2与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明∠A GF =∠B GF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得 A F = 2 + p ．⎨y 2 = 4x2因为 A F = 3 ，即2 + p= 3，解得 p = 2 ，所以抛物线E 的方程为 y 2 = 4x ．2（II ）因为点 A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )． 由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．由⎧⎪y = 2 2 (x -1) ，得2x 2 - 5x + 2 = 0 ，⎪⎩解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2又G (-1, 0) ，⎝ 2 ⎪⎭2 2 - 0 2 2 - 2 - 0 2 2所以k G A = 2 -(-1) = 3 ， k G B = 12= - ， -(-1) 3所以k G A + k G B = 0 ，从而∠A GF = ∠B GF ，这表明点F 到直线G A ， G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )．由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．2 (x -1)2 ，得2x - 5x + 2 = 0 ， ⎧⎪y = 2 由2 + 2 2 8 + 9 4 2172 + 2 28 + 94 2172 + 6 ⎪⎩⎨y 2 = 4x 解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2 ⎝ 2 ⎪⎭又G (-1, 0) ，故直线G A 的方程为2 2x -3y + 2= 0 ，从而r = =．又直线G B 的方程为2 2x + 3y + 2= 0 ，所以点F 到直线G B 的距离d === r ．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分 12 分）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 A , B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO = OB = 1．（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证A C ⊥ 平面P D O ； （Ⅱ）求三棱锥 P - ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若 BC =，点 E 在线段 PB 上，求CE + OE 的最小值．1 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ ） 3；（Ⅲ） ．2【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明A C ⊥ 平面P D O ，只需证明 AC 垂直于面P D O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明PO ⊥ A C ；又OA = O C ， D 为A C 的中点，可证明A C ⊥ O D ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥 P - ABC 中，高 PO = 1，要使得 P - ABC 体积最大，则底面 ABC 面积最大，又 AB = 2是定值，故当 AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥 P - ABC 体积；（Ⅲ）将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，此时线段OC '的长度即为CE + OE 的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在∆AO C 中，因为OA = O C ， D 为A C 的中点， 所以A C ⊥ O D ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥ A C ． 因为D O PO = O ， 所以A C ⊥ 平面P D O ．（II ） 因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为1． 又AB = 2，所以∆AB C 面积的最大值为 1⨯ 2⨯1 = 1．2又因为三棱锥P - AB C 的高PO = 1 ，故三棱锥P - AB C 体积的最大值为 1 ⨯1⨯1 = 1．33（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以PB == ．同理P C = 2 ，所以PB = P C = B C ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 又因为OP = OB ， C 'P = C 'B ， 所以O C ' 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而O C ' = OE+E C ' = 2 + 6 = 2 + 6 ，2222 + 6 ． 亦即C E + OE 的最小值为+ 62解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以∠OPB = 45 ， PB == ．同理P C = ．所以PB = P C = B C ，所以∠C PB = 60 ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 所以在∆O C 'P 中，由余弦定理得：O C '2 =1+ 2 - 2⨯1⨯ 2 ⨯cos (45 + 60 )⎛ 2 1 2 3 ⎫ =1+ 2 - 2 2 2 ⨯ 2 - 2 ⨯ 2 ⎪⎝ ⎭= 2 +．从而O C ' = = 2 ． 2所以C E + OE 的最小值为2 + 6 ．2考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．21．（本题满分 12 分）f x =x x 2 x 已知函数 ( ) 10 3 sin cos +10cos ．2 2 2 （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度，再向下平移a （a > 0 ）个单位长度后得到函数 g (x ) 的 6图象，且函数 g (x ) 的最大值为 2． （ⅰ）求函数 g (x ) 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ．2 + 3；（Ⅱ）（ⅰ） g ( x ) = 10sin x - 8 ；（ⅱ）详见解析．【答案】（Ⅰ） 2π【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f (x ) 化为 f (x ) =10sin ⎛x + π ⎫+ 5 ，然后利⎝6 ⎪⎭用T =2π求周期；（Ⅱ）由函数 f ( x ) 的解析式中给 x 减 π，再将所得解析式整体减去a 得 g (x ) 的解析式ω6为 g ( x ) = 10sin x + 5 - a ，当sin x 取 1 的时， g (x ) 取最大值10 + 5 - a ，列方程求得a = 13 ，从而 g (x )的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g (x 0 ) > 0 ，可解不等式 g ( x 0 ) > 0 ，只需解集的长度大于 1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ．试题解析：（I ）因为 f (x ) = 10 3 sin x cos x +10cos 2 x22 2= 5 3 sin x + 5cos x + 5⎛ π ⎫=10sin ⎝ x + 6 ⎪⎭+ 5．所以函数 f ( x ) 的最小正周期T= 2π ．（II ）（i ）将 f (x ) 的图象向右平移 π个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，再向下平移a （ a > 0 ） 6个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象． 又已知函数 g (x ) 的最大值为2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得a =13． 所以 g ( x ) = 10sin x - 8 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的 正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即sin x > 4．5由 4 <3知，存在0 < α < π，使得sin α = 4．5 2 03 05由正弦函数的性质可知，当 x ∈(α 因为 y = sin x 的周期为2π ，0 ,π -α0 )时，均有sin x > 4．5)（k ∈Z）时，均有sin x >4 ．所以当x ∈(2kπ+α , 2kπ+π-α=-()=⎨-<< 0 0因为对任意的整数k ，(2kπ+π-α5)-(2kπ+α)=π- 2α>π>1，0 0 0 3所以对任意的正整数k ，都存在正整数x ∈(2kπ+α, 2kπ+π-α)，使得sin x >4 ．k 0 0 k 5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得g (x0 )>0 ．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分 14 分）(x -1)2已知函数f (x) ln x ．2(Ⅰ)求函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x > 1时，f (x)<x -1；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0 > 1，当x ∈ (1, x0 ) 时，恒有f (x)>k (x -1)．【答案】(Ⅰ) ⎛0,1+ 5 ⎫；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(-∞,1)． 2 ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数f '-x2 +x +1x ，解不等式fx' (x) > 0 并与定义域求交集，得函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(1,+∞)．欲证明f(x)<x-1，只需证明F (x) 的最大值小于0 即可；（Ⅲ）由（II）知，当k =1时，不存在x0 >1满足题意；当k >1时，对于x >1 ，有f (x)<x -1 <k (x-1)，则f (x)<k(x-1)，从而不存在x0 > 1 满足题意；当k < 1 时，构造函数G(x)=f (x)-k (x-1)，x ∈(0, +∞)，利用导数研究函数G(x) 的形状，只要存在x0 >1，当x ∈(1, G(x) > 0 即可．x)时'1 -x2 +x +1试题解析：（I）f (x)=-x +1 =，x ∈(0, +∞)．x x由f '(x)> 0 得⎧x > 0⎩1+ 5解得0 x ．2f ( x ) 的单调递增区间是⎛ 0,1+ 5 ⎫．故 1- k - 1- k + 4 2 ⎪ ⎝ ⎭（II ）令F ( x ) = f ( x ) -( x -1) ， x ∈(0, +∞) ．' 1- x 2则有F ( x )= ． x当 x ∈(1, +∞) 时， F '( x ) < 0 ， 所以F ( x ) 在[1, +∞) 上单调递减，故当 x > 1 时， F (x ) < F (1) = 0 ，即当 x > 1 时， f ( x ) < x -1． （III ） 由（II ）知，当k = 1时，不存在 x 0 > 1满足题意．当 k > 1时，对于 x > 1 ，有 f ( x ) < x -1 < k ( x -1) ，则 f ( x ) < k ( x -1) ，从而不存在 x 0 > 1满足题意． 当 k < 1时，令G (x ) = f ( x ) - k ( x -1) ， x ∈(0, +∞) ， ' 1-x 2 +(1- k ) x +1则有G (x ) = - x +1- k = ．x x 由G '(x ) = 0 得， -x 2 + (1- k ) x +1 = 0 ．解得 x 1 =2 < 0 ， x 2 = > 1． 2当 x ∈(1, x 2 ) 时， G '( x ) > 0 ，故G ( x ) 在[1, x 2 ) 内单调递增． 从而当 x ∈(1, x 2 ) 时， G (x ) > G (1) = 0 ，即 f (x ) > k (x -1) ， 综上， k 的取值范围是(-∞,1)．考点：导数的综合应用．1- k + 1- k+ 4。

一．选择题1．复数z 1 2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【答案】 C【分析】此题考察的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．2．设点P( x, y)，则“x2且y 1 ”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】此题考察的知识点是逻辑中充要条件的判断．由于(2,1) 点代入直线方程，切合方x 2且 y 1 ”可推出“点P在直线 l : x y 1 0 上”；而点P在直线上，不必定程，即“就是 (2,1) 点，即“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”推不出“x 2且 y 1 ”．故“x 2且y1”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的充足而不用要条件．3．若会合A {1,2,3}, B {1,3,4} ，则A B的子集个数为（）A ． 2B ． 3 C． 4 D．16【答案】 C【分析】此题考察的是会合的交集和子集．由于 A B {1,3} ，有2个元素，因此子集个数为 22 4 个．4．双曲线x2 y2 1的极点到其渐近线的距离等于（）A ．1B．2C． 1 D ． 2 2 2【答案】 B【分析】此题考察的是双曲线的性质．由于双曲线的两个极点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个极点为(1,0) ，取一条渐近线为y x ，因此点 (1,0) 到直线 y x 的距离为2．25．函数 f ( x) ln( x21) 的图象大概是（）A ．B ．C．D．【答案】 A【分析】此题考察的是对数函数的图象．由函数分析式可知 f ( x) f ( x) ，即函数为偶函数，清除 C；由函数过(0,0) 点，清除 B,D ．x y 26．若变量x, y知足拘束条件x 1 ，则 z 2x y 的最大值和最小值分别为（）y 0A．4和 3 B．4和2 C．3和 2 D．2和0【答案】 B【分析】此题考察的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．y2O 1 2 x7．若2x 2 y 1，则 x y 的取值范围是（）A ．[0,2] B．[ 2,0] C．[ 2, ) D ．( , 2]【答案】 D【分析】此题考察的是均值不等式．由于 1 2 x 2y 2 2 x 2 y，即2x y 22，因此x y 2 ，当且仅当2x 2 y，即x y时取等号．8 ．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数n 后，输出的S (10,20) ，那么 n 的值为（）A．3B．4C． 5D． 6【答案】 B【分析】此题考察的是程序框图．循环前：S 1, k 2 ；第 1 次判断后循环：S 3,k 3 ；第 2 次判断后循环：S 7, k 4 ；第3次判断后循环：S 15,k 5 ．故 n 4 ．9．将函数f ( x) sin(2x )(2 2) 的图象向右平移( 0) 个单位长度后获得函数 g (x) 的图象，若 f ( x), g( x) 的图象都经过点 P(0, 3) ，则的值能够是（）25 5C．D．A ．B．3 6 2 6【答案】 B【分析】此题考察的三角函数的图像的平移．把P(0, 3) 代入2f ( x) sin( 2x )(2)，解得，所以 g( x) sin( 2x 2 ) ，把2 3 3P( 0, 3) 代入得，k 或k ，察看选项，应选 B 2 610．在四边形ABCD中，AC (1,2), BD ( 4,2) ，则该四边形的面积为（）A ． 5 B．2 5 C． 5 D． 10【答案】 C【分析】此题考察的是向量垂直的判断以及向量的模长．由于ACBD 1(4) 22 0，因此AC BC，因此四边形的面积为|AC| |BD| 12 22 ( 4)2 222 25，应选C11．已知x与y之间的几组数据以下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4? a假定依据上表数据所得线性回归直线方程为y bx? ?．若某同学依据上表中前两组数据(1,0) 和 ( 2,2) 求得的直线方程为y b x a ，则以下结论正确的选项是（）A ．?? B．?? C．? ? D ．??b b , a a b b ,a a b b , a a b b , a a【答案】 C【分析】此题考察的是线性回归方程．画出散点图，可大概的画出两条直线（以下列图），由?两条直线的相对地点关系可判断 b b , a? a ．应选 Cy4321O123456x12．设函数 f ( x) 的定义域为R ， x0 ( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论必定正确的选项是（）A ．x R, f (x) f (x0 ) B．x0是f ( x)的极小值点C．x0是 f ( x)的极小值点D．x0是 f ( x) 的极小值点【答案】 D【分析】此题考察的是函数的极值．函数的极值不是最值， A 错误；由于 f ( x) 和 f (x) 关于原点对称，故x0是 f ( x) 的极小值点，D正确．二．填空题2x3 , x 013．已知函数 f ( x)tan x,0，则 f ( f ( )) x 42【答案】 2【分析】此题考察的是分段函数求值． f ( f ( )) f ( tan ) f ( 1) 2( 1)3 2 ．4 414．利用计算机产生0 ~ 1之间的均匀随机数 a ，则事件“3a 10 ”发生的概率为【答案】131，因此 P11 ． 【分析】此题考察的是几何概型求概率．3a 1 0 ，即 a331 3:x 2y 215．椭圆22 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，焦距为 2c ．若直线 与ab椭圆 的一个交点 M 知足 MF 1 F 2 2 MF 2F 1 ，则该椭圆的离心率等于【答案】3 1【分析】此题考察的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，MF 1F 2中，MF 1 2 MF 2 2 F 1 F 22(2c) 2MF 1 F 2 60 , MF 2 F 1 30 , F 1MF 290 ，因此有 MF 1 MF 2 2a，MF 23MF 1整理得 ec 3 1，故答案为3 1．a16．设 S,T 是 R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y f ( x) 知足；（ i ） T { f ( x) | x S} ；（ ii ）对随意 x , x2S ，当 xx 时，恒有 f (x )f (x ) ．11212那么称这两个会合 “保序同构 ”．现给出以下 3 对会合： ① A N , BN * ；② A { x | 1 x 3}, B { x | 8 x 10} ；③ A { x | 0x1}, BR ．此中， “保序同构 ”的会合对的序号是 （写出全部 “保序同构 ”的会合对的序号）【答案】①②③【分析】此题考察的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 yf ( x) 为单一递加函数． 对于会合对①，可取函数 f (x) 2x( x N ) ，是 “保序同构 ”；对于会合对②，可取函数y 9 x 7 ( 1 x 3) ，是 “保序同构 ”；对于会合对2 2 ③，可取函数 ytan( x)(0 x 1) ，是 “保序同构 ”．故答案为①②③．2三．解答题17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 { a n } 的公差 d 1 ，前 n 项和为 S n ．（1）若1, a1, a3成等比数列，求a1；（2）若S5a1a9，求a1的取值范围．本小题主要考察等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想、化归与转变思想．满分12 分．解：（ 1）由于数列{ a n}的公差d 1，且1,a1, a3成等比数列，因此 a12 1 (a1 2) ，即 a 2 a 2 0 ，解得 11或a1 2．1 1 a（ 2）由于数列{ a n} 的公差 d 1，且S5 a1a9，因此5a1 10 a12 8a1；即 a12 3a1 10 0 ，解得 5 a1 218．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 面ABCD ，AB / /DC，AB AD，BC 5， DC 3，AD 4 ，PAD 60o．uuurABCD 的正视图.（要求标出（1）当正视图方向与向量AD的方向同样时，画出四棱锥P尺寸，并画出演算过程）；（2）若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC；（3）求三棱锥D PBC 的体积．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的地点关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考察空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考察数形联合能力、化归与转变思想，满分 12 分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点 C 作 CE AB ，垂足为由已知得，四边形ADCE 为矩形， AE CD 3E ，在 Rt BEC 中，由 BC 5， CE 4 ,依勾股定理得：BE 3，进而 AB 6又由 PD平面ABCD得，PD AD进而在 Rt PDA 中，由 AD 4 ，PAD 60 ,得PD 4 3正视图如右图所示：（Ⅱ）取 PB 中点 N ，连接 MN ， CN在 PAB中， M 是 PA中点，∴ MN PAB，MN 1 AB3 ，又CD PAB , CD 3 2∴ MN PCD，MN CD∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴又 DM平面PBC，CN平面DM PCN PBC∴DM P平面 PBC（Ⅲ）V D PBC VP1DBC S DBC PD3又 s PBC 6 ， PD 4 3 ，因此 V D PBC 8 3解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取 AB 的中点 E ，连接 ME , DE在梯形 ABCD 中， BE PCD ，且 BE CD∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE PBC ，又 DE 平面 PBC ， BC 平面 PBC∴ DE P平面 PBC ，又在 PAB中， ME PPBME 平面 PBC , PB 平面 PBC∴ ME P平面 PBC .又DE I ME E ,∴平面 DME P平面 PBC ，又 DM 平面 DME∴平面PBCDM P（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分 12 分）某工厂有25 周岁以上（含25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪相关．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25周岁以上（含25 周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100) 分别加以统计，获得如图所示的频次散布直方图．（1）从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的频次．（2）规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成 2 2 的列联表，并判断能否有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”？附表：本小题主要考察古典概型、抽样方法、独立性查验等基础知识，考察运算求解能力、应意图识，考察必定和或然思想、化归与转变思想等，满分12 分．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人40 名因此，样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有60 0.05 3（人），记为 A1， A2 ， A3；25周岁以下组工人有40 0.05 2 （人），记为B1 ， B2从中随机抽取 2 名工人，全部可能的结果共有10 种，他们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)， (A1,B2 )， ( A2, B1)， (A2,B2 ) ， (A3 ,B1) ， ( A3 ,B2) ， (B1,B2)此中，起码闻名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：(A1, B1) ， (A1, B2 ) ，7( A2, B1) ， (A2, B2 ) ， (A3, B1) ， (A3, B2) ， (B1,B2) .故所求的概率：P10（Ⅱ）由频次散布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“周岁以上组”中的生产好手2560 0.25 15（人），“25 周岁以下组”中的生产好手 40 0.375 15（人），据此可得 2 2 列联表以下：生产好手非生产好手共计25 周岁以上组15 45 6025 周岁以下组15 25 40共计30 70 100因此得： K 2 n(ad bc)2 100 (15 25 15 45)2 25 1.79(a b)(c d )( a c)(b d ) 60 40 30 70 14由于 1.79 2.706 ，因此没有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”20（．本小题满分12 分）如图，在抛物线E : y2 4x 的焦点为 F ，准线l与 x 轴的交点为 A ．点C 在抛物线 E 上，以C为圆心OC为半径作圆，设圆C与准线l的交于不一样的两点M,N．（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若AF 2AM AN ，求圆C的半径．本小题主要考察抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的地点关系等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线y 24x 的准线l的方程为x1，由点 C 的纵坐标为2，得点 C 的坐标为(1,2)因此点 C 到准线 l 的距离 d 2，又|CO| 5 ．因此 |MN | 2 |CO |2 d 2 2542.（Ⅱ）设y 2C 的方程为( xy2 2( y y0 ) 2y 4 2，C( 0 , y0 ) ，则圆0 ) 0 y04 4 16即 x2 y02 x y2 2y0 y 0 .2由 x 1，得y2 2y0 y 1 y02 02设 M ( 1, y1 ) ， N ( 1, y2 ) ，则：4 y02 4(1 y02 ) 2y02 4 02y02y1 y2 12由|AF |2 | AM | | AN | ，得 | y1 y2 | 4y021 4 ，解得 y0 6 ，此时0因此2因此圆心 C 的坐标为( 3 , 6)或( 3 , 6)2 2进而 |CO |2 33 ，|CO| 33 ，即圆 C 的半径为334 2 221 12分）如图，在等腰直角三角形OPQ 中，OPQ 90o， OP 2 2 ，（本小题满分点M 在线段 PQ上．（1）若OM 3 ，求PM的长；（ 2）若点N在线段MQ上，且MON 30o，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出头积的最小值．本小题主要考察解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考察推理论证能力、抽象归纳能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分 12 分．解：（Ⅰ）在OMP 中， OPM 45 ， OM 5 ，OP 2 2 ，由余弦定理得， OM 2 OP2 MP 2 2 OP MP cos45 ，得 MP2 4MP 3 0 ，解得 MP 1或 MP 3 ．（Ⅱ）设POM ， 0 60 ，在 OMP 中，由正弦定理，得OM OP ，sin OPM sin OMP因此同理OM OP sin 45 ，sin 45ONOP sin45sin 75故S OMN 1 OM ON sin MON21 OP2 sin 2 454 sin 45 sin 751sin 45sin 45301sin 453sin 451cos 45221 3sin2451sin 45cos 452213 1 cos 90 21sin 9024413 3sin 21cos2444131sin 2 3042由于 060 ，30 2 30 150 ，因此当30 时，sin 2 30的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值．即2POM30 时， OMN 的面积的最小值为 8 4 3 ．22（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x1 aR ， e 为自然对数的底数） ．e x （ a（1）若曲线 yf (x) 在点 (1, f (1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（2）求函数 f (x) 的极值；（3）当 a1 的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f ( x) 没有公共点，求 k 的最大值．本小题主要考察函数与导数，函数的单一性、极值、零点等基础知识，考察推理论证能力、 运算求解能力， 考察函数与方程思想、 数形联合思想、 分类与整合思想、 化归与转变思想． 满 分14分．解：（Ⅰ）由 f x x 1a ，得 f x 1a ．exex又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线平行于 x 轴，得 f 1 0 ，即 1 a0 ，解得 a e．e（Ⅱ） f x 1 a，e x①当 a 0 时， f x 0 ， f x 为, 上的增函数，因此函数 f x 无极值．②当 a 0 时，令 f x 0 ，得e x a ，x ln a ．x ,ln a ，f x 0； x ln a, ， f x 0 ．因此 f x 在,ln a 上单一递减，在ln a, 上单一递加，故 f x 在 x ln a 处获得极小值，且极小值为 f ln a ln a ，无极大值．综上，当 a 0 时，函数 f x 无极小值；当 a 0 ， f x 在 x ln a 处获得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x1 1e x令g x f x kx 1 1 k x 1 ，e x则直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于方程 g x0 在R上没有实数解．假定 k 1，此时 g 0 1 0 ，g111，k 1 1e k 1又函数 g x 的图象连续不停，由零点存在定理，可知g x 0 在R上起码有一解，与“方程 g x 0 在R上没有实数解”矛盾，故 k 1 ．又 k 1时，g x 10 ，知方程g x 0 在R上没有实数解．x因此 k 的最大值为e 1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x 1 1．xe直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于对于 x 的方程kx 1 x 1 1 在 R 上没有实数解，即对于x 的方程：e xk11 x在 R 上没有实数解． ex①当 k1 时，方程（ * ）可化为 1，在 R 上没有实数解．e x②当 k1 时，方程（ * ）化为1 xe x．k 1令 g x xe x ，则有 g x 1 x e x ．令 gx0 ，得 x1 ，当 x 变化时， g x的变化状况以下表：x, 11g xg x]1e（ * ）1,Z当 x1时，g x min1时， gx 趋于，同时当 x 趋于，e进而 gx 的取值范围为1,．e因此当1 ,1时，方程（ * ）无实数解，k 1e解得 k 的取值范围是1 e,1 ．综上，得 k 的最大值为 1．。

112112 主视图左视图俯视图福建省泉州五中高考数学最后一卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分；共60分.1．︒240sin 的值为 （ ）21.A B. 21- C. 23 D. 23- 2．已知全集R U =，集合{}{}R x x x y y B R x y y A x ∈-==∈-==,3,,22，则=B C A U （ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-049x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<49x x C. (){}2,1- D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤49x x 3．在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项之和为( ) A. 39 B. 52 C. 78 D. 1044．已知一个空间集合体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm ），可得到这个几何体的体积是（ ）3cm ． A.32π B. 3π C. 36π D. 43π5．已知复数,cos sin 1ααi z +=和复数ββsin cos 2i z +=则复数z 1·z 2的实部是（ ）A ．)sin(βα-B ．)sin(βα+C ．)cos(βα-D ．)cos(βα+6．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =（C ）A ．1-B 2C ．1-2D ．1或2- 7．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为 （ ）A ．6π B ．3π C ． 2πD ． 32π9．若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()y f x =的解析式可以是 （ ） A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+D ．cos(2)6y x π=- 10．已知点P 是以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的右支上一点，且满足121210tan 3PF PF PF F ·，∠==，则此双曲线的离心率为 （ ） 5310511．定义：如果对于函数()x f 定义与内的任意x, 都有()M x f ≥（M 为常数），那么称 M 为()x f 的下界，下界M 中的最大值叫做()x f 的下确界。

绝密★启用前2024年福建省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。

20xx 年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） ()()[)[)3333000000.0,.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈+∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ） ()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） .80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4A OM B OM C OM D OM11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） .5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行20xx 年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <。

【高中数学】2021年福建高考文科数学试卷结构12022福建高考文科数学试卷的题型与分数第i卷一、多项选择题：本题共有12个子题，每个子题得5分，共计60分1～12，单选第二卷（13~21道必修题，22~24道选修题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13～16，填空三、解答题17~21题，每题12分22～24题，选做题22道问题，10分，选修课4-1，几何证明选修课23题，10分，选修4-4，坐标系与参数方程24个问题，10分，选修课4-5门，关于不平等的选修课12022福建高考文科数学准备策略掌握第三类考点的出题思路这实际上是心理战。

你应该仔细研究考试大纲，找出老师想考什么。

这种迷迷糊糊了解一点但做又做不出来的其实是在考试中占了考生最多时间而得分率最低的，那种一拍脑袋想出来的几率太小了。

如果在考试中碰到这种题千万不要花太多时间。

快速的理清楚这道题考的是什么，然后写出所有你一下子能想到的相关的数据。

例如，如果你看到一个椭圆，你应该思考这个问题。

老师将要测试椭圆的定理和性质。

首先，根据椭圆公式写出焦距，或者向后推。

即使标题中有一个，也要再写一遍。

然后假设椭圆有1，2和3个定理，写出它们，看看有什么可以解决的。

如果在这一步仍然没有明确的想法，请果断放弃，看看下一个问题。

其实很多大题都是这样进行求解的，从题目本身的性质入手，从最基本的性质去推导题目想要考的。

但是往往考生会专注于最后想要考的那一点，所以才觉得迷茫。

如果你想在这类问题上得分，或者获得尽可能多的step分数，关键是结合考试大纲和考试大纲上的示例问题记住每个范围后面的测试点。

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕本套试卷第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，第I卷1至3页，第II卷4至6页。

总分值是150分。

本卷须知：“2.第I卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应的题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答题，在试题卷上答题，答案无效。

3.在考试完毕之后，考生必须将试题卷和答题卡一起交回。

参考公式：样本数据x1,x2.…，xn的HY差其中x为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高锥体公式V=1 3 Sh其中S为底面面积，h为高球的外表积、体积公式S=4πR2，V=43πR3其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一个项是符合题目要求的。

1.假设集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，那么M∩N等于A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝2.i是虚数单位1+i3等于3.假设a∈R，那么“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，在高一年级的学生中抽取了6名，那么在高二年级的学生中应抽取的人数为A.6B.8 C5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.3B.11 C2+mx+1=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞，-2)∪〔2，+∞〕D.〔-∞，-1〕∪〔1，+∞〕7.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，假设在矩形ABCD内部随机取一个点Q，那么点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B.13C.12D.238.函数f 〔x 〕=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，。

2022年福建高考试卷（文数，word 解析版）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 考点：复数的运算。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复数的运算，直截了当套用复数运算公式即可。

解答：44)2(22++=+i i iii 43441+=++-=。

2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=N ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 考点：集合交并补的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直截了当依照定义选择即可。

解答：}4,3,2,1,2{-=N M ，}2{=N M 。

3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥ba 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 考点：平面向量的垂直。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a 。

解答：非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 。

02)1(2=⇔=+-⇔x x 。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么那个几何体不能够是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直截了当画出即可。

解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图能够为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

11YCY2005 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第 I 卷（选择题共 60 分）注意事项：1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 P =| x || x - 1 |≤ 1, x ∈R|， Q = {x | x ∈ N },则P Q 等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2], Q = {x | x ∈ N },∴ P Q ={0,1,2},选(D)2x - 1 2．不等式3x + 1> 0 的解集是（ ）A ．{x | x < - 1 或x > 1}B ．{x | - 1 < x < 1}3 C ．{x | x > 1} 2 2x - 1 解：∵不等式3x + 1 2 > 0 的解是 x> 1 23 2 D ．{x | x > - 1}3或 x< - ,选(A) 3 3．已知等差数列{a n }中， a 7 + a 9 = 16, a 4 = 1,则a 12 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．64解：由a + a = 16,得 a 8=8,∴ d = 8 -1 = 7 ,∴a 12=1+8× 7=15,选(A)798 - 4444．函数 y = cos 2x 在下列哪个区间上是减函数（）π ππ 3πππA ．[- , ]4 4B ．[ ,]4 4C ． [0, ]2D ． [ 2,π]解：∵当 0≤2x ≤π,即 0≤x ≤ π时函数 y = cos 2x 是减函数,选(C)25．下列结论正确的是（ ）2x4 A ．当 x > 0且x ≠ 1时, lg x + 1 ≥ 2lg x B ．当x > 0时, + 1 ≥ 2C ．当x ≥ 2时, x + 1的最小值为 2D ．当0 < x ≤ 2时, x - 1 无最大值x 解：(A)中 lgx 不满足大于零,(C)中的最小值为 2 的 x 值取不到,(D)3x0 < x ≤ 2时, x - 1x当 x=2 时有最大值 2,选(B)6．函数 f (x ) = ax -b的图象如图，其中 a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （）A ． a > 1, b < 0C ． 0 < a < 1, b > 0 B ． a > 1, b > 0D ． 0 < a < 1, b < 0解：从曲线走向可知0<a<1,从曲线位置看,是由y=a x (0<a<1)向左平移|-b|个单位而得到,故-b>0,即 b<0,选(D)7．已知直线 m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若 m//α，n//α，则 m//n ； ②若 m//α，n ⊥α，则 n ⊥m ； ③若 m ⊥α，m// β，则α⊥ β. 其中真命题的个数是 （）A ．0B ．1C ．2D ．3解：②③命题为真命题,选(C)8．已知 p : a ≠ 0, q : ab ≠ 0,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由 q : ab ≠ 0, ⇒ p : a ≠ 0 ,反之 q 推不出 p,选(B)9．已知定点 A 、B 且|AB|=4，动点 P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．52 2 2解；点 P 在以 A,B 为焦点,2a=3 的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为 1.5+2=3.5,选(C)10．从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A ．300 种B ．240 种C ．144 种D ．96 种解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P 4种选择方案,情况二:甲、乙中有一x3是 试卷及答案 word 版+微信1510B B 2+ BF 21531 1 166 ⎩人去游览：有C 1C 1C 3 P 3 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有C 2C 2C 1P 3种选择方2 3 4 32 43 3案,综上不同的选择方案共有 P 4 + C 1C 1C 3 P 3 + C 2C 2C 1P 3=240,选(B)42 3 4 32 43 311．如图，长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB=2，AD=1，点 E 、F 、G 分别是 DD 1、AB 、CC 1 的中点，则异面直线 A 1E 与 GF 所成的角 （ ）πA ． arccosB ．54C ． arccosD ． π52解：∵GB 1∥A 1E,∠B 1GF 即为 A 1E 与 GF 所成的角,B 1G=C B 2 + C G 2= 12 + 12 =B 1F= = ∠B 1GF=90°,选(D)= ,GF==,B 1G 2+FG 2=B 1F 2∴12． f (x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f (2) = 0 ，则方程 f (x ) =0 在区间 （0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解：由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内 f(x)=0的解的个数的最小值是 5,选(D)第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置.13．（ 2 - 1 )6 展开式中的常数项是 （用数字作答）x1 6-3r1 解：T r+1= C r (-的常数项是 240)r (2 x x )6-r = C r (-1)r 26-r x 2,令 6-3r=0 得 r=2,故 (2 x - )6 展开式中x14．在△ABC 中，∠A=90°， AB = (k ,1), AC = (2,3),则k 的值是 .解：由 AB ⋅ AC = (k ,1) ⋅ (2,3) = 0 ,得 k= - 32⎧2x + y - 4 ≤ 015．非负实数 x 、y 满足 ⎨x + y - 3 ≤ 0 ,则x + 3y 的最大值为 .解：如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列曲线方程的图象:2 22+ 12CG 2 + CB 2 + BF 2x45⎩它们分别是线段 AB,CD则非负实数 x 、y 满足的不等式组⎧2x + y - 4 ≤ 0⎨x + y - 3 ≤ 0 表示的区域为 DMAO,令 x+3y=b,使直线系 x+3y=b 通过区域 DMAO 且使 b 为取得最大值,当且仅当直线 x+3y=b 过点 D(0,3)这时最大值 b=9.16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数 f (x ) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于对称，则函数 g (x ) =.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 解：若函数 f (x ) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于 y=x 对称, 则函数 g (x ) =2x-3. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知 - π 2< x < 0, sin x + cos x = 1.5（Ⅰ）求sin x - cos x 的值；sin 2x + 2 sin 2 x（Ⅱ）求1 - tan x的值.解 ： ( Ⅰ ) 由 sin x + cos x = 1 5 49 , 得 (sin x + cos x )2 =π (1)2 5 , 得 2sinxcosx= 7- 24 , ∵ 25 (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx= 25 ,又 - < x < 0, ∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-2 5(Ⅱ) sin 2x + 2 s in 2 1 - tan x x 2 s in x cos x + 2 s in 2 x = sin x = 1- cos x 2 ⋅ (- 3) ⋅ 4 + 2(- 3) 2 5 5 5 -3 1- 54 524 = 125 18．（本小题满分 12 分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1 与2 .2 5（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.( Ⅰ ) 依 题 意 , 记 “ 甲 投 一 次 命 中 ” 为 事 件 A, “ 乙 投 一 次 命 中 ” 为 事 件 B, 则 P(A)= 1 ,P(B)= 2 ,P( A )= 1 ,P( B )= 325 2 5甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为 A ⋅ B + B ⋅ A-P( A ⋅B +B ⋅A )=P( A ⋅B )+P( A ⋅B )= 1⨯3+2⋅1=12 5 5 2 21答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为2 (Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是 P =1⨯1⨯3⨯3=92 2 5 5 1009 91∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1- P =1-91= 100 100答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为19．（本小题满分12分）100已知{ a n }是公比为q 的等比数列，且a1 , a3 , a2 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{ bn}是以2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n，当n≥2 时，比较S n与b n的大小，并说明理由.解：(Ⅰ)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1 或q= -12(Ⅱ)若q=1,则S n = 2n + n(n -1)2⋅1 =n2 + 3n.2当 n≥2 时, Sn -bn=Sn -1=(n -1)(n + 2)2> 0,故 Sn>bn-1 n(n -1) 1 1n2 +9n若q=2 ,则S n = 2n + ⋅ (-) =,2 2 2当n≥2 时, Sn -bn=Sn -1=-(n -1)(n -10),,2故对于n∈N+,当2≤n≤9 时,S n>b n；当n=10 时, S n=b n；当n≥11 时, S n<b n20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x -y + 7 = 0 .（Ⅰ）求函数 y = f (x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y = f (x)的单调区间.解：( Ⅰ ) 由 f (x) =x3 +bx2 +cx +d 的图象过点P （0 ，2 ）,d=2 知, 所以6f (x) =x3 +bx2 +cx + 2 , f '(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知782 2 2 2 62⨯ 2 6⎨-1+ b - c + 2 = 1, ⎩ -6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ' (-1)=6,∴ ⎧3 - 2b + c = 6, ⎩⎧b - c = 0, 即⎨2b - c = -3,解得 b=c=-3.故所求的解析式为 f(x)=x 3-3x-3+2,(Ⅱ) f ' (x)=3x 2-6x-3,令 3x 2-6x-3=0 即 x 2-2x-1=0,解得 x 1=1-,x 2=1+ ,当 x<1- 或 x>1+ 时, f ' (x)>0;当 1- <x<1+ 时, f ' (x)<0∴f(x)=x 3-3x 2-3x+2 在(1+ 是减函数.21．（本小题满分 12 分）,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- )内是增函数,在(1- ,1+ )内 如图，直二面角 D —AB —E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB ，F 为 CE 上的点，且 BF ⊥平面 ACE.（Ⅰ）求证 AE ⊥平面 BCE ；（Ⅱ）求二面角 B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点 D 到平面 ACE 的距离.解法一：(Ⅰ) ∵BF ⊥平面 ACE,∴BF ⊥AE,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,且 CB ⊥AB, ∴CB ⊥平面 ABE,∴CB ⊥AE,∴AE ⊥平面 BCE(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG,∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG ⊥AC,BG= ,∵BF ⊥平面 ACE,由三垂线定理的逆定理得 FG ⊥AC,∴∠BCF 是二面角 B-AC-E 的平面角,由(Ⅰ)AE ⊥平面 BCE,∴AE ⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE= .BC ⋅ BE 又∵直角三角形 BCE 中,EC= = ,BF== = EC 3 2 3 BF 3 6 6∴直角三角形 BFG 中,sin ∠BGF= = = ,∴二面角 B-AC-E 等于 arcsin .BG 23 3 2 2 2 2 2 2 2 2 BC 2+ BE 22 392 3 3 3 11⎧ ,(Ⅲ)过 E 作 EO ⊥AB 交 AB 于 O,OE=1,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,∴EO ⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,∵V D - ACE = V E - ACD ,∴ 3 S ACE ⋅ h = 3S ACD ⋅ EO .1AD ⋅ BC ⋅ EO 1⨯ 2⨯ 2⨯1∵AE ⊥平面 BCE,∴AE ⊥EC.∴h= 2 = 2 = 2 3.1 AE ⋅ EC 1 ⨯2 ⨯ 63 2 2∴点 D 点 D 到平面 ACE 的距离为.3解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图∵AE ⊥平面 BCE,BE ⊂ 面 BCE,∴AE ⊥BE,在直角三角形 AEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点 ∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2), AE = (1,1, 0), AC = (0, 2, 2)⎪AE ⋅ n = 0⎧x + y = 0 ⎧ y = -x , 设平面 AEC 的一个法向量 n =(x,y,z),则 ⎨ 即⎨2 y + 2z = 0, 解得 ⎨z = x . ⎪⎩ AC ⋅ n = 0, ⎩⎩令 x=1,得n =(1,-1,1)是平面 EAC 的一个法向量,又平面 BAC 的一个法向量为 m =(1,0,0),m ⋅ n ∴cos( m , n )=| m | ⋅ | n |= 1= 3∴二面角 B-AC-E 的大小为 arccos. 3(Ⅲ)∵AD ∥z 轴,AD=2,∴ AD = (0, 0, 2) ,∴点 D 到平面 ACE 的距离3103 2 33 a = 3 += 2 2 | AD ⋅n | 2d=| AD | ⋅ | cos 〈 AD ⋅n 〉 |= = = .| n |3 22．（本小题满分 14 分） 已知 方 向 向 量 为v = (1, 3) 的 直 线 l 过 点 （0,-2 ） 和 椭 圆C : x + y a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点 E （－2，0）的直线 m 交椭圆 C 于点 M 、N ，满足OM ⋅ ON = 436 cot∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题意可得直线ι： y = 3x - 2 ,①过原点垂直ι的方程为 y = -3 3 x ,②3解①②得 x= 2.∵椭圆中心 O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆 C 的右准线上,2∴ 2⨯ = 3 .∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). c22 ∴a 2=6,c=2,b 2=2,故椭圆 C 的方程为x y 1.③62(Ⅱ)设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m ：y=k(x+2)代入③,整理得(3k 2+1)x 2+12k 2x+12k 2-6=0,则 x 1+x 2= - 12k 23k 2 +1 ,x 1x 2= 12k 2 - 6 , 3k 2+1|MN|= = | 2k |43k 2 +1点 O 到直线 MN 的距离 d= .∵ OM ⋅ON = 1+ k 2 36 cot ∠MON,即2 6(1 + k 2 )3 1+ k2(x + x )2- 4x x 12 1 2 1+ k 2(- 12k 2) - 4 ⨯ 23k 2 +1 12k 2- 6 3k 2+1 2=4636| OM |⋅| ON | cos ∠MON =46cos ∠MON3 sin ∠MON4≠ 0 ,2∴| OM | ⋅ | ON | sin ∠MON =36 ,∴ SOMN=36,∴| MN | ⋅d =,即4 | k | =46(1 +3k 2 ) .整理得k 2 =1,∴k =±3.3 3 3当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S OMN =故直线 m 的方程为 y =3x +2 3, 或 y= -3 33x -2 3或x=-2.3 3经检验上述直线均满足OM ⋅ON ≠ 0.所在所求直线方程为 y =3x +2 3, 或 y= -3 33x -2 3或x=-2..3 3k 2 +126311。