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《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
第二章习题参考答案同轴线、双导线和平行板传输线的分布参数注：媒质的复介电常数εεε''-'=i ，导体的表面电阻ss R σδσωμ1221=⎪⎭⎫⎝⎛=。
本章有关常用公式：)](1[)()]()([122)()](1)[()()(22)(00000000d Z d V d V d V Z e Z Z I V e Z Z I V d I d d V d V d V e Z I V e Z I V d V d j L L d j L L dj L L d j L L Γ-=-=--+=Γ+=+=-++=+-+-+-+-ββββ )2(2200200)(d j L d j L dj L L d j L L L L L e e e Z Z Z Z e Z I V Z I V VV d βφβββ----+-Γ=Γ=+-=+-==ΓL Lj L j L L L L L e e Z Z Z Z Z Z Z Z φφΓ=+-=+-=Γ0000dtg jZ Z dtg jZ Z Z d Z L L in ββ++=000)()(1)(1)()()(0d d Z d I d V d Z in Γ-Γ+==LL VV VSWR Γ-Γ+==11minmax2.1无耗或者低耗线的特性阻抗为110C L Z = 平行双导线的特性阻抗：aDa a D D a a D D Z r r rln 11202)2(ln 11202)2(ln 112222000εεεμεπ≈-+=-+=已知平行双导线的直径mm a 22=，间距cm D 10=，周围介质为空气（1=r ε），所以特性阻抗)(6.5521100ln 120ln11200Ω==≈a D Z rε 同轴线的特性阻抗：ab a b Z r rln 60ln 121000εεμεπ==已知同轴线外导体的内直径2mm b 23=，内导体的外直径2mm a 10=，中间填充空气(1=r ε)：特性阻抗)(50210223ln 60ln 600Ω===abZ r ε中间填充介质(25.2=r ε)：特性阻抗)(3.33210223ln 25.260ln 600Ω===a b Z r ε2.2对于无耗传输线线有相位常数μεωωβ===k C L 11，所以可求出相速度v k C L v p =====μεωβω1111，等于电磁波的传播速度。
微波技术习题解答第1章练习题1.1 无耗传输线的特性阻抗Z0= 100()。
根据给出的已知数据，分别写出传输线上电压、电流的复数和瞬时形式的表达式：(1) R L= 100 ()，I L = e j0(mA)；(2) R L = 50()，V L = 100e j0(mV)；(3) V L = 200e j0 (mV)，I L = 0(mA)。
解：本题应用到下列公式：(1)(2)(3)(1) 根据已知条件，可得：V L = I L R L = 100(mV)，复数表达式为：瞬时表达式为：(2) 根据已知条件，可得：复数表达式为：瞬时表达式为：(3) 根据已知条件，可得：复数表达式为：瞬时表达式为：1.2 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 100()，负载电流I L = j(A)，负载阻抗Z L = j100()。
试求：(1) 把传输线上的电压V(z)、电流I(z)写成入射波与反射波之和的形式；(2) 利用欧拉公式改写成纯驻波的形式。
解：根据已知条件，可得：V L = I L Z L = j(j100) = 100(V)，1.3 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 75()，传输线上电压、电流分布表达式分别为试求：(1) 利用欧拉公式把电压、电流分布表达式改写成入射波与反射波之和的形式；(2) 计算负载电压V L、电流I L和阻抗Z L；(3) 把(1)的结果改写成瞬时值形式。
解：根据已知条件求负载电压和电流：电压入射波和反射波的复振幅为(1) 入射波与反射波之和形式的电压、电流分布表达式(2) 负载电压、电流和阻抗V L = V(0) = 150j75，I L = I(0) = 2 + j(3) 瞬时值形式的电压、电流分布表达式1.4 无耗传输线特性阻抗Z0 = 50()，已知在距离负载z1= p/8处的反射系数为 (z1)= j0.5。
试求(1) 传输线上任意观察点z处的反射系数(z)和等效阻抗Z(z)；(2) 利用负载反射系数 L计算负载阻抗Z L；(3) 通过等效阻抗Z(z)计算负载阻抗Z L。
第一章1.3证：941(6)(6)50=0A B A B A B A B =⨯+⨯-+-⨯=∴⨯∴和相互垂直和相互平行1.11 （1）22220.50.50.522220.50.50.52272(2)(2272)124sAx Ay AzA divA x y z x x y x y z Ads Ad dz dy x x y x y z dzττ---∂∂∂∇==++∂∂∂=++=∇=++=⎰⎰⎰⎰⎰ 由高斯散度定理有1.18（1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有：222()()8(2)(22)()2()8x y z x y x z x sA dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds →→→→∙=+++=+∴∙=∇∙=+=∇∙=∴⎰⎰ 因为在面内， 所以，定理成立。
1.21(1) 由梯度公式(2,1,3)|410410x y z x y zx y z u u u u e e e x y ze e e e e e ∂∂∂∇=++∂∂∂=++=++1方向：（）（2）最小值为0， 与梯度垂直1.26 证明00u A ∇⨯∇=∇∇=书上p10 1.25 第二章 2.13343sin 3sin 4qa V e wr qwr J V e aρρρπθθρπ===∙=2.3''2'3222,40=l lldl d R Er R ez z ea aez z ea aEr rPez z ea aE dz aeaπρραϕραϕπε= ==--==-=+⎰用圆柱坐标系进行求解场点坐标为P(0,0,z).线电荷元可以视为点电荷，其到场点的距离矢量得所以点的电场强度为（）2'''3222cos sin020lzex ey ea dzE ez aπϕϕϕραε+∴=∴=+⎰（）2.82235222023522322225052(1)4()()44()35=044()=()0351()=()0352r>b 4()8()4152()=401srs sbr b E d s r E r b r r Eq b r r dr EqE d s b r r r E r b r rE r E d s r E r Eq b r r dr bEq bE r r πππεππεεππππε≤==-=--∴-==-==⎰⎰⎰⎰⎰ 时由高斯定理有即（）时由高斯定理有250r ε2.11222122212212221,22()2(2)121122(2r r r r r r b l Eb r l b e a e Eb Ea b e a e E Eb Ea r l Eb r l r e Eb a e Ea E επρπερρεερεεπρπερερερε∑∴=∴==∴=-=-∑∴===∴=⎰⎰000000当r1>b 则，E=Eb-EaqEb ds=同理：r1r2r1r2对于r1<b 且在空腔外，E=Eb-EaqEb ds=，而r22211212121)(3)112,2212(12)222r r r r r r r r a e r e r b r e r e Ea r e r e E Eb Ea r e r e ερρεερρρεεε--<∑∴=∴=-=-=-⎰00000r2且在空腔内 E=Eb-Ea qE ds=，Eb=2.14222200(1)0()cos ()sin (2)2cos r a E A a A a AA A r rA aϕϕϕϕφρεεϕ<=-∇∅=-∇∅=-∇∙--+-∂==-∂2r s 时，a r>a 时 E=（r-）cos r=e e 圆柱是由导体制成的表面电荷2.20能求出边界处即z=0处的E2 根据D 的法向量分量连续12(5)103r r Z Z z E E εε⇒+=⇒=2.28(1) 2ln22,ln ln66ln(2)62ln lne e l rbl a l rr sr s E e rbu E dl a u uE e bb r a au J E e b r aJ ds I ug e ds b b uuu r a aρρρπερπεπερπδ=====∴======⎰⎰⎰ 设内外导体单位长度带电量分别为+和-，利用高斯定理可以求得导体介质的电场为：得到2.34(1)=0=000,2=00B B er arB a B J H μμ∇∴∇=≠∇=∇⨯=取圆柱坐标系，若为磁场，根据磁场连续性方程，有所以不是磁场（）取直角坐标，所以是磁场。
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c += 即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=- 可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221a b +=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3） )()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r 的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ）所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223yz A x yze xy e =+ 而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y xe x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R Rπ+-+-=-=R R D22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e则球赤道平面上电通密度的通量d d z z SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a a r r r a r a ππ--=++⎰221211)0.293()aqa q q r a =-=-+3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZ erπ=D e原子内电子云的电荷体密度为 333434a aZe Zer r ρππ=-=-电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r rarZe r rr ρπππ==-D e e故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
第 1 章 习 题1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。
解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。
解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：42+-=y x ，代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy3、 求矢量场z zy y y x xxy A ˆˆˆ222++=的矢量线方程。
解：由矢量线的微分方程：zy x A dz A dy A dx ==本题中，2xy A x =，y x A y 2=，2zy A z =， 则矢量线为：222zy dzy x dy xy dx ==，由此得到三个联立方程：x dy y dx =，z dz x dx =，zy dz x dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理， y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy xx t ˆ3ˆˆ242+-=方向的方向导数。
解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y xˆˆˆ、、的夹角。
αcos 、βcos 、γcos 分别是l 方向的方向余弦。
422==∂∂MMxz xu，04==∂∂M Mzy y u，1223222=+=∂∂M M y z x z u 令：84222422294)3()()2(zy x x z xy x ++=++=∆则：542cos =∆=M Mx α，0cos 2=∆-=MMxy β，53cos -=Mγ，45360516cos cos cos -=-+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂M MM M z u y u x u t u γβα 5、 求标量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点M (0,0,0) 、点M (1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。
解：由梯度定义：z zu y y u x x u u ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 则：z z y x y xy x z z u y y u x x u u ˆ)66(ˆ)24(ˆ)32(ˆˆˆ-+-++++=∂∂+∂∂+∂∂=∇z y x u ˆ6ˆ2ˆ3)0,0,0(--=∇ y xu ˆ3ˆ6)1,1,1(+=∇ 若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：032=++y x 024=-+x y066=-z解之，得到：1,1,2==-=z y x即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。
6、 设z z y y xx r ˆˆˆ++=，r r =，n 为正整数。
求r ∇、n r ∇、()r f ∇。
解：根据题意及梯度定义：rr z z y y x x r z z y y x x r z y x z y x z y x r =++=++=++∇++=++∇=∇-)ˆˆˆ(1)ˆ2ˆ2ˆ2(121)()(21)(22221222222 r nr r r nr rnr r n n n n 211---==∇=∇ rrr f rr f r f )(')(')(=∇=∇ 7、 求矢量场z z y y xx A ˆˆˆ333++=在点M (1,0,-1)处的散度。
解：由题意及散度定义： 222333z y x A ++=⋅∇，将M(1,0,-1)代入：得到：6303=++=⋅∇MA8、 设a为常矢量，z z y y xx r ˆˆˆ++= ，r r =，求()a r ⋅∇、()a r 2⋅∇、()a r n ⋅∇，证明a r a =⋅∇)( 解：由散度运算公式：1）()ra r r a r r ar a r a r⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇0 2）()ar r a r r r ar a r a r⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇20222223）()ar nr a r r nr r a r nr ar a r a r n n n n n n n⋅=⋅=⋅+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇---21104）证明： 因为：zy x z y x za ya xa z y y y x x z a y a x a r a ++=++⋅++=⋅)ˆˆˆ()ˆˆˆ(且：xa ，y a ，z a 均为常数，所以有：a z a y a xa r a z y x =++=⋅∇ˆˆˆ)( 得证。
9、 设无限长细直导线与z 轴重合，其上有沿正z 轴方向流动的电流I ，导线周围的磁场()()y x xy yx IH ˆˆ222+-+=π计算H⋅∇。
解：由题意及散度的定义：()()y x xy yx IH ˆˆ222+-+⋅∇=⋅∇π22222)(/2-+=∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂-=∂∂y x xy Ix y x yIx H x ππ22222)(/2-+-=∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂=∂∂y x xy Iy y x x I y H y ππ∴=∂∂+∂∂=⋅∇y H x H H y x 10、已知xy y x u 222+-=，求u 2∇。
解：由题意及散度运算性质：)(2u u ∇⋅∇=∇y y x xy x z z uy y u x x u u ˆ)22(ˆ)22(ˆˆˆ-++=∂∂+∂∂+∂∂=∇22)ˆ)22(ˆ)22(()(=-=-++⋅∇=∇⋅∇y y x xy x u所以：02=∇u11、计算下列矢量场的旋度：（1）()()z xyz y xz y xz y x A ˆ2ˆˆ3232+-++=； （2）z xy y zx x yz A ˆˆˆ222++=； 解：由矢量场旋度定义式，可得：1）()()()()()z x z y yz xxz z x z y yz x xz xz z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x z y x A x y z x y z zyxˆ3ˆ21ˆ4 ˆ3ˆ21ˆ22 ˆˆˆˆˆˆrot 2222+--+=--+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=2）()()()z z xz y y yz xx xy z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x zy x A x y z x y z zy x ˆ2ˆ2ˆ2 ˆˆˆˆˆˆrot 222-+-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=12、已知x e u =，z y y x xz A ˆˆˆ222++=，计算()A u⨯∇。
解：由题意及矢量的旋度运算公式：())ˆ)2(ˆ)2(ˆ2()ˆ2ˆ2ˆ2ˆˆ()ˆ2ˆ2ˆ2(ˆ2222z x x y y z xy e z x y z x y z x yy e z x y z x y e A xe Au A u A u x xx x ++-+=++++-=+++⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇13、已知z z y y xx r ˆˆˆ++= ，r r =，a 为常矢量，求r ⨯∇、()[]r f r ⨯∇、()[]r f a ⨯∇。
解：1）z ˆ)-(yˆ)-(x ˆ)-(r =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇y x x y xz z z x z yy z2）()[]0)(')(')()()(r f r =⨯=⨯∇=⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇rrr r f r r r f rr f rr f r r f3）()[]a r r f rar r r f a r r f ar f ar f a r f r f a⨯=⨯=⨯∇=⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇)('1)(')(')()()(14、已知z xy y z xy A ˆˆ2ˆ32++= ，z x x B ˆ4ˆ2-=，求()B A ⨯⨯∇。
解：由题意及运算规则，先求出B A⨯，再求旋度：ˆˆˆxy z xy zxy z A B A A A B B B ⨯= 22ˆˆˆ 3204x y z y z xy x =-ˆˆˆ ()()()y z z y z x x z x y y x A B A B xA B A B y A B A B z =-+-+- 2322ˆˆˆ =8(12)2z x x y y y x z z -++- ()A B ∇⨯⨯2322ˆˆˆ(8(12)2)z xx y y y x z z =∇⨯-++- 22322232(2)(12)(8)(2)(12)(8)ˆˆˆx z x y y z x z x y y z x y z y z z x x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂-∂+∂-∂-∂+∂-=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦22ˆˆ(416)3xz z yx yz =-+ 15、已知位于坐标原点处电量为q 的点电荷产生的电位移矢量D 为34r r q D π =，其中z z y y xx r ˆˆˆ++=，r r=，计算D ⨯∇和D ⋅∇。
解：由题意：1）34qrD ()πr ∇⨯=∇⨯ 33r 44q q()r πr πr =∇⨯+∇⨯31()4q r πr =∇⨯4 (3)4qr r r π-=-∇⨯43 4q rr πr r-=⨯0=2）34qrD ()πr ∇⋅=∇⋅3 ()4qr r π-=∇⋅ 33 ()()4q r r r r π--⎡⎤=∇⋅+∇⋅⎣⎦ 43334q r r r r π--⎡⎤=-∇⋅+⎣⎦ 43 334q r r r r πr --⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦33 334q r r π--⎡⎤=-+⎣⎦ 0(0)r =≠在r=0处，D 无意义，D⋅∇不存在。
16、证明()0=∇⨯∇u ，()0=⨯∇⋅∇A。
证明： 1）由标量场梯度的定义式：z z u y y u x x u u z z y y x x u ˆˆˆˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ ())ˆˆˆ(z zuy y u x x u u ∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇ 由z y A x A y x A zA x z A y A A x y z x y z ˆˆˆ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇ 令：z zuy y u x x u A ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂= 则：()0ˆˆˆ)ˆˆˆ(222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇zy x u x y u y z x u x z u x y z u z y u z zuy y u x x u u 由此得证。
