2017-2018年贵州省遵义四中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．请把所选答案填涂在答题卡的相应位置．1．（5分）已知全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则集合A=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．U D．∅2．（5分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣53．（5分）下列说法不正确的是（）A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥4．（5分）若，则tanα=（）A．﹣B．C．D．5．（5分）已知点P（）和圆C：x2+y2=4，则过点P且与圆C相切的直线方程是（）A．B．C．x﹣D．x6．（5分）如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是（）A．6 B．3 C．5 D．107．（5分）三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（）A．（0.7）6＜log0.76＜60.7B．（0.7）6＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜（0.7）6D．log0.76＜（0.7）6＜60.78．（5分）若直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣9．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为（）A．B．C．D．或10．（5分）已知实数m，n满足不等式组，则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．4，﹣7 B．8，﹣8 C．7，﹣4 D．6，﹣611．（5分）锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．（，2）D．（，）12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．14．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．其中，为真命题的是．15．（5分）已知直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，则的最小值为．16．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（）=，且a=7，b+c=13，求△ABC的面积．18．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．（1）求证：直线BC⊥平面PAM；（2）求：异面直线MN与PB所成角的余弦值．19．（12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若点P到直线y=x的距离为，求圆P的方程．22．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，2，3…．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，（Ⅱ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．请把所选答案填涂在答题卡的相应位置．1．（5分）已知全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则集合A=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．U D．∅【解答】解：根据题意，全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则A=∁U（∁U A）={1，2}，故选：B．2．（5分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【解答】解：∵过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，∴tan135°==﹣1，解得y=﹣5．故选：D．3．（5分）下列说法不正确的是（）A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥【解答】解：A．圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；B．∵同一个圆锥的母线长相等，∴圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，正确；C．根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确；D．直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D不正确．故选：D．4．（5分）若，则tanα=（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα===﹣．故选：C．5．（5分）已知点P（）和圆C：x2+y2=4，则过点P且与圆C相切的直线方程是（）A．B．C．x﹣D．x【解答】解：显然点P在圆上，k PC=，∴所求直线的斜率为﹣，∴所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣），即x+y=4．故选：B．6．（5分）如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是（）A．6 B．3 C．5 D．10【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，⇒原图中AB∥CD，CD=2AB=4，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，4，高为2，如图．故其面积S=（2+4）×2=6故选：A．7．（5分）三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（）A．（0.7）6＜log0.76＜60.7B．（0.7）6＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜（0.7）6D．log0.76＜（0.7）6＜60.7【解答】解：60.7＞1，0＜（0.7）6＜1，log0.76＜0，可得60.7＞（0.7）6＞log0.76．故选：D．8．（5分）若直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【解答】解：∵直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，∴m+2（1+m）=0，解得m=﹣，故选：D．9．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：∵a2，a3，a1成等差数列，∴a2+a1=2×a3=a3，即a1q2﹣a1﹣a1q=0，即q2﹣q﹣1=0，解得q=或，∵各项均为正数，∴q＞0，则q=不成立，则q=，故选：B．10．（5分）已知实数m，n满足不等式组，则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．4，﹣7 B．8，﹣8 C．7，﹣4 D．6，﹣6【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域如图所示；则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和z=x1+x2=3m+2n；由z=3m+2n可得n=﹣m+z，则z表示直线z=3m+2n在n轴上的截距，截距越大，z越大作直线3m+2n=0，向可行域方向平移直线，结合图形可知，当直线经过B时，z最大，当直线经过点D时，z最小；由可得B（1，2），此时z max=3×1+2×2=7；由可得D（0，﹣2），此时z min=3×0+2×（﹣2）=﹣4．故选：C．11．（5分）锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．（，2）D．（，）【解答】解：由正弦定理知：，∵A+B+C=180°，∴3A+C=180°，即C=180°﹣3A，∵C为锐角，∴30°＜A＜60°，又0＜B=2A＜90°，∴30°＜A＜45°，∴＜cosA＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：D．12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．14．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．其中，为真命题的是②④．【解答】解：①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面才相互平行，故错误；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故正确；③垂直于同一直线的两条直线平行，相交，或异面，故错误；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，故正确．故答案为：②④15．（5分）已知直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，则的最小值为9．【解答】解：直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，且圆心坐标是（2，﹣2），故2a+2b=1，所以，=（）（2a+2b）=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=时等号成立，则的最小值为：9．故答案为：9．16．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=a 或2a时，CF⊥平面B1DF．【解答】解：由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，解得x=a或2a．故答案为：a或2a．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（）=，且a=7，b+c=13，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵=，∴函数的最小正周期为．（Ⅱ）∵，∴，∴∵，∴．又b+c=13由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40，∴．18．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．（1）求证：直线BC⊥平面PAM；（2）求：异面直线MN与PB所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC．∵AM∩PA=A，∴BC⊥平面PAM．（2）取PA的中点D，连接DN，DM，∴DN∥PB，∵异面直线MN与PB所成角即为∠DNM，∵AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．∴MN=AC=1，DN=PB=，PM=×2=3，AM==1，∴PA==2，∴AD=，∴DM==，在△DMN中，由余弦定理可得cos∠DNM===，故异面直线MN与PB所成角的余弦值为19．（12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=；（Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴sinθ====﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若点P到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【解答】解：（1）设圆心为P（a，b），半径为R，∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，∴由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，∴b2﹣a2=1，∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．（2）由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，b﹣a=±1，解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，∴满足条件的圆P有两个：x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．22．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，2，3…．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，（Ⅱ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．【解答】（本小题共12分）（I）解：S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，可得a1=4，n=2时，1+a2=2a2+22﹣3×2﹣2，解得a2=8，n=3时，1+8+a3=2a3+32+3×3﹣2，解得a3=14．（II）证明：∵S n=2a n+n2﹣3n﹣2，∴S n=2a n+1+（n+1）2﹣3（n+1）﹣2．+1=2a n﹣2n+2，∴a n+1∴a n﹣2（n+1）=2（a n﹣2n）．+1∴{a n﹣2n}是以2为公比的等比数列．（III）证明：由已知和（1）知a1=S1=2 a1﹣4，∴a1=4，∴a1﹣2×1=4﹣2=2．∴a n﹣2n=2n，∴a n=2n+2n.．当n=1时，T1=当n≥2时，综上所述，说明：其它正确解法按相应步骤给分．。

绝密★启用前遵义四中2017-2018学年度第一学期第二次月考高二数学（理科）第I卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于() A．B．C．D．2.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C ．∃x0∈[0，＋∞)，＋x0<0 D．∃x0∈[0，＋∞)，＋x0≥03.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝，＝，则＝()A．－B．＋C．＋D．－5. 将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()6.点P(－1,3)到直线l ：y ＝k(x －2)的距离的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 D ．27. 对任意a ∈[－1,1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ． 1<x<3B ．x<1或x>3C ． 1<x<2D ．x<1或x>2 8.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ． C． D ．9.若变量x ，y 满足则x y x 622-++9的最小值是( )A ．12B ．1C ．2 D．210.的表面积为A ． 3πB ． 4πC ． 5 πD ． 6π11.已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．12.已知函数1,0()ln ,0，⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩x a x f x x x 当1<a <2时，关于x 的方程 (())=f f x a 的实数解的个数为（）A ．2 B.3 C.4 D.5第II 卷二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13. 十进制1 234转化为七进制为________．14.已知，且满足134xy+=，则xy 的最大值为________.15.已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论：①命题“p ∧q”是假命题； ②命题“p ∧(￢q)”是假命题；③命题“(￢p)∨q”是真命题；④命题“(￢p)∨(￢q)”是真命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)16.已知圆O ：和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．三、解答题(共6小题 ,共70分) 17.（10分）设函数22πx f(x)=cos(x -)+2cos ,x R 32∈． （1）求的值域； （2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()f B =，，，求a 的值．18.(12分)设数列{}n a 满足a 1＝2，*12,n n n a a n N +-=∈(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 令(21)n n b n a =-，求数列}{n b 的前n 项和n T19.（12分）（1）一个焦点在x 轴上的椭圆的离心率36=e ，且过点)22,32(，求该椭圆的标准方程. （2）已知P 为曲线C ：020422=--+y y x 上的动点，A 点的坐标是（0,-2），求线段AP 的垂直平分线与半径CP 的交点M 的轨迹方程.20.(12分)把遵义四中高二年级数学竞赛初赛成绩分布绘制成频率分布直方图如图，从左至右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，最左边一组的频数是3，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：(1) 求样本容量，并试估计样本的众数;(3)本次考试成绩不低于90.5分的同学可以进入决赛，考试结束后学校决定从进入决赛的同学中随机抽取两名同学给全年级分享一下竞赛经验，求分别考得95分、91分的小张和小黎恰好有一人被选中的概率. 21. (12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－BC－D的大小．22. (12分)如图，椭圆C：的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2) 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．遵义四中2017-2018学年度第一学期第二次月考高二数学（理科）参考答案一、 选择题1-5.DCBA C 6-10.CBBAA 11-12.AC二、 填空题13. 3712（7） 14.25415. ○2○3 16.3三、 解答题17.（1）[0,2] (2)218.（1）2n n a = （2）1(23)26n n T n +=-∙+19.（1）2213612x y += （2）22162y x +=20.（1）48，75.5 （2）815 21.（1）（2）略 （3）4π22.【解析】(1) 由题意，得A (4，0)，B (0，2)，D (0，－2)，E (2，0)，P (4，1)．所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－x＋2.解方程组得，所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为，所以点在椭圆上．即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．(2) 直线BR的方程为y＝k1x＋2.解方程组，得，或.所以点R的坐标为.因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－.直线BS的方程为y＝－x＋2.解方程组得,或所以点S的坐标为.所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O，O点坐标为(0，0)．。

贵州省遵义市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·诸暨期末) 抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·濮阳期末) P是双曲线上一点，F1 ， F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A . 1B . 17C . 1或17D . 以上答案均不对3. （2分）命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是（）A . 若a>b,则a-1b-1B . 若a>b,则a-1<b-1C . 若a b,则a-1b-1D . 若a<b,则a-1<b-14. （2分）(2017·四川模拟) 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·朝阳期末) 已知二次函数交轴于两点( 不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是（）① 圆心在直线上；② 的取值范围是；③ 圆半径的最小值为；④ 存在定点，使得圆恒过点 .A . ①②③B . ①③④C . ②③D . ①④6. （2分） (2018高二上·普兰期中) 已知命题，下列命题中正确的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·四川月考) 抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·丽水月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·阜城月考) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D . 410. （2分）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个11. （2分） (2018高二上·南宁月考) “直线与圆相切”是“ ”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆 =1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高二上·宁波期中) 已知，若方程表示圆，则圆心坐标为________；的取值范围是________．14. （1分）(2019高二下·上海月考) 如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．15. （1分）(2018·普陀模拟) 抛物线的准线方程为________16. （1分） (2016高一上·周口期末) 已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？18. （5分）(2017·大庆模拟) 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1 ， F2 ，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2016高二上·嘉兴期末) 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MD、DN、NM，分别将△AMD、△CDN、△BNM折起，点A，B，C重合于一点P．（1）证明：平面PMD⊥平面PND；（2）若cos∠DNP= ，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．20. （5分） (2017高三上·张家口期末) 已知M是直线l：x=﹣1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2020高三上·泸县期末) 如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面 .（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.22. （5分）(2017·广西模拟) 赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）．若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+（y+20.7）2=27.92 ．求|OP|．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、19-1、19-2、第11 页共12 页20-1、21-1、21-2、22-1、第12 页共12 页。

遵义四中2017-2018学年度第一学期高二第三次月考考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}{}(,)22,(,)24,A x y x y B x y x y =-==-=则B A ⋂为( ) A ．{}0,2 B ．{}0,2==y x C ．{})0,2( D ．{})2,0( 2．已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，2460x x ++≥ B ．0x R ∃∈，200460x x ++> C ．x R ∀∈，200460x x ++> D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥ 3．“2>x ”是“0822>-+x x ”成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ）A.123P P P =<B.231P P P =<C. 132P P P =<D. 123P P P == 5．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28c o s ()a a +=（ ） A ．12-B．-．12 D6．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A.12B.24C.48D.567．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则22(1)z x y =-+的最大值是（ ）A ．1B ．9C ．2D ．118．已知双曲线C 的两条渐近线为02=±y x 且过点(，则双曲线C 的标准方程是A ．22182x y -=B ．22128x y-=C ．22182y x -=D ．22128y x -=9．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（ ） A ．99 B ．100 C ．120 D ．142 10．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则ba=（ ）A ．13B ．12C D11．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则m n 的值为（ ）A ．2 B C ．1 D ．2 12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与椭圆2215x y +=交于,PQ 两点，F 为椭圆右焦点，且P FQ F ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AC 1-D 第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为 ．14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为 .15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息： ①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点222122(,)1212k k B k k -++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ．（用k 表示）16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . ①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ②对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；③若实数,x y 满足221,x y +=则2yx + ④若ABC ∆为钝角三角形，C ∠为钝角，则sin cos .A B >三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），:q 实数x 满足302x x -<-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）已知“若q ，则p ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为y=0,若点B 的坐标为（1，2），求：（1）点A 和点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学（1）若成绩在90分以上（含90分）,则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数;（2）如果样本数据中,有60名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD ．（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ ．21．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且248,,a a a成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足：11122332n n n a b a b a b a b +++++= ，n N *∈，令112n n n b c ++=，n N *∈，求数列1{}n n c c +的前n 项和n S ．22．(本题满分12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，以原点O为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x +=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2E A E A A B +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.遵义四中2016---2017学年度高二第三次月考理科数学参考答案1．C2．A3．B.4．D5．A6．C7．B8．D 9．C10．B11．A12．A 13．2411 14．1915．2324k k + 16．①②17．（1）{}|23x x <<；（2）{}|12a a ≤≤. 试题解析：因为:3,:23p a x a q x <<<<，（1）若1,a p q =∧为真，因此：1323x x <<⎧⎨<<⎩ 则x 的取值范围是：{}|23x x <<；（2）“若q ，则p ”是真命题，则有233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得：12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是{}|12a a ≤≤． 18（1）(1,0)A -，(5,6)C -；（2）12．试题解析：（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -． 又AB 的斜率2011(1)AB k -==--．∵ x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+ ① 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-，BC 所在的直线方程为22(1)y x -=-- ② ,解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． （2）BC ==又直线BC 的方程是240x y +-=A到直线的距离d ==,所以ABC ∆的面积111222BC d =⋅=⨯= 19．（1）平均成绩101分，及格人数1050人；（2）没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”试题解析：（1）解：高三学生数学平均成绩为()101201405012070100408020602001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计高三学生数学平均成绩约为101分 及格学生人数为()1050600900200205070=+⨯++（2）解：2K 的观测值()70625871631001406012080802040602002..k <≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”. 20．试题解析：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,． ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 21=． ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点， ∴CD AQ //，且CD AQ 21=，即AQ FP //且AQ FP =．∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //．∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD ．（2）连结BD ，∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵Q E 、分别是棱AB AD 、的中点，∴BD EQ //，∴EQ AC ⊥， ∵⊥SE 平面ABC ，⊂AC 平面ABCD ，∴SE AC ⊥， ∵E EQ SE = ，⊂EQ SE 、平面SEQ ，∴⊥AC 平面SEQ ， ∵⊂AC 平面SAC ，∴平面⊥SAC 平面SEQ ． 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 21．（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）2(2)n nS n =+.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 11a =，且248,,a a a 成等比数列，∴ 2428a a a =⋅，即2111(3)()(7)a d a d a d +=++， 解得0d =（舍）或1d =，∴ 数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d n =+-=，即n a n =； （Ⅱ）由11122332n n n a b a b a b a b +++++= ，112233112nn n a b a b a b a b --++++= （2n ≥）两式相减得1222n nnn n a b +=-=，即2nn b n=（2n ≥）， 则11121n n n b c n ++==+，212122n n n b c n +++==+，所以1111(1)(2)12n n c c n n n n +==-++++， 则11111111233412222(2)n n S n n n n =-+-++-=-=++++ ． 22．（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E ，59EA EB ⋅=- . 试题解析：（1） 由ec ac① 又因为以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x＋6＝0相切，∴ ac ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.∴ 椭圆的方程为26x ＋22y ＝1.（2）由()221622x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：（1＋3k 2）x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝221213k k +，x 1·x 2＝2212613k k -+，根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得EA →2＋EA →·AB →＝EA →·（EA →＋AB →）＝EA →·EB →为定值，则有： EA →·EB →＝（x 1－m ，y 1）·（x 2－m ，y 2）＝（x 1－m ）·（x 2－m ）＋y 1y 2＝（x 1－m ）（x 2－m ）＋k 2（x 1－2）（x 2－2） ＝（k 2＋1）x 1x 2－（2k 2＋m ）（x 1＋x 2）＋（4k 2＋m 2）＝（k 2＋1）·2212613k k -+－（2k 2＋m ）·221213k k +＋（4k 2＋m 2）＝()()222231210631m m k m k -++-+.要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3（m 2－6）， 即73m =， 此时2569EA EB m ⋅=-=- 为定值，定点为7(,0)3E .。

2017-2018学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤1 C．m≥1 D．m≤32．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=13．（5分）已知，，则tanθ=（）A．﹣2 B．C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），则f（x）≥0的充分条件是b2﹣4ac≤0 B．若m，k，n∈R，则mk2＞nk2的充要条件是m＞nC．对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，D．m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α∥β5．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π6．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．27．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a1+4a9=a17，则=（）A．9 B．C．D．8．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤59．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．2 D．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足，PA为球O的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为（）A．B．C．D．12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，若向量与垂直，则m=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，cos2A=﹣，cos2A=6cos2C﹣5．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．18．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求二面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值．21．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为．（I）求双曲线C的方程；（II）直线l：y=kx﹣1与双曲线C交于P，Q两点，试探究，是否存在以线段PQ 为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；（I）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+2g（x）]f（x）的最值；（II）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤1 C．m≥1 D．m≤3【解答】解：∵集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3．∴m的取值范围是m≥3．故选：A．2．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．3．（5分）已知，，则tanθ=（）A．﹣2 B．C．D．【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，则tanθ==﹣，故选：C．4．（5分）下列说法正确的是（）A．f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），则f（x）≥0的充分条件是b2﹣4ac≤0 B．若m，k，n∈R，则mk2＞nk2的充要条件是m＞nC．对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，D．m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α∥β【解答】解：对于A，当a＜0时，由b2﹣4ac≤0不能得到f（x）≥0，则“ax2+bx+c ≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2＞nk2的一定能推出m＞n，但是，当k=0时，由m＞n不能推出mk2＞nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02＜0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D5．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．6．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D7．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a1+4a9=a17，则=（）A．9 B．C．D．【解答】解：∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即4（a1+a9）=2a9，即4a5=a9，则====，故选：C8．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，故选B．方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，故选B．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V==，故选：A11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足，PA为球O的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足，∴D是AB中点，且AD=BD=CD=，∴OD==，∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2．故选：B．12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．3【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x ﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，若向量与垂直，则m=7．【解答】解：∵向量，∴=（m﹣1，3），∵向量与垂直，∴（）•=﹣1×（m﹣1）+2×3=0，解得m=7．故答案为：7．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．令t=sinx，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，cos2A=﹣，cos2A=6cos2C﹣5．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由cos2A=6cos2C﹣5，得：1﹣2sin2A=6（1﹣2sin2C）﹣5，化简得：sin2A=6sin2C，…（2分）∵A，C均为三角形内角，即：0＜A＜π，0＜C＜π，∴sinA＞0，sinC＞0，∴，…（3分）又因为cos2A=1﹣2sin2A=﹣，所以sinA=．结合已知：，由正弦定理，得a=•c==3．…（6分）（II）由sinA=，0，得cosA=．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣2b﹣15=0．解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以S△ABC=bcsinA=．…（12分）18．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．19．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求二面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，…（12分）则MN∥PA．又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．…（4分）又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）（2）∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ACD，又∵DC⊥AC，平面PAC∩平面ACD=AC，∴DC⊥平面PAC，如图，以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，∴，，∴，设=（x，y，z）是平面PCN的法向量，则，即，可取，又平面PAC的法向量为，∴===，由图可知，二面角N﹣PC﹣A的平面角为锐角，∴二面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值为．…（12分）21．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为．（I）求双曲线C的方程；（II）直线l：y=kx﹣1与双曲线C交于P，Q两点，试探究，是否存在以线段PQ 为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），则有c=，=，c2=a2+b2，得a=，b=1，所以双曲线方程为2x2﹣y2=1．（Ⅱ）由得（2﹣k2）x2+2kx﹣2=0，依题意有解得﹣2＜k＜2且k≠，①且x1+x2=，x1x2=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），依题意有OP⊥OQ，所以•=x1x2+y1y2=0，又y1y2=（kx1﹣1）（kx2﹣1）=k2x1x2﹣k（x1+x2）+1，所以﹣+1=0，化简得k=0，符合①，所以存在这样的圆．22．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；（I）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+2g（x）]f（x）的最值；（II）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；h（x）=[f（x）+2g （x）]f（x）∴又h（x）在上[1，4]单调递减，∴，；（Ⅱ）由，得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k•log2x 令t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]所以（3﹣4t）（3﹣t）＞k•t对t∈[0，2]恒成立．①当t=0时，k∈R；②当t∈（0，2]时，，令由于r（t）在递减，在递增．所以，则k＜﹣3；综上知k∈（﹣∞，﹣3）．。

2017-2018学年度第一学期半期考试题高二（理科）数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出的四个选项中只有一个是 正确的。

请把所选答案填涂在答题卡的相应位置。

1.已知全集U ＝ {0,1,2}， 且 ∁ U A ＝ {0}， 则 集 合 A ＝( ) A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．UD．2．过点 A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为 135°，则 y 等于 ( )A ．－5B ．－1C ．5D ．13． 下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 4．若6, , s in ,则tan23( ) 6 A.B ． C. －D ．－3 226 35．已知点 P 3,1和圆C ：x 2＋y 2=4，则过点P且与圆C 相切的直线方程是( )A ． 3xy4B ． 3x y 4 C.x3y 4 D ． x3y 46．如图，梯形 A 1B 1C 1D 1是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测)，若 A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，C 1D 1＝2A 1B 1＝4，A 1D 1＝1，则梯形 ABCD 的面积是( )A ．6B ．3C ．5 2D ．10 2 7． 三个数60.7,0.76，log 0.76的大( )A ．0.76<log 0.76<60.7B ．0.76<60.7<log 0.76C ．log 0.76<0.76<60.7D ．log 0.76<60.7<0.768.若直线x1 m y +m -2 0 和直线 mx 2y 80垂直，则 m 的值为- 1 -( )A.－1 B．－2 C.1或－2 D．－2 319．设各项都为正数的比数列中，a,a,a成等差数列，则公比q的值为a231n2()5151155151 A．B．C．D．或222222m n4m n210．已知实数m，n满足不等式组，则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两m n3m0根之和的最大值和最小值分别是()A．4，－7 B．8，－8 C．7，－4 D．6，－6b11．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是a( )A．（0，2）B．( 2，3) C．(0，3) D．( 2，2)12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP AB AD，则的最大值为( )A．3 B．2 2 C．5D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置。

（上）高二年段期中考试卷理数试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一．选择题（每小题5分共60分）1．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是 （ ）. ,,. ,,. ,,. ,,A a b B a b C a b D aγαβαβ 2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列,且12a =,则数列2{log }n a 是（ ）A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg 2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg 2的等比数列 5．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．等差数列{}n a 中,83,a a 是方程0532=--x x 的两个根,则此数列的前10项和=10S （ ）15A 30B 50C291215+D7．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（ ）A ．11{|}32x x -<<B ．11{|}32x x x <->或C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x x <->或8．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4(0)y x xx=+<B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<9．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于 （ ）A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m10．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得202=S ， 65,3643==S S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S 11.下列结论中正确的个数是( )①在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为等腰三角形②若等差数列的通项公式为421n a n =-，则5S 为最小值; ③当02x <<时，函数()(42)f x x x =-的最大值为2 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行A . 1B 2 C. 3 D 412．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设正项．．数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（ ）A ．4BC ．8D ．62二．填空题（每小题4分共20分）13．命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 __________ 14.已知不等式2-2-30x x <的整数解构成递增．．等差．．数列{}n a 前三项，则数列{}n a 的第四项为_______15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222c a b ab =++，则∠C=____________16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.17．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为315N =，那么12N 的值为__________三．解答题18.（本题8分）已知命题p : 关于x 的方程10ax -=在[1,1]-上有解;命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围19.（本题12分）（1）已知两正数x,y 满足21x y +=，求xy 的最大值 （2）当(1,)x ∈+∞，不等式11x a x +≥-恒成立，求a 的取值范围20.（本题12分） △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若A ，B ，C 成等差数列，且2,AB AC ==，求△ABC 的面积；(2) 若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值21.（本题12分）已知递增．．的等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）现在“汽车”是很“给力”的名词，汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n 和n 年累计．．维修费n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点在2(0)y ax bx a =+≠的图象上（如图所示），其中(5,1.05)A 、(10,4.1)B（1）求出累计．．维修费n S 关于年数n 的表达式，并求出第10年的维修费 （2）汽车开始使用后，每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担，若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值 （年平均耗资费=+车价车主承担的维修费使用年数）23.（本题14分）（实验班）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .晋江二中2014-2015学年（上）高二年段期中考试卷理数试卷答题卡一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13._______________________________________________14.______________________ 15.____________________16.______________________ 17.______________________三.解答题（共70分）第18题第20题第22题一．选择题（每小题5分共60分 ） 二．填空题（每小题4分共20分）13 200x x m m +-=>若有实数根则 14. 3 15. 23π16. -2 17. 870 三、解答题 第18题.第20题解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 第22题第23题【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。

2017-2018学年贵州省遵义市第四中学高二上学期第一次月考数学一、选择题：共12题1．已知集合 ,则集合=A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算.====,∴.故选C.2．若任取,则点满足的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查几何概型.根据几何概型的概率计算公式可知=.故选C.3．在中,==.若点满足=,则=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查平面向量的线性运算.===.故选A.4．已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为A.24-B.24-C.24-D.24-【答案】A【解析】本题主要考查三视图的直观图和几何体的体积计算.由三视图可知,该几何体是一个长方体挖去了半个圆柱，==故选A.5．将二进制数10 001(2)化为五进制数为A.32(5)B.23(5)C.21(5)D.12(5)【答案】A【解析】二进制数1101(2)化为十进制数为1101(2)=∴二进制数1101(2)化为五进制数为23(5).6．点P在平面ABC外,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC上的射影是的A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心【答案】A【解析】本题主要考查直线、平面垂直的判定与性质.过点P作平面ABC上的射影O,由题意PA=PB=PC,∵平面ABC,∴,∴,∴O是的外心.故选A.7．设动点满足条件,则取得最大值时,点P的坐标是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查简单的线性规划问题。

作出约束条件表示的平面区域如图所示:作出直线,当直线经过点B时,取最大值.故选B.8．设是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列四个命题中,正确的是A.,则 B.,,则C. D., 则【答案】D【解析】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系.A.,则平行或异面,选项错误;B.,,则,选项错误;C.根据面面垂直的性质可知,选项错误.故选D.9．如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是A.300B.450C.600D.900【答案】B【解析】本题主要考查立体几何中空间角的计算.连接,则即为所求二面角的平面角，易知=.故选B.10．函数=sin x+sin (-x)图象的一条对称轴为A. B. C.= D.【答案】D【解析】本题主要考查三角函数的性质和简单的三角变换.====,经代入检验是对称轴.故选D.11．在三棱柱中,是等边三角形,平面,则异面直线和所成角的正弦值为A.1B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查立体几何中空间角的计算.取AB、的中点D、E、F,连接DE、EF、DF,则即为异面直线和所成角,由题意得,由勾股定理得=.故选A.12．若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足=,则有A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查指数函数和函数的基本性质.因为函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足=,所以=,所以==,所以=.故选B.二、填空题：共4题13．过点的直线的方程为 .【答案】x+2y-2=0【解析】本题主要考查平面解析几何中直线方程的求解.由两点式得,直线方程为即14．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是 .【答案】【解析】本题主要考查空间几何体的体积计算.由=,得.所以正三棱柱的高为4,由已知得底面正三角形的重心到边的距离为2,设底面边长为=,所以=,所以==15．已知函数=,若=,则 .【答案】2【解析】本题主要考查指数函数的运算.因为=,所以==因为=所以=.16．如图，在三棱锥A-BCD中，BC=DC=AB=AD=，平面ABD平面BCD，O为BD中点，点P,Q分别为线段AO,BC上的动点(不含端点)，且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为________.【答案】【解析】本题主要考查了空间中线面的位置关系和棱锥的体积公式.设，因为，为中点，所以，因为平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面，过点作，则平面.三棱锥体积即为三棱锥的体积，于是.因为，，所以，，又相似于，所以有，所以，，可得当取最小值，最小值为.三、解答题：共6题17．在中,角的对边分别为,且满足=．(1)求角的大小;(2)若=【答案】(1)由题意知=由正弦定理可知,-ab,化简可得 ab,利用余弦定理cos C==,C=.(2)S=由(1)知,ab=6结合余弦定理得,cos C===则所以的周长【解析】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式的应用.(1)利用正弦定理将已知条件中角的关系都转化成边的关系,然后利用余弦定理求解;(2)利用面积公式=,先求出再利用余弦定理求出.18．函数是实数集R上的奇函数,当时,.(1)求的值和函数的表达式;(2)求证:方程在区间上有唯一解.【答案】(1)函数f(x)是实数集R上的奇函数.所以f(-1)＝-f(1).因为当x＞0时,f(x)＝log2x＋x-3,所以f(1)＝log21＋1-3＝-2.所以f(-1)＝-f(1)＝2.当x＝0时,f(0)＝f(-0)＝-f(0),解得f(0)＝0,当x＜0时,-x＞0,所以f(-x)＝log2(-x)＋(-x)-3＝log2(-x)-x-3.所以-f(x)＝log2(-x)-x-3,从而f(x)＝-log2(-x)＋x＋3.所以f(x)＝(2)因为f(2)＝log22＋2-3＝0,所以方程f(x)＝0在区间(0,＋∞)上有解x＝2.又方程f(x)＝0可化为log2x＝3-x.设函数g(x)＝log2x,h(x)＝3-x.由于g(x)在区间(0,＋∞)上是单调增函数,h(x)在区间(0,＋∞)上是单调减函数,所以,方程g(x)＝h(x) 在区间(0,＋∞)上只有一个解.所以,方程f(x)＝0在区间(0,＋∞)上有唯一解.【解析】本题主要考查分段函数和函数性质的综合应用.(1)根据函数的奇偶性,利用即可解答;根据奇函数的性质求出的解析式,特别注意当时,;(2)因为log22＝,所以方程在区间上有根.然后根据函数的单调性证明解的唯一性即可.19．已知函数=(1)求函数的单调递增区间;(2)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=1,=,且a b,试求角B和角. 【答案】(1)f(x)=cos(2x﹣)﹣cos 2x=sin 2x﹣cos 2x=sin(2x﹣),令2kπ﹣2x﹣2kπ+,x∈Z,解得:kπ﹣≤x≤kπ+,x∈Z,则函数f(x)的递增区间为[kπ﹣,kπ+],x∈Z;(2)∵f(B)=sin(B-)=﹣,∴sin(B﹣)=﹣,∵0＜B＜π,∴﹣＜B﹣＜,∴B﹣=﹣,即B=,又b=1,c=,∴由正弦定理=得:sin C==,∵C为三角形的内角,∴C=或,当C=时,A=;当C=时,A=(不合题意,舍去),则B=,C=.【解析】本题主要考查三角函数的性质以及正弦定理的应用;(1)利用辅助角公式将函数进行化简,然后根据正弦型函数的单调性的求法解答;(2)=,即可求出然后利用正弦定理求出.并加以检验.20．如图,在△ABC中,BC边上的高AM所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0与BC相交于点P,若点B的坐标为(1,2).(1)分别求AB和BC所在直线的方程;(2)求P点坐标和AC所在直线的方程．【答案】(1)由得顶点.又的斜率==.所以所在直线的方程为,即,BC边上的高AM所在的直线方程为,所以直线BC的斜率为,所在的直线方程为.即.(2)由得因为x轴是的平分线,故的斜率为所在直线的方程为=,即【解析】本题主要考查直线方程的求解,点的坐标的求法以及两直线垂直的条件. (1)由得顶点,再根据点斜式方程求出所在直线的方程,根据垂直的条件求出直线BC的斜率,再根据点斜式方程求出所在直线的方程.(2)由得, 由于x轴是的角平分线,故的斜率为, 再根据点斜式方程求出所在直线的方程.21．如图,边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直,分别为的中点,.(1)求证:;(2)求证:;(3)在线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.【答案】证明:(1)因为ABCD为正方形,所以.因为平面ABCD平面,且垂直于这两个平面的交线AB,所以平面.(2)连结.因为是矩形,M是AE的中点,所以M是BF的中点.因为N是BC的中点,所以MN∥CF.因为平面,平面,所以∥平面.(3)过A点作交线段于点点即为所求.因为平面ABEF,所以.因为,所以平面BNM.所以.,因为==,所以=.【解析】本题主要考查线面垂直的判断、面面垂直的性质,线面平行.(1)因为ABCD为正方形,所以 ,然后根据面面垂直的性质解答;(2)连结 ,利用中位线的性质证明MN∥CF,然后利用线面平行的判定定理证明;(3)过A点作交线段于点利用相似三角形的性质求解.22．设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(Ⅰ)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.【答案】(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以=n(-d1)+d1-a1+d2+≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数m>max{,},故当n≥m时,>M.【解析】本题考查新定义数列、等差数列的定义及通项公式、不等式等知识,意在考查考生的转化与化归能力,运算求解能力和创新意识.(Ⅰ)读懂新定义{c n}的含义,即可求得{c n}的通项公式;(Ⅱ)结合新定义,通过对d1的分类讨论,进而证明.。

2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 ．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程； （Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ． 【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得 右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果． 【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2， 故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6）， 此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （﹣，0）∪（0，） ．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3）， 代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8． 故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

贵州省遵义市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·桂林期中) 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（）A . a+c＞b+dB . a﹣c＞b﹣dC . ac＞bdD . ad＞bc2. （2分）数列的首项为3，为等差数列且，若,,则（）A . 2B . 3C . 8D . 113. （2分）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（）A . -4B . -6C . -8D . -104. （2分） (2020高二下·驻马店期末) 在△ 中，若，则△ 的最大内角与最小内角的和为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·遂宁期末) 设是的重心，且，若外接圆的半径为1，则的面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（）A . an=2n﹣1B . an=2n+1C . an=4n﹣1D . an=4n+17. （2分） (2019高二上·厦门月考) 若“ ”是“ ”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要8. （2分）(2017·兰州模拟) 设变量x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值是（）A .B .C .D . 59. （2分） (2019高二上·延吉期中) 数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7 ，则有（）A .B .C .D . 与的大小不确定10. （2分）函数f（x）=x3+x2的定义域是x∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，则该函数的值域为（）A . {﹣4，﹣2，0，2}B . {﹣4，0，4}C . {﹣2，0，2}D . {﹣4，0，2，12}11. （2分） (2018高二上·抚顺期中) 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·南昌期中) 设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数n的值为（）A . 6B . 7C . 12D . 13二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·无锡期中) 已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为________．14. （1分） (2015高一下·太平期中) 已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=________15. （1分） (2016高二上·郴州期中) 三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是________cm2 ．16. （1分） (2018高三上·双鸭山月考) 设x,y满足约束条件则的最大值为________三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2016高二上·南通开学考) 已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）当m=3时，求A∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18. （10分）(2020·龙岩模拟) 已知数列的前n项和，，（）， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求之和.19. （10分）(2017·大连模拟) 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+ b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{an}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{ }的前n项和为Sn ，求证：Sn＜．20. （10分） (2018高一下·蚌埠期末) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值21. （15分）已知数列{an}满足a1=1，a2=a＞0，数列{bn}满足bn=an•an+1（1）若{an}为等比数列，求{bn}的前n项的和sn；（2）若bn=3n ，求数列{an}的通项公式；（3）若bn=n+2，求证： + +…+ ＞2 ﹣3．22. （15分） (2016高一上·绵阳期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f （x）（x∈R）的递增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的值域；（3）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

第一学期高二半期考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合22{|},{|}A x y x B y y x ====，则A B = A ．A B ．B C ．{|0}y y > D ．R2．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二800人、高三1000人中，抽取48人进行问卷调查，则高二被抽取的人数为 A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 3．0a >是函数21y ax x =++在(0,)+∞上单调递增的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知点(sin ,cos )P αα在第四象限，则角α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在同一个坐标系中画出函数x y a =和sin y ax = 的部分图象，其中a >0且1a ≠,则下列所给图象中可能正确的是6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且526a a -=，39S =，则10a = A ．10 B ．12 C ．19 D ．21A ．B ．C ．D ．7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，若()4,3AB =，()1,5AC =，则PC =A ．()3,2-B ．()3,2-C ．2(1,)3-D ．2(1,)3- 8．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如右图所示，则该几何体的侧面积为 A ．482cm B ．1442cm C ．802cm D ．642cm9．如右图给出的是计算11113533++++的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是 A ．2n n =+，17i > B ．2n n =+，17i = C ．1n n =+，17i > D ．1n n =+，17i =10．从[5,5]-上任取两个数x 、y ，则使得2225x y +≥的 概率是A B C D11．已知直线l ：22(sin 1)10x y α+-+=的倾斜角为α，则α的可能取值是 A ．4π B ．4π或2π C ．4π或34π D ．34π或2π12．已知函数()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在(0,6)内的实根至少有A ．2个B ．3个C ．5个D ．7个第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将每题的答案写在答题卡的相应位置）．13．有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为奇数的概率是 ．14．将八进制数32 转化为二进制数是 ．15．若x 、y 满足约束条件1121x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．16．边长为2的正方形ABCD ，其内切圆与边BC 切于点E ，内切圆上任意一点F ，则A E A F ⋅取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18—22题每小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）． 17（本题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，已知2a =，3A π=．（Ⅰ）若ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2A B C C +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某校从参加2016年数学能力竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数;（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．19．（本题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：ˆˆy bx a=+；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑，．）20．（本题满分12分）在四棱锥E ABCD-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE平面ACF；（Ⅱ）若1CE=，AB=E ACF-的体积．21．（本题满分12分）已知点P (2，2)，圆C ：2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+． （Ⅰ）求证：11{}2n a +是等比数列； （Ⅱ）数列{}n b 满足n n n n a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围．第一学期高二半期考试试卷理科数学参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2017——2018年度第一学期半期考试高二数学理科试卷(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．已知直线l 经过点A （﹣2，0）与点B （﹣5，3），则该直线的倾斜角为（ ） A ．150°B ．135°C ．60°D ．45°2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．-2C ．1或-2D ．23-3.关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ；其中真命题的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．已知直线l 过点P （，1），圆C ：x 2+y 2=4，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．相离5．过点P (-2,2)且垂直于直线210x y -+=的直线方程为（ ）A .220x y ++=B .250x y +-=C .220x y +-=D .270x y -+=6.若某几何体的三视图（单位：c m ）如图所示 则该几何体的体积等于（ ） A.310cmB. 320cmC. 330cmD. 340cm7.已知底面边长为1为（ ） A.323πB43πC.2πD. 4π8.光线从点()3,2-A 射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点()32,1C ，则光线BC 所在直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π9．已知三棱锥A BCD -的各个棱长都相等，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，则EF 与BC 所成的角是（ ） A .90oB .60oC .45oD .30o10. 点(3,1)M -是圆22420x y x y +-+-=内一点，过点M 最长的弦所在的直线方程为 A.x+3y=0 B.2x+3y-3=0C.x+2y-1=0D.x+2y-1=011．正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值（ ）C.2312．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m, n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ） A.29B. 13C.25D.49二、填空题（每小题5分，共20分）13. 圆x 2+y 2+4x ﹣4y ﹣1=0与圆x 2+y 2+2x ﹣13=0相交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为 14．已知1sin cos 5αα-=，()0,απ∈，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________。