立体几何综合练习题(3)

高中立体几何练习题立体几何是高中数学中的一个重要部分，它涉及到空间图形的形状、体积、表面积等特性。

通过练习立体几何问题，可以帮助学生加深对立体几何概念的理解，并训练他们的逻辑思维能力和解题技巧。

本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，帮助大家巩固立体几何知识。

1. 地面上的一个正方形花坛，边长为4米。

现在要在花坛的四个角上立一个高为2米的正方体石柱，问：整个花坛所占的体积是多少？解析：首先，我们可以通过画图来更好地理解问题。

将正方体石柱看作是立在花坛四个角的柱子。

花坛的形状为正方体，边长为4米，所以它的体积为4 * 4 * 4 = 64立方米。

而每个石柱的体积为2 * 2 * 2 = 8立方米，因为有四个石柱，所以它们的总体积为 8 * 4 = 32立方米。

所以，整个花坛所占的体积为64 - 32 = 32立方米。

答案：整个花坛所占的体积为32立方米。

2. 一个正方体的棱长为5cm，问：该正方体的表面积是多少？解析：一个正方体有六个面，每个面积相等。

正方体的表面积等于一个面的面积乘以6。

每个面的面积等于正方形的边长的平方。

所以，这个正方体的表面积等于5 * 5 * 6 = 150 cm²。

答案：该正方体的表面积为150 cm²。

3. 一个边长为10cm的正方体，现在要将它截成一般，问：每一半的体积是多少？解析：将正方体截成一般意味着将它分成两个相等的部分。

每一半的体积等于整个正方体的体积的一半。

整个正方体的体积为10 * 10 * 10 = 1000 cm³。

所以每一半的体积为1000 / 2 = 500 cm³。

答案：每一半的体积为500 cm³。

4. 一个圆柱的底面半径为6cm，高为8cm，问：该圆柱的体积是多少？解析：圆柱的体积等于底面积乘以高。

底面积等于π * r²，其中r为底面的半径。

所以这个圆柱的体积为π * 6² * 8 = 288π cm³。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，那么( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上2.关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是( )A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同3.已知直线m，n与平面α，β，m⊥α，n⊥β，若α⊥β，则m，n的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交D．异面4.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PQEF的体积( )A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关5.在正方体中ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC6.一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A．3πB．4πC．3√3πD．6π7.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A．1:√3B．1:3C．1:3√3D．1:98.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为( )A．√2B．√3C．2D．2√29.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A．3√3B．√3C．2√6D．2√310.若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角形，其面积为√3，则这个圆锥的体积为( )A．3πB．√3π3C．√3πD．√3π2二、填空题（共6题）11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M−EFGH的体积为．12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P−ABA1的体积为．13.正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为．14.正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△AʹBʹCʹ的面积为√3，那么△ABC的面积为．15.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是．16.如图所示，长方形ABCD−A1B1C1D1的体积为24，E为线段B1C上的一点，则棱锥A−DED1的体积为．三、解答题（共6题）17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是平面AA1D1D，平面A1B1C1D1的中心，证明：(1) D1Q∥平面C1DB；(2) 平面D1PQ∥平面C1DB．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD．(1) 求证：平面APC⊥底面BPD；(2) 若PB⊥PD，∠DAB=60∘，AP=AB=2，求二面角A−PD−C的余弦值．19.如图，在△AOB中，∠AOB=90∘，AO=2，OB=1．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，动点D在斜边AB上．(1) 求证：平面COD⊥平面AOB；(2) 当D为AB的中点时，求二面角B−CD−O的余弦值；(3) 求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60∘，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点．(1) 若Q为线段AC的中点，H为BQ的中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ；(2) 若二面角B1−PQ−C1的平面角的余弦值为√13，求点P到平面BQB1的距离．1321.如图，AE⊥面ABCD，ABCD是正方形，AE=AB=2，F为BE的中点．求证：DE∥面ACF．22.阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写适当的内容．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别为线段BD1，CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅰ）当DD1=√2时，求证：DE⊥平面BFD1；证明：（Ⅰ）如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接OE．因为长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，所以BO=OD，又因为BE=ED1，DD1，所以OE∥DD1，OE=12因为F为线段CC1中点，DD1，所以CF∥DD1，CF=12所以CF∥OE，CF=OE．所以四边形OCFE为平行四边形．所以EF∥OC．又因为EF⊄平面ABCD，OC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（Ⅰ）因为F为线段CC1中点，所以BF=D1F，所以△D1FB是等腰三角形．因为E为BD1的中点，所以EF⊥BD1．因为BD⊥OC，EF∥OC，所以EF⊥BD．因为BD∩BD1=B，所以①．因为DE⊂平面BDD1，所以②．因为DD1=√2，所以DD1=BD，所以③．因为EF∩D1B=E，所以DE⊥平面BFD1．在上述证明过程中，（Ⅰ）的证明思路是：先证明“④”，再证明“⑤”．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC=AC，所以M∈AC．故选A．【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】C【解析】对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示，所以C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．【知识点】直观图3. 【答案】B【解析】m，n有可能相交或异面，但必定垂直．故答案选B．【知识点】直线与直线的位置关系4. 【答案】D【解析】设P点到平面A1B1CD的距离为ℎ，因为A1B1∥DC，所以Q到EF的距离为定值2√2，又因为EF=1，所以S△QEF=12×1×2√2=√2，因为V四面体PQEF =V三棱锥P−QEF=13S△QEF⋅ℎ=√23ℎ，即四面体的体积只与点P到平面A1B1CD的距离无关，所以四面体的体积与z有关，与x，y无关．【知识点】棱锥的表面积与体积5. 【答案】C【解析】画出正方体ABCD−A1B1C1D1，如图所示．对于选项A，连D1E，若A1E⊥DC1，又DC1⊥A1D1，所以DC1平面A1ED1，所以可得DC1⊥D1E，显然不成立，所以A不正确．对于选项B，连AE，若A1E⊥BD，又BD⊥AA1，所以DB⊥平面A1AE，故得BD⊥AE，显然不成立，所以B不正确．对于选项C，连AD1，则AD1∥BC1．连A1D，则得AD1⊥A1D，AD1⊥ED，所以AD1⊥平面A1DE，从而得AD1⊥A1E，所以A1E⊥BC1．所以C正确．对于选项D，连AE，若A1E⊥AC，又AC⊥AA1，所以AC⊥平面A1AE，故得AC⊥AE，显然不成立，所以D不正确．【知识点】空间中直线与直线的垂直6. 【答案】A【解析】联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为√3，从而外接球的直径也为√3，所以此球的表面积为3π．【知识点】组合体、球的表面积与体积7. 【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a2，所以V内=43π(a2)3−πa36，正方体的外接球的半径为√32a，所以V外=43π(√32a)3=3√3πa36，所以V内:V外=1:3√3．【知识点】球的表面积与体积8. 【答案】B【解析】根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥，如图所示，其中PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，易知PB=√3，PA=PC=√2，故最长棱的长度为√3．【知识点】三视图、棱锥的结构特征9. 【答案】D【知识点】棱柱的表面积与体积10. 【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为ℎ，体积为V，则ℎ=√3r．因为12×2r×√3r=√3r2=√3，所以r=1，所以V=13πr2h=√33πr3=√3π3．【知识点】圆锥的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】112【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH=12AC，因为 F ，G 分别为 B 1A ，B 1C 的中点， 所以 FG ∥AC ，FG =12AC ，所以 EH ∥FG ，EH =FG ， 所以四边形 EHGF 为平行四边形， 又 EG =HF ，EH =HG ， 所以四边形 EHGF 为正方形， 又点 M 到平面 EHGF 的距离为 12， 所以四棱锥 M −EFGH 的体积为 13×(√22)2×12=112．【知识点】棱锥的表面积与体积12. 【答案】9√34【解析】因为在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AB =AA 1=3，点 P 在棱 CC 1 上， 所以点 P 到平面 ABA 1 的距离即为 △ABC 的高， 即为 ℎ=√32−(32)2=3√32，S △ABA 1=12×3×3=92，三棱锥 P −ABA 1 的体积为：V =13×S △ABA 1×ℎ=13×92×3√32=9√34．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】 100π【解析】依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点， 所以其半径等于 √42+(62)2=5，其表面积等于 4π×25=100π．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】 2√6【知识点】直观图15. 【答案】 A 1C 1∥l【解析】因为 平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ， 所以 AC ∥平面A 1B 1C 1D 1，又平面 ACB 1 经过直线 AC 与平面 A 1B 1C 1D 1 相交于直线 l ， 所以 AC ∥l ， 又因为 A 1C 1∥AC ， 所以 A 1C 1∥l ．【知识点】直线与平面平行关系的性质、直线与平面平行关系的判定16. 【答案】4【解析】设AB=a，AD=b，AA1=c，则长方体的体积V ABCD−A1B1C1D1=abc=24，三棱锥A−DED1的体积V A−DED1=V E−ADD1=13S△ADD1⋅AB=13×12×AD×DD1×AB=16×bc⋅a=16×24=4.【知识点】棱锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题可知D1Q∥DB．因为D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，所以D1Q∥平面C1DB．(2) 由题可知D1P∥C1B．因为D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，所以D1P∥平面C1DB．由（1）知，D1Q∥平面C1DB，又D1Q∩D1P=D1，所以平面D1PQ∥平面C1DB．【知识点】平面与平面平行关系的判定、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) 记AC∩BD=O，连接PO，因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥AC ，O 是 BD ，AC 的中点， 因为 PB =PD ， 所以 PO ⊥BD ， 因为 AC ∩PO =O ， 所以 BD ⊥平面APC ， 又因为 BD ⊂平面BPD ，所以 平面APC ⊥平面BPD ．(2) 如图，以 O 为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间坐标系， 则 A(√3,0,0)，D (0,−1,0)，P (0,0,1)，C(−√3,0,0,)，所以 DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)， 设 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 是平面 APD 的法向量，则 {DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⇒{√3x 1+y 1=0,y 1+z 1=0, 令 y 1=−√3，得 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，同理可得平面 PCD 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−√3)，所以 cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3)×√3+(−√3)×√3√7×√7=−57，由图形可知二面角 A −PD −C 为钝二面角， 所以二面角 A −PD −C 的余弦值为 −57．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、平面与平面垂直关系的判定、二面角19. 【答案】(1) 在 △AOC 中，AO ⊥OC ， 因为 OB ⊥OC ，且 AO ∩OB =O ， 所以 OC ⊥平面AOB ， 又 OC ⊂平面COD ，所以 平面COD ⊥平面AOB ．(2) 如图建立空间直角坐标系 O −xyz ， 因为 D 为 AB 的中点，所以 O (0,0,0)，A (0,0,2)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，D (0,12,1)，所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,1)， 设 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 OCD 的法向量，所以 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {x 1=0,12y 1+z 1=0, 令 z 1=1，则 y 1=−2，所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1) 是平面 BCD 的一个法向量， 设 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 OCD 的法向量， 所以 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {x 2−y 2=0,−12y 2+z 2=0, 令 z 2=1，则 x 2=2，y 2=2，所以 n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1) 是平面 OCD 的一个法向量，所以 cos 〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√02+(−2)2+12⋅√22+22+12=−√55， 所以二面角 B −CD −O 的余弦值为 √55． (3) 解法一：因为 OC ⊥平面AOB ，所以 ∠CDO 为 CD 与平面 AOB 所成的角， 因为 OC =1，所以点 O 到直线 AB 的距离最小时，∠CDO 的正弦值最大， 即当 OD ⊥AB 时，∠CDO 的正弦值最大， 此时 OD =2√55， 所以 CD =3√55， 所以 sin∠CDO =√53． 解法二：设 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1])， 所以 D (0,λ,2−2λ)．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,λ,2−2λ)，平面 AOB 的法向量 n ⃗ =(1,0,0)，所以 sinθ=∣∣n ⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣∣∣CD⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√5λ2−8λ+5=√5(λ−45)2+95，所以当 λ=45 时，CD 与平面 AOB 所成的角最大，sinθ=√53． 【知识点】二面角、平面与平面垂直关系的判定、线面角20. 【答案】(1) 如图，取 BB 1 的中点 E ，连接 AE ，EH ． 因为 H 为 BQ 的中点， 所以 EH ∥B 1Q ．在平行四边形 AA 1B 1B 中，P ，E 分别为 AA 1，BB 1 的中点， 所以 AE ∥PB 1．又 EH ∩AE =E ，PB 1∩B 1Q =B 1， 所以 平面EHA ∥平面B 1QP ． 因为 AD ⊂平面EHA ， 所以 AD ∥平面B 1PQ ．(2) 如图，连接 PC 1，AC 1，因为四边形 A 1C 1CA 为菱形，∠C 1A 1A =60∘， 所以 AA 1=AC 1=A 1C 1=4， 即 △AC 1A 1 为等边三角形． 因为 P 为 AA 1 的中点， 所以 PC 1⊥AA 1．因为 平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，平面ACC 1A 1∩平面ABB 1A 1=AA 1，PC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以 PC 1⊥平面ABB 1A 1．在平面 ABB 1A 1 内过点 P 作 PR ⊥AA 1 交 BB 1 于 R ．以 PR ，PA 1，PC 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz ，则 P (0,0,0)，A 1(0,2,0)，A (0,−2,0)，C 1(0,0,2√3)，C(0,−4,2√3)．设 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,−2,2√3)，λ∈(0,1]（当 λ=0 时，平面 B 1PQ 即平面 ABB 1A 1，不符合题意），所以 Q(0,−2(λ+1),2√3λ)． 所以 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2(λ+1),2√3λ)． 因为 A 1B 1=AB =2，∠B 1A 1A =60∘， 所以 B 1(√3,1,0)， 所以 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)．设平面 PQB 1 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则 {m ⃗⃗ ⋅PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,m ⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,所以 {−2(λ+1)y +2√3λz =0,√3x +y =0,令 x =1， 则 y =−√3，z =−λ+1λ，所以平面 PQB 1 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1,−√3,−λ+1λ)．设平面 AA 1C 1C 的法向量为 n ⃗ =(1,0,0)， 二面角 B 1−PQ −C 1 的平面角为 θ， 则cosθ=∣m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=√1+3+(−λ)2=√1313.所以 λ=12 或 λ=−14（舍）， 所以 AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 Q(0,−3,√3)， 又 B(√3,−3,0)，所以 QB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3)， 所以 ∣QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√3+3=√6． 又 ∣B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√22， 所以 BQ 2+BB 12=B 1Q 2， 所以 ∠QBB 1=90∘．连接 BP ，设点 P 到平面 BQB 1 的距离为 ℎ， 则 13×12×4×√3×√3=13×12×4×√6⋅ℎ．所以 ℎ=√62， 即点 P 到平面 BQB 1 的距离为√62． 【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】连接 BD 交 AC 于 G ，连接 FG ．因为 F ，G 分别为 BE ，BD 的中点， 所以 FG ∥DE ，因为 FG ⫋平面ACF ，DE ⊄面ACF ， 所以 DE ∥面ACF ．【知识点】直线与平面平行关系的判定22. 【答案】① EF ⊥平面BDD 1② EF ⊥DE③ DE ⊥BD 1 ④线线平行 ⑤线面平行【知识点】直线与平面垂直关系的判定、直线与直线的位置关系、直线与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的性质。

立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。

本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。

一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。

解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。

将半径r代入公式进行计算即可。

表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。

二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。

解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。

将边长a代入公式进行计算即可。

表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。

三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。

解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。

将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。

表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。

高三数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆柱体C. 正六面体D. 球体答案：C2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？A. 正八面体B. 正十二面体C. 正二十面体D. 正二十四面体答案：C3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？A. 正四棱锥B. 圆锥台C. 四棱锥D. 无法确定答案：C4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2答案：A5. 求下列多面体的棱数：（1）正六面体（2）正八面体（3）正十二面体答案：（1）正六面体的棱数为 12（2）正八面体的棱数为 24（3）正十二面体的棱数为 30二、填空题1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。

答案：点2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。

答案：中点3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两垂直。

答案：六，相邻面三、计算题1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。

求棱锥体积。

解答：底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³所以，棱锥的体积为64 cm³。

2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。

求四棱锥的体积。

解答：底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm²四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³所以，四棱锥的体积为400 cm³。

高中立体几何练习题几何学是数学中非常重要的一个分支，而立体几何则是其中的一个重要部分。

在高中阶段，学生需要掌握各种与立体几何相关的概念和定理，并且能够运用这些知识解决实际问题。

本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。

练习题一：三棱柱1. 一个三棱柱的底面是一个等边三角形，边长为8cm，高度为10cm。

求该三棱柱的体积和表面积。

2. 一个三棱柱的体积是72cm³，底面边长为6cm。

求该三棱柱的高度和表面积。

练习题二：四棱柱和四棱锥1. 一个正四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形，高度为6cm。

求该四棱柱和与之相似的正四棱锥的体积比值。

2. 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，高度为8cm。

求该四棱柱和与之相似的四棱锥的表面积比值。

练习题三：球体和圆柱1. 一个半径为4cm的球从中间切割，得到两个半球。

求这两个半球的表面积之和。

2. 一个圆柱的底面半径为3cm，高度为10cm。

在底面上画一个直径，求这个直径与圆柱的侧面交点处的高度和侧面的面积。

练习题四：棱台和棱锥1. 一个棱台的上底是一个边长为6cm的正三角形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为8cm。

求该棱台的体积和表面积之和。

2. 一个棱台的上底是一个边长为8cm的正方形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为10cm。

求该棱台的体积和表面积的比值。

以上仅为一些高中立体几何的练习题，希望能够帮助大家巩固知识并提高解题能力。

在解答这些题目时，可以根据已学习的定理和公式进行计算，并注意单位和精度的问题。

同时也要灵活运用几何思维和建模能力，将实际问题转化为几何图形，从而更好地解决问题。

祝各位同学在立体几何学习中取得好成绩！。

高中立体几何练习题高中立体几何练习题高中数学中，几何是一个非常重要的部分，其中立体几何更是让很多学生感到头疼的一部分。

立体几何涉及到的概念和性质繁多，而且需要一定的想象力和空间思维能力。

为了帮助学生更好地掌握立体几何知识，老师们通常会布置一些练习题，下面我们来看一些典型的高中立体几何练习题。

题目一：一个正方体的棱长为a，求它的表面积和体积。

解析：首先，我们需要知道正方体的表面积和体积的计算公式。

正方体的表面积等于6倍的边长的平方，即6a²；正方体的体积等于边长的立方，即a³。

所以，这个正方体的表面积为6a²，体积为a³。

题目二：一个圆柱的底面半径为r，高为h，求它的体积和侧面积。

解析：圆柱的体积等于底面积乘以高，即πr²h；圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，即2πrh。

所以，这个圆柱的体积为πr²h，侧面积为2πrh。

题目三：一个球的半径为r，求它的表面积和体积。

解析：球的表面积等于4倍的半径的平方乘以π，即4πr²；球的体积等于半径的立方乘以4/3再乘以π，即4/3πr³。

所以，这个球的表面积为4πr²，体积为4/3πr³。

题目四：一个锥体的底面半径为r，高为h，求它的体积和侧面积。

解析：锥体的体积等于底面积乘以高再除以3，即πr²h/3；锥体的侧面积等于底面周长乘以斜高，即πrl。

其中，斜高l可以通过勾股定理计算，l=sqrt(r²+h²)。

所以，这个锥体的体积为πr²h/3，侧面积为πrl。

以上是一些典型的高中立体几何练习题，通过解析这些题目，我们可以加深对立体几何的理解。

在解题过程中，我们需要灵活运用几何知识，掌握各种几何形状的计算公式，并且注意计算过程中的单位换算。

此外，还需要注意题目中的条件，有时候需要利用条件进行一些推导和计算。

对于立体几何的学习，除了做练习题外，还可以通过观察和实践来加深理解。

立体几何练习题及解答《立体几何练习题及解答》练习一：体积计算题目：一个正方体箱子的边长为3cm，请计算该正方体箱子的体积。

解答：正方体的体积计算公式为边长的立方，即V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知条件，正方体箱子的边长a = 3cm。

则体积V = 3³ = 27cm³。

所以该正方体箱子的体积为27cm³。

练习二：表面积计算题目：一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为4cm，请计算该长方体的表面积。

解答：长方体的表面积计算公式为2ab + 2bc + 2ac，其中a、b、c分别为长方体的三个边长。

代入已知条件，长方体的长a = 5cm，宽b = 3cm，高c = 4cm。

则表面积S = 2(5×3) + 2(3×4) + 2(5×4) = 30 + 24 + 40 = 94cm²。

所以该长方体的表面积为94cm²。

练习三：棱柱的体积计算题目：一个棱柱的底面为边长为5cm的正方形，高为8cm，请计算该棱柱的体积。

解答：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高，即V = S × h，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，棱柱的底面为正方形，边长a = 5cm，高度h = 8cm。

底面积S = a² = 5×5 = 25cm²。

则体积V = S × h = 25 × 8 = 200cm³。

所以该棱柱的体积为200cm³。

练习四：金字塔的体积计算题目：一个金字塔的底边是边长为6cm的正方形，高为10cm，请计算该金字塔的体积。

解答：金字塔的体积计算公式为底面积乘以高再除以3，即V = S ×h ÷ 3，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，金字塔的底边为正方形，边长a = 6cm，高度h =10cm。

底面积S = a² = 6×6 = 36cm²。

专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。

立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。

在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。

掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。

下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。

解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。

两边开立方根，得到a=4。

所以，这个正方体的边长是4个单位。

2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。

解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。

所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。

圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。

代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。

所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。

3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。

解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。

代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。

所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。

球的表面积公式为A=4πr²。

代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。

所以，这个球的表面积是100π平方厘米。

4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。

解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。

所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。

立体几何题型一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD例2．四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.ACDBCASOE A DCBNM EP题型二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的 菱形，4A B C π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2O A =，M 为O A 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离. 变式：如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A 、O B 、O C 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是A B 、A C 的中点，H 是E F 的中点，过E F 的平面与侧棱O A 、O B 、O C 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132O A =．（1）求证：11B C ⊥面O A H ； （2）求二面角111O A BC --的大小．1C 1A题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，⊥EF 平面PCD ？变式：如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.DC题型四、折叠、展开问题例6．已知正方形A B C D E 、F 分别是A B 、C D 的中点，将AD E 沿D E 折起，如图所示，记二面角A D E C --的大小为(0)θθπ<< (1) 证明//B F 平面ADE ；(2)若A C D 为正三角形，试判断点A 在平面B C D E 内的射影G 是否在直线E F 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。