初中几何尖子培优之两边之和大于第三边法求最值含答案

自学资料一、三角形及其三边关系【知识探索】1．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．四根长度分别为3、4、6、x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训三角形，则（）A. 组成的三角形中周长最小为9；B. 组成的三角形中周长最小为10；C. 组成的三角形中周长最大为18；D. 组成的三角形中周长最大为16．【答案】D例2．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30∘，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中任选，这样的三角形可以画个．【答案】4．(AB+BC+CA),请例3．如图，D是ΔABC内任意一点，连接DA、DB、DC，则有DA+DB+DC >12说明理由。

【解答】在ΔABC中, DB+DA>AB,同理,DA+DC>AC,DB+DC>BC三式相加得2(DA+DB+DC)>(AB+BC+CA)AB+BC+CA，即DA+DB+DC >12【答案】见解答例4．（1）请你在△ABC中作出一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分。

（2）请你用三种不同方法将△ABC的面积四等份，在图上直接画出即可。

第2页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）作△ABC的中线AD，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分．如下图所示，（2）将△ABC的面积四等份的方法如图所示，（方法见图中说明）【答案】【举一反三】1．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）D. 10A. 6B. 7C. 8【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．第3页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】B3．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．【解答】【答案】16，16，10和12，12，184．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【解答】【答案】略二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC−AQ=2SC，其中正确的是（）第4页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. ②③④B. ①②C. ①④D. ①②③④【答案】B例2．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A. 9；B. 8；C. 6；D. 4．【答案】B例3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35B. 4；5；C. 23D. √3．2【答案】B．第5页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC=180∘−12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=90∘−12∠A（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．第6页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】略．例5．如图：∠AEB、∠AFD的平分线相交于O点．(1)求∠EOF，∠A，∠α，∠β之间的关系．（∠DAB＋∠BCD）．(2)求证∠EOF＝12【解答】（1）解：延长EO交AF于点G．∵∠EOF是△OGF的外角，∴∠EOF=∠β+∠EGF，∵∠EGF是△AEG的外角，∴∠EGF=∠A+∠α，∴∠EOF=∠A+∠α+∠β；（2）证明：连接EF．∵∠EOF=180∘−（∠1+∠2）−（∠α+∠β），∠DCB=∠ECF=180∘−（∠1+∠2），∴∠EOF=∠BCD−（∠α+∠β），又∵∠EOF=∠DAB+∠α+∠β，∴∠α+∠β=∠EOF−∠DAB，∴∠EOF=∠BCD−（∠EOF−∠DAB），即∠EOF=∠BCD−∠EOF+∠DAB，∴2∠EOF=∠DAB+∠BCD第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训（∠DAB＋∠BCD）∴∠EOF=12【答案】略．【举一反三】1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形。

初中几何最值问题第四讲一、解决几何最值问题的理论依据（1）两点之间线段最短(常规考题有“将军饮马”问题)；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）两平行线间的所有线段中，平行线之间的距离最短；（4）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）.二、（1）两点之间线段最短例题精讲例1：有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4.在点C 处有一只蚂蚁，它想吃到与点C相对的D点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？变式：长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE 的最小值为多少？变式：线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是多少？（2）强化练习1、如图1，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是．2、如图2，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是．3、如图3，一圆柱形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食，它爬行的最短路线长为．BA最短距离为图4 图5 图64 模型5模型6（2）例题精讲例1：如图，蚂蚁找到食物的地方离一条笔直的小溪11米，而它的家距离小溪21米，小蚂蚁出来觅食时共走了一段长26米的直路，找到食物后小蚂蚁想先到小溪边喝点水，然后再回家，小蚂蚁应该怎么走才能使所走的路程最短呢？最短路程又是多长？变式1：如图1，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）.1、在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．2、在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．3、点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE 的度数．4、如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=的周长的最小值是多少？5、已知 A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标 ．（2）P 为 x 轴上一动点， 求|PA-PB|的值最大时， P 点的坐标 ．（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD ＝1，求 当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标 ．四：点到直线垂线段最短例题精讲例1：（一点一线型）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为 ．例2：（一点两线型）在∠MON 的外部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．ONA变式2：于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．QPEDC BA例2：（河边漫步）如图，点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．变式1：如图1，当四边形PABN的周长最小时，a = ．变式2：如图2，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为．B(-六：两平行线间的距离最短例题精讲例1：图1,在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 最小的值是 ． 变式：图2，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分图1 图2七：利用三角形三边关系求最值例题精讲例1：如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动；（1）PA PB -能否取到最大值？若能，求出最大值并画出点P 的位置.（2）PA PB -能否取到最小值？若能，求出最小值并画出点PABMNABC D P MN反比例次111梦想从第一章数与式变式：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B 到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值是 .例2：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离是多少？变式1：.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是．变式2：一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=mx的图象交于A，B 两点，其中点A的坐标为（-6，2）（1）求m，k的值；（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|。

初高中几何证明的一些技巧及经典试题含答案初中学习方法初高中几何证明的一些技巧及经典试题含答案初中学习方法初高中几何证明技巧及经典试题与学习方法证明两线段成正比1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任一一点至线段两段距离成正比。

7.角平分线就任一点至角的两边距离成正比。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角面元的弦成正比。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）成正比的比例式中的两后项（或两前项）成正比。

*12.两圆的内（外）公切线的长成正比。

13.等同于同一线段的两条线段成正比。

证明两个角成正比1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或低）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）面元的圆心角成正比，圆周角成正比，弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等同于内对角。

10.等同于同一角的两个角成正比。

证明两条直线互相横向1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等同于这边一半，则这一边面元的角是直角。

3.在一个三角形中，若存有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相横向。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定1．如图，图中三角形的个数为（）A．2 B．18 C．19 D．202．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．3．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－25. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式22x+＞123x--的正整数解，试求第三边x的长．状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．2．三角形三条重要线段(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．【方法技巧】1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．参考答案:1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．3．解：填表如下：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．∵x是它的正整数解，∴x可取1，2，3，5，6，7．再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，∴x=7．11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△AB C中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°. 3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B －∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠A BD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3多边形及其内角和专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360° B．540° C．630° D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．参考答案:1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．5．360°解析：在四边形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D，∠BGF=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：△A BE≌△CDF．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA； ④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二 全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A ．6B ．4C ．23D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N . 求证：AM ＝AN .NME D B CA6．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC 并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△AB C≌△DEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠AB E=21∠ABD ，∠CDF=21∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒（2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ， ∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB．又∠ABD=∠CBE，BE=BD ， ∴△ADB≌△CEB． （2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，7654321NME D B CA∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB ≌△ADC .∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C .∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB ．∴AM ＝AN ．6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°． ∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ． 又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACB ＝∠EAC ．∴AE ∥BC ．7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF ，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC =∠DEF ，∵∠DEF +∠DFE =90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．8．解：在△ABC 和△CED 中，AC=CD ，∠ACB=∠ECD，EC=BC ，∴△ABC≌△CED．∴AB=ED．即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对．理由：∵AC⊥AB ,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′， ∴△ABC≌△AB′C （ASA ）．∴AB′=AB．第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠AB C和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在R t△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°， DE＝1，∴AE＝2．连接EB. ∵DE 是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．AF ED8．8 解析：∵DF 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA ．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴EC=EA ． ∵BC=8，∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8． 9．解：AB+BD=DE ．证明：∵AD⊥BC，BD=DC ，∴AB=AC ． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE ． ∴AB=CE ．∴AB+BD=CE+DC=DE ．10．C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5． 解得1.5＜a ＜2.5，又因为a 必须为整数，∴a=2．∴点P 2（－1，－1）． ∴P 1点的坐标是（－1，1）．第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2－a 2＝2B ．(a 2)3＝a 9C ．a 3•a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 42．下列计算正确的是（ ）A ．3x ·622x x = B ．4x ·82x x =C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =3．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．a 6÷a 2＝a 3C ．a 6·a 2＝a 12D ．( －a 6)2＝a 12专题二 幂的性质的逆用4．若2a =3，2b =4，则23a+2b等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．1085．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19)2015×811007．专题三 整式的乘法7．下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．9．先阅读，再填空解题：（x +5）（x +6）=x 2+11x +30；（x －5）（x －6）=x 2－11x +30；（x －5）（x +6）=x 2+x －30；（x +5）（x －6）=x 2－x －30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．专题四 整式的除法10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：236274319132）（）（ab b a b a -÷-．12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．状元笔记【知识要点】 1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：nm n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：()m nmna a=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(3)积的乘方：()n n nab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．整式的除法(1)同底数幂相除：m n m na a a -÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【温馨提示】1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”． 3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算． 4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算． 【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式． 2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ． 2．C 解析：3x ·2235x xx +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ⨯-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ⨯==，选项D 错误. 故选C ．3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ⋅=，故C 错误. 故选D ． 4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 =53·32=1125.6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4． (2)原式=(－19)2015×92014=(19×9)2014×(－19)=－19． 7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +⋅==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ． 8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ，∵不含x 2项，∴3b－2=0，得b=23． ∴（3x 2－2x+1）（x+23）=3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23=3x 3－13x+23．9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是： 一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480．10．－12x+3y －16解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．11．解：原式。

1．已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则s的取值范围是（）A．﹣5≤s≤﹣B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣D．﹣7＜s≤﹣2．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，①（m﹣1）2+（n ﹣1）2≥2 是否正确？；② m﹣n的取值范围为3．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1 4．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+…+S2008=．5．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标是．6．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、A n在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y=x上，已知OA1=1，则OA2015的长为．7．如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．8．将函数y=﹣6x的图象l1向上平移5个单位得直线l2，则直线l2与坐标轴围成的三角形面积为．9．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为．10．方程组的解是．11．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．12．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．13．已知实数x满足，则=．14．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．15．已知：a＜0，化简=．16．=．17．如果不等式组的解集是1＜x＜2，求：坐标原点到直线y=ax+b距离．18．用配方法解方程：x2+x﹣2=0．19．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则s的取值范围是（）A．﹣5≤s≤﹣B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣D．﹣7＜s≤﹣【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】根据直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，可知a＜0，b≤0，直线y=ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），可知2a+b=﹣3，依此即可得到s的取值范围．【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，∴a＜0，b≤0，∵直线y=ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），∴2a+b=﹣3，∴a=，b=﹣2a﹣3，∴s=a+2b=+2b=b﹣≤﹣，s=a+2b=a+2（﹣2a﹣3）=﹣3a﹣6＞﹣6，即s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．故选：B．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．2．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．【专题】16 ：压轴题．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n ＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m ﹣2n≤1，故③正确．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结．3．（2016•邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1【考点】7A：二次根式的化简求值．【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣==﹣==，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．二．填空题（共13小题）4．（2012•麻城市校级自主招生）设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+…+S2008=．【考点】F5：一次函数的性质．【专题】16 ：压轴题；2A ：规律型．【分析】先依次计算出S1、S2等的面积，再依据规律求解．【解答】解：∵kx+（k+1）y﹣1=0∴当x=0时，y=；当y=0时，x=∴Sk=××=，根据公式可知，S1+S2+…+S2008=[﹣+﹣+…+﹣]=（1﹣）=．【点评】结合题意依次计算出S1、S2等的面积，再总结规律，易求解．5．（2012•北海）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（，﹣）．【考点】F5：一次函数的性质；J4：垂线段最短．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】作AB′⊥BB′，B′即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB′的解析式，与BB′组成方程组，求出其交点坐标即可．【解答】解：设AB′解析式为y=kx+b，∵AB′⊥BB′，BB′解析式为y=2x﹣4，k1×k2=﹣1，∴2k=﹣1，k=﹣，于是函数解析式为y=﹣x+b，将A（﹣1，0）代入y=﹣x+b得，+b=0，b=﹣，则函数解析式为y=﹣x﹣，将两函数解析式组成方程组得，，解得，故B点坐标为（，﹣）．故答案为（，﹣）．【点评】本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B′点是解题的关键，同时要熟悉待定系数法求函数解析式．6．（2015•衡阳）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、A n在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y=x 上，已知OA1=1，则OA2015的长为22014．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形．【专题】16 ：压轴题；2A ：规律型．【分析】根据规律得出OA1=1，OA2=2，OA3=4，OA4=8，所以可得OA n=2n﹣1，进而解答即可．【解答】解：因为OA1=1，∴OA2=2，OA3=4，OA4=8，由此得出OA n=2n﹣1，所以OA2015=22014，故答案为：22014．【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OA n=2n﹣1进行解答．7．（2013•包头）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为y=﹣2x﹣2．【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】16 ：压轴题．【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（0，2）、点B（1，0）代入，得，解得，故直线AB的解析式为y=﹣2x+2；将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC，∴DO垂直平分BC，∴OC=OB，∵直线CD由直线AB平移而成，∴CD=AB，∴点D的坐标为（0，﹣2），∵平移后的图形与原图形平行，∴平移以后的函数解析式为：y=﹣2x﹣2．故答案为：y=﹣2x﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．8．（2010•黄石）将函数y=﹣6x的图象l1向上平移5个单位得直线l2，则直线l2与坐标轴围成的三角形面积为．【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】易得l2的解析式，那么常数项为y轴上的截距，让纵坐标为0可得与x轴的交点，围成三角形的面积=×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．【解答】解：由题意得l2的解析式为：y=﹣6x+5，∴与y轴的交点为（0，5），与x轴的交点为（，0），∴所求三角形的面积=×5×=．【点评】考查的知识点为：一次函数向上平移，常数项加相应的单位，注意熟练掌握直线与坐标轴围成三角形的面积=×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．9．（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为≤m≤1．【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先求出直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．【解答】解：当y=3时，2x+1=3，解得x=1，所以直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3），当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，解得≤m≤1；当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，无解，所以m的取值范围为≤m≤1．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．10．（2012•徐汇区校级模拟）方程组的解是．【考点】AF：高次方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】根据2x﹣y=1，用x表示出y，然后代入第一个方程，得出x的值后代入，可得出y的值．【解答】解：由2x﹣y=1，可得：y=2x﹣1，代入第一个方程可得：3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，当x=3时，y=5；当x=﹣1时，y=﹣3；故方程组的根为：，．故答案为：，．【点评】解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．11．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．【专题】16 ：压轴题；36 ：整体思想．【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．故答案为：4．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则= 3．【考点】A9：换元法解一元二次方程．【专题】16 ：压轴题．【分析】先设=y，代入后化为整式方程求解，即可求出答案．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，x2+2x+2=0，∵△=b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2=3时，=3，x2﹣3x+2=0，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．【点评】此题考查了用换元法解分式方程，是常用方法之一，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理．14．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法．【专题】16 ：压轴题；32 ：分类讨论．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．15．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=﹣2．【考点】73：二次根式的性质与化简．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式=﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a﹣=0∴a=1或﹣1∵a＜0∴a=﹣1∴原式=0﹣2=﹣2．【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．16．（2013•庄浪县校级模拟）观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．=2009．【考点】76：分母有理化．【专题】16 ：压轴题；2A ：规律型．【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．【解答】解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2009．【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．三．解答题（共3小题）17．（2017春•武侯区校级月考）如果不等式组的解集是1＜x＜2，求：坐标原点到直线y=ax+b距离．【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【分析】根据不等式组的解集是1＜x＜2，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，再根据互相垂直的两条直线的关系可得经过原点并且与直线y=ax+b垂直的直线解析式，联立两直线解析式可得交点坐标，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：，解①得x＞﹣2a+b+4，解②得x＜，∵不等式组的解集是1＜x＜2，∴2a+b+4=1，解②得x＜，∴，解得，∴直线y=ax+b的解析式为y=x﹣1，∴经过原点并且与直线y=ax+b垂直的直线解析式为y=﹣x，联立两解析式，解得，由勾股定理可得坐标原点到直线y=ax+b距离为=．【点评】考查了一次函数与一元一次不等式，互相垂直的两条直线的关系，勾股定理，方程思想，解题的关键是得到a，b的值．18．（2013•甘肃模拟）用配方法解方程：x2+x﹣2=0．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【专题】16 ：压轴题．【分析】先把常数项﹣2移项后，再在方程的左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方，然后配方，再进行计算即可．【解答】解：配方，得x2+x﹣=2+，即=，所以x+=或x+=﹣．解得 x1=1，x2=﹣2．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19．（2012•常德模拟）已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法；A3：一元二次方程的解．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值．【解答】解：∵方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0，即4m﹣4=0，解得m=1；有方程x2﹣9=0，解得x=±3，所以另一根为﹣3．【点评】本题考查的是一元二次方程的根的定义．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥0（双重非负性）．②（a）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b ab=ab（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．3．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．4．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．5．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．6．解一元二次方程-直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．7．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．8．解一元二次方程-公式法（1）把x=﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．9．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．11．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．13．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．14．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．15．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．16．一次函数图象与系数的关系由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．17．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．18．一次函数图象与几何变换直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）19．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．20．两条直线相交或平行问题直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．21．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．22．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．23．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r：R=1：+1．。

第十九讲 几何不等式趣提引路】已知：如图19－1，三个居民区分别记作A 、B 、C ，邮电局记作O ，它是△ABC 的三条角平分线的交点，0、A 、B 、C 每两地之间有直线道路相连，一邮递员从邮电局出发，走遍各居民区再回到O 点，若AC ＞BC ＞AB .问：哪条路线走的距离最短？并说明理由.图19-1OCA解析 若不考虑顺序，所走路线有三条：OABCO （或OCBA 0）、OBACO （或OCAB 0），OBCAO （或OACBO ），其中OABCO 最短.在AC 上截取AB ´＝AB ，连结OB ´，设三条路线0ABCO ，OBACO ，0BCAO 的距离分别为1d 、2d 、3d ，易证△AOB ≌△A 0´B ，∴B 0＝B 0´ 3d －1d ＝（0B ＋BC ＋CA ＋A 0）－（OA ＋AB ＋BC ＋CO ）＝0B ＋（AC －AB ）－CO ＝0B ´＋（AC －AB ´）－CO ＝0B ´＋B ´C －CO ＞0，∴3d ＞1d ，同理2d >1d .∴路线OABCO 最短.知识拓展】1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较.这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中.2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： （1）三角形任何两边之和大于第三边 （2）三角形任何两边之差小于第三边（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. （4）同一三角形中大边对大角. （5）同一三角形中大角对大边例1 如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE ＝CF .求证：EF ≥12（AD ＋BC ）.图19-2GD 1C 1C BFEDA证明 如图所示，延长AD 至1D ，使D 1D ＝BC ，延长BC 至1C ，使C 1C ，＝AD ，连结1C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形，ABCD 和CD 1D 1C 是两个全等的梯形，在1D 1C 上取一点G 使1D G ＝AE ，连结FG 和EG .由AE ＝CF ，则EF ＝FG ，又EG ＝A 1D ＝AD ＋BC ，∴2EF ＝EF ＋FG ≥EG ＝AD ＋BC . 即EF ＝12（AD ＋BC ）.点评 当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立.证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等关系.例2 如图19-3，△ABC 中，AB ＞AC ，BE 、CF 是中线，求证：BE ＞CF .解析 BE 、CF 不在同一个三角形中，无法比较它们的大小，将BE 平移到FG ，在△GCF 中比较FC 与FG 的大小即可.证明 将BE 、CE 分别平移到FG 、FD ，则四边形EFDC 为□，作FH ⊥BC 于H . ∵AB ＞AC ，且F 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴FB ＞CE . ∴FB ＞FD ，由勾股定理得：HB ＞HD ，即FB ＞FD .又∵GH ＝GB ＋BH ＝EF ＋BH ＝DC ＋BH ＞CD ＋DH ＝CH ， 即GH ＞CH ，∴GF ＞CF .即BE ＞CF .图19-3H G FED CB A图19-4D´DCBA图19-5ca cb a FCBA例3 如图19-4，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为形内一点，∠ADC ＞∠ADB ，求证：DB ＞DC .解析 由于∠ADC 、∠ADB 与BD 、DC 不在同一三角形之中，所以考虑将某一图形绕着某点旋转一定角度，使图中的对应元素不变，使它们能集中在同一个三角形之中.证明 把△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD ´，连接DD ´，则AD ＝AD ´. ∴∠ADD ´＝∠AD ´D ，而∠ADC ＞∠ADB ， ∴∠ADC ＞∠AD ´C .∴∠ADD ´＋∠D ´DC ＞∠AD ´D ＋∠CD ´D . ∴∠D ´DC ＞∠DD ´C .∴CD ´＞DC ，即DB ＞DC .点评 几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变. 例4 如图19-5，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＜a ＋c ，求证：2∠B ＜∠A＋∠C .证明 延长BA 到D ，使AD ＝BC ＝a ，延长BC 到E ，使CE ＝AB ＝c ，连结DE ，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD ＝BE ＝a ＋c . ∴∠BDE ＝∠BED .作DF ∥AC ，CF ∥AD ，相交于F ，连结EF ，则ADFC 是平行四边形. ∴CF ＝AD ＝BC . 又∠FCE ＝∠CBA ，∴△FCE ≌△CBA （SAS ）. ∴EF ＝AC ＝b .于是DE ≤DF ＋EF ＝2b ＜a ＋c ＝BD ＝BE .这样，在△BDE 中，便有∠B ＜∠BDE ＝∠BED .∴2∠B ＜∠BDE ＋∠BED ＝180°－∠B ＝∠A ＋∠C ， 即2∠B ＜∠A ＋∠C .例5 过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19.图19-6GF E D C 2C 1B 2B 1CBA 2A 1A证明 如图19-6，设△ABC 重心为G ，过点G 分别作各边的平行线与各边交点依次为1A 、1B 、2B 、1C 、2C 、2A .连结1A 2A 、1B 2B 、1C 2C ，∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍， ∴1A A ＝1A 1B ＝1B B ， B 2B ＝2B 1C ＝1C C ， C 2C ＝2C 2A ＝2A A .∵BC A A //21，AC B B //21，AB C C //21 ∴图中的9个小三角形全等.即△A 1A 2A ≌△1A 1B G ≌△2B G 1B ≌…≌△2C 1C C .所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线恰好与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A ，重合，则△ABC 被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线不与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A 重合，不失一般性，设此直线交AC 于F ，交AB 于E ，交1C 2C 于D ，∵G 1B ＝G 2C ，∠E 1B G ＝∠D 2C C ， ∠1B GE ＝∠2C GD ， ∴△1B GE ≌△2C GD .∴EF 分△ABC 成两部分的面积之差等于21C DF DFCC S S △四边形－， 而这个差的绝对值不会超过12C C C S △的面积.从而EF 分△ABC 成两部分的面积之差不大于△ABC 面积的19.综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的19.好题妙解】佳题新题品味 例1 如图19-7.图19-7A ´PDCBA l421解析 本题周旋于根式，那就不易求出最小值，但从式子的特征联想到勾股定理，由数想形，构成直角三角形可使问题迅速解决.解 构造如图19-7所示的Rt △P AC 、Rt △PBD ，使AC ＝1，BD ＝2，PC ＝x ，CD ＝4，且PC 、PD 在直线l 上，则所求最小值转化为“在直线l 上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小”. 取点A 关于l 的对称点A ´，显然有P A ＋PB ＝P A ´＋PB ≥A ´B＝5.5.例2 如图19-8，已知AD 是△ABC 的角平分线，且AB ＞AC ，求证：BD ＞DC .解析 由于AB ＞AC ，所以可在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC ，于是DE ＝DC ，这样把DC 、BD 放入△BDE 中进行比较即可. 证明：∵AD 为角平分线，∴作△ADC 关于AD 为对称轴的△ADE . ∴DC ＝DE ，∠ADE ＝∠ADC .∴∠BED ＞∠ADE ＝∠ADC ＞∠ABD ， ∴∠BED ＞∠EBD .∴BD ＞ED 即BD ＞CD .图19-8E D CBA图19-9DCBA图19-10C B A图19-11E D CB A中考真题欣赏例1 （陕西中考题）如图19-9，已知AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜12（AB ＋AC ）.解析 考虑如何将AB 、AC 、AD 转移到同一个三角形中去，采取中线加倍法.证明 延长AD 至E ，使得DE ＝AD ，连结CE ，则△ABD ≌△ECD ，∴EC ＝AB ，在△ACE 中，AE ＜AC ＋EC .即2AD ＜AB ＋AC ，AD ＜12（AB ＋AC ）.例2 （连云港市中考题）在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，则边AB 的取值范围是（ ） A .1＜AB ＜9 B .3＜AB ＜13 C .5＜AB ＜13 D .9＜AB ＜13解析 参见图19-9，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连结CE ，由三角形三边的关系可知3＜CE ＜13，又CE ＝AB ，故3＜AB ＜13，选B .竞赛样题展示例1 （1996年“希望杯”初二竞赛题）如图19-10，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的大小关系是（ ）A .AC ＞2AB B .AC ＝2AB C .AC ≤2ABD .AC ＜2AB解析 关键在于构造等腰三角形，延长CB 至D ，使得BD ＝AB ，则∠D ＝∠DAB ＝∠C ，AD ＝AC ，在△ABD 中，AB ＋BD ＝2AB ＞AD ，即2AB ＞AC .选D .例2 （2000年“希望杯”初二竞赛题）如图19-11，△ABC 中；AB ＞AC 、AD 、AE 分别是BC 边上的中线和∠A 的平分线，比较AD 和AE 的大小关系.解析 延长AD 至F ，使DF ＝AD ，连结BF .则△ADC ≌△FDB ，∴AC ＝FB ，∠DAC ＝∠F .∵AB ＞AC ，∴AB ＞FB ，∴∠F ＞∠BAF ，∴∠DAC ＞∠BAF ，∴点D 在点E 的左边，∴∠BAF ＜∠EAC .∵∠ADE ＝∠BAF ＋∠ABC ，∠AED ＝∠C ＋∠EAC ，∠ABC ＜∠C ，∴∠ADE ＜∠AED ，故AD ＞AE .例3 如图19-12，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 上，求证：PQR ABCS S △△＞29. 解析 易想到作△ABC 和△PQR 的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比. 证明 如图19-12作CL ⊥AB 于L ，RH ⊥PQ 于H ，则PQR ABCS S △△＝PQ RH AB CL ••＝PQ ARAB AC••.不妨设△ABC 的周长为1，则PQ ＝13，AB ＜12，∴PQ AB＞23， ∵AP ≤AP ＋BQ ＝AB －PQ ＜12－13＝16， 又AR ＝13－AP ＞13－16＝16.又AC ＜12，从而AR AC ＞13，∴PQR ABCS S △△＞23×13＝29. 图19-12RQC BA图19-13B ´P BA图19-14HFE D CBA例4 （2000年江苏省初三竞赛题）如图19-13，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°. 证明：P A ＋PD ＋PC ≥BD .解析 在四边形ABCD 外侧作等边三角形AB ´D ，由∠APD ＝120°可证明B ´P ＝AP ＋PD .易知B ´C ≥PB ´＋PC ，得B ´C ≤AP ＋PD ＋PC .下证BD ＝B ´C . ∵△AB ´D 是等边三角形，∴AB ´＝AD ，∠B ´AD ＝60°，又易知△ABC 是等边三角形，故AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，于是△AB ´C ≌△ADB ，∴B ´C ＝DB .例5 设a h 、b h 、c h 是锐角△ABC 三边上的高，求证：12＜a b c h h h a b c ＋＋＋＋＜1.解析 如图19-14，在Rt △ADC 中，由于AC ＞AD ，故b ＞a h ， 同理可证c ＞b h ，a ＞c h ，∴a h ＋b h ＋c h ＜a ＋b ＋c ，即a b ch h h a b c＋＋＋＋＜1. ①设△ABC 的垂心为H 点， 由于 HA ＋HB ＞AB ， HB ＋HC ＞BC ， HC ＋HA ＞AC ， 则HA ＋HB ＋HC ＞12（a ＋b ＋c ）.从而1()2a b c h h h HA HB HC a b c ++>++>++, 即12a b c h h h a b c ++>++ ②由①、②得112a b ch h h a b c++<<++例6如图19-15，在△ABC 中，AB=AC ，过点A 作EF//BC ，D 为EF 上异于A 点的任一点，求证，AB+AC<BD+DC.解析将△ACD 以直线EF 为对称轴对折到△AC ′D 中，∠C'AD=∠DAC=∠ACB=∠ABC.∴∠C'AD+∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴B 、A 、C'三点共线..BC ′<C'D+DB ， 又AC'=AC ，CD=DC'，∴AC'+AB<BD+DC.即AB+AC<BD+DC.过关检测】A 级1.在△ABC 中，AD 为中线，AB=7，AC=5，则AD 的取值范围为________.2.（1994年安徽省数学竞赛题）已知在△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，且2∠B=5∠A ，则∠B 的取值范围是________.3.（1997年太原市初中数学竞赛试题）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数________.4.（1998年全国高中理科试验班招生数学试题）面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c ，且满足a ≤b ≤c ，则a+b 的最小值是________.5.（2000年江苏数学竞赛培训题）在任意△ABC 中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为________.图19-15B 级1.如图19-16，△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 上任一点，BE 、CF 交于P ，求证：PE+PF<AE+AF.2.如图19-17，等线段AB 、CD 交于O ，且∠A0C=60°，求证：AC+BD ≥AB.3.如图19-18，矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，求证：EF<AC.4.已知a 、b 、x 、y 均小于0，221x y +=a b ≥+.5.如图19-19，在△ABC 中，∠B=2∠C ，求证：AC<2AB.图19-16图19-18E6.平面上有n 个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n 的最大值7.如图19-20，已知△ABC 中AB>AC ，P 是角平分线AD 上任一点，求证：AB-AC>PB-PC.图19-19BC图19-20B()。

课题：三角形任意两边的和大于第三边【教学内容】人教版数学第八册课本第82页。

【教学目标】1．探究三角形三边的关系，知道三角形任意两条边的和大于第三边。

2．根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力；提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。

3．积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。

【教学重点】知道三角形任意两条边的和大于第三边。

【教学难点】对三角形任意两条边的和大于第三边的判断方法。

【教学准备】课件、不同长度的小棒。

【教学流程】一、创设情境1．出示：课本82页例3情境图。

(1)这是小明同学上学的路线。

请大家仔细观察，他可以怎样走?(2)在这几条路线中哪条最近?为什么?(生：垂直线段距离最短)出示不规则三角形路线图，现在还是垂直线段吗？为什么这一条路最近呢？2．大家都认为走中间这条路最近，这是什么原因呢?请大家看，连接小明家、商店、学校三地，近似一个什么图形?连接小明家、邮局、学校三地，同样也近似一个什么图形?那走中间这条路，走过的路程是三角形的一条边，走旁边的路走过的路程实质上是三角形的另两条边的和，我们大胆地做个猜想：走三角形的两条边的和要比第三边大，那么，是不是所有的三角形的三条边都有这样的关系呢?请学生任意画一个三角形，量一量三角形三条边的长，看是否任意两边的和大于第三边。

学生操作、交流，发现的确有这样的关系。

猜想还要用实验来验证，证明猜想对任意三角形都适合才能成立。

我们来做个实验。

二、实验探究1．实验l：用三根小棒摆一个三角形。

在每个小组的桌上都有5根小棒（2厘米、4厘米、5厘米、6厘米、10厘米），请大家随意拿三根来摆三角形，看看有什么发现?学生动手操作，发现随意拿三根小棒不一定都能摆成三角形。

接着引导学生观察和比较摆不成三角形的三根小棒，寻找原因，深入思考。

2．实验2：进一步探究三根小棒在什么情况下摆不成三角形。

请不能摆成三角形的同学说出不能摆成三角形的三根小棒的长度。