黄金分割法

黄金分割法1. 简介黄金分割法（Golden Section Method）是一种数学和美学原理，可以用于在一系列选择中找到最佳的比例。

它最早于公元前300年左右由希腊数学家欧几里得提出，是一种迭代的优化方法。

黄金分割法常被应用于艺术、设计、建筑、金融以及计算机算法等领域。

2. 黄金比例黄金比例是指两个物体之间的比例关系，这个比例被认为是最美的、最和谐的。

它可以更简洁地表示为1：0.618（或其倒数0.618：1），即较大部分与整体的比例约为0.618，较小部分与整体的比例约为0.382。

这种比例在建筑与艺术中被广泛使用，例如圣母百花大教堂、帕尔美多城宫等。

3. 黄金分割法的应用黄金分割法在实际应用中有许多用途。

下面介绍一些常见的应用领域。

3.1 网页设计黄金分割法在网页设计中被广泛应用。

设计师可以使用黄金比例来确定页面上不同元素的大小和位置关系，使得页面更加和谐、平衡。

例如，在布局中使用一个大块的主要内容区域和两个较小的辅助内容区域，它们的比例可以接近黄金比例。

3.2 图像设计在图像设计中，黄金分割法可以用于确定图像的主题、构图和比例。

通过将图像分割为黄金比例的不同部分，可以使图像更加吸引人、有层次感。

黄金分割法还可以用于确定图像中的线条、空间和形状的位置关系。

3.3 建筑设计在建筑设计中，黄金分割法可以用于确定建筑物、房间和空间的比例关系。

通过使用黄金比例，可以创建出更加和谐、美观的建筑物。

黄金分割法还可以用于确定建筑物中的窗户、门廊等元素的位置和比例。

3.4 金融分析在金融领域，黄金分割法可以应用于股票和证券的分析。

通过将时间序列分成不同的部分，可以确定出重要的市场转折点和趋势。

黄金分割法还可以用于确定投资组合中不同资产的权重分配。

4. 黄金分割法的计算黄金分割法的计算方法相对简单。

对于一个大的整体，黄金分割法建议将其分割为两个部分，比例为黄金比例（0.618）。

然后，再对较大的部分采用相同的方法进行分割，形成一个更小的和一个稍大一些的部分。

黄金分割法的基本原理和特点
黄金分割法适用于已知极值区间的前提下，利用不断缩小区间的思想，最终得出极值的近似值。

该方法只是要求函数单峰，可以不连续。

因此，这种方法的适应面非常广泛。

黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。

a1，a2将原来区间分成三段，再应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，使搜索区间得以缩小。

然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小值点的数值近似解
黄金分割法是用于一元函数f（x）在给定的初始区间[a，b]内搜索极小值点a"的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础。

但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

其基本原理是依照去劣存优原则，对称原则以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。

ＡＢ ｂｂａ-ｂ ａ 黄金分割法的数学理论０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。

黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。

古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。

这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。

（一） 黄金分割点的计算设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)ｂ^２=ａ^２-ａｂａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２人们常用希腊字母表示黄金比值。

根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么，即有:黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。

例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。

因为：归纳一下，黄金分割存在以下特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。

（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。

（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。

（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。

（二）黄金分割中的数学思想●『斐波那契数列』说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。

斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

黄金分割法目录一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法展开编辑本段一、数学·黄金分割法把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。

特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

即f(n-1)/f(n)→0.618…。

由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。

但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。

五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。

正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。

黄金分割点约等于0．618：1是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。

黄金分割法学习目标➢理解单谷函数及其性质➢理解黄金分割法的基本原理➢掌握黄金分割法的步骤➢编程实现黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩方法。

首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。

当然，要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间中点为极小点的近似值。

黄金分割法适用于单谷函数，即在某一区间中存在唯一极小点的函数。

f (x )O a 1 x * b 1 x一、单谷函数及其性质定义1设单变量函数f(x)在区间a 1,b 1内存在唯一的极小点x ∗,x ∗∈a 1,b 1,且f(x)在x ∗点的左侧严格下降，在x ∗点的右侧严格上升，则称f(x)在区间a 1,b 1上是单谷函数或者下单峰函数，a 1,b 1为f(x)的单谷区间，见图1。

图1 单谷区间与单谷函数单谷函数具有一个重要的消去性质(I) 若f(a) < f(b), x *∈[a1,b]f(x)xa 1b 1(I) 消去[b, b 1]x *b a （II ）若f(a)≥f(b)，x *∈[a,b 1]f(x)xa 1b 1(II) 消去[a 1, a ]x *a b单谷区间与单谷函数有如下性质：若f(x)是单谷区间a1,b1上的单谷函数，极小点为x∗，在a1,b1任取两点a和b，且a<b，计算这两点的函数值f(a)和f(b)，则：(1)当f a<f(b)时，x∗∈a1,b。

(2)当f a≥f(b)时，x∗∈a,b1。

由单谷函数的性质可知:➢在单谷区间a1,b1内任取两点a和b都可以求得一个相对更小的单谷区间。

➢这个过程可以一直重复下去，如果某个单谷区间的长度足够小，该区间的中点就可以作为极小点的近似。

二、黄金分割法的基本原理设计思路：反复使用单谷函数的消去性质，不断缩小包含极小点的搜索区间，直到满足精度为止。

设计原则：（1）迭代公式简单；（2）消去效率高；（3）对称性：a−a1=b1−b；（4）保持缩减比，即保留的区间长度与原区间长度之比保持不变。

黄金分割的操作方法
黄金分割是一种数学公式，常用于美学和设计中，可以帮助得到更加和谐和美丽的比例关系。

操作方法如下：
1. 首先确定一个基准线段，可以是任意长度的线段。

2. 将这个基准线段分为两部分，其中一部分的长度为另一部分的黄金分割点。

3. 黄金分割点是指长度的比例为1：0.618（或其倒数0.618：1）。

4. 使用这个黄金分割点，在基准线段上绘制一条垂直线段，将基准线段分为两个部分。

5. 再次将较长的部分继续分割为两个部分，按照黄金分割点的比例划分。

6. 反复进行这个过程，直到不能再进行分割为止。

通过黄金分割的操作方法，我们可以得到一系列具有较好比例关系的线段长度。

这些比例关系可以应用于设计、建筑、艺术等领域，帮助创造出更加美观和谐的作品。

黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，它是一种基于区间收缩的极小值点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小值点包含于搜索区间内，但是具体是哪个点，无法得知。

1. 算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小值点包含于搜索区间内，那么可以不断地缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小值点。

[]a,b 为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例产生两个内点12,x x 。

120.382*()0.618*()x a b a x a b a =+-=+-然后根据()1f x ，()2f x 的大小关系来重新选择搜索区间。

（1） 若()()12f x f x <，则搜索区间变为1[,]x b ；（2） 若()()12f x f x >，则搜索区间变为2[,]a x 。

2. 算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1） 选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。

（2） 若k k b a ε-<，则停止计算。

否则当()()k k ff λμ>时转步骤（3）。

当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。

（3） 置 11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （4） 置11111110.382*()k k k k k kk k k k a a b a b a μμλλ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （5） 令1k k =+，转步骤（2）。

3. 算法的MATLAB 实现在MATLAB 中编程实现黄金分割法的函数为：min HJ 。

功能：用黄金分割法求解一维函数的极值。

调用格式：[,min ]min (,,,)x f HJ f a b eps =其中，f ：为目标函数；a ：极值区间的左端点；b ：极值区间的右端点；e p s ：精度；x ：目标函数取最小值时的自变量值；m i n f ：目标函数的最小值。