2021届新高考物理一轮复习课件：5.1万有引力定律及其应用

专题五万有引力与航天考点1 万有引力定律及其应用1.[2020河北六校第一次联考]我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观测知其运动的周期为T,S1到C点的距离为r1,S1与S2间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为()A.4π2r2(r-r1)GT2B.4π2r13GT2C.4π2r3GT2D.4π2r2r1GT22.[2020安徽合肥调研]在国产科幻片《流浪地球》中,人类带着地球流浪至木星附近时,上演了地球的生死存亡之战.木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星,早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h,它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T.已知木星的半径约为R,引力常量为G,则由上述数据可以估算出()A.木星的质量B.“木卫三”的质量C.“木卫三”的密度D.“木卫三”的向心力3.[2020广东惠州第一次调研]一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,若已知引力常量G,要知道该行星的密度,仅需要测量()A.该飞船的运行的速度B.该飞船的环绕半径C.该飞船的运行周期D.该飞船的质量4.[2020江西南昌高三摸底,多选]2019年1月3日,“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器.为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响,“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式.测得“嫦娥四号”近月环绕周期为T,已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是()A.“嫦娥四号”着陆前的时间内处于失重状态B.“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度为7.9 km/sC.月球表面的重力加速度g月=4π2RT2D.月球的密度ρ=3πGT25.[2020福建五校第二次联考]据报道,科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星.假设该行星质量约为地球质量的6.4倍,半径约为地球半径的4倍.若宇航员登陆该行星,在该行星表面将一小球以4 m/s的速度竖直向上抛出,空气阻力忽略不计,已知地球表面重力加速度g地=10 m/s2.下列说法正确的是()A.该行星表面重力加速度大小为16 m/s2B.经过2 s小球落回抛出点C.经过2 s小球上升到最高点D.小球上升的最大高度为0.8 m6.[2020江苏海安二模,多选]如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N 为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A .从P 到M 所用的时间等于T04B .从Q 到N 阶段,机械能逐渐变大C .从P 到Q 阶段,速率逐渐变小D .从M 到N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功7.[2019江西师大附中检测]星系由很多绕星系中心做圆周运动的恒星组成.科学家研究星系的一种方法是测量恒星在星系中的运行速度v 和到星系中心的距离r ,用v ∝r n 来表达二者之间的关系,科学家们特别关心指数n.若作用于恒星的引力主要来自星系中心的巨型黑洞,则n 的值为( )A.1B.2C.12 D.-128.[2019贵州铜仁一中模拟]关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动定律B.开普勒指出,地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有引力定律进行了月—地检验D.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许9.[新角度,6分]开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比,即a 3T 2=k ,k 是一个对所有行星都相同的常量.(1)将行星绕太阳的运动按匀速圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k 的表达式.已知引力常量为G ,太阳的质量为M 太.(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定地月距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地.(G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2,结果保留1位有效数字)考点1万有引力定律及其应用1.D对星体S1,由万有引力定律和牛顿第二定律有G m1m2r2=m1r1(2πT)2,解得星体S2的质量m2=4π2r2r1GT2,选项D正确.2.A“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有G Mm(R+ℎ)2=m(2πT)2·(R+h),解得M=4π2(R+ℎ)3GT2,故可以估算出木星的质量M,而“木卫三”的质量m无法确定,故无法确定其密度和向心力,所以A项正确,B、C、D项错误.3.C根据密度公式得ρ=MV =M43πR3.若已知飞船的运行速度,根据万有引力提供向心力有G MmR2=m v2R,解得M=v2RG ,代入密度公式得ρ=3v24πRG,不知道行星半径R,无法求出行星的密度,A错误.若已知飞船的运行周期,则根据万有引力提供向心力有G MmR2=m4π2T2R,解得M=4π2R3GT2,代入密度公式得ρ=3πGT2,得到运行周期T可以求出密度,C正确.若已知飞船的环绕半径而不知道运行速度v,无法求出行星的密度,B错误.若已知飞船的质量,在根据万有引力提供向心力列式子时,飞船的质量就消去了,不知道行星的质量和半径,仍然无法计算行星的密度,D错误.4.CD根据题述“嫦娥四号”采取近乎垂直的着陆方式实施软着陆,在着陆前的一段时间内一定做减速运动,加速度竖直向上,处于超重状态,选项A错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,其速度v=√g月R,即月球的第一宇宙速度,又月球的半径和表面重力加速度均小于地球的,故月球的第一宇宙速度一定小于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,选项B错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律有G MmR2=mg月,G MmR2=mR(2πT)2,联立解得月球表面的重力加速度g月=4π2RT2,选项C正确;由G MmR2=mR(2πT)2,V=43πR3,ρ=MV,联立解得月球的密度ρ=3πGT2,选项D正确.5.B在星球表面,有G MmR2=mg,可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为g' g 地=M'R地2M地R'2=6.4×(14)2=25,则该行星表面的重力加速度g'=25g地=25×10 m/s2=4 m/s2,选项A错误;在该行星上将小球以v0=4 m/s的速度竖直向上抛出, 小球落回抛出点时有v0t-12g't2=0,解得t=2 s,即小球经过2 s落回抛出点,选项B正确,C错误;根据竖直上抛运动的对称性可知,小球上升的总时间t1=1 s,小球上升的最大高度h=v0t1-12g't12=2 m,选项D错误.6.CD海王星从P运动到Q的过程中,引力做负功,根据动能定理可知,速率越来越小,C项正确;海王星从P到M的平均速率大于从M到Q的平均速率,路程相等,因此从P到M的时间小于T04,A 项错误;由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用,引力做功不改变海王星的机械能,即从Q 到N的运动过程中海王星的机械能守恒,B项错误;从M到Q的运动过程中,引力做负功,从Q到N的过程中,引力做正功,即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功,D项正确. 7.D设巨型黑洞质量为M,恒星的质量为m.恒星需要的向心力由巨型黑洞对它的万有引力提供,则有G Mmr2=m v2r,解得v=√GMr=√GM·r-12,所以v∝r-12,n为-12,D正确.8.D开普勒对天体的运动做了多年的研究,最终得出了行星运动三大定律,故A错误.牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力,引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比,故B错误.牛顿通过比较月球公转的向心加速度与地面附近物体做自由落体运动的加速度,对万有引力定律进行了月—地检验, 故C错误.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许,故D正确.9.解析:(1)因行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动,于是轨道半长轴a即轨道半径r,根据万有引力定律提供向心力有G m行M太r2=m行(2πT)2r(1分)于是有r3T2=G4π2M太(1分)即k=G4π2M太.(1分)(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R0,周期为T0,由题意可得R03 T02=G4π2M地(2分)解得M地=6×1024 kg.(1分)。

万有引力定律高考第一轮复习第五单元万有引力定律及其应用1必备知识2关键能力第1讲1开普勒行星运动定律答案1开普勒行星运动定律C答案2万有引力定律2C答案万有引力定律D 答案关键能力万有引力定律的理解与引力的计算考点一解析C答案万有引力定律的理解与引力的计算考点一解析万有引力定律的理解与引力的计算考点一方法计算万有引力应注意的几点:(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。

(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀,不可再随意作为质点处理。

(3)可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。

万有引力定律的理解与引力的计算考点一答案解析BC万有引力定律的理解与引力的计算考点一解析万有引力定律的理解与引力的计算考点一考点二中心天体质量和密度的估算答案解析BC考点二中心天体质量和密度的估算解析考点二中心天体质量和密度的估算方法计算中心天体的质量、密度时注意两点(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。

卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。

卫星的轨道半径大于等于天体的半径。

(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。

自转周期与公转周期一般不相等。

考点二中心天体质量和密度的估算答案解析B考点二中心天体质量和密度的估算解析考点二中心天体质量和密度的估算考点三地球上重力变化与重力加速度问题答案解析AC考点三地球上重力变化与重力加速度问题解析考点三地球上重力变化与重力加速度问题方法考点三地球上重力变化与重力加速度问题答案解析考点三地球上重力变化与重力加速度问题B解析考点三地球上重力变化与重力加速度问题谢谢观赏。

避躲市安闲阳光实验学校第五单元 万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 2．万有引力定律及其应用(1) 内容：(2)定律的适用条件： (3) 地球自转对地表物体重力的影响。

地面附近：G2R Mm= mg ⇒GM=gR 2 (黄金代换式) （1）天体表面重力加速度问题 （2）计算中心天体的质量 （3）计算中心天体的密度 （4）发现未知天体 3、人造地球卫星。

1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。

2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： 应该熟记常识：地球公转周期1年， 自转周期1天=24小时=86400s ， 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2月球公转周期30天4．宇宙速度及其意义(1)三个宇宙速度的值分别为(2)当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同5．同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星） ⑴同步卫星。

⑵特点 『题型解析』【例题1】下列关于万有引力公式221r m m GF =的说法中正确的是（ ）A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中万有引力常量G 的值是牛顿规定的【例题2】设想把质量为m 的物体，放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ）A ．2R GMmB ．无穷大C ．零D ．无法确定【例题3】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球间的万有引力将减小C ．月球绕地球运动的周期将变长D ．月球绕地球运动的周期将变短表面重力加速度：轨道重力加速度：【例题4】设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ，，则g/g ，为（ ）A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、1/16。

第4讲 万有引力定律及其应用对应学生用书P841.物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. 3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)1.推导过程为：由mg ＝m v 2R ＝GMmR2得：v ＝ GMR＝gR ＝7.9 km/s.2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． ●特别提醒(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大的环绕速度等于最小的发射速度(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．1．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系GMmr2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ma ―→a ＝GM r 2―→a ∝1r2m v 2r ―→v ＝GM r ―→v ∝1rmω2r ―→ω＝ GM r 3―→ω∝1r3m 4π2T 2r ―→T ＝4π2r3GM―→T ∝r 3越高越 慢2．同步卫星的五个“一定”轨道平面与赤道平面共面.与地球自转周期相同，即T ＝24h.与地球自转的角速度相同.由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R .v ＝GMR ＋h.1．关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r2，以下说法中正确的是( )．A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的解析 万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.答案 C2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )． A ．第一宇宙速度又叫脱离速度 B ．第一宇宙速度又叫环绕速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关解析 由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度．答案 B 3.图5－4－1三颗人造地球卫星A 、B 、C 在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知R A ＜R B ＜R C .若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图5－4－1所示．那么再经过卫星A 的四分之一周期时，卫星A 、B 、C 的位置可能是( )．解析 由G Mm r2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2知，T 2∝r 3，卫星离地面越远运行周期越大，则有T A ＜T B ＜T C ，又经T A 4后，A 运动过14圆周，且B 、C 依次在其后，故只有C 正确．答案 C4．苹果自由落向地面时加速度的大小为g ，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为( )．A ．g B.12gC.14g D ．无法确定 解析 地面处：mg ＝G Mm R 2，所以g ＝GMR2离地面高R 处：mg ′＝G Mm (2R )2，所以g ′＝GM4R 2 所以g ′g ＝14，即g ′＝14g .答案 C5．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )．A.⎝⎛⎭⎫4π3Gρ12B.⎝⎛⎭⎫34πGρ12C.⎝⎛⎭⎫πGρ12D.⎝⎛⎭⎫3πGρ12解析 物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力提供向心力：G MmR2＝m 4π2T 2R ，解得T ＝2π R 3GM ①，又因为密度ρ＝M 43πR 3＝3M 4πR 3 ②，①②两式联立得T ＝ 3πGρ. 答案 D对应学生用书P85考点一 万有引力定律在天体运动中的应用(小专题) 利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 1．一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． 2．两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2·r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．【典例1】 (2010·海南卷，10改编)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )．A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B ．火星公转的周期比地球的小C ．火星公转的线速度比地球的大D ．火星公转的向心加速度比地球的大解析 本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查考生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力．由mg ＝GmMR 2得：g 火g 地＝M 火M 地·R 地2R 火2＝110×⎝⎛⎭⎫212＝25，所以选项A 正确；由G M 太M r 2＝M 4π2T2r ，得T ＝4π2r 3GM 太，T 火T 地＝r 火3r 地3＝ 1.53＞1，所以选项B 错误；由G M 太M r 2＝M v 2r ，得v ＝ GM 太r ，a ＝v 2r ＝GM 太r2，所以选项C 、D 都不对．答案 A 【变式1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息，下列说法错误的是( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96 解析 由G MmR 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G MmR 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G MmR 2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确．答案 B 【变式2】 (2011·广西模拟)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为( )． A ．1.8×103 kg/m 3 B ．5.6×103 kg/m 3 C ．1.1×104 kg/m 3 D ．2.9×104 kg/m 3 解析 近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ①，由密度、质量和体积关系有M ＝ρ·43πR 3 ②，由①②两式得：ρ＝3πGT 2≈5.56×103 kg/m 3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的254.7倍，即ρ1＝5.56×103×254.7kg/m 3＝2.9×104 kg/m 3，D 正确．答案 D考点二 天体表面重力加速度的求解星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GMR2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G Mm (R ＋h )2，即g ′＝GM (R ＋h )2＝R 2(R ＋h )2g .【典例2】 英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R的关系满足M R ＝c 22G(其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )．A ．108 m/s 2B ．1010 m/s 2C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2解析 星球表面的物体满足mg ＝G Mm R 2，即GM ＝R 2g ，由题中所给条件M R ＝c 22G推出GM ＝12Rc 2，则GM ＝R 2g ＝12Rc 2，代入数据解得g ＝1012 m/s 2，C 正确． 答案 C 【变式3】近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则( )．A.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 243B.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 143C.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 22D.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 12 解析 由GMm r 2＝m 4π2T 2r 知：r 13r 23＝T 12T 22，又卫星所在处重力提供向心力mg ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，可得：g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 143，故B 正确． 答案 B考点三 卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行G Mmr 2＝m v 2r＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2 (2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mmr 2和需要的向心力m v 2r不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mmr 2＞m v 2r时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mmr 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小．【典例3】如图5－4－2所示，图5－4－2北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”( )．A ．应从较低轨道上加速B ．应从较高轨道上加速C ．应在从同空间站同一轨道上加速D ．无论在什么轨道上只要加速就行解析 “神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mmr2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错．答案 A【变式4】“天宫一号”被长征二号火箭发射后，图5－4－3准确进入预定轨道，如图5－4－3所示，“天宫一号”在轨道1上运行4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是()．A．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C．“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度D．“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度解析据v＝GMr，可知v3<v1，选项A错误；据ω＝GMr3可知ω3<ω1，选项B错误；加速度与万有引力大小有关，r相同，则a相同，与轨道无关，选项C错误，选项D正确．答案 D对应学生用书P868.双星模型R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G m 1m 2L 2＝m m m对应学生用书P871．(2010·重庆理综，16)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )．A ．1∶6 400B ．1∶80C ．80∶1D ．6 400∶1解析 双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M v 12r 1＝m v 22r 2，Mω2r 1＝mω2r 2，联立得v 2v 1＝M m ＝801，故C 项正确．答案 C 2．(2010·天津理综，6)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )．A ．轨道半径变小B ．向心加速度变小C ．线速度变小D ．角速度变小解析 探测器做匀速圆周运动由万有引力充当向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，G Mm r 2＝m v 2r ，G Mmr2＝mω2r ，G Mmr2＝ma .由以上四式可知，T 减小则r 减小，a 、v 、ω均增大，故仅A 正确．答案 A 3.图5－4－4(2010·山东理综，18改编)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图5－4－4所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 km 和2 384 km ，则( )．A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能B ．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度C ．卫星在M 点的加速度小于N 点的加速度D ．卫星在N 点的速度大于7.9 km/s解析 卫星从M 点到N 点，万有引力做负功，势能增大，A 项错误；由开普勒第二定律知，M 点的角速度大于N 点的角速度，B 项正确；由于卫星在M 点所受万有引力较大，因而加速度较大，C 项错误；卫星在远地点N 的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s 是线速度的最大值，D 项错误．答案 B 4．(2010·全国Ⅱ，21)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )．A ．6小时B ．12小时C ．24小时D ．36小时 解析 设地球半径为R ，平均密度为ρ，同步卫星的周期为T 1，另一行星的半径为r 1，其同步卫星的周期为T 2，对于地球的同步卫星，由GMm r 2＝m 4π2T2·r 得：G ρ·43πR 3m (R ＋6R )2＝4π2m (R ＋6R )T 12，① 对于行星的同步卫星：G 12ρ·43πr 13m (2.5r 1＋r 1)2＝4π2m (2.5r 1＋r 1)T 22，②由①②两式得：T 2T 1＝12，T 2＝12T 1＝12小时，B 项正确．答案 B 5．(2011·江苏卷，7改编)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v .引力常量为G ，则下列说法错误的是( )．A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v 3GT 2C ．行星运动的轨道半径为v T2πD ．行星运动的加速度为2πvT解析 由GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得M ＝v 2r G ＝v 3T 2πG ，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r ＝v ω＝v 2πT＝v T 2π，C 对；a ＝ω2r ＝ωv ＝2πT v ，D 对． 答案 B6．(2011·课标全国卷，19)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km ，运行周期约为27天，地球半径约为6 400km ，无线电信号的传播速度为3×108m/s.)( )．A ．0.1 sB ．0.25 sC ．0.5 sD ．1 s解析 根据GMm 同(R ＋h )2＝m 同(R ＋h )4π2T 同2，GMm 月r 2＝m 月r 4π2T 月2，结合已知数据，解得地球同步卫星距地面的高度h ≈3.6×107 m ，再根据电磁波的反射及直线传播得：2h ＝ct ，得t ≈0.24 s ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．答案 B 7．(2011·大纲全国卷，19)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)，然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )．A ．卫星动能增大，引力势能减小B ．卫星动能增大，引力势能增大C ．卫星动能减小，引力势能减小D ．卫星动能减小，引力势能增大解析 由GMm r 2＝m v 2r 知，E k ＝12m v 2＝GMm2r ，r 越大，E k 越小．r 增大，卫星在升高过程中要克服万有引力做功，引力势能增大．综上所述D 对，A 、B 、C 错．答案 D 8．(2011·山东卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )．①甲的周期大于乙的周期 ②乙的速度大于第一宇宙速度③甲的加速度小于乙的加速度 ④甲在运行时能经过北极的正上方 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析 地球卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G Mmr2＝m 4π2r T 2，得T ＝2π r 3GM .r 甲>r 乙，故T 甲>T 乙，选项①正确；贴近地表运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G Mm r 2＝m v 2r 知v ＝ GMr，r 乙>R 地，故v 乙比第一宇宙速度小，选项②错误；由G Mm r 2＝ma ，知a ＝GMr 2，r 甲>r 乙，故a 甲<a 乙，选项③正确；同步卫星只能在赤道正上方运行，故不能通过北极正上方．选项④错误． 答案 C。

专题五万有引力与航天考点1 万有引力定律及其应用1.[2020河北六校第一次联考]我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观测知其运动的周期为T,S1到C点的距离为r1,S1与S2间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为()A.4π2r2(r-r1)GT2B.4π2r13GT2C.4π2r3GT2D.4π2r2r1GT22.[2020安徽合肥调研]在国产科幻片《流浪地球》中,人类带着地球流浪至木星附近时,上演了地球的生死存亡之战.木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星,早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h,它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T.已知木星的半径约为R,引力常量为G,则由上述数据可以估算出()A.木星的质量B.“木卫三”的质量C.“木卫三”的密度D.“木卫三”的向心力3.[2020广东惠州第一次调研]一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,若已知引力常量G,要知道该行星的密度,仅需要测量()A.该飞船的运行的速度B.该飞船的环绕半径C.该飞船的运行周期D.该飞船的质量4.[2020江西南昌高三摸底,多选]2019年1月3日,“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器.为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响,“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式.测得“嫦娥四号”近月环绕周期为T,已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是()A.“嫦娥四号”着陆前的时间内处于失重状态B.“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度为7.9 km/sC.月球表面的重力加速度g月=4π2RT2D.月球的密度ρ=3πGT25.[2020福建五校第二次联考]据报道,科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星.假设该行星质量约为地球质量的6.4倍,半径约为地球半径的4倍.若宇航员登陆该行星,在该行星表面将一小球以4 m/s的速度竖直向上抛出,空气阻力忽略不计,已知地球表面重力加速度g地=10 m/s2.下列说法正确的是()A.该行星表面重力加速度大小为16 m/s2B.经过2 s小球落回抛出点C.经过2 s小球上升到最高点D.小球上升的最大高度为0.8 m6.[2020江苏海安二模,多选]如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N 为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A .从P 到M 所用的时间等于T04B .从Q 到N 阶段,机械能逐渐变大C .从P 到Q 阶段,速率逐渐变小D .从M 到N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功7.[2019江西师大附中检测]星系由很多绕星系中心做圆周运动的恒星组成.科学家研究星系的一种方法是测量恒星在星系中的运行速度v 和到星系中心的距离r ,用v ∝r n 来表达二者之间的关系,科学家们特别关心指数n.若作用于恒星的引力主要来自星系中心的巨型黑洞,则n 的值为( )A.1B.2C.12 D.-128.[2019贵州铜仁一中模拟]关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动定律B.开普勒指出,地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有引力定律进行了月—地检验D.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许9.[新角度,6分]开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比,即a 3T 2=k ,k 是一个对所有行星都相同的常量.(1)将行星绕太阳的运动按匀速圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k 的表达式.已知引力常量为G ,太阳的质量为M 太.(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定地月距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地.(G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2,结果保留1位有效数字)考点1万有引力定律及其应用1.D对星体S1,由万有引力定律和牛顿第二定律有G m1m2r2=m1r1(2πT)2,解得星体S2的质量m2=4π2r2r1GT2,选项D正确.2.A“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有G Mm(R+ℎ)2=m(2πT)2·(R+h),解得M=4π2(R+ℎ)3GT2,故可以估算出木星的质量M,而“木卫三”的质量m无法确定,故无法确定其密度和向心力,所以A项正确,B、C、D项错误.3.C根据密度公式得ρ=MV =M43πR3.若已知飞船的运行速度,根据万有引力提供向心力有G MmR2=m v2R,解得M=v2RG ,代入密度公式得ρ=3v24πRG,不知道行星半径R,无法求出行星的密度,A错误.若已知飞船的运行周期,则根据万有引力提供向心力有G MmR2=m4π2T2R,解得M=4π2R3GT2,代入密度公式得ρ=3πGT2,得到运行周期T可以求出密度,C正确.若已知飞船的环绕半径而不知道运行速度v,无法求出行星的密度,B错误.若已知飞船的质量,在根据万有引力提供向心力列式子时,飞船的质量就消去了,不知道行星的质量和半径,仍然无法计算行星的密度,D错误.4.CD根据题述“嫦娥四号”采取近乎垂直的着陆方式实施软着陆,在着陆前的一段时间内一定做减速运动,加速度竖直向上,处于超重状态,选项A错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,其速度v=√g月R,即月球的第一宇宙速度,又月球的半径和表面重力加速度均小于地球的,故月球的第一宇宙速度一定小于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,选项B错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律有G MmR2=mg月,G MmR2=mR(2πT)2,联立解得月球表面的重力加速度g月=4π2RT2,选项C正确;由G MmR2=mR(2πT)2,V=43πR3,ρ=MV,联立解得月球的密度ρ=3πGT2,选项D正确.5.B在星球表面,有G MmR2=mg,可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为g' g 地=M'R地2M地R'2=6.4×(14)2=25,则该行星表面的重力加速度g'=25g地=25×10 m/s2=4 m/s2,选项A错误;在该行星上将小球以v0=4 m/s的速度竖直向上抛出, 小球落回抛出点时有v0t-12g't2=0,解得t=2 s,即小球经过2 s落回抛出点,选项B正确,C错误;根据竖直上抛运动的对称性可知,小球上升的总时间t1=1 s,小球上升的最大高度h=v0t1-12g't12=2 m,选项D错误.6.CD海王星从P运动到Q的过程中,引力做负功,根据动能定理可知,速率越来越小,C项正确;海王星从P到M的平均速率大于从M到Q的平均速率,路程相等,因此从P到M的时间小于T04,A 项错误;由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用,引力做功不改变海王星的机械能,即从Q 到N的运动过程中海王星的机械能守恒,B项错误;从M到Q的运动过程中,引力做负功,从Q到N的过程中,引力做正功,即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功,D项正确. 7.D设巨型黑洞质量为M,恒星的质量为m.恒星需要的向心力由巨型黑洞对它的万有引力提供,则有G Mmr2=m v2r,解得v=√GMr=√GM·r-12,所以v∝r-12,n为-12,D正确.8.D开普勒对天体的运动做了多年的研究,最终得出了行星运动三大定律,故A错误.牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力,引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比,故B错误.牛顿通过比较月球公转的向心加速度与地面附近物体做自由落体运动的加速度,对万有引力定律进行了月—地检验, 故C错误.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许,故D正确.9.解析:(1)因行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动,于是轨道半长轴a即轨道半径r,根据万有引力定律提供向心力有G m行M太r2=m行(2πT)2r(1分)于是有r3T2=G4π2M太(1分)即k=G4π2M太.(1分)(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R0,周期为T0,由题意可得R03 T02=G4π2M地(2分)解得M地=6×1024 kg.(1分)。