对数的运算性质(公开
课教案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§2.7.2 对数的运算性质
教学目标
（一） 教学知识点
1. 对数的基本性质.
2. 对数的运算性质.
(二) 能力训练要求
1. 进一步熟悉对数的基本性质.
2. 熟练运用对数的运算性质.
3. 掌握化简,求值的技巧.
教学重点
对数运算性质的应用.
教学难点
化简,求值技巧.
教学方法
启发引导法
教学过程.
一、 复习回顾
上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得：
log b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >）
本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质.
二、讲授新课
1 . 对数的基本性质
由对数的定义可得：log 10a = log 1a a = （0a >且1a ≠）
把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数 形式。
把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠）
通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。
例如： log 222log a a a a == （0a >且1a ≠）
2 . 对数的运算性质
接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。
指数的运算性质 p q p q a a a +?=
在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a +=
将指数式转化为对数式可得：
log a p M = log a q N = log a p q MN +=
∴ log log log a a a M N MN += （0M > 0N > 0a >且1a ≠）
这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。
请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？
log log log a a a
M M N N -= 证明如下：∵ log log log log a a a a M M N N N N
=+- log ()log a a M N N N
=?- log log a a M N =-
对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，
即 1212log log log log a a a N a n N N N N N N ++
+= 若 12N N N N M ====
则上式可化为 log log n a a n M M = n N +∈
若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？
下证 log log n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）
证明：设 log a M p = 则有 p M a =
∴ n np M a =
∴ log n a M np =
即 log log n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）
对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。
例如：3222log 8log 23log 23===
提问：2lg 2lg a a = 这个等式会成立吗？
强调：真数为偶次幂时，必须保证等式两边的对数式有意义，即真数大于0。
3 . 例题讲解
[例1]用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。
（1）log a xy z （2）log a 分析：运用对数的运算性质求解。
解：（1）log log log log log log a
a a a a a xy xy z x y z z =-=+-
（2）2log log (log log log log a a a a a a x x =-=+ 112log log log 23
a a a x y z =+- [例2]求下列各式的值。
（1）752log (42)? （2）分析：运用对数的运算性质求解。
解：（1）757522222log (42)log 4log 27log 45log 272519?=+=+=?+=
（2）125
122lg100lg10lg10555==== 三、课堂练习
1．计算下列各式的值
（1）23log (279)? （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183
--- （4）lg 243lg 9
（5 解：（1）22333333log (279)log 27log 9log 32log 9347?=+=+=+=
（2）2777112log log 49log 7333
=== （3）7lg142lg lg 7lg183
--- lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 2=+-+---
0=
（4）52lg 243lg 35lg 35lg 9lg 32lg 32
===
（5lg511lg5==-=-
2．已知lg 2a =，103b =，求lg12
lg5。
解：依题意得：lg3b =
∴ lg12lg32lg 22b a =+=+ 10
lg5lg lg10lg 212a ==-=-
∴ lg122lg 51a
b
a +=-
四、课时小结
通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值。
五、课后作业
（一）课本P79 习题2.7 4.
（二）学案P79 §2.14