探索勾股定理1
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探索勾股定理(第1课时) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
方法二：补
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干 个小正方形，图中两 块红色（或绿色）可 拼成一个小正方形.
归总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
图形语言：
北师大·数学·八上册
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理(第1课时)
创设情境 引入新课
为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从 电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若 这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决 这个问题吗？
探究活动一
(1)观察图2-1，图2-2，完成下表：
课堂练习 3. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5
课堂练习
分类讨论
4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ）
A. 25
B. 14
C. 7
D. 7或25
谈谈你的收获
作业布置
习题1.1第1--2题
如图，以 Rt△ABC 的三边长 为直径分别向外作半圆. 三个 半圆面积分别为S1，S2，S3 。 求证：S1+S2=S3.
制作4个全等的直角三角形，为下节课证明 勾股定理做准备
感谢聆听！
a2＋b2＝c2
探究活动二
下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
SA=
=
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
初中数学精品试题：探索勾股定理 一
第3题 第6题 B A C D E 第9题2.7探索勾股定理 (一)A 组1． 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上三角形ABC 中，边长为无理数的边有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条2．已知一直角三角形的两条边长为3，4，则第三边的长为 ( )A ．5B ．7C ．7或5D ．无法判断3．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A ．51-B ．51-+C ．51+D ．54.如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ） A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米5．已知一个直角三角形的两条直角边是6和8，则这个直角三角形斜边上的高为_______，斜边上的中线为_______.6．如图，分别以DEF Rt ∆的三边为边向外作正方形，已知正方形M和Q 的面积分别是21和13，则正方形P 的面积是______.7．若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm ,则它的底边长为 .8．已知在Rt △ABC 中，AB=c ，BC=a ，AC=b ，∠C =90°． （1）若a =6，b =8，求c ；（2）若a =2，c =6，求b ；（3）若c =34，:8:15a b =，求a ，b 的值。
9. 如图，有一个直角三角形纸片，两条直角边BC =6cm ，AC =8cm ，现将直角边BC 沿直线BD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与BE 重合，求CD 的长．10．在△ABC 中，AB=13 cm ，AC =20 cm ，BC 边上的高为12 cm ，求△ABC 的面积． 第1题B 组★11．小刚测量河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5米远的水底，竹竿高出水面0.5米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度是____米．★12．在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,M,N分别是边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B’始终落在边AC上。
北师大版-数学-八年级上册-第一章第1节探索勾股定理(1) 教案
北师大版八年级上第一章第1节探索勾股定理（1）教案教学目标：(一)教学知识点1. 经历用计算和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
.2.掌握勾股定理的内容，能应用勾股定理解决简单的实际问题.(二)能力训练要求通过探索直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
(三)情感与价值观通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；了解勾股勾股定理的历史，体会它的重大意义和文化价值教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理中数量关系的发现的发现课堂导入：我们生活的这个世界，蕴涵着无穷的秘密，人们不断去发现它，探索它，促使人类社会不断发展进步，可以说，人类不断发展的历史就是我们不断认识自然、发现自然规律的过程，其中有一些重要的发现对人类的历史进程产生了重大的影响。
我们今天所要研究的就是这样一个伟大的发现，无论是我国古代科技所代表的东方文明还是毕达哥拉斯学派所代表的西方文明，先后都发现了这个规律，有的科学家建议把这个规律作为地球人和外星文明交流的工具。
教学过程：1、知识准备谁能有办法得到下面几个格点图形的面积在网格图形中，简单的图形可以通过数格子的方法得到面积，复杂的图形总可以利用长方形和直角三角形的和或差得到面积。
1观察图1，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
1、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：2、 图2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C 。
2、做一做出示投影提问：1、图3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图4中，A,B,C 之间有什么关系?1、 从图1， 2， 3， 4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
浙教版八年级上2.7.1探索勾股定理(1)课件
我们已掌握直角三角形的哪些性质?
1. 两个锐角互余，两条直角边互相垂直.
2. 斜边上的中线等于斜边的一半. 3. 30º 的角所对的直角边等于斜边的一半.
2.6探索勾股定理（1）
勾
股
a
如果a、b为直角三角形的 两条直角边长， c为斜边长， 那么 c
b
a b c
2 2
2
即直角三角形两直角边的平方 和等于斜3和4,则斜边为___
13 (2)直角三角形的两直角边为5和12,则斜边为___
(3)直角三角形的两直角边为6和8,则斜边上的中 5 ；斜边上的高线为___ 线为___ 4.8
你说我说 大家说
问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？ 问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？ 问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？ 最愉悦的事情是什么？
又∵x>0 ∴x=12
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
1、
5x 3x 8
斜边长=？
2、在数轴上表示√10
已知在△ABC中，∠C=Rt∠,BC=a， AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c； （2）a=15，c=17，求b； （3）c=34，a：b=8：15，求a，b.
下图是一个长方形的结构图，根据所给的 尺寸（单位：m），求机器人从A地走到B地 最少需要走的距离。 40
A 90
C
解：过A作铅垂线，过B作水 平线，两线交于点C，则 B ∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） 40 BC=160-40=120（mm） 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2） ∵AB>0 ∴AB=130mm 答：两孔中心A，B之间的距离为130mm
1. 两个锐角互余，两条直角边互相垂直.
2. 斜边上的中线等于斜边的一半. 3. 30º 的角所对的直角边等于斜边的一半.
2.6探索勾股定理（1）
勾
股
a
如果a、b为直角三角形的 两条直角边长， c为斜边长， 那么 c
b
a b c
2 2
2
即直角三角形两直角边的平方 和等于斜3和4,则斜边为___
13 (2)直角三角形的两直角边为5和12,则斜边为___
(3)直角三角形的两直角边为6和8,则斜边上的中 5 ；斜边上的高线为___ 线为___ 4.8
你说我说 大家说
问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？ 问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？ 问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？ 最愉悦的事情是什么？
又∵x>0 ∴x=12
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
1、
5x 3x 8
斜边长=？
2、在数轴上表示√10
已知在△ABC中，∠C=Rt∠,BC=a， AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c； （2）a=15，c=17，求b； （3）c=34，a：b=8：15，求a，b.
下图是一个长方形的结构图，根据所给的 尺寸（单位：m），求机器人从A地走到B地 最少需要走的距离。 40
A 90
C
解：过A作铅垂线，过B作水 平线，两线交于点C，则 B ∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） 40 BC=160-40=120（mm） 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2） ∵AB>0 ∴AB=130mm 答：两孔中心A，B之间的距离为130mm
2.6探索勾股定理(一)-
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
股
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
b b
c
例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b; 3 4 (3)已知: a = ,b= , 求 c; 5 5 (4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
C
B
议 一 议
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
心动
不如行动
2.6探索勾股定理（1）
合作学习
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米, (2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。 （3）你能发现直角三角形三边长度之间存 在什么关系吗？
1 探索勾股定理第1课时
(2)符号语言：
C 90 (已知)
B c
a
a2 b2 c2 (勾股定理) C
b
A
问题解决
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索， 若这条钢索在地面的固定点距离电线杠底部6m， 那么需要多长的钢索？
在直角三角形中： ∵82+62=斜边2 ∴斜边=10 ∴钢索长=10(米)
知识归纳
“勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
探索勾股定理
科学家曾经建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人” 联系的信号。
勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古 代中国人看出了这个关系。
古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。
“勾股定理”图
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索， 若这条钢索在地面的固定点距离电线杠底部6m， 那么需要多长的钢索？
(1)在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三 条边长，看看三边长的平方之间有什么样的关系？与 同伴进行交流。
测量法 三边长的平方之间的关系：
两直角边的平方和等于斜边的平方
(2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满
足上面所猜想的数量关系？你是如何计算的？与同伴
进行交流。
数格子法
ⅰ.三边的平方分别是 各正方形的面积；
ⅱ.满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(2)对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关 系？你又是如何计算的呢？
数格子法
ⅰ.三边的平方分别是 各正方形的面积；
ⅱ.满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(3)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
2.7探索勾股定理1
∵ ∠C=Rt∠
b
c
∴ a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
CaB来自三、勾股定理的证D
明（1）利用三角尺摆出右边
c
b
GF
C
的图形
A
a HE
你能用这个图形来证明勾股定理 B 吗？
c2 4 1 ab (b a)2 2
D
b
Ga C
（2）你能再次利用三 a c 角尺摆出右边的图形 H
c b
b c
1、 受台风“菲特”影响，路旁一棵树在
离地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底 部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
在数轴上画出表示 2 的点。
10 ?
3, 15 ?
数轴上点A表示的数是什么？
2
12 01 A
五、小结
直角三角形的勾股定理：
a2+b2=c2
面积法证明勾股定理
勾股定理的应用
A
b
c
C
a
B
F
c
a
A
a
E
b
B
你能再用这个图形来证明勾股定理吗？
(a b)2 c2 4 1 ab 2
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直 尺折国成家一之个一。直早角在三，千如多果年前勾，等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国国家家勾之之三一一。。、早早股在在四三三千千、多多弦年年前前五，，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前，
四、勾股定理的应用
例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
北师大版八年级数学上册第一章第一节
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
探索勾股定理
D
0.5 2 B
C
A
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
40 A
90
C
160
B 40
例1：已知ΔABC中，∠C= 90，BC=a，
AC=b，AB=c。 (1)若a=3, b=2, 求c; (2)若a=3,c=5,求b;
试一试 1、在△ABC中，∠C= 90 .
（1）若a=5，b=12，则c= .
（2）若c=4，b= 6 ，则a=
.
2、已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B= 90 ，则有关系式（ ）
a cc b
c c
a
b
• 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳 话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了 的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
你会算吗？
印度数学家什迦逻（1141年-1225年？） 曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
勾股
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首发先发现现了了勾勾股股定定理，理因，此 因此在国外 在人国们外通人们常通称常勾称勾股股定定理理为为毕毕达哥达拉哥斯 拉斯定理。 定为理了。纪为了念纪毕念达毕达哥哥拉拉斯斯学学派派，1，9515955年希腊 年曾希经腊发曾经行发了行了一一枚枚纪纪念念票邮。票.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
0.5 2 B
C
A
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
40 A
90
C
160
B 40
例1：已知ΔABC中，∠C= 90，BC=a，
AC=b，AB=c。 (1)若a=3, b=2, 求c; (2)若a=3,c=5,求b;
试一试 1、在△ABC中，∠C= 90 .
（1）若a=5，b=12，则c= .
（2）若c=4，b= 6 ，则a=
.
2、已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B= 90 ，则有关系式（ ）
a cc b
c c
a
b
• 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳 话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了 的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
你会算吗？
印度数学家什迦逻（1141年-1225年？） 曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
勾股
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首发先发现现了了勾勾股股定定理，理因，此 因此在国外 在人国们外通人们常通称常勾称勾股股定定理理为为毕毕达哥达拉哥斯 拉斯定理。 定为理了。纪为了念纪毕念达毕达哥哥拉拉斯斯学学派派，1，9515955年希腊 年曾希经腊发曾经行发了行了一一枚枚纪纪念念票邮。票.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
探索勾股定理 【完整版】
§探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，了解并掌握勾股定理的内容。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生在探索过程中发现问题、总结规律的意识和能力。
重点难点：重点：勾股定理的内容及探究。
难点：勾股定理的发现教学方法：讲练结合、合作交流。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 章前的图文）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影第一节首电线杆拉线问题，出示课题。
二、做一做1、各学习小组在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边的长，看看三边长的平方之间又怎样的关系小组内进行交流。
教师强调所画三角形尽量是任意三角形。
2、出示P2 书中的P2 图1—2）并回答：（1)观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
(2)你是怎样得出上面的结果的在学生交流回答的基础上教师直接发问：(3)图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系学生交流后形成共识，教师板书：A+B=C。
3、出示（书中P2图1—3）提问：（1）图1—3中，A,B,C之间有什么关系（2）从图1—2，1—3，中你发现什么学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
4、学生讨论：（1）图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗（2）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，a2＋b2=c2,我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
探索勾股定理 (1)
C
B
∴ AB2=62+82 ∴ AB2 ∴ AB2
=36+64 =100
∵AB>0 ∴ AB=10
问题三
美丽的勾股树
1
1
美丽的勾股树
趣味探索
如图, 正方形Ⅰ的面积为7，你能求出正方形Ⅱ、 Ⅲ面积之和吗？A、B、C、D的面积之和呢？
规律：在勾股树中，每一层的正方形面积和都相等。
1. 课本67-68页，第１、２、3题；
5cm
.
（2）再画一个两直角边为6和8的Rt△ABC，
用刻度尺量AB的长为 10cm .
探究新知（二）：
如图，小方格的面积为1.
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积 9 16 ？
Q R B
怎么求SR的大小？
有几种方法？
P Q C R
（1）用“补”的方法
1 SR = 49 - 4 创 ( 4 3) 2 = 25
P Q C R
（2）用“割”的方法
1 （ 创 4 3） SR = 4 +1 2
=25
归纳总结
通过计算正方形的面积为：
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
9 16 25
Q R B
（1） SP+SQ=SR (2)你能用文字语言总结 一下直角三角形三边之间 存在的关系吗？
勾股定理
A
b c
——直角三角形三边关系
B
济宁学院附中 李涛
C
a
情景引入：
在一个施工工地，工人师傅需要从电线杆 离地面8m处向地面拉一条钢索，这条钢索在 地面的固定点距离电线杆底部6m，那么他需 要准备多长的钢索？Aຫໍສະໝຸດ 8 米CB
探索勾股定理(1)
少？
(四)探究升级，提高能力
1、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 4.5米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗 口。已知云梯长20.5米，问发生火灾的窗口 距离地面多高？(不计消防车的高度）
c2 a 2 b2
公式变形
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2
利用平方差公式简 化计算.
图 1 图2
图2 图3
A、B、 C 面积 关系
1 4 9
1 4 9
2 8 18
SA+SB=SC
图3
直角三 角形三 边数量 关系
a2+b2=c2
自主探索1
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
自主探索2
观察右边两 幅图：
4.需要注意：教材顺序、上下衔接
三、教学目标
1.理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用． 2.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股 定理的探索过程，让学生经历“观察—猜想—归 纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊 到一般的思想方法． 3.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快 乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发 学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励 学生发奋学习．
四、教法学法
教学方法： 引导——探究——发现; 学习方法： 观察——猜想——归纳，自主探究和合作交 流相结合.
五、教学过程设计
(一).创设情境，引入新课 (二).探究发现，归纳结论
(三).简单应用，巩固三基
(四). 探究升级，提高能力
(五). 梳理知识，课堂小结
(六). 布置作业
(四)探究升级，提高能力
1、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 4.5米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗 口。已知云梯长20.5米，问发生火灾的窗口 距离地面多高？(不计消防车的高度）
c2 a 2 b2
公式变形
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2
利用平方差公式简 化计算.
图 1 图2
图2 图3
A、B、 C 面积 关系
1 4 9
1 4 9
2 8 18
SA+SB=SC
图3
直角三 角形三 边数量 关系
a2+b2=c2
自主探索1
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
自主探索2
观察右边两 幅图：
4.需要注意：教材顺序、上下衔接
三、教学目标
1.理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用． 2.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股 定理的探索过程，让学生经历“观察—猜想—归 纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊 到一般的思想方法． 3.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快 乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发 学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励 学生发奋学习．
四、教法学法
教学方法： 引导——探究——发现; 学习方法： 观察——猜想——归纳，自主探究和合作交 流相结合.
五、教学过程设计
(一).创设情境，引入新课 (二).探究发现，归纳结论
(三).简单应用，巩固三基
(四). 探究升级，提高能力
(五). 梳理知识，课堂小结
(六). 布置作业
第一章《勾股定理》(全章)
第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。
探索勾股定理(第1课时)课件(浙教版)
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， AC＝15，求BC边上的高线AD.
分析：要求出AD需先求出BD或CD，由于DB＋CD ＝BC，所以可设DB＝x，则CD＝14－x，这样分 别在两个直角三角形中根据勾股定理把AD2用含x 的代数式表示出来，然后得到关于x的方程，求 出x即可解决问题．
第2章 特殊三角形 2.7 探索勾股定理(第1课时)
勾股定理的探索
例1 如图(1)所示，用硬纸板做成两个全等的直 角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 图(2)是腰长为c的等腰直角三角形，请你开动脑 筋，将它们拼成一个能说明勾股定理的图形．画 出拼成的图形的示意图，并用其说明勾股定理．
分析：用三个三角形拼成一个梯形，用梯形的 面积公式来说明勾股定理．
52 42 41cm, 所以第三条线段的长为3cm和 41cm.
错因：由于思维定势只考虑了3，4，5的情况，没有 对哪一条是斜边进行分类讨论．
解：如图(3)所示，用三个直角三角形拼成一个
直角梯形．
三个直角三角形的面积和为1 ab 2 1 c2
2
2
直角梯形的面积为 1 (a b)(a b)
2
∴1 ab 2 1 c2 1 (a b)(a b) 化简得a2＋b2＝c2
，2
22
即勾股定理成立．
注意点：拼图法可以用来说明解决一些代数式 恒等的问题，使用过程中要注意两点：(1)一般 通过割补、拼接，用相同的材料得到不同的(或 同一个)图形；(2)用拼成的不同(或同一个)图 形的面积之间的关系可以建立代数式的恒等关 系．
在Rt△CEF中，设CE＝x，则EF＝DE＝8－x.
由勾股定理得 x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
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课题：§1、1、3探索勾股定理导学稿
主备：审核: 审批：班级：使用人：
【学习目标】
1、使学生通过对“青朱出入图”的探究，通过操作活动感受勾股定理的“无字证明”。
2、理解并掌握勾股定理，用它解决一些简单的问题。
【学习重点】
动手拼摆“五巧板”进一步验证勾股定理。
【学前准备】
1、按照课本13页的“做一做”，用较硬的纸制作两幅“五巧板”。
（要求：尽可能做大一些）
2、什么是勾股定理？
【自学探究】
1、能否将两个大小相等的正方形拼成一个较大的正方形？若能，大小正方形的边长之比是多少？
2、通过看课本和查资料了解“青朱出入图”。
预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？
【合作交流】
1、“青朱出入图”
2、做一做：（要求：实际动手拼摆后，课后将其粘到导学稿上）
（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以c为边长的正方形；将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。
（2）你能拼出“青朱出入图”吗？当然可能有部分是重复的了。
（3）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。
3、课本14页的“议一议”
问题：
如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a、b、c满足a2+b2=c2吗？
【随堂练习】
课本15页的问题解决第1题（要求抄题画图）
【小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么问题？
【今日作业】
1、一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边的长度比为3：4，求两直角边的长。
【巩固与拓展】
1、课本15页的问题解决第2题（要求：实际动手操作）
2、课本16页的联系拓广3
3、从网上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文，与同伴交流。
家校联系：（家长反馈意见或签名）。