无限循环小数化分数

无限循环小数如何化为分数由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。

一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数例1： 0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么 0.4747……=47/9由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习：（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。

（3）0.312 312……=类型2：混循环小数如何化为分数例题：把0.4777……和0.325656……化成分数例3：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以： 0.325656……=3224/9900练习：（1）0.366……=（2）1.25858……=（3）6.23898989……=可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。

无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。

把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。

例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。

将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。

下面将介绍几种方法来实现这个转换。

方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。

例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。

然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。

接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。

解这个方程，得到x = 1/3。

方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。

然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。

接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。

解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。

例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。

然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。

接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。

解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。

方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。

然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。

接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====无限循环小数如何化为分数【解析】由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。

一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

例1、…………化成分数解：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747…… =47那么0.4747……=47/99由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

例3、把0.4777……和0.325656……化成分数解：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以：0.325656……=3224/9900源-于-网-络-收-集。

无限偱环小数化分数无限循环小数是一个有趣的数学概念，它指的是一个小数部分无限重复的循环。

例如，1/3的小数表示是0.3333...，其中3无限重复。

我们可以使用分数来表示这样的无限循环小数，这个过程被称为化分数。

化分数的方法是将无限循环部分与有限部分分开，并根据循环部分的位数来构造一个分式。

下面，我们将详细介绍如何将无限循环小数化分数。

我们来看一个例子：0.6666...。

这个小数的无限循环部分是6，它无限重复下去。

我们可以用x来表示这个小数，即x=0.6666...。

接下来，我们将在两边都乘以10，这样小数点就会向右移动一位：10x=6.6666...。

然后，我们再次将这两个方程相减：10x-x=6.6666...-0.6666...。

计算结果为9x=6，然后我们将x化简为分数形式，得到x=2/3。

所以，0.6666...等于2/3。

这个方法可以推广到其他无限循环小数的情况。

例如，0.272727...的无限循环部分是27，我们可以用x来表示这个小数，即x=0.272727...。

将x乘以100，我们得到100x=27.272727...。

然后，我们将这两个方程相减，得到99x=27，化简后x=27/99。

所以，0.272727...等于27/99。

化分数的方法不仅适用于无限循环小数，还适用于其他类型的无限小数。

例如，0.123456456456...是一个无限重复的小数，其中的无限循环部分是456。

我们可以用x来表示这个小数，即x=0.123456456456...。

将x乘以1000，我们得到1000x=123.456456456...。

然后，我们将这两个方程相减，得到999x=123，化简后x=123/999。

所以，0.123456456456...等于123/999。

除了使用乘法和减法来化分数，我们还可以使用几何级数的方法。

几何级数是一系列的数，每个数都是前一个数乘以一个常数。

例如，1+1/2+1/4+1/8+...就是一个几何级数，其中每个数都是前一个数乘以1/2。

无限循环小数怎样换算成分数，比如3.1414.。

通过把这个数扩大若干倍,令扩大的数减去原数后,其循环消失.
如3.1414..,将它*100-本身=311,再将311/99.结果就是它的分数形式.
再如1.333...,(1.333...*10-1.333...)/9=4/3.它的分数形式就是4/3.
无限循环小数怎样换算成分数有两种情况：
1、纯循环小数化分数：例如：
3.1414……=3 14/99;读做：3又99分之14。

方法是：整数部分不变，一个循环节数字做分子，分母是9和0组成，9的个数与循环节的位数相同写在前面。

0的个数和不循环位数相同。

分母位数和小数部分位数一样。

最后要化成最后最简分数。

例如：
0.006666……=6/900=1/150。

2、混循环小数，例如：
0.2565656……=（256-2）/990=254/990=127/495
方法是：分子是循环节数字-不循环的数字，分母是9和0组成，9的个数与循环节的位数相同写在前面。

0的个数和不循环位数相同。

分母位数和小数部分位数一样。

最后要化成最后最简分数。

无限循环小数化成分数的规律嘿，朋友们！今天咱来唠唠无限循环小数化成分数的规律，这可有意思啦！你说这无限循环小数，就像是个调皮的小精灵，一直在那循环个不停。

那怎么把它变成规规矩矩的分数呢？别急，且听我慢慢道来。

咱就拿常见的0.333……来说吧，这就是个典型的无限循环小数。

那它怎么变成分数呢？嘿，这就有个小窍门啦！设这个数为 x，那就是x=0.333……，然后呢，把这个等式两边同时乘以 10，就变成了10x=3.333……。

这时候你发现没，10x 比 x 多了个 3 呀！那用 10x 减去x，不就把那一直循环的部分给减掉了嘛！也就是 10x-x=3，算一下，9x=3，那 x 不就等于 1/3 嘛！你看，神奇不神奇？再比如说0.142857142857……这个无限循环小数，它的循环节是142857 这么一长串呢！那咱也不怕呀，还是用同样的方法。

设它为 y，1000000y-y 不就把循环节给去掉啦，然后就能算出 y 是多少啦。

这就好像我们解开一个神秘的谜题一样，每一步都充满了惊喜和乐趣。

你说这数学是不是很奇妙呀？它就像一个隐藏着无数宝藏的宝库，等着我们去探索呢！无限循环小数化成分数，不就是数学世界里的一扇奇妙之门嘛！通过这扇门，我们能看到更加精彩的数学风景。

就好像我们走在一条小路上，突然发现了一个通往美丽花园的入口，那里面有着各种奇花异草，让我们流连忘返。

大家想想，如果我们掌握了这个规律，那以后再遇到无限循环小数，不就可以轻松地把它变成分数啦！这多有成就感呀！而且，这还能帮助我们更好地理解数学的奥秘，让我们在数学的海洋里畅游得更自在。

所以呀，大家可别小瞧了这个规律，它可是我们探索数学世界的重要工具呢！让我们一起好好利用它，去发现更多数学的美妙之处吧！。

关于无限循环小数化分数的详细讲解在数学领域，小数与分数之间的转换是一项基本技能，它有助于我们更深入地理解数值关系和进行精确计算。

其中，无限循环小数化为分数是一个相对复杂但也非常有趣的主题。

本文将详细讲解这一过程，旨在帮助读者掌握这一数学技巧。

一、无限循环小数的定义与性质无限循环小数，是指小数点后某一段数字无限重复出现的小数。

例如，1/3=0.333...中，“3”就是无限重复的数字，因此我们称1/3为一个无限循环小数。

这类小数具有一种特殊的性质，即它们都可以表示为两个整数的比，也就是说它们都是有理数。

二、无限循环小数化分数的一般方法将无限循环小数化为分数，我们通常使用的方法是通过代数运算来找到一个与之等价的分数表达式。

以下是具体步骤：1. **确定循环节**：首先，确定小数中无限重复的数字段，即循环节。

例如，在0.76333...中，“3”是循环节。

2. **设置等式**：设无限循环小数为x，然后根据循环节的长度和位置，将x乘以一个适当的10的幂，使得新得到的数的小数部分仅包含循环节。

例如，对于0.76333...，我们可以设x=0.76333...，然后考虑乘以100（因为循环节在小数点后第三位开始），得到100x=76.333...。

3. **建立方程**：接下来，用新得到的数减去原数，以消除循环节。

继续上面的例子，我们有100x-x=76.333...-0.76333...，即99x=75.57。

4. **求解方程**：最后，解这个方程找到x的值。

在我们的例子中，x=75.57/99。

注意，这个结果可能还需要进一步简化。

三、特殊情况的处理上述方法适用于循环节从小数点后某一位开始无限重复的情况。

然而，有些无限循环小数的循环节从小数点后的第一位就开始，例如0.666...。

对于这种情况，我们可以直接将其写为分数形式，即0.666...=2/3。

这是因为，这类小数实际上就是某个整数被1、10、100等除的结果。

无限循环小数化分数的方法无限循环小数，指十进制小数中数字序列一直循环出现的小数。

如0.3333……就是无限循环小数，它等于1/3。

接下来介绍几种常见的方法将无限循环小数化成分数。

1.长除法法将无限循环小数表示为分数x/y，其中x和y互质。

假设小数中以m开始不断循环出现，那么我们可以列出以下的等式：10^(n+d)x = m·(10^n-1)·10^d + m·(10^(n+2d)-10^(n+d))其中，d为小数循环节长度，n为大于d的任意正整数。

由于x是小数转化而来，因此有：x = m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)然后将上式的右边化为分数，则有：x = m(1/10^d + 1/10^(2d) + … + 1/10^(nd))/(1-1/10^d)而y=10^n-1，则x/y=m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)。

2.解二元一次方程组法同样假设无限循环小数为x/y，其中循环节长度为d。

则有：10^d·x - x = m10^d·y - y = 1其中m为小数循环节序列。

将x和y相消，联立方程组得到：x = m/(10^d - 1)y = (10^d - 1)/y因此，将无限循环小数化成分数的方法就是将循环节序列作为m 代入上式即可。

3.其他方法如果无限循环小数的分母是5的倍数，则可以将它们都变为10的倍数，即将小数点后移一位。

这时，无限循环小数就可以化为分数。

例如：0.6 = 6/10 = 3/5。

如果无限循环小数的分母可以分解为2和5的倍数，则先将该小数化为相应的分母，再用长除法法将无限循环小数化为分数。

通过以上几种方法，我们可以将无限循环小数化成分数，使其更便于计算。