理论力学动力学基础(PPT下载)
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学教学材料7质点动力学ppt课件
( 式中 r r(t) 为质点矢径形式的运动方程 )
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
5
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
Fgez '
FgCz '
17
自然轴投影：
m
d 2sr dt 2
F
Fge
特殊情况：
m vr2
Fn
Fgen FgCn
(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于 是：
mar F Fge
(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和 ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方
令
Fge mae
——牵连惯性力
FgC maC ——科氏惯性力
16
则：
mar F Fge FgC
这就是质点相对运动动力学基本方程。
直角坐标投影： d 2 x' m dt 2 Fx' Fgex' FgCx'
m
d 2 y' dt 2
Fy '
Fgey '
FgCy '
m
d 2z' dt 2
Fz '
发射初速度大小与初发射角 0 为
理论力学1-3动 力 学1
y
i
j
i
j
0
质点系内力主矩为0
动量定律
•质点系的动量
质点系动量定理
(e) (i ) (e ) (i ) dpi dpi Fi Fi 0 Fi Fi dt dt dp 质点系的总动量对时间的导数 FR 等于作用于质点系的外力主矢 力重不能自举，须人乃举。 dt
动量矩定律
动量矩守恒定理
质点系动量矩定理
(e ) dLo Mo dt
１、
if
(e) Mo 0
then Lo C
２、
if
M
(e) l
0
then Ll C
动量矩定律
质点系动量矩定理
例题１：水平杆以角速度绕铅垂轴Oz转动。杆上有用一细绳连接 质量分别为mA=2(kg) 和 mB=0.5(kg)的物块A和B，两物块可沿水 平杆滑动。绳长为l=1(m)。已知当物块A离Oz轴的距离rA=0.6(m) 时，它相对与水平杆的速度vA=0.4(m/s),方向沿Ox轴；而此时水平 杆绕Oz轴的角速度 =0.5(rad/s),试求该瞬时水平杆的角加速度。 水平杆和细绳的质量及轴承的摩擦均略去不计。
动力学基本定律 质点运动微分方程
例：求解质量为ｍ的平面单摆中绳的张力。已知 t=0，=o，v=vo。 解: S l v S l S l
o
ml mg sin
FT
n
m
mg
2 FT mg cos ml d 1 2 g ( ) sin d 2 l 2 vo 2g 2 (cos 1) 2 l l 2 vo FT mg ((3 cos 2) 2 ) l
理论力学动力学第一章PPT课件
.
29
（7）矢量的投影
el
a
l
e
l l l
为l 方向的单位矢量
alaelacos
a在自身方向上的投影
当 a 指向已知时a > 0
aaaeaa当
a
指向未知时
a > 0 假设方向对
（8）若
假设 a 的指向为
ea
a < 0 与假设方向 相反
ai bi ail bil
.
30
（9）注意区别：矢量的投影与矢量分解的分量
dt . 指向运动方向
34
加速度 加速度大小
a
dv
r
a vdt r
（1.3）
加速度方向：速度矢端图的切线方向 注意： r(t)v,(t)a,(t) 都与参考空间有关
第一篇 运动学
运动学----从几何角度研究物体的运动规律，如点 的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转 动方程，角速度、角加速度等
一、几个重要概念 1.参考空间（参照系）
参考空间常与某物体（参照物）固连，
但 参考空间参照物
参照物——有限大，参考空间——无限大
描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间
自由度 S —— 广义坐标的个数
.
18
不同研究对象、运动形式与自由度
研究对象
运动形式
空间运动 平面运动
自由
S=3
S=2
质点
非自由
S<3
S<2
质点系
n个质点
刚体
无穷多质点
自由 非自由
自由 非自由
S=3n S<3n S=6 S<6
.
S=2n S<2n S=3 S<3
ppt版本-哈工大版理论力学课件(全套)
理论力学课程的内容包括质点和刚体的运动、弹性力学、 流体力学、振动和波等，其体系由静力学、运动学和动力 学三个部分组成。
理论力学课程的内容非常广泛，主要包括质点和刚体的运 动、弹性力学、流体力学、振动和波等方面的知识。这些 内容在理论力学体系中占据着重要的地位，为后续的工程 技术和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。同时 ，理论力学体系由静力学、运动学和动力学三个部分组成 ，这三个部分相互联系、相互渗透，构成了完整的理论力 学体系。
详细描述
理论力学作为经典力学的一个重要分支，主要研究物体运动规律、力的作用机制以及它们之间的相互作用。通过 对质点和刚体的运动规律、力的合成与分解、动量守恒和能量守恒等基本原理的研究，理论力学为各种工程技术 和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。
理论力学课程的内容和体系
要点一
总结词
要点二
详细描述
置和速度。
刚体的转动
02
描述刚体绕固定点或轴线的旋转运动，通过角速度矢量和角加
速度矢量表示刚体的转动状态。
刚体的复合运动
03
描述刚体同时存在的平动和转动，通过平动和转动运动的合成
来描述。
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
表述了物体运动与力的关系，即物体受到的合外力等 于其质量与加速度的乘积。
动量定理
表述了物体动量的变化率等于作用在物体上的力与时 间的乘积。
由于非惯性参考系中物体受到的力不是真实的外力，而是由于参考 系加速或旋转产生的惯性力。
非惯性参考系的应用
在研究地球上的物体运动时，常常需要用到非惯性参考系，例如研 究地球的自转和公转对物体运动的影响。
05
刚体的运动
01
描述刚体在空间中的位置和运动，通过平动矢量表示刚体的位
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第10章
设中心O的速度为v。
T1 0
T2
1 2
3PR2 2g
v R
2
1 2
Q g
v2
vO PQ
3P 2Q v2 4g
WiF P Q s sin φ
φ
N1 Fs
T2 T1 WiF
3P 2Q v2 P Q s sin φ
4g
解得：
v2 4 P Qsin φ gs
3P 2Q
求导，得：
例10-5 图示系统，滑块A的质量为m1，与倾 角为φ的斜面间的动滑动摩擦系数为 f ；定滑 轮B的质量为m2且沿轮缘均匀分布；均质圆 柱的质量为m3，沿水平面纯滚动；弹簧的刚 性系数为k 。系统由静止开始运动，求滑块 沿斜面下滑s 时的速度和加速度。初瞬时弹 簧无变形。
D
OB
A
φ
解：以系统为研究对象 F
F Oθ
解1：以系统为研究对象，理想约束。
设中心O有微小位移ds，速度
为v，加速度为a。
T 1 m 2
ρ2 R2
v R
2
m
ρ2 R2 2R2
v2
m ρ2 R2
m ρ2 R2
dT
R2
vdv
R2
vadt
F
O ds θv a mg
Fs N
δWiF
Fds cos θ
Fr
f
cos φ s
k 8
s2
T2 T1 WiF
2m1
2m2 4
3m3
v2
m1g sin φ
f
cos φ s
k 8
s2
解得：略
3. 功率方程
功率：单位时间力所做的功。P δW
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第1章
FC
计算对y轴的矩 计算对z轴的矩
c b
x
z b
O
a
O
x
y M y (F ) MO (F ) Fc
M z (F ) MO (F ) Fa
F
F
解2：计算力对点O之矩
·
z O a Ay
x rB c
MO (F ) r F (bi aj ck) (Fi) F C
i jk
b a c
F 0 0
1. 力:物体间的相互作用，这种作用使物 体的运动状态和形状发生改变。
力使物体运动状态发生改变的效应称为外 效应─运动效应。
力使物体形状发生改变的效应称为内效应 ─变形效应。
力的三要素：力的大小，方向和作用点。
2. 刚体:在力的作用下不变形的物体；在力 的作用下其内部任意两点之间距离始终保 持不变的物体。
公理4 作用与反作用原理
B
A F F B
两个物体间相互作用，总是等值、反 向、共线！ 分别作用在两个物体上。
F F 0 F F
公理5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如
将此变形体刚化为刚体，则平衡状态不变。
变形体遵从刚体平衡条件 ！ 刚体平衡条件对变形体而言，只是必 要条件！反之，为充分条件。 当我们以两个以上刚体为研究对象时， 都用到了刚化原理。
刚体是理想的力学模型。
3. 力系:作用在物体上的一组力。 如果两个力系使刚体产生相同的运动状
态变化，则这两个力系互为等效力系。
一个力系用其等效力系来代替，称为 力系的等效替换。
4. 用一个简单力系等效替换一个复杂力系， 称为力系的简化。
5. 当且仅当一个力与一个力系等效时，这 个力是该力系的合力。
理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础
A
M
r
O
R
答：
(2m 193 m M 2)R (r)2t20t0
2019年9月17日
18
例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。
CR
答：
O
F
x
x
a F f (m1 m2)g
m1
m2 3
2019年9月17日
19
例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1 , m 2 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。
2019年9月17日
3
§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
FiFIiri0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 2.直角坐标形式：
[ ( F i x m i x i ) δ x i ( F i y m iy i ) δ y i ( F i z m i z i ) δ z i ] 0 i
a1
G1
G2
G1 g
a1
有 G g 1a 1δxG g 2rco sδxG g 2a 1δx0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
(a)
又由 δ W F 0 ,δ 0 ,δ x 0 , 有
2019年9月17日
10
1 2 G g 2 r 2δ G g 2 rr δ G g 2 a 1 c o sr δ G 2 s in r δ 0
2019年9月17日
11
例4 均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕 圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
理论力学-相对运动动力学
不同参考系下观察到的运动规律是相同的。
03
02
01
相对运动的概念
牛顿第二定律
在相对运动中，物体所受的力等于其质量与加速度的乘积。
动量守恒定律
在封闭系统中，不考虑外力作用时，系统的总动量保持不变。
动能定理
力在一段时间内对物体所做的功等于物体动能的变化量。
相对运动的动力学方程
在封闭系统中，不考虑外力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
机器人关节运动
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
势能是物体由于位置或状态而具有的能量，当两个物体发生相对运动时，它们之间的势能会发生变化，例如引力势能、弹性势能等。
总结词
相对运动的能量守恒定律是指在无外力作用的相对运动过程中，两个物体所具有的总能量保持不变。
详细描述
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转变为另一种形式。在相对运动的情境下，两个物体的动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
卫星轨道的动力学分析
机器人关节的动力学分析
机器人关节的动力学分析主要研究关节在运动过程中的力和运动状态的变化规律。
关节驱动力矩
为了使机器人关节实现预期的运动，需要施加驱动力矩，通过对驱动力矩的分析，可以优化机器人的运动性能。
关节摩擦与阻尼
机器人关节在运动过程中会受到摩擦力和阻尼力的作用，这些力会影响机器人的运动精度和稳定性，需要进行动力学分析以减小其影响。
定义
$L = r times v$，其中$L$是角动量，$r$是位置向量，$v$是速度。
计算公式
角动量是相对的，取决于所选固定点和参考系。
相对性
相对运动的角动量
03
02
01
相对运动的概念
牛顿第二定律
在相对运动中，物体所受的力等于其质量与加速度的乘积。
动量守恒定律
在封闭系统中，不考虑外力作用时，系统的总动量保持不变。
动能定理
力在一段时间内对物体所做的功等于物体动能的变化量。
相对运动的动力学方程
在封闭系统中，不考虑外力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
机器人关节运动
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
势能是物体由于位置或状态而具有的能量，当两个物体发生相对运动时，它们之间的势能会发生变化，例如引力势能、弹性势能等。
总结词
相对运动的能量守恒定律是指在无外力作用的相对运动过程中，两个物体所具有的总能量保持不变。
详细描述
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转变为另一种形式。在相对运动的情境下，两个物体的动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
卫星轨道的动力学分析
机器人关节的动力学分析
机器人关节的动力学分析主要研究关节在运动过程中的力和运动状态的变化规律。
关节驱动力矩
为了使机器人关节实现预期的运动，需要施加驱动力矩，通过对驱动力矩的分析，可以优化机器人的运动性能。
关节摩擦与阻尼
机器人关节在运动过程中会受到摩擦力和阻尼力的作用，这些力会影响机器人的运动精度和稳定性，需要进行动力学分析以减小其影响。
定义
$L = r times v$，其中$L$是角动量，$r$是位置向量，$v$是速度。
计算公式
角动量是相对的，取决于所选固定点和参考系。
相对性
相对运动的角动量
理论力学—动力学PPT
10
工程动力学的研究模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 广义的质点系统：系统内包含有限或无限个质点，这些 质点都具有惯性，并占据一定的空间；质点之间，质点 与边界之间，以不同的方式连接，或者附加以不同的约 束与物理条件。
刚体：是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间 的距离保持不变。
如何确定地球同步卫星的轨道高度
F
？
O
R
1 1 1 2 2 2 2 gR vdv 2 gR dx v0 v ( )225 x R x
v v0 x R
例 题 4
已知：m=15t, v0=20 m/min k=5.78MN/m。 求：钢丝绳的最大拉力。 st 解：以弹簧在静载作用下变 形后的平衡位置为原点建立 Ox坐标系 O l0 k
§11-2 质点的运动微分方程
d x m m 2 Fix x i dt d2y m m 2 Fiy y i dt d 2z m m 2 Fiz z i dt
2
ma Fi
i 1
n
直角坐标形式
n d r m 2 Fi i 1 dt
2
弧坐标形式
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 19
工程动力学的研究模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 广义的质点系统：系统内包含有限或无限个质点，这些 质点都具有惯性，并占据一定的空间；质点之间，质点 与边界之间，以不同的方式连接，或者附加以不同的约 束与物理条件。
刚体：是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间 的距离保持不变。
如何确定地球同步卫星的轨道高度
F
？
O
R
1 1 1 2 2 2 2 gR vdv 2 gR dx v0 v ( )225 x R x
v v0 x R
例 题 4
已知：m=15t, v0=20 m/min k=5.78MN/m。 求：钢丝绳的最大拉力。 st 解：以弹簧在静载作用下变 形后的平衡位置为原点建立 Ox坐标系 O l0 k
§11-2 质点的运动微分方程
d x m m 2 Fix x i dt d2y m m 2 Fiy y i dt d 2z m m 2 Fiz z i dt
2
ma Fi
i 1
n
直角坐标形式
n d r m 2 Fi i 1 dt
2
弧坐标形式
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 19
理论力学 质点动力学(共114张PPT)
容，本课程只作适当的复习或让学生自学。 牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。
动点－血流质点
上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式
分析小摆动条件下，摆的运动
牵连惯性力向下，从心脏流
确将定式一 B的个表自达由式质对点ω在求空一间次的导位数置并需令要其三等个于独零立，坐可标以，发所现以，空此间时自振由幅质B点有有极三大个值自，向由即度头在。共部振的固有血圆流频率受阻，造成大脑
研究作用在物体上的力系与物体运动的关系，主要 是建立运动物体的力学模型，亦即建立描述受力物体运 动状态变化的数学方程，称为动力学问题的根本方程和 普遍定理。
工程动力学的研究对象是质点和质点系〔包括刚体〕， 因此动力学一般分为质点动力学和质点系动力学，前者是 后者的根底。
第7章 质点动力学
研究作用在质点 上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯 性与非惯性系下的运动微分方程和简单的振动问题。
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 其速度的大小和方向发 生了变化。如果这种变 化即可确定球与棒的相 互作用力。
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程动力学主要研究两类问题，一类是：物体的运动，确 定作用在物体上的力；另一类是：作用在物体上的力，确定物 体的运动。实际工程问题中多以这两类问题的交叉形式出现。 总之，工程动力学研究作用在物体上的力系与物体运动的关系。
maa F
aa ae ar aC
m(ae ar aC ) F
mar F mae maC
m ar F FIe FIC
FIe m ae－称为牵连惯性力(connected inertial force) FIC m aC 2mω vr
理论力学_动力学ppt课件
12 4 3
33
5. 回转半 径
z
Jz m
惯性半径(回转半径)
J z mρ 2
34
例题 3
已知： m ，R 。
求：角加速度
解：取圆轮为研究对象
J mgR O
JO
1 2
mR 2
mR 2
3 2
mR 2
解得： 2g
3R
FOy FOx
C O
mg
35
12.4 刚体的平面运动 微分方程
刚体平面运动 =
a. 常力 b. 变力
I Ft
dI Fdt
I 0t Fdt
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 N·s
15
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
dp d(mv) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 0t Fdt I
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi
i 1
13
根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC
O
C
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
vC
C
14
2冲量 力在作用时间上的累积效应——力的冲量
23
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO = LOA + LOB + LOC
(PPT幻灯片版)理论力学课件
F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
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57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
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12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
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46
理论力学
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47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正
第1章 牛顿力学基础(动力学部分).ppt
例1.8 光滑的水平面上放有A、B 两物体，如图所示。A、B 两
物体的质量分别为m1 和 m2，在如图所示的沿 x 向的水平力F
作用下，它们一起运动，求A、B 物体间的摩擦力。
y
N
A m1
B m2
F
x
解：根据牛顿第二定律
m1
F
m2
m1 m2 g
y 向： N (m1 m2 )g = 0 x 向： F =（m1 m2 )a
(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(4)是对的
*** 质点作半径为 R 的变速圆周运动时的加速度 大小为(v表示任一时刻质点的速率)
A d v v2
dt R
B
dv dt
2
v4 R2
1
2
C v2
R
D d v
dt
**** 质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为
可得共同水平加速度为
y
A m1
B m2
F
x
a= F
m1 m2
N
m1
fs
m1g
m1 受到和静摩擦力为
fs
=
m1a
=
m1
m1
F m2
方向向右
考虑 m2 受到的摩擦力及方向？
例1.9 在蒸汽机发展早期以及现在许多机器还在使用的机械 调速器原理如图所示。随着两球体 m 的转速不同,θ发生变化， 球体高度升高或降低。当转速超过一限制时，此装置可以使 动力阀门关闭；当转速过低时，使动力阀门打开，达到调速 的作用。当球体的转速为ω 时，求杆臂 l 与铅直向的夹角θ， 设 l 已知。
牛顿第二定律则研究质点在不等于零的合力作
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
理论力学ppt课件
(7-7)
9
3.常见的几种均质物体的转动惯量(见附录II)
应牢记！
y’
A
y Cm
l
z’ z
细直杆AB，C为杆的中点
B
x z轴和z’轴垂直于xy平面
J Cz
1 ml2 12
J Az
1 3
ml 2
10
y’ y
圆板，C为圆心,O为周边上的一点, z 轴和z’轴垂直于xy平面
O
R
z’ C z x
J Cz
1 mR2 2
J Oz
3 2
mR2
y
r
A z’
Cz
细圆环，r >>t ，C为圆环中心,A为环 t 上的一点, z轴和z’轴垂直于xy平面
x
JCz mr2
J Az 2mr2
其余情形可参考书后附录II的表
11
4.转动惯量的平行轴定理(计算刚体对任意轴的转动惯量)
对某刚体：建立平行的两个直角坐标系Oxyz 和CxC yC zC ,
则刚体对z轴的转动惯量Jz 为
Jz
m
2 z
(7-9)
13
7.刚体对某点的转动惯量矩阵
引入惯性积
Jxy
xydm
m
J yz
yz dm
m
J xz
xzdm
m
(7-10)
称它们为对相应二直角坐标轴的惯性积，也是表
征刚体在直角坐标系Oxyz中质量分布状况的一种
物理量。显然它们的值可正可负可为零。
理论力学 B
(10-1-j7a)
22/II
1
§7 动力学基础
刚体动力学研究的基本问题：
9
3.常见的几种均质物体的转动惯量(见附录II)
应牢记！
y’
A
y Cm
l
z’ z
细直杆AB，C为杆的中点
B
x z轴和z’轴垂直于xy平面
J Cz
1 ml2 12
J Az
1 3
ml 2
10
y’ y
圆板，C为圆心,O为周边上的一点, z 轴和z’轴垂直于xy平面
O
R
z’ C z x
J Cz
1 mR2 2
J Oz
3 2
mR2
y
r
A z’
Cz
细圆环，r >>t ，C为圆环中心,A为环 t 上的一点, z轴和z’轴垂直于xy平面
x
JCz mr2
J Az 2mr2
其余情形可参考书后附录II的表
11
4.转动惯量的平行轴定理(计算刚体对任意轴的转动惯量)
对某刚体：建立平行的两个直角坐标系Oxyz 和CxC yC zC ,
则刚体对z轴的转动惯量Jz 为
Jz
m
2 z
(7-9)
13
7.刚体对某点的转动惯量矩阵
引入惯性积
Jxy
xydm
m
J yz
yz dm
m
J xz
xzdm
m
(7-10)
称它们为对相应二直角坐标轴的惯性积，也是表
征刚体在直角坐标系Oxyz中质量分布状况的一种
物理量。显然它们的值可正可负可为零。
理论力学 B
(10-1-j7a)
22/II
1
§7 动力学基础
刚体动力学研究的基本问题：
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maF
第3定律（作用反作用定律）：两物体之间的作用力和反作 用力等值、反向，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。
8.1 质点运动微分方程
8.1.2 质点运动微分方程
当物体受若个力作用时，右端应为这若个力的合力。
即
m a F i F R
或
m
d2r dt2
Fi
8.1 质点运动微分方程
◆ 矢量形式 mr Fi(t,rr,)
F xm x m w2x
Fym ym w2y
力F的大小和方向余弦为
x F Fx2 Fy2
mw2 x2y2mw2r
cosFx x
cos Fy
y
Fr
Fr
若将力F表示为解析式，则
w w F F x i F yj m 2 (x i y j) m 2 r
如图所示。
8.2 质点动力学的两类基本问题
【例8-2】图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重 球A组成。杆长OA = l ，球的质量为m。求： （1）单摆的运动微分方程； （2）在小摆动假设下摆的运动； （3）在运动已知的情况下求杆对球的约束力。
x O
q
A
y
8.2 质点动力学的两类基本问题
【解】 （1）单摆的运动微分方程
x
O
摆球作圆弧运动，建立自然轴系
q
n FN
O'
s
y
s+ t
A mg
得单摆的运动微分方程： 杆对球的约束力：
对摆球作受力分析
根据：mdv dt
Fit
msmgsinq
mv2 Fin
m
s 2 l
FNmgcoqs
由于： slq sql sql
x
b2 c2
为椭圆方程。
将运动方程取两次微分
根据公式：mddt2r2 Fi
xbw2cowst w2x y cw2sinwt w2 y
得作用于质点上的力F的投影为
F xm x m w2x Fym ym w2y
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
y r
j Oi
【解】
F M
x
得作用于质点上的力F的投影为
动力学引言
动力学 (dynamics) 研究作用于物体上的力与运动之间的关系。
动力学研究模型：质点、质点系和刚体。
研究方法—演绎方法： 1) 根据研究对象和所研究的问题，经过合理的抽象和简化， 建立用于理论分析的模型。 2) 建立相关的基本概念。 3) 根据物质运动规律的有关定律和定理，应用数学分析与演 绎，导出与所研究的问题有关的定理或方程。
ar－质点的相对加速度 aC－质点的科氏加速度
8.3 质点的相对运动微分方程
m (aearaC)F m arF m aem aC
mar FF IeF IC
FIemae
ω F IC m a C 2 m v r
i
◆ 直角坐标形式 m x F ix m y F iy m z F iz
◆ 弧坐标形式
m s F it
m s 2
F in
0 F ib
8.2 质点动力学的两类基本问题
第1类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第2类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
8.2 质点动力学的两类基本问题
课程体系：矢量动力学与分析动力学
◆ 矢量动力学 ：在牛顿运动定律的基础上，以矢量 形式建立质点系的受力与各种运动量之间的关系。 ◆ 分析动力学 ：在力学的变分原理基础上，以功和 能概念 ，应用数学分析方法 ，建立描述质点系动力 学规律的方程。
动力学的两类问题
第1类问题：已知系统的运动，求作用在系统上的力。 第2类问题： 已知作用在系统上的力，求系统的运动。
【例8-1】图示质点 M 的质量为 m ，运动方程为 x = b coswt ， y = c sinwt，其中b，c，w为常量。求作用在此质点上的力。
y
y
M
x
O
x
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
【解】
运动方程
x bcoswt
y
csinwt
由运动方程消去时间 t ，得轨迹方程
y M
O
x
x2 y2 1
q gsinq 0
FNm l gcoqsmvl2
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （2）在小摆动假设下摆的运动 x
q gsi
小摆动时， siqnq
q g q 0
l
引入qwn2 wqn20gl
这是二阶线性齐次微分方程标准形式
其通解： qAsiw nnt()
y 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。
相对位矢r′
8.3 质点的相对运动微分方程
先研究质点在惯性参考系中的运动。
sa
z
M
r′－相对位矢
r´
F sr
F －作用在质点上的力
对质点M应用牛顿第2定律
maa F
O
y
根据加速度合成定理
aa aearaC
x
aa－质点的绝对加速度 ae－质点的牵连加速度
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律 8.1.2 质点运动微分方程
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律
第1定律（惯性定律）：任何质点若不受力作用，则将保持 原来静止或等速直线运动状态。
物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。 质量为物体惯性的度量。
第2定律（力与加速度关系定律） ：在力的作用下物体所获 得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比 ，方向与力的方向相同。即
待定常数A , 由初始条件q0 q0 确定 。
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （3）在运动已知的情况下求杆
x
对球的约束力
vsql
s+ t
A mg
FNmgcoqsmvl2
q q F N m cg o m s2 l
[讨论]
本题若采用直角坐标形式的微分方 程，有
m xFNsiqn
第08章 动力学基础 第09章 动量定理 第10章 动量矩定理与碰撞 第11章 动能定理与动力学普遍定理综合应用 第12章 达朗贝尔原理 第13章 虚位移原理与动力学普遍方程 第14章 单自由度系统的振动
第8章 动力学基础
8.1 质点运动微分方程 8.2 质点动力学的两类基本问题 8.3 质点的相对运动微分方程 8.4 质点系的基本惯性特征 ➢ 小结
m y mg F N co qs
8.3 质点的相对运动微分方程
z
O x
sa
M
r´
sr
惯性参考系－ O x y z
非惯性参考系(non-inertial reference
system) － Oxyz
绝对运动轨迹 sa－质点M 在惯性参考系中的运动轨迹
相对运动轨迹 sr－质点M在非 惯性参考系中的运动轨迹
第3定律（作用反作用定律）：两物体之间的作用力和反作 用力等值、反向，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。
8.1 质点运动微分方程
8.1.2 质点运动微分方程
当物体受若个力作用时，右端应为这若个力的合力。
即
m a F i F R
或
m
d2r dt2
Fi
8.1 质点运动微分方程
◆ 矢量形式 mr Fi(t,rr,)
F xm x m w2x
Fym ym w2y
力F的大小和方向余弦为
x F Fx2 Fy2
mw2 x2y2mw2r
cosFx x
cos Fy
y
Fr
Fr
若将力F表示为解析式，则
w w F F x i F yj m 2 (x i y j) m 2 r
如图所示。
8.2 质点动力学的两类基本问题
【例8-2】图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重 球A组成。杆长OA = l ，球的质量为m。求： （1）单摆的运动微分方程； （2）在小摆动假设下摆的运动； （3）在运动已知的情况下求杆对球的约束力。
x O
q
A
y
8.2 质点动力学的两类基本问题
【解】 （1）单摆的运动微分方程
x
O
摆球作圆弧运动，建立自然轴系
q
n FN
O'
s
y
s+ t
A mg
得单摆的运动微分方程： 杆对球的约束力：
对摆球作受力分析
根据：mdv dt
Fit
msmgsinq
mv2 Fin
m
s 2 l
FNmgcoqs
由于： slq sql sql
x
b2 c2
为椭圆方程。
将运动方程取两次微分
根据公式：mddt2r2 Fi
xbw2cowst w2x y cw2sinwt w2 y
得作用于质点上的力F的投影为
F xm x m w2x Fym ym w2y
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
y r
j Oi
【解】
F M
x
得作用于质点上的力F的投影为
动力学引言
动力学 (dynamics) 研究作用于物体上的力与运动之间的关系。
动力学研究模型：质点、质点系和刚体。
研究方法—演绎方法： 1) 根据研究对象和所研究的问题，经过合理的抽象和简化， 建立用于理论分析的模型。 2) 建立相关的基本概念。 3) 根据物质运动规律的有关定律和定理，应用数学分析与演 绎，导出与所研究的问题有关的定理或方程。
ar－质点的相对加速度 aC－质点的科氏加速度
8.3 质点的相对运动微分方程
m (aearaC)F m arF m aem aC
mar FF IeF IC
FIemae
ω F IC m a C 2 m v r
i
◆ 直角坐标形式 m x F ix m y F iy m z F iz
◆ 弧坐标形式
m s F it
m s 2
F in
0 F ib
8.2 质点动力学的两类基本问题
第1类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第2类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
8.2 质点动力学的两类基本问题
课程体系：矢量动力学与分析动力学
◆ 矢量动力学 ：在牛顿运动定律的基础上，以矢量 形式建立质点系的受力与各种运动量之间的关系。 ◆ 分析动力学 ：在力学的变分原理基础上，以功和 能概念 ，应用数学分析方法 ，建立描述质点系动力 学规律的方程。
动力学的两类问题
第1类问题：已知系统的运动，求作用在系统上的力。 第2类问题： 已知作用在系统上的力，求系统的运动。
【例8-1】图示质点 M 的质量为 m ，运动方程为 x = b coswt ， y = c sinwt，其中b，c，w为常量。求作用在此质点上的力。
y
y
M
x
O
x
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
【解】
运动方程
x bcoswt
y
csinwt
由运动方程消去时间 t ，得轨迹方程
y M
O
x
x2 y2 1
q gsinq 0
FNm l gcoqsmvl2
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （2）在小摆动假设下摆的运动 x
q gsi
小摆动时， siqnq
q g q 0
l
引入qwn2 wqn20gl
这是二阶线性齐次微分方程标准形式
其通解： qAsiw nnt()
y 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。
相对位矢r′
8.3 质点的相对运动微分方程
先研究质点在惯性参考系中的运动。
sa
z
M
r′－相对位矢
r´
F sr
F －作用在质点上的力
对质点M应用牛顿第2定律
maa F
O
y
根据加速度合成定理
aa aearaC
x
aa－质点的绝对加速度 ae－质点的牵连加速度
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律 8.1.2 质点运动微分方程
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律
第1定律（惯性定律）：任何质点若不受力作用，则将保持 原来静止或等速直线运动状态。
物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。 质量为物体惯性的度量。
第2定律（力与加速度关系定律） ：在力的作用下物体所获 得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比 ，方向与力的方向相同。即
待定常数A , 由初始条件q0 q0 确定 。
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （3）在运动已知的情况下求杆
x
对球的约束力
vsql
s+ t
A mg
FNmgcoqsmvl2
q q F N m cg o m s2 l
[讨论]
本题若采用直角坐标形式的微分方 程，有
m xFNsiqn
第08章 动力学基础 第09章 动量定理 第10章 动量矩定理与碰撞 第11章 动能定理与动力学普遍定理综合应用 第12章 达朗贝尔原理 第13章 虚位移原理与动力学普遍方程 第14章 单自由度系统的振动
第8章 动力学基础
8.1 质点运动微分方程 8.2 质点动力学的两类基本问题 8.3 质点的相对运动微分方程 8.4 质点系的基本惯性特征 ➢ 小结
m y mg F N co qs
8.3 质点的相对运动微分方程
z
O x
sa
M
r´
sr
惯性参考系－ O x y z
非惯性参考系(non-inertial reference
system) － Oxyz
绝对运动轨迹 sa－质点M 在惯性参考系中的运动轨迹
相对运动轨迹 sr－质点M在非 惯性参考系中的运动轨迹