初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲四点共圆(一)(学生)

初三数学寒假培优提高班讲义（1） -------- 圆（1）1、如图，。

0的半径是1 Ocm,弦AB的长是12cm, OC是00的半径HOC丄AB ,垂足为D, CD= __________________ c m.2、RtAABC, ZA二90° , AB二6, AC二8,以A为圆心，AB为半径的鬪交BC于D ,求弦BD的长。

3、在半径为5cm的圆内，冇两条平行弦长分別为6cm, 8cm,则这两条平行弦Z间的距离是多少？4、矩形&BCD中，AB=5, BC=12f如果分别以&、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆人的半径厂的取值范围是____________5、已知半径分别是27cm和10cm, 00丄与0。

2相交于久B两点，如果公共眩AB的长是16cm,求圆心距0i02的长.6、（2005年上海中考）已知：如图6,圆0是AABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD 上,E、F分别是边AC和BC的中点,求证：四边形CEDF是菱形.7、（2006年上海中考）木市新建的滴水湖是闘形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A , B, C三根木柱，使得A, BZI'可的距离与A , C之间的距离相等，并测得长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.8、（2008年上海屮考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其屮部分图形和数据看不清楚（如图7所示）.己知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图, 它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点.勾7（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；根据上述信息（图纸中/ =1:0.75是坡面（2）由于图纸中圆O的半径厂的值已看不清楚,CE的坡度），求厂的值.备用图9、（2004年上海中考）在厶ABC 中,Z BAC=90°z AB=AC=2^2，圆A 的半径为1,如图5所示, 若点0在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO=x,AAOC 的面积为y, （1）求y 关于x 的函 数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点0为圆心,B0氏为半径作圆0,求当圆0与圆A 相切时,AA0C 的面积.B O C压轴题练习1、（2008 年上海中考）已知 AB = 2, AD = 4, ZDAB = 90\ AD// BC （如图 13）. E 是射线BC ±的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点.（1） 设BE = x, ^ABM 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域;（2） 如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3） 联结BD,交线段AM 于点N,如杲以A, N, D 为顶点的三和形与ABME 相似, 求线段BE 的长.2.已知:在厶ABC 中,AB=AC f ZB=305, BC=6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC ±, DE=3, △DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N.图13（1）求证：HBDMs/\CEN；（2）当点M、/V分别在边助、CA上时,设BD二兀，△ABCMADEF重叠部分的面积为y , 求y 关于兀的函数解析式，并写出定义域.（3）是否存在点D,使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切，如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由. 匚。

第15课圆内接四边形目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识点01 圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01 圆内接四边形的性质的应用【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB ＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．分层提分题组A 基础过关练1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40°B．60°C．100°D．120°2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2C．D．44. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是．8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．题组B 能力提升练11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．C．180°﹣2m D．13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝°．14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝P A+PB，④若P A＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：P A+PB＝PC．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．题组C 培优拔尖练23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD（1）求证：AB＝CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．。

第十五讲：中心对称“带上路”，以美启真助突破
特殊图形（“好形”）的对称性研究一直是中考中容易做文章的题材，解题过程中注意对中心对称的积累和感悟……
如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1。

（1）求证：∠APE=∠CFP ；
（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，2
1S S y 。

①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范
围，并求出y 的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称
时，求y 的值。

问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
D B
P
D B C
A
①
②③。

课程名称：与圆有关的角的计算学生姓名年级九年级校区上课时间月日任课教师学管师: :学科数学课次第次课课时教学主题与圆有关的角的计算圆是重要的平面图形，与圆有关的角（圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等）是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现；有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力•其考点则主要聚焦在以下几个方面考点1求圆心角的度数例1如图1, 一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在圆上，边AB,AC分别与O O考点2 求圆周角的大小例2 （2017?重庆）如图3, BC是O O的直径，点A在圆上，连接AO,AC, AOB 64，则ACB交于点D, E，则DOE的度数为=(同步练习1（2017?兰州）如图2•在O O中，AB BC ,点D在O O上，CDB 25 ，则AOB)A.45°B.50C.55°D.60°考点4圆内接四边形的内角例4 （2017?南京）如图8,四边形ABCD 是菱形，O O 经过点A,C,D ，与BC 相交于点E ，连接AC,AE ，若 D 78，贝U EAC = _________________同步练习4 如图9,在圆内接四边形ABCD 中，若 A, B, C 的度数之比为 4:3:5，则 D 的度数是 _______________同步练习2 （2017?自贡）如图4, AB 是O O 的直径，PA 切O O 于点A,PO 交O O 于点C ，连接BC , 若 P 40，贝UB =() A.20°B.25°0.30°D.40考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例 3 （2017? 泰安 ）如图5, ABC 内接于O O ，若 A，贝U OBC =()A. 1802图5图6B. 2C. 90D. 90同步练习3（2017?扬州）如图7,已知O O 是 ABC 的外接圆，连接AO ，若40，则OAC考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5 （2017?湖州）如图10,已知，在ABC中，AB AC，以AB为直径作半圆O，交BC于D.若BAC 40，则A D的度数是度.同步练习5如图12, AB为o O的直径，C,D为o O上的点，A D C D，若CAB 40，则CAD =图12考点6与圆心角有关的弧长计算例6如图13,已知等边ABC的边长为6，以AB为直径的O O与边AC,BC分别交于D,E两点，贝y D E的长为.同步练习6如图15,在YABCD 中，AB 为O O 的直径，O O 与DC 相切于点E ，与AD 相交 于点F ,已知AB 12, C 60，则?E 的长为考点7与切线有关的夹角问题求证:直线DM 是O O 的切线.图16 图17同步练习7 (2017?福建)如图18,四边形ABCD 内接于O O , AB 是O O 的直径，点P 在CA的延长线上，例7如图16,点E 是 ABC 的内心, AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC 的外接圆O O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使 BDM DAC .CAD 45 .(1)若AB=4, 求CD 的长;(2)若BC A D , AD AP，求证:PD是O O的切线.图18考点8与其他知识结合的综合性问题例8 （2017?台州）如图19，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B,C重合）,PE是ABP的外接圆O O的直径.图19AT 是O O 的切线， ABT 50 , BT 交O（1）如图20,求 T 和 CDB 的大小； ⑵如图21,当BE BC 时，求 CDO 的大小.同步练习8（2017?天津）已知AB 是O O 的直径,。

四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB、CD两线段延长后相交于P。

且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。

（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。

ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB、CD两线段延长后相交于P。

且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。

（5）若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。

（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。

（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ，若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图，ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点，求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形A B C D 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，C B K DA M ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠oBCAC M K DABCQP P1ARCB例6 如图，ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ，G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3,连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ，P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米，求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证：CP BQ =CBQPAA例12在梯形A B C D 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中，AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ，已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证：H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠B A E ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠C DE B C D ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高，l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥，设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形A B C D 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB ∙=∙+∙例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。

四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。

二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。

2. 四点共圆的性质及其应用。

3. 运用四点共圆解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。

2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。

2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。

4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。

2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。

3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。

4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。

5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。

7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。

2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。

b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。

c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。

d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。

七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。

b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。

c. 教学内容的难易程度是否适合学生。

d. 课堂管理和学生提问的处理情况。

2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。

初三几何综合（二）之四点共圆一、等线段共端点1.如图，在四边形中，，，求的度数．2.如图，、分别切于、两点，满足，且，，求的度数．（1）（2）（3）3.在中，斜边的中点关于的对称点为点，将绕点顺时针旋转至，连接，，如图所示．在①，②，③中，等于旋转角的是 （填出满足条件的角的序号）．若，求的大小（用含的式子表示）．点是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．（1）（2）4.已知：，.将线段绕点逆时针旋转（）得到线段点关于直线的对称点为，连接，．①补全图形．②求的度数．若，，请写出求度数的思路．（可以不写出计算结果）（1）（2）（3）5.如图，在和中，，，，点在上，是线段的中点，连接、．图请你探究线段与之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）．将图中的绕点顺时针旋转，使的一边恰好与的边在同一条直线上（如图），连接，取的中点，问（）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图将图中的绕点顺时针旋转任意的角度（如图），连接，取的中点，问（）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图（1）12（2）6.在锐角中，，为边上的高，为中点．如图，过点作于点，连接．若，求的度数．图若为线段上的动点（点与点不重合），过点作于点，射线，交于点．依题意将图补全．图小宇通过观察、实验，提出猜想：在点运动的过程中，始终有．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：连接，要证，只需证．想法：设，，只需用，表示出，通过角度计算得．想法：在上取点，使，要证，只需证．请你参考上面的想法，帮助小宇证明．（一种方法即可）12（1）（2）7.是等边三角形，以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，连接交于点．如图：求证：垂直平分．点在的延长线上，点在线段上，且，连接，判断的形状，并加以证明．如图，点在的延长线上，点在线段上，且，补全图．求证：．（1）（2）12（3）8.在等边外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，，其中交直线于点．设，，．图图依题意补全图．若，直接写出和的度数．如图，若．判断，的数量关系并加以证明．请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）（1）（2）9.在正方形中，是一条对角线．点在射线上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作于点，连接，．若点在线段上，如图，①依题意补全图；②判断与的数量关系与位置关系并加以证明．A DCBP图A DCB备用图若点在线段的延长线上，且，正方形的边长为，请写出求长的思路．（1）（2）（3）10.在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，．如图，当，时，的大小为 ．图如图，当，时，求的大小．图已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小．二、直角三角形共斜边11.如图，、为的两条高，求证：、、、四点在同一圆上．12.如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为 度．13.如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒，点在量角器上对应的读数是 度．（1）（2）14.如图，为等腰直角三角形，点为动点，．如图(1)，为点在第一象限时，求．图如图(2)，为点在第四象限时，求．图（1）（2）15.小明遇到这样一个问题：如图，在锐角中，、、分别为的高，求证：．小明是这样思考问题的：如图，以为直径做半⊙，则点、在⊙上，，所以．图图请回答：若，则的度数是 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在锐角中，、、分别为的高，求证：．图A.B.C.D.16.如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为⊙上一动点，于．当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（ ）．xyO17.如图，、分别是正方形的边、的中点，、相交于，求证：．（1）（2）（3）18.在中，，，将绕点顺时针旋转（），得到，其中点的对应点是点，点的对应点是点，、相交于点，连接．如图，若，线段绕点旋转得到线段．请补全，并直接写出的度数．图如图，若，求的度数和的长．图如图，若旋转（），请直接写出的度数及的长（用含的代数式表示）．图12（1）（2）19.在边长为的正方形中，点是边上一点（点不与点，点重合），点关于直线的对称点为．如图，如果落在线段的延长线上，图求的度数．求线段的长度．如图，设直线与的交点为，求证：．图图（1）（2）（3）20.已知：点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合），连接．如图，当点在线段上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，．如图，当点在线段延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由．图若，直接写出的度数．（1）12（2）（3）21.如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．当正方形旋转至如图所示的位置时，直接写出与的数量关系为： ．如图，如果，，，请你补全图形．求点到的距离．当点在直线上时，连接，直接写出的度数 ．（1）（2）22.在中，，，于点，于点．如图，连接，点与点关于直线对称，连接、．依题意将图补全．小明通过观察、实验，提出猜想：．小明把这猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由且，联想到旋转，过点作交于点，要证，需证和．想法2：由，可知，联想到平移，在上取一点，使得， 连接，要证，需证≌．想法3：延长到点，使得，连接．要证，可以通过证明和相似，从而证得．请你参考上面的想法，帮助小明证明他的猜想．图一（1）图二（2）图三（3）23.如图一，在中，分别以，为直径在外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心．是边的中点，点和点分别为两个半圆圆弧的中点．连结，，，，，．证明：≌．如图二，过点分别作半圆和半圆的切线，交的延长线和的延长线于点和点，连结，若，，，求线段的长．如图三，过点作半圆的切线，交的延长线于点，过点作直线的垂线，交的延长线于点，连结．证明：是半圆的切线．（1）（2）（3）24.如图，，，，，连接，为的中点．如图，若、、三点共线，求的度数．图如图，若、、三点不共线，求证：．图如图，若点线段上，，，请直接写出的长度．图三、两等角在同侧25.如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，则的长 ．ABCDOP（1）（2）（3）26.如图，正方形的对角线相交于点，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于点，，且始终保持不变．求证：．求证：．请探索：在的旋转过程中，当等于多少度时，？写出你的探索结论，并加以证明．（1）（2）（3）27.回答下列问题：已知，为等边三角形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图①、②，试判断的形状，并证明．（请选择其中一个图形证明）已知，四边形是正方形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图③、④，试判断的形状，并证明．（请选择其中一个图形证明）已知，六边形是边长为的正六边形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图⑤、⑥，设，，请直接写出与函数关系式，并写出的取值范围．（1）（2）（3）28.如图，是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，将等边三角形绕点旋转，与所在的直线交于点．求证：≌．当绕点逆时针旋转过程中，若的度数是否会发生变化？若不变则求出的度数；若变化，请说明理由．若为直角三角形，求线段的长．A.点一定在射线上B.点一定在线段上C.点可以在射线上，也可以在线段上D.点可以在射线上，也可以在线段上29.如图，，，，四点共线，点是正三角形的边的中点，点是直线上异于，的一个动点，且满足，则（ ）．四、对角互补30.如图，已知在五边形中，，，且．求证：．A. B. C. D.31.如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①≌；②；③若，则；④与一定不垂直；⑤的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）．四边形A.个 B.个 C.个 D.个32.如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①≌；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）．（1）（2）（3）33.操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．图 图图如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理．（提示：考虑与之间的关系）图图由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．五、四点共圆求最值34.已知如图，平面直角坐标系中，，在轴上，，，点为轴上一动点，当最大时，点坐标为 ．A.B.C. D.35.如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，于点，于点，则线段的最小值为（ ）．36.如图，矩形中，，，点是边上一动点，为的中点，是上一点，且满足，连接，当点在上运动的过程中，长的最小值为 ．六、四点共圆与相似37.如图，和分别为的高，，则．A.B. C.D.38.如图，在中，，点是边上一动点，过点作的延长线于．若，，则的最大值为（ ）．39.如图，是等腰底边上一点，若，，求的值．A. B. C. D.40.在中，，为的中点，于，交于，已知，，则（ ）．（1）（2）（3）41.如图，在中，，为中点，为线段上的一个动点，于点．图求证：．如图，若平分，求的值．图如图，延长线交于点，若，，，直接写出的值．图图（1）图（2）42.如图，在中，点、、分别在、、上，且，．如图，当时，图中是否存在与相等的线段？若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．如图，当（其中）时，若，，求的长（用含，的式子表示）．。

四点共圆判断及其应用共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。

因此，掌握四点共圆的方法很重要。

定义法：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．角度关系法：①如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

②如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

③如果两三角形有公共底边，且同侧又有相等顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。

线段关系法：①相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

②割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

③托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD 是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。

例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。

已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。

例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。

例3：梯形ABCD 的两条对角线相交于点K ，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K 位于这两个圆之外，证明：由点K 向这两个圆所作的切线长度相等。

例4：如图，A 、B 为半圆O 上的任意两点，AC 、BD 垂直于直径EF ，BH ⊥OA ，求证：DH =AC .例5：如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线CC'及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高线BB'及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。

BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。