高三数学浙江专用二轮复习：专题五 函数和导数

第1讲 函数的图象与性质

[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，采用数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．

热点一 函数的性质及应用

1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

2．奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内：

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；

③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．

3．周期性

定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.

常见结论：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.

(2)若f(x＋a)＝1fx，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.

(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．

例1 (1)设函数f(x)＝cosπ2－πx＋x＋e2x2＋e2的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 018的值为( )

A．1 B．2 C．22 018 D．32 018

答案 A

解析 由已知x∈R，f(x)＝cosπ2－πx＋x＋e2x2＋e2

＝sin πx＋x2＋e2＋2exx2＋e2＝sin πx＋2exx2＋e2＋1，

令g(x)＝sin πx＋2exx2＋e2，易知g(x)为奇函数，

由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，

M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 018＝1，故选A.

(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.

答案 1－e

解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，

又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，

因为当x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，

所以f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋f(0)

＝－f(1)＋f(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e.

思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．

(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)

跟踪演练1 (1)(2018·浙江省“五校联考”)已知函数f(x)＝ |x－a2－1|＋a，x≥0，|x－a|＋2a－1，x<0的最小值为2a－1，则实数a的取值范围是( )

A．a＝1 B．0

C．a<0或a＝1 D．a<0或a≥1

答案 C

解析 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象(图略)，由图易得当a≥0时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a，在(－∞，0)上单调递减，当x→0(x<0)时，f(x)→3a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有a＝2a－1≤3a－1，解得a＝1；当－1≤a<0时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a，在(－∞，0)上的最小值为2a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有2a－1≤a，解得a≤1，所以－1≤a<0；当a<－1时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a2＋a－1，在(－∞，0)上的最小值为2a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有2a－1≤a2＋a－1，解得a≤0或a≥1，所以a<－1.综上所述，实数a的取值范围为a<0或a＝1，故选C.

(2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )

A．－50 B．0 C．2 D．50

答案 C

解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，

又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.

又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)

＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

故选C.

热点二 函数图象及应用

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为( )

答案 B

解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f(x)＝ex－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A.

当x＝1时，f(1)＝e－e－11＝e－1e>0，排除D.

又e>2，∴1e<12，∴e－1e>32，排除C.

故选B.

(2)函数f(x)＝ex＋ae－x与g(x)＝x2＋ax在同一坐标系内的图象不可能是( )

答案 C

解析 因为g(x)＝x2＋ax的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g(x)的图象，在选项C中，上面的图象是函数f(x)的图象，下面的是函数g(x)的图象，所以－a2>0，所以a<0，因为f′(x)＝ex－ae－x，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图象，故选C.

思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．

跟踪演练2 (1)函数f(x)＝sinlnx－1x＋1的图象大致为( )

答案 B

解析 由于x≠0，故排除A. f(－x)＝sinln－x－1－x＋1＝－f(x)，

又函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.

f(2)＝sinln13＝－sin(ln 3)<0，

排除D，故选B.

(2)函数f(x)＝|x|＋ax(a∈R)的图象不可能是( )

答案 C

解析 对于A，当a＝0时，f(x)＝|x|，且x≠0，故可能；对于B，当x>0且a>0时，f(x)＝x＋ax≥2 a，当且仅当x＝a时等号成立，当x<0且a>0时，f(x)＝－x＋ax在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D，当x<0且a<0时，f(x)＝－x＋ax≥2－x·ax＝2－a，当且仅当x＝－－a时等号成立，当x>0且a<0时，f(x)＝x＋ax在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C不可能．故选C.

热点三 基本初等函数的图象和性质

1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．

例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

答案 D

解析 令t＝2x＝3y＝5z， ∵x，y，z为正数，∴t>1.

则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.

∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3

＝lg tlg 9－lg 8lg 2×lg 3>0，∴2x>3y.

又∵2x－5z＝2lg tlg 2－5lg tlg 5＝lg t2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5

＝lg tlg 25－lg 32lg 2×lg 5<0，∴2x<5z，

∴3y<2x<5z.故选D.

(2)已知函数f(x)＝ ax，x<0，a－3x＋4a，x≥0满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2<0成立，则a的取值范围是( )

A.0，14 B．(1,2]

C．(1,3) D.12，1

答案 A

解析 由fx1－fx2x1－x2<0，得f(x)是减函数，

即 0

思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力．

(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．

跟踪演练3 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)设a＝131log,2b＝132log,3c＝log343，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

C．b

答案 B