1 最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数与最小公倍数的应用比较
在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）
1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？
分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）
或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）
2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？
分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长
（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形
翔宇小学生俱乐部五年级奥数培优（专项练习）
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第五讲 最大公因数与最小公倍数 （教师版）
理论部分
典型例题与练习
例1、437与323的最大公约数是多少？
基本概念：
1、公约数和最大公约数
几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…
18的倍数有18，36，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和
18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法
A．最大公约数
求两个数的最大公约数一般有以下几种方法
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）辗转相除法
（4）小数缩倍法
（5）公式法
前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B．最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：
（1）分解质因数法
小学最大公约数与最小公倍数
在小学数学中，最大公约数和最小公倍数是基础但重要的概念。它们在解决数学问题、简化分数、约分等方面都起到了重要作用。本文将深入讨论小学阶段学生需要了解和应用的最大公约数和最小公倍数的概念、求法以及实际应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor）
最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除这些数的最大的正整数。求解最大公约数常用的方法有因式分解法、列举法和辗转相除法。
1. 因式分解法
使用因式分解法求解最大公约数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的公因子，最后再将这些公因子相乘即可得到最大公约数。
例如，对于数26和39，我们可以进行因式分解得到：
26 = 2 × 13
39 = 3 × 13
由此可见，26和39的最大公约数为13。
2. 列举法
列举法是一种直观简单的方法，它通过列举数的所有因数，找出两个数的公因数，再从中选取最大的那个数作为最大公约数。 以12和16为例，我们列举出它们的因数如下：
12的因数有：1、2、3、4、6、12
16的因数有：1、2、4、8、16
可以看到，12和16的公因数有1、2、4，则最大公约数为4。
3. 辗转相除法
辗转相除法，也叫欧几里得算法，通过一系列的除法运算，最终将两个数的余数为零的一步的除数作为最大公约数。
以56和32为例，我们可以使用辗转相除法求解最大公约数：
56 ÷ 32 = 1...24
32 ÷ 24 = 1...8
24 ÷ 8 = 3
此时余数为零，所以最大公约数为8。
二、最小公倍数（Least Common Multiple）
最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被这些数整除的最小的正整数。求解最小公倍数常用的方法有因式分解法、列举法和倍数相乘法。
1. 因式分解法 使用因式分解法求解最小公倍数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的所有因子，最后再将这些因子相乘即可得到最小公倍数。
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1 五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（１）
1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？
3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。
4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？
5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？
6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。
7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，
8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。
9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。
10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？
11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？
12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？ 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
2 五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（２）
13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？
15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
