2006年高考试题与答案-全国卷2数学理
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2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P (A+B) =P (A) +P （B） 24RS
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P （A·B） = P （A）·P （B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 234RV
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
knkknnPPCkP)1()(
本卷共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
（1）已知集合|1log|||,3||2xxNxxM，则NM
(A）φ （B)|30||xx
（C)|31||xx （D）|32||xx
（2）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C）4 （D）2
（3）2)1(3i
（A）i23 (B）i23 （C）i （D）－i
(4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A）163 （B）169 （C)83 （D)329
(5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆1322yx，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是
（A）32 （B）6 （C）34 （D)12
（6）函数)0(1lnxxy的反函数为
2 (A）)(1Rxeyx （B）)(1Rxeyx
（C))1(1xeyx （D）)1(1xeyx
（7）如图,平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β
所成的角分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂
线，垂足为‘、BA'，则AB:‘BA'=
（A)2：1 （B）3:1
（C)3:2 （D）4：3
（8）函数)(xfy的图像与函数)0(log)(2xxxg的图像关于原点对称，则)(xf的表达式为
（A）)0(log1)(2xxxf （B）)0()(log1)(2xxxf
（C))0(log)(2xxxf （D）)0)((log)(2xxxf
（9)已知双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy34，则双曲线的离心率为
（A）35 （B）34 (C）45 (D)23
（10）若)(cos,2cos3)(sinxfxxf则
（A）x2cos3 （B）3x2sin
（C）x2cos3 （D）x2sin3
（11）设nS是等差数列na的前n项和,若3163SS，则126SS
（A）103 （B）31 （C）81 （D）91
(12）函数191)(nnxxf的最小值为
(A）190 （B）171 （C)90 （D）45
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项:
本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上.答在试卷上的答案无效
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上。
3 （13)在104)1(xx的展开式中常数项是 。（用数字作答）
(14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4，则边BC上的中线AD的长为 。
（15)过点(1，2）的直线l将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= .
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000)（元）月收入段应抽出 人。
三、解答题:本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分12分）
已知向量.22),cos,1()1,(sinba
(Ⅰ）若,ba求;
（Ⅱ）求ba的最大值。
（18）（本小题满分12分)
4 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数,求的分布列及的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
(Ⅱ）设AA1=AC=,2AB求二面角A1－AD－C1的大小。
5
(20）(本小题满分12分）
设函数).1(ln)1()(xxxf若对所有的x≥0，都有)(xf≥ax成立.求实数a的取
值范围。
（21)(本小题满分14分)
6 已知抛物线yx42的焦点为BAF,,是抛物线上的两动点，且).0(FBAF
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（Ⅰ）证明ABFM为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出)(fS的表达式,并求S的最小值。
（22）(本小题满分12分）
7 设数列na的前n项和为nS,且方程
02nnaxax
有一根为.,3,2,1,1nSn
（Ⅰ）求;,21aa
（Ⅱ)求na的通项公式。
2006的普通高等学校招生全国统一考试
8 理科数学试题（必修+选修II）参考答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分。
一．选择题
（1）D （2）D （3）A (4）A (5)C （6）B
（7)A （8)D （9）A （10）C （11）A （12）C
二．填空题
（13）45 (14）3 （5）22 （6)25
三、解答题
（17）解：
(I)若ba，则,0cossin ………………2分
由此得)22(1tan，
所以4; ………………4分
（II）由)cos,1(),1,(sinba得
)cos(sin23)cos1()1(sin||22ba
)4sin(223………………10分
当||,1)4sin(ba时取得最大值，即当4时，||ba的最大值为12.
………12分
（18)解:
(I）ξ可能的取值为0，1,2，3.
9
,5015)2(,2512)1(,50910018)0(25222524251223251425121525242523251425232524CCCCCCCCCPCCCCCCCCCPCCCCP
.251)3(25222514CCCCP …………8分
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 509 2512 5015 251
（II)所求的概率为.50172515015)3()2()2(PPPp…………12分
（19）解法一：
（I）设O为AC中点，连结EO,BO，则EO 21C1C,又C1C 21B1B. 所以EO DB,
EOBD为平行四边形，ED∥OB. …………2分
∵AB=BC，∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABD，故BC⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。……6分
（II）连结A1E. 由AA1=AG=2AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1. 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，
∴A1E⊥平面ADC1。 作EF⊥AD，垂足为F,连结A1F，则A1F⊥AD，
∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角.
不妨设AA1=2，
则AC=2，AB=2。 ED=OB=1，EF=32ADEDAE，tan∠A1FE=31EFEA，
∴∠A1FE=60°.
所以二面角A1—AD—C1为60°.………………12分
解法二:
（I）如图，建立直角坐标系O—xyz,其中原点O为AC的中点.
设).2,,0(),0,,0(),0,0,(1cbBbBaA
则).,,0(),,0,0(),2,0,(),0,0,(1cbDcEcaCaC………3分
,,0).2,0,0(),0,,0(111BBEDBBEDcBBbED ∥ = ∥ = ∥ =
