数学抽象概括能力的培养

数学概念和原理是从客观事物中抽象概括出来的，抽象概括能力是基本的也是核心的数学能力。因此，在小学数学教学中，我们应当把概念和原理的教学过程变成引导学生抽象概括的学习过程，指导学生学会抽象概括的思维方法，使学生不仅深刻理解和正确掌握抽象概括的数学概念和原理，并且从中培养抽象概括能力，进而提高数学能力和数学素养。

抽象和概括是形成概念的思维过程和科学方法。抽象，是认识事物属性过程中抛弃那些个别的、偶然的因素和非本质的属性，抽出那些一般的、必然的、本质的属性。概括，则是在认识事物属性的过程中，把研究这部分事物所得到的一般的、本质的属性联结起来，并推广到同类全体事物。抽象概括实际上是一个求同、分类、转换、提炼的过程。要培养学生的数学抽象概括能力，就必须在数学教学中重视和加强抽象概括过程的教学，教会学生有关的具体的思维方法，培养学生的求同、分类、转换、提炼的能力。

一、培养求同能力

所谓求同，就是发现和抽取事物共同属性。教学中，我们应当加强求同方法的指导，努力培养学生的求同能力。

1、提取大量材料，发现共同属性。教学中应尽量为学生提供有代表性的事物，让学生通过观察、比较，善于从诸多事物中发现它们的共同属性，进而形成正确的概念。教学中要注意两点：一是力戒一例一结，不要仅举一个例子就总结出一个结论，而应尽量多举几个有代表性的例子，让学生充分发现其共同属性再下结论。例如，教学三角形概念，应呈现形状、大小、位置等不同的三角形（包括锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形、全等三角形），让学生充分观察，从中发现其共同的属性，形成深刻的表象。二是力避一展就收，不要一展示出事物的本质属性，马上就下结论，而应让其本质属性充分展示出来，甚至要故意夸张，让学生充分感知，再下结论，这样才能水到渠成。例如，教学乘法的认识，不宜仅从三个数连加计算就讲乘法意义，而应再举几个相同加数多的连加题目让学生计算，从乘法算式短、计算步数少这个事实中，切实体会乘法是加法的简便计算，因为相同加数越多，乘法的简便性才能体现得越充分。

2、调动多种感官，感知共同属性。教学中要引导学生运用多种手段，调动多种感官，从多方面充分感知事物的共同属性，以形成正确的概念。例如，教学“线段”这个概念，既要让学生用眼观察两手拉紧的线和课本、课桌、黑板的边线，看的时候要注意从它的一端沿着线或边线看到另一端；又要用手摸一摸这些边线，同样摸的时候也要从它的一端摸到另一端，让学生通过触摸感知它的“直”；还要让学生折纸，摸摸它的折痕，用手沿着直尺的边画一条线。这样，让学生通过眼和手，充分感知线段的“直”和“长度有限”的这两个共同属性。又如，教学体积单位，为了让学生正确形成概念，不仅要让学生观察边长是1厘米的正方体的大小，让学生举例说出生活里所见到的体积接近1立方厘米的物体，还可让学生用橡皮泥捏一个1立方厘米的小正方体，帮助学生正确、清晰地建立1立方厘米的概念。

3、运用变式手段，捕捉共同属性。在几何概念教学中，小学生往往对标准位置图形的共同属性容易接受，而对处于非标准位置图形的共同属性不易发觉，不易承认。因此，教学中应注意运用变式手法，使学生能从图形的千姿百态中找出其共同属性。例如，教学垂线这个概念，应让学生观察

等图形，从中发现，尽管位置各不相同，但两条直线相交成90°角这个属性是相同的，防止学生产生只有铅直线和水平线相交才是互相垂直的错觉，避免出现缩小概念内涵和概念外延的错误。

二、培养分类能力

所谓分类，就是把具有同类属性的事物放在一起，或者是把同一类事物再分成各有其共同属性的几类。教学中应当加强分类方法指导，注意培养学生的分类能力。

1、去伪存真，抓住本质。教学数学概念，教师要善于引导学生区别事物的本质属性与非本质属性。教学时要有意地将貌似相同、实质不同的图式放在一起，让学生区分出来。例如，教学角的初步认识，可出示下列图形：

让学生抓住两条直的线相交于一点这个本质属性，排除角的大小、位置、边的长短等非本质属性，正确地找出角，引导学生正确地初步地形成角的概念。

2、细找差异，科学分类。教学数学概念，教师要善于引导学生区分同一属性的事物的几种情况。同一属性事物往往又有不同的个性 ，不同个性又有可能呈现新的属性。例如，教学三角形分类，可以将事先准备好的写有不同度数的三角形发给学生，让他们先写出每个三角形内角分别是什么角（锐角、直角、钝角），接着再将同一种情况放在一起，引导学生发现：按角的大小分，有三种情况：（1）三个角都是锐角的；（2）其中有一个角是直角的； （3）其中有一个角是钝角的。进而认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3、全面排查，剔除个别。教学数学概念，教师要善于引导学生全面排查，发现个别特殊情况。在研究部分事物本质属性时，在将其推广到同类全体事物时，要注意严谨、全面，观察和思考有无特殊情况，如有特殊情况，应当剔除，这样才能使概念准确、严密。例如，教学除法、分数、比的时候，要引导学生讨论是不是所有的自然数都能做除数，做分母，做比的后项。通过讨论，发现0不适合，必须将这个情况剔除在外，进而在概括商不变性质、分数基本性质、比的基本性质时必须补上“0除外”这个括注。

三、培养转换能力

所谓转换，就是在抽象概括过程中，要善于把客观世界的实际问题转换成数学问题，再将数学问题转换成概念定义，使之符号化、图式化、公式化。教学中应着力加强转换方法的指导，注意培养学生的转换能力。

1、剥离实际问题，转为数学问题。数学源于现实世界，数学高于现实世界。教师在引导学生找出某一类事物的共同特征、即本质属性之后，要善于将其本质属性从具体的事物或实际问题里剥离出来，放置到一般角度来看待，用比较抽象的数学语言来描述，使之转换成数学问题。。例如，教学角的初步认识，让学生在观察 红领巾、三角尺等实物的角，观察钟面上时针与分针动态形成的角，动手操作活动角的基础上，形成角的表象，再要求学生闭着眼睛想一想，我们看到的这些大小不同、形态有异的角，它们都有共同的地方，如果把它画出来是什么样子呢？这样教，有利于学生将生活里的角抽象成数学角。又如，教学同分母分数加法，也可以由图形的合并转换成加法运算。

2、浓缩数学问题，转为概念原理。数学概念、数学原理是从同一类数学问题中抽象概栝出来的。教师在引导学生分析、研究同一类数学问题时，要善于将数学问题进一步浓缩，突出和抓住数学问题的最基本的共同特征和本质属性，用更为概栝、抽象、简洁的数学语言表达出来，使之转换成数学概念或数学原理。例如，认识分数，先从平均分一个蛋糕、一张长方形纸等，初步抽象概栝出“把一个物体平均分成几份，表示这样一份或几份的数，可以用分数来表示。”再从平均分一盘桃、一盒球等，、抽象概栝出“把一些物体平均分成几份，表示示这样一份或几份的数，可以用分数来表示。”最后。进一步抽象概栝出“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的 一份或几份的数，叫做分数 。”不断扩大分数的内涵和外延，使分数的意义进一步深化，分数的概念更加抽象、概括。

3、简化数学原理，转为数学公式。用字母和符号表达的数学公式比用语言文字叙述的数学原理更概栝、更抽象、更简洁，并且更具有工具性，应用起来更方便。教师在教学中要善于引导学生从现实世界和数学问题中概栝、抽象出数量关系和变化规律，不仅能用数学语言来表达，而且能及时进行符号化处理，使之转换为数学公式。例如，乘法结合律、分配律，用文字叙述比较麻烦，而用字母ｃ、ｂ、ｃ表示不同的乘数，这两个运算律分别可写成ａ×ｂ×ｃ=ａ×（ｂ×ｃ）、ａ×（ｂ+ｃ）=ａ×ｂ+ａ×ｃ，这样既简洁，又一目了然。又如，在概括长方体体积=长×宽×高，转换成字母公式ｖ=ａｂｈ，还可引导学生将ａ×ｂ转换成ｓ（底面积），再将这个公式进一步抽象概括成ｖ=ｓｈ。这样做，不仅可以将长方体、正方体体积公式进一步抽象概括，统一为一个公式，而且又为今后学习圆柱体体积计算公式作好铺垫。

四、培养提炼能力

数学概念、原理是极其抽象概括的。要形成概念、揭示原理，把研究部分事物所得到的结论，整理推广到同类全体事物，就必须在积累感性认识、掌握本质属性的基础上，及时引导学生用准确、完整、简洁、严密的语言或公式来表达。

1、运用问题法，培养概括的逻辑性。数学概念具有一定的逻辑结构和顺序。给概念下定义，通常用属加种差的方法。一般是先找到它邻近的属，再找到其特有的种差。例如，教学平行四边形，可设计这样三个问题引导学生思考：（1）这样的图形是几边形？（2）对边怎样的四边形？（3）有几组对边分别平行？在此基础上，引导学生把这些结论加起来，用准确的数学语言概括归纳出平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

种差 + 属 = 被定义者

通过这样提问，引导学生逻辑思考，准确地概括出平行四边形的定义。 2、运用填空法，培养概括的完整性。有些概念用语言表达，句子较长，对小学生来说，确有难度。教学时，我们可以只要求学生能够理解，如要用语言完整表达，可运用填空练习，让学生填写部分关键词语。例如，教学乘法分配律，可让学生填空：两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数（ ）相乘，再把两个积（ ），叫做乘法分配律。这样做，既减少了冗长的叙述，降低了学生概括的难

度，又突出运算方法的变化，加深了学生对公式的理解。

3、运用合并法，培养概括的简洁性。有些概念、原理，是由两个或两个以上方面概括而成的，教学时，可先逐一叙述，然后再引导学生将其合并起来，成为一个既能全面概括，又是语言简洁的定义。例如，教学两位数笔算加法，结合加法竖式，先概括为个位上的数和个位上的数对齐，十位上的数和十位上的数对齐，再由这两句概括为“相同数位上的数对齐”一句。这样做，既有利于理解意义，又方便语言叙述。又如，教学商不变性质，可引导学生分别概括出“在除法里，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变。”“在除法里，被除数和除数同时缩小相同的倍数，商不变。”然后将此两句合并为一句：“在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。”这样，不仅使学生深刻理解意义，而且概括出来的语言简洁。

4、运用选词法，培养概括的准确性。数学概念要准确，叙述的语言就必须准确。在引导学生概括时，要通过相近词的选用，帮助学生用词准确，培养学生思维的严密性。例如，教学三角形概念，引导学生概括、揭示概念时，可这样板书：有由三条线段（ ）成的图形，叫做三角形。让学生从“组”、“围”、“拼”三个词中选填一个。这样做，既能准确概括，又能帮助学生学会推敲，养成用词谨慎的态度。又如，教学小数的性质，引导学生概括、揭示概念时，可这样板书：小数的（ ）添上或去掉“0”，小数的大小不变。让学生从“后面”、“末尾”、“最后”三个词中选填一个，使学生正确地理解概念的意义，体会用词的准确性。

5、运用反例法，培养概括的严密性。许多数学概念都是有条件限制的，而小学生概括概念时往往疏忽有关条件，说出诸如“两条不相交的直线叫做平行线。”“直径是半径的两倍。”“圆锥体积是圆柱体积的1/3。”等错误判断来。因此，教学时必须适时举出反例，提醒学生在概括时加上必要的限制条件。如，教学平行线，可以举出学生熟悉的两条异面直线不相交的例子，说明“在同一平面内”的条件不可缺少。教学圆的直径与半径的关系，可以用一大一小两个不同圆的直径和半径作比较，说明“在同一个圆里”的条件必不可少。教学圆锥体积，可以用非等底等高的圆锥和圆柱形的器皿做装沙实验来比较，让学生关注“等底等高”这个必要条件，提高概括的严密性。