勾股定理培优题精讲

精心整理第1讲勾股定理(逆定理)知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c222个定理叫做勾股定理的逆定理.①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（12、四边形ABCD中，∠B=90°，，AD=13，求四边形ABCD的面积。

3S1、S2、S3，则它们之A.S1-S2=SC.S2+S3<S4、在直线l（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．3、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

S3S2S14、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m C、482c m B、3626、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．1、A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，2、若线段a，b，cA、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶3、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠②△③△4：5；④△8，15，17．A．1个4个4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A ．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。

勾股定理专题一、勾股定理与逆定理【例1】【巩固】.△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是_________ A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．三角形边长分别是2n +1、2n 2+2n 、2n 2+2n +1（n 是正整数），则此三角形是RT △D ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形【例2】三角形。

则该三角形为满足的三边若______,264210338,,ABC 222c b a c b a c b a ++=+++∆【巩固】【例3】已知直角三角形的三边长为5、12、x ，则x 2＝ ．【巩固】【例4】在△ABC中，若a2＝b2﹣c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2﹣c2，则∠B是．【巩固】二、面积与勾股【例1】如果等腰三角形的两条边的比是1：2，周长是40cm，那么这等腰三角形底边上的高是cm．【巩固1】等腰三角形的其中两边之比为2:3，底边长为6，则其面积为．【巩固2】若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和2cm，则它的面积是cm2．【例2】如图，大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为．【巩固1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．（1）求△ABC的面积。

（2）求点A到BC的距离。

【巩固2】【例3】分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，AC＝2，BC＝3，那么以AB为直径的半圆面积为．【巩固1】【巩固2】三、折叠与勾股【例1】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．【巩固1】【巩固2】四、旋转与勾股【例1】【巩固1】【巩固2】【巩固3】五、线段和最值问题【例1】如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）（2）最低费用为多少？【巩固】如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．【例2】【巩固】的最小值？，求，连接于上任意一点，是，点，，于点，中，在PEBPBPEACPEAD3DC32ABDBCAD45ABC2+⊥= =⊥=∠∆︒P ABC六、勾股与K型全等【例1】90，AB =BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线【巩固】如图，已知△ABC中，∠ABC=︒，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则AC的长是________七、综合【例1.中点的妙用】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．（1）说明DC=DG；（2）若DG=7，EC=4，求DE的长．【巩固】【例2】【例3】【例4】。

八年级数学培优专题讲解《勾股定理》【培优图解】【技法透析】勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和证明等．2．勾股数的推算公式①若任取两个正整数m、n(m>n)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一组勾股数．②如果k是大于1的奇数，那么k，212k-，212k+是一组勾股数．③如果k是大于2的偶数，那么k，212k⎛⎫-⎪⎝⎭，212k⎛⎫+⎪⎝⎭是一组勾股数，④如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc(n是正整数)也是勾股数．3．创设勾股定理运用条件当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．【名题精讲】考点1运用勾股定理解有关＂折叠＂问题例1 如图，折叠长方形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC ＝10 cm，求EC的长．【切题技巧】由图形易知△ADF≌△AFE，从而AD＝AF，DE＝EF．先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的长．【规范解答】【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用．【同类拓展】1．把一张长方形纸片(长方形ABCD)按如图17－2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是_______cm2．考点2运用勾股定理的逆定理求角度例2 如图，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形内部，试求∠APB的度数．【切题技巧】【规范解答】【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形．能够使用旋转法的条件是旋转后的图形与原图形有边相等能够重合．2．如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数．考点3求立体图形中的两点之间的最短距离例3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B'点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm．【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解．【规范解答】【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、正方体、圆柱、圆锥等．在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置．同时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案．【同类拓展】3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和lcm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少？考点4勾股定理反其逆定理的综合运用例4 如图所示，正方形ABCD中，E是AD中点，点F在DC上，且DF＝14 DC，试判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与EF垂直的直观印象．若直接证明BE与EF 垂直，则十分困难．若连接BF，设DF＝a，利用勾股定理及其逆定理证明△BEF为直角三角形，得到BE⊥EF．【规范解答】BF和EF的位置关系是：BE⊥EF．【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，两者相辅相成．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：BD2＝AB2＋BC2．考点5 勾股定理在实际问题中应用例5 如图 (1)，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持4米，从A 处往B 处，经过两座桥：DD'、EE'．设护城河是东西——南北方向的，A 、B 在东西向相距64米，南北方向相距84米，恰当地架河可使AD 、D'E'、EB 的路程最短，这个最短距离是_______米．【切题技巧】 要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解．【规范解答】 如图(2)，作AA'⊥CD ，AA'＝DD'，BB'⊥CE ，BB'＝EE'，则折线ADD'E'EB 的长度等于折线AA ，D'E'B'B 的长度，即等于折线A'D'E'B'的长度＋AA'＋BB'．而折线A'D'E'B'以线段A'B'最短，故题目所求最短路程S ＝A'B'＋8，而A'、B'在东西方向上相距为64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）由勾股定理可知，A'B'＝226080+＝100(米)，S ＝108（米）【借题发挥】 实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定理计算求解．5．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大约为_______cm ．（精确到个位，参考数据：2＝1.4，3＝1.7，5＝2.2）．考点6 勾股定理与函数的综合问题例6 如图①，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝4x 与直线y ＝4x 交于点A 、B ．(1)求AB 的长．(2)若点P 是第一象限双曲线上一动点，如图②所示，BC ⊥AP 于点C ，交x轴于点F ，AP 交y 轴于点E ，试判断222AE BF EF +的值是否为定值？并加以证明．【切题技巧】(1)因为A、B为双曲线与直线的交点，所以只需将两个已知函数的解析式成方程组，它们的解即交点A、B的坐标．(2)从结论222AE BFEF入手，联想勾股定理，通过作辅助线将AE、BF、EF这三条线段转移到同一直角三角形中．【规范解答】【借题发挥】(1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角三角形中则应添加辅助线，将分散的线段集中在同一直角三角形中，本题还可以过点B作BN∥AE交y轴于点N，将三条线段收集在Rt△BNF中，如图17－11③所示．(2)利用“中点”能构成多种辅助线，要根据题目的需要进行构造．【同类拓展】6．已知△OMN中，OM＝ON，∠MON＝90°，点B为MN的延长线上一点，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于点A．(1)如图①所示，①求证：∠CMB＝90°；②求证：AM2＋BN2＝AB2；(2)如图②，在条件(1)上，过A作AE⊥OM于E，过B作BF⊥ON于F，EA、BF的延长线交于点P，则PA、AE、BF之间的数量关系为_______；△AME、△PAB、△BFN 的面积之间的关系为_______．(3)如图③，在条件(2)下，分别以OM、ON为x轴和y轴建立坐标系，双曲线y＝kx经过点P，若MN＝2，求k的值．参考答案1.5.12.150°3.13cm4.略5.26.(1)略(2)(2)AE2+BF2=PA2. S△AME+S△BFN=S△PAB .一年级下学期月考测试题一、我比电脑算得快。

一、选择题1．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （ ）A ．5B ．8C ．13D ．4．83．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm4．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=1，则AB 的长是（ ）A ．2B ． 23C ． 43D ．46．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ）A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=57．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm8．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M ，以点B 为中心顺时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，当△ABC 为直角三角形时AB 的长是（ ）A ．3B ．5C ．4或5D ．3或519．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===10．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．3B ．154C ．5D ．152二、填空题11．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．13．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.14．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.15．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．16．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC的形状为___________17．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则22MNBM的值为______________．18．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．19．如图，直线423y x=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将ABC∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.三、解答题21．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 25．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．28．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．【详解】连接CF，交DE于点P，如下图所示结论①错误，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AFC ≌△BFC ，△AFD ≌△CFE ，△CFD ≌△BFE ． 由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB ，易得△AFC ≌△BFC ． ∵FC ⊥AB ，FD ⊥FE ， ∴∠AFD=∠CFE ． ∴△AFD ≌△CFE （ASA ）． 同理可证：△CFD ≌△BFE ． 结论②正确，理由如下： ∵△AFD ≌△CFE ， ∴S △AFD =S △CFE ，∴S 四边形CDFE =S △CFD +S △CFE =S △CFD +S △AFD =S △AFC =12S △ABC ， 即△ABC 的面积等于四边形CDFE 的面积的2倍． 结论③错误，理由如下： ∵△AFD ≌△CFE ， ∴CE=AD ，∴2FA ． 结论④正确，理由如下： ∵△AFD ≌△CFE ， ∴AD=CE ； ∵△CFD ≌△BFE ， ∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CD CE DE +=， ∴222AD BE DE += ． 故选B ． 【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．2．D解析：D 【分析】过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，根据等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出CH ，再利用ABCACDBCD SSS=+即可求出答案.【详解】如图，过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，∵AC=BC ，CH ⊥AB ，AB=8，∴AH=BH=4，∵AC=5， ∴2222543CH AC AH =-=-=, ∵ABC ACD BCD S S S =+， ∴111222AB CH AC DE BC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, ∴1118355222DE DF ⨯⨯=⨯+⨯, ∴DE+DF=4.8，故选：D.【点睛】此题考查等腰三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意得到ABC ACD BCD S S S =+的思路是解题的关键，依此作辅助线解决问题. 3．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，12OA AC =，12OB BD =，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.【详解】 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯= 根据勾股定理得，2222345cm AB OA OB +=+= ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.4．A解析：A【分析】作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；△DEF 是等腰直角三角形DE=2DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值42，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积．【详解】连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴22当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8，则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.5．B解析：B【分析】根据30°直角三角形的性质，求出∠ABC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CBD=30°，再根据30°角所对的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可.【详解】如图∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=12×60°=30°， ∵CD=1，∠CDB=30°∴BD=2 根据勾股定理可得BC=2222=21=3BD CD --∵∠A=30° ∴AB=23故选B.【点睛】此题主要考查了30°角直角三角形的性质的应用，关键是根据题意画出图形，再利用30°角所对直角边等于斜边的一半求解.6．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、222325+≠，故错误； B 、2221233+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.7．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm ，FC=18-2=16cm ，再利用勾股定理计算出SF 长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF 的长，由勾股定理，SF 2=SC 2+FC 2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm ，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．8．C解析：C【分析】设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，设AB ＝x ，BC ＝9－x ，由三角形两边之和大于第三边得：3939x x x x +-⎧⎨+-⎩＞＞， 解得3＜x ＜6，①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，∴x ＝5或x ＝4；故选C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．10．B解析：B【分析】首先根据题意得到BE=DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设ED=x ，则AE=6-x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ；由题意得：∠EBD=∠DBC ，∴∠EDB=∠EBD ，∴EB=ED=x ；由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6-x ）2，解得：x=154， ∴ED=154． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．二、填空题11 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝ABC 113ABB BCB S S ==B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ＝2n ． 【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴BA ＝AC ，∵BB 1是△ABC 的高，∴AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理得：BB 1=；∴△ABC 的面积是12×1=；∴1112ABB BCB SS ==⨯，12=×1×B 1B 2，B 1B 2，由勾股定理得：BB 234=， ∵11221ABB BB B AB B S S S =+，2313112422B B =⨯⨯⨯，B 2B 3，B 3B 4＝16，B 4B 5＝32， …，B n ﹣1B n ＝2n ．故答案为：32，2n ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．12．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 13．103. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF = 故2103S = 故答案为103. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.14．3．【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】如图，作点B 关于AD 的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，B′N 最短，由轴对称性质，BM=B′M ，∴BM+MN=B′M+MN=B′N ，由轴对称的性质，AD 垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33 即BM+MN 3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．15．7【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD33，∴CM2237 2CD MD+=∴CN＝43727 32=．∵BM+MN＝CN，∴BM+MN的最小值为7．故答案是：7【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．16．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.17．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 1825 【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即25.故答案为5. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．19．（0，34）. 【分析】 由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.20．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM EF ，2,,2a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，∴24b =，∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）如图2，连结BE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝3，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD ＝22BE DE +＝2234+＝5．（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：解法一：如图3，连结BE ．∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠D ＝∠AED ＝45°，∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∠BEA ＝∠CDA ＝45°，∴∠BEC ＝∠BEA +∠AED ＝45°+45°＝90°，即BE ⊥DE ，在Rt △BEC 中，由勾股定理可知：BC 2＝BE 2+CE 2．∴BC 2＝CD 2+CE 2．解法二：如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，∴AP ＝EP ＝DP ．∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AC 2．∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，∴CD 2+CE 2＝BC 2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD ，解（2）（3）的关键是判断出BE ⊥DE ，是一道中等难度的中考常考题．22．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个， 故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴223MN MO NO p =-=，∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =，∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∵△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE ＝DF ＝x ，∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，∴x 2＝（7﹣x ）2+32，∴x ＝297， ∴DE ＝297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，∴分两种情况如下：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴∠EAB ＝∠DAC ，∵AE ＝AD ，AB ＝AC ，∴△EAB ≌△DAC （SAS ），∴∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝9-3=6，∴∠EBD ＝90°，∴DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，∴DE ＝35； ②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，连接BE ．同理可证△DBE 是直角三角形，EB ＝CD ＝3+9=12，DB ＝3，∴DE 2＝EB 2+BD 2＝144+9＝153，∴DE ＝317，综上所述，DE 的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，2881||7(15)a a c b --+-＝﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40；三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】 此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 26．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒， ∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒ ∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，。

勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。

3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。

巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。

2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。

4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。

6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。

7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。

1) 两直线平行，同位角相等。

逆命题为：同位角相等，则两直线平行。

真。

2) 若 a>b，则 a>b。

逆命题为：若a≤b，则a≤b。

假。

二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。

求证：△ABC 是直角三角形。

训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。

试判断△ABC 的形状。

例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。

cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bc c baE D CBA勾股定理知识点汇总表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c +=３.勾股定理的适用范围角形的三边就不具有这一特征。

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边６.勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理的培优专题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2勾股定理专题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号) 4．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝_________；5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．6．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为________．7．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等．(2)若a ＞b ，则a 2＞b ．8、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.9(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.10、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ， 求证：AD 2=AC 2+BD 2.11.如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，求△ABC 的周长。

12.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.AB DCFE ABCMD13.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B,A和C两艇的距离是13海里，A、B 两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？14.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.15满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶516.如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm.16题图 17题图17如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.18.一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？19.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.20.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？21、若△ABC的三边长为a、b、c，a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，根据下列条件判断△ABC的形状。

c ba HG FEDC B A b a c b a c ca b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识面汇总之阳早格格创做 一、前提知识面：１．勾股定理：曲角三角形二曲角边的仄圆战等于斜边的仄圆； 表示要领：如果曲角三角形的二曲角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的道明要领很多，罕睹的是拼图的要领 用拼图的要领考证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只消不沉叠，不清闲，里积不会改变②根据共一种图形的里积分歧的表示要领，列出等式，推导出勾股定理罕睹要领如下：要领一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 要领二：四个曲角三角形的里积与小正圆形里积的战等于大正圆形的里积．四个曲角三角形的里积与小正圆形里积的战为221422S ab cab c =⨯+=+ 大正圆形里积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=要领三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c += ３.勾股定理的适用范畴勾股定理掀穿了曲角三角形三条边之间所存留的数量闭系，它只适用于曲角三角形，对付于钝角三角形战钝角三角形的三边便不具备那一特性. ４.勾股定理的应用①已知曲角三角形的任性二边少，供第三边正在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b，a②知讲曲角三角形一边，可得其余二边之间的数量闭系③可使用勾股定理办理一些本质问题如果三角形三边少a ，b ，c 谦脚222ab c +=，那么那个三角形是曲角三角形，其中c 为斜边.① 勾股定理的顺定理是判决一个三角形是可是曲角三角形的一种要害要领，它通过“数转移为形”去决定三角形的大概形状，正在使用那一定理时，可用二小边的仄圆战22a b +与较少边的仄圆2c 做比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是曲角三角形；② 222，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若222，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=不过一种表示形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边少a ，b ，c 谦脚222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是曲角三角形，然而是b 为斜边该定理正在应用时，共教们要注意处理佳如下几个重心：① 已知的条件：某三角形的三条边的少度.②谦脚的条件：最大边的仄圆=最小边的仄圆+中间边的仄圆.③得到的论断：那个三角形是曲角三角形，而且最大边的对付角是曲角. ④如果不谦脚条件，便道明那个三角形不是曲角三角形.谦脚a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数.注意：①勾股数必须是正整数，不克不迭是分数或者小数.②一组勾股数夸大相共的正整数倍后，仍是勾股数.罕睹勾股数有： （3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用勾股定理不妨帮闲咱们办理曲角三角形中的边少的估计或者曲角三角形中线段之间的闭系的道明问题．正在使用勾股定理时，必须掌控曲角三角形的前提条件，相识曲角三角形中，斜边战曲角边各是什么，以便使用勾股定理举止估计，应设法增加辅帮线（常常做垂线），构制曲角三角形，以便精确使用勾股定理举止供解．８.勾股定理顺定理的应用勾股定理的顺定理能帮闲咱们通过三角形三边之间的数量闭系推断一个三角形是可是曲角三角形，正在简曲推算历程中，应用二短边的仄圆战与最少边的仄圆举止比较，切不可不加思索的用二边的仄圆战与第三边的仄圆比较而得到过失的论断．９.勾股定理及其顺定理的应用勾股定理及其顺定理正在办理一些本质问题或者简曲的几许问题中，是稀不可分的一个完齐．常常既要通过顺定理判决一个三角形是曲角三角形，又要用勾股定理供出边的少度，二者相辅相成，完毕对付问题的办理．罕睹图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互顺命题的观念如果一个命题的题设战论断分别是另一个命题的论断战题设，那样的二个命题喊搞互顺命题.如果把其中一个喊搞本命题，那么另一个喊搞它的顺命题.通过道明被确认精确的命题喊搞定理如果一个定理的的顺命题通过道明是精确的，它也是一个定理，称那二个定理互为顺定理考面领会考面一：利用勾股定理供里积1、供阳影部分里积：（1）阳影部分是正圆形；（2）阳影部分是少圆形；（3）阳影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为曲径分别背中做三个半圆，探索索三个半圆的里积之间的闭系．3、如图所示，分别以曲角三角形的三边背中做三个正三角形，其里积分别是S1、S2、S3，则它们之间的闭系是（ ）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，供四边形ABCD 的里积.5、正在曲线上依次晃搁着七个正圆形（如图4所示）.已知斜搁置的三个正圆形的里积分别是1、2、3，正搁置的四个正圆形的里积依次是、=_____________.考面二：正在曲角三角形中，已知二边供第三边1．正在曲角三角形中,若二曲角边的少分别为1cm ，2cm ，则斜边少为 ．2．（易错题）已知曲角三角形的二边少为3、2，则另一条边少的仄圆是3、已知曲角三角形二曲角边少分别为5战12， 供斜边上的下．4、把曲角三角形的二条曲角边共时夸大到本去的2倍，则斜边夸大到本去的（ ）A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍5、正在Rt △ABC 中，∠C=90° S 3S 2S 1①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC 的里积是=________.6、如果曲角三角形的二曲角边少分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边少是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、正在Rt△ABC中，a,b,c为三边少，则下列闭系中精确的是（）A. 222c b a+=+= C. 222a c b+= B. 222a b c8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的里积是（）A、242c mc m D、602c m B、36 2c m C、4829、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的少为曲角边做一个曲角三角形，那么以那个曲角三角形的斜边为边少的正圆形的里积为（）A、5B、25C、7D、15考面三：应用勾股定理正在等腰三角形中供底边上的下例、如图1所示，等腰中，，是底边上的下，若.供①AD的少；②ΔABC的里积．考面四：勾股数的应用、利用勾股定理顺定理推断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可动做三边少形成曲角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成曲角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、底下的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边少分别为8，15，17．其中是曲角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个，则那个三角形一定是（）4、若三角形的三边之比为2::1225、已知a，b，c为△ABC三边，且谦脚(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）6、将曲角三角形的三条边少共时夸大共一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 钝角三角形 C. 曲角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边少a,b,c谦脚222+++=++，试推断△ABC的a b c20012a16b20c形状.8、△ABC的二边分别为5,12，另一边为偶数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为 .例3：供（1）若三角形三条边的少分别是7,24,25，则那个三角形的最大内角是度.（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为.考面五:应用勾股定理办理楼梯上铺天毯问题某楼梯的正里视图如图3所示，其中米，，，果某种活动央供铺设白色天毯，则正在AB段楼梯所铺天毯的少度应为 ,里积为考面六、利用列圆程供线段的少（圆程思维）8米2米8米 第6题图１、小强念知讲书院旗杆的下，他创制旗杆顶端的绳子垂到大天还多1米，当他把绳子的下端推启5米后，创制下端刚刚佳交战大天，您能帮他算出去吗？m m m ，那么梯子底端将背左滑动米 3、如图，一个少为10米的梯子，斜靠正在墙里上，梯子的顶端距大天的笔曲距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（挖“大于”，“等于”，或者“小于”）4、正在一棵树10 m 下的B 处，有二只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；•其余一只爬到树顶D 处后间接跃到A 中，距离以曲线估计，如果二只猴子所通过的距离相等，试问那棵树有多下？5、如图，是一个中表面为矩形的呆板整件仄里示企图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）估计二圆孔核心A 战B 的距离为.6、如图：有二棵树，一棵下8米，另一棵下2米，二树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，起码飞了米．7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，正在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，逢到障碍后又往西走3km ，再合背北圆走到5km 处往东一拐，仅1km•便找到了宝躲，问：登陆面（A 处）到宝躲埋躲面（B 处）的曲线距离是几？ CA DB A BC 60120 140B60AC考面七：合叠问题 1、如图，有一弛曲角三角形纸片，二曲角边AC=6，BC=8，将△ABC 合叠，使面C 降正在A 边上上的面E ，合痕为AD ，对接DE ，则CD 等于（ ） A. 425B. 322C. 47 D.3 2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的笔曲仄分线接BC•于M ，接AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，供AB 的少．3、合叠矩形ABCD 的一边AD,面D 降正在BC 边上的面F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,供CF 战EC.4、如图，正在少圆形ABCD 中，DC=5，正在DC 边上存留一面E ，沿曲线AE 把△ABC 合叠，使面D 恰佳正在BC 边上，设此面为F ，若△ABF 的里积为30，供合叠的△AED 的里积5、如图，矩形纸片ABCD 的少AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其合叠，使面D 与面F 沉合，那么合叠后DE 的少是几？6、如图，正在少圆形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对付合至∆AEC 位子，CE 与AD 接于面F.（1）试道明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，供AF 的少7、如图2所示，将少圆形ABCD 沿曲线AE 合叠，顶面D 正佳降正在BC 边上F 面处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阳影部分里积为_______．8、如图，把矩形ABCD 沿曲线BD 进与合叠，使面C 降正在C′的位子上，已知AB=•3，BC=7，沉合部分△EBD 的里积为________．B CE F D9、如图5，将正圆形ABCD合叠，使顶面A与CD边上的面M沉合，合痕接AD于E，接BC于F，边AB合叠后与BC边接于面G.如果M为CD边的中面，供证：DE：DM：EM=3：4：5.10、如图2-5，少圆形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形合叠，使C 面与A面沉合，•则合叠后痕迹EF的少为（）2-511、如图1-3-11，有一齐塑料矩形模板ABCD，少为10cm，宽为4cm，将您脚中脚够大的曲角三角板PHF 的曲角顶面P降正在AD边上（不与A、D沉合），正在AD上适合移动三角板顶面P：①是可使您的三角板二曲角边分别通过面B与面C？若能，请您供出那时AP 的少；若不克不迭，请道明缘由.②再次移动三角板位子，使三角板顶面P正在AD上移动，曲角边PH 末究通过面B，另背去角边PF与DC 的延少线接于面Q ，与BC接于面E，是可使CE=2cm？若能，请您供出那时AP的少；若不克不迭，请您道明缘由.12、如图所示，△ABC是等腰曲角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中面，E、F分别是AB、AC边上的面，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．供线段EF的少.13、如图，公路MN战公路PQ正在面P处接汇，且∠QPN＝30°，面A 处有一所中教，AP＝160m.假设干脆机止驶时，周围100m以内会受到噪音的做用，那么干脆机正在公路MN上沿PN目标止驶时，书院是可会受到噪431213B C D A 声做用？请道明缘由，如果受做用，已知干脆机的速度为18km/h ，那么书院受做用的时间为几秒？考面八：应用勾股定理办理勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形皆是正圆形，所有的三角形皆是曲角三角形，其中最大的正圆形的边少为5，则正圆形A ，B ，C ，D 的里积的战为2、已知△ABC 是边少为1的等腰曲角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为曲角边，绘第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为曲角边，绘第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰曲角三角形的斜边少是．考面九、图形问题1、如图1，供该四边形的里积2、如图2，已知，正在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的少为．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是少圆形,上部是以ＡＤ为曲径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆拆谦货品的卡车,下为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问那辆卡车是可通过公司的大门?并道明您的缘由 .4、将一根少24㎝的筷子置于大天曲径为5㎝，下为12㎝的圆柱形火杯中，设筷子露正在杯子表里的少为h ㎝，则h 的与值范畴.5、如图，铁路上A 、B 二面相距25km ，C 、D 为二乡村，DA•笔曲AB 于A ，CB 笔曲AB 于B ，已知AD=15km ，BC=10km ，当前要正在铁路AB 上修一个土特产品支买站E ，使得C 、D 二村到E 站的距离相等，则E 站修正在距A 站几千米处？考面十：其余图形与曲角三角形如图是一齐天，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，供那块天的里积.考面十一：与展启图有闭的估计1、如图，正在棱少为1的正圆体ABCD —A’B’C’D’的表面上，供从顶面A 到顶面C’的最短距离．2、 如图一个圆柱，底圆周少6cm ，下4cm ，一只蚂蚁沿中壁爬止，要从A 面爬到B 面，则最少要爬止cm3、国家电力总公司为了革新农村用电电费过下的现状，暂时正正在世界各天农村举止电网变革，某天有四个乡村A 、B 、C 、D ，且正佳位于一个正圆形的四个顶面，现计划正在四个乡村共同架设一条线路，他们安排了四种架设规划，如图真线部分．请您帮闲估计一下，哪种架设规划最省电线．考面十二、航海问题 1、一轮船以16海里/时的速度从A 港背东北目标航止，另一艘船共时以12海里/时的速度从A 港背西北目标航止，通过1.5小时后，它们相距________海里．2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批要害物资从A 处运往正东目标的M 处，正在面D B CA 东北30︒60︒B A C M DA处测得某岛C正在北偏偏东60°的目标上.该货船航止30分钟到达B处，此时又测得该岛正在北偏偏东30°的目标上，已知正在C岛周围9海里的天区内有暗礁，若继承背正东目标航止，该货船有无暗礁伤害？试道明缘由.3、如图，某内天启搁皆会A接到台风警报，正在该市正北目标260km的B处有一台风核心，沿BC目标以15km/h的速度背D移动，已知皆会A 到BC的距离AD=100km，那么台风核心通过多万古间从B面移到D面？如果正在距台风核心30km的圆形天区内皆将有受到台风的损害的伤害，正正在D面戚闲的游人正在接到台风警报后的几小时内撤离才可摆脱伤害？考面十三、网格问题1、如图，正圆形网格中，每个小正圆形的边少为1，则网格上的三角形ABC中，边少为无理数的边数是（）A．0 B．1 C．2 D．32、如图，正圆形网格中的△ABC，若小圆格边少为1，则△ABC是（）3、如图，小圆格皆是边少为1的正圆形,则四边形ABCD的里积是( )（图1）（图2）（图3）4、如图，正圆形网格中的每个小正圆形边少皆是1，每个小格的顶面喊格面，以格面为顶面分别按下列央供绘三角形：；①使三角形的三边少分别为3②使三角形为钝角三角形且里积为4（正在图乙中绘一个即可）．培劣题一、采用题1.一等腰三角形底边少为10cm，腰少为13cm，则腰上的下为( )A. 12cmB.C.D.2．已知曲角三角形一个钝角60°，斜边少为1，那么此曲角三角形的周少是（）A.5B.3C.3+2D.3323、下列条件中，不克不迭推断一个三角形是曲角三角形的是（）A、三个角的比为1:2:3B、三条边谦脚2a=2b－2cC、三条边的比为1:2:3D、三个角谦脚闭系∠B=∠C＋∠A4、下列各组数中能动做曲角三角形三边少的是（）①、9,12,15 ②、13,12,6 ③、9,12,14 ④12,16,20A、①④B、①②C、③④D、②④5、将一根24cm的筷子，置于底里曲径为15cm，下8cm的圆柱形火杯中，如图所示，设筷子露正在杯子表里的少度为hcm，则h的与值范畴是（）．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、△ABC中，AB=13,AC=15，下AD=12,则BC的少为（）A. 14B. 14或者4C. 8D. 4战87、△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则2AB+2BC=（）AC+28、曲角三角形有一条曲角边的少为11，其余二边的少也是正整数，则此三角形的周少（）1 A、120 B、121 C、132 D、1239、一个三角形的三边分别是m2+1,2m,m2-1,则此三角形是（）A.钝角三角形B.曲角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形10、已知一个Rt △的二边少分别为3战4，则第三边少的仄圆是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或者25 二、解问题 1、如图（8），火池中离岸边D 面1.5米的C 处，曲坐少着一根芦苇，出火部分BC 的少是0.5米，把芦苇推到岸边，它的顶端B 恰佳降到D 面，供火池的深度AC.2、如图3，正圆形ABCD 中，E 是BC 边上的中面，F 是AB 上一面，且AB FB 41 ，那么△DEF 是曲角三角形吗？为什么？3、如图4，已知少圆形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,正在边CD 上与一面E ，将△ADE 合叠使面D 恰佳降正在BC 边上的面F.①供CE 的少；②供合痕AE 的少战沉叠部分△AEF 的里积4、有一个传感器统制的灯，拆置正在门上圆，离天下4.5米的墙上，所有物品只消移至5米以内，灯便自动挨启，一个身下1.5米的教死，要走到离门多近的场合灯刚刚佳挨启？5、如图，P 是等边三角形ABC 内一面，PA=2,PB=23,PC=4,供△ABC 的边少.6、变式2、如图，△ABC 为等腰曲角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的面，且∠EAF=45°，试商量222BE CF EF 、、间的闭系，并道明缘由.7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一面，将矩形纸片沿AE 合叠，面B 恰佳降正在CD 边上的面G 处，供BE 的少.8、变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿曲线AD 翻合，面C 降正在面C’的位子，BC=4,供BC’的少.9、如左图1－19，壁虎正在一座底里半径为2米，下为4米的油罐的下底边沿A 处，它收当前自己的正上圆油罐上边沿的B 处有一只害虫，便决断捕获那只害虫，为了不引起害虫的注意，它蓄意不走曲线，而是绕着油罐，沿一条螺旋门路，从里前对付害虫举止突然袭打．截止，壁虎的偷袭得到乐成，赢得了一顿好餐．请问壁虎起码要爬止几路途才搞捕到害虫?（π与3.14，截止死存1位小数，不妨用估计器估计）10、变式：如图为一棱少为3cm 的正圆体，把所有里皆分为9个小正圆形，其边少皆是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬止2cm ，则它从下大天A 面沿表面爬止至左正里的B 面，最少要花几秒钟？11.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.供BC 边上的下.12.如下图，一个牧童正在小河的北4km 的A 处牧马，而他的小屋位于他的北7km 东8km 处，他念把他的马牵到小河边去饮火，而后回家.他要完毕那件事务所走的最短路途是几？ 13、如图，正在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 上任性一面，供证：PC PB AP AB •=-2214、正在正圆形ABCD 中，E 是AD 的三仄分面，FC DF =72，BE 与EF 笔曲吗？请道明缘由. A B 小河北 牧童 小屋A BCP M B C A 15、有一齐曲角三角形的绿天，量得二曲角边分别为BC=6m,AC=8m,当前要将绿天扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为曲角边的曲角三角形，供扩充后等腰三角形绿天的周少.．（图2，图3备用）16、请阅读下列资料：问题：现有5个边少为1的正圆形，排列形式如图①，请把它们分隔后拼接成一个新的正圆形，央供：绘出分隔线并正在正圆形网格图（图中每个小正圆形的边少均为1）中用真线绘出拼接成的新正圆形．小东共教的搞法是：设新正圆形的边少为x （x ＞0），依题意，割补前后图形的里积相等，有x2=5，解得x= 5.由此可知新正圆形得边少等于二个小正圆形组成得矩形对付角线得少，于是，绘出如图②所示的分隔线，拼出如图③所示的新正圆形．请您参照小东共教的搞法，办理如下问题：现有10个边少为1的正圆形，排列形式如图④，请把它们分隔后拼接成一个新的正圆形，央供：正在图④中绘出分隔线，并正在图⑤的正圆形网格图（图中每个小正圆形的边少均为1）中用真线绘出拼接成的新正圆形．（道明：间接绘出图形，不央供写分解历程．）17、如图，把少圆形纸片ABCD 合叠，使顶面A 与顶面C 沉合正在所有，EF 为合痕.若AB=9，BC=3,.（1）供BF 的少 （2）供EF 的少18、如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AN=AC ，BM=BC ，供MN的少度19、如图所示，正在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB ，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，供DE 的少20、如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．供证： 222BC AP BP +=．21、探索与钻研 （要领1）如图：对付任性的切合条件的曲角三角形绕其钝角顶面转动90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正圆形，它的里积战四边形ABFE 里积相等，而四边形ABFE 里积等于Rt △BAE 战Rt △BFE 的里积之战．根据图示写出道明勾股定理的历程；（要领2）如图是任性的切合条件的二个齐等的Rt △BEA 战Rt △ACD 拼成的，您能根据图示再写一种道明勾股定理的要领吗？22、已知△ABC 中，a2＋b2＋c2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判决△ABC的形状，并道明您的缘由． 23．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试推断三角形的形状．24、如图，A 市局里站测得台风核心正在A 市正东目标300千米的B 处，以710千米/时的速度背北偏偏西60°的BF 目标移动，距台风核心200•千米范畴内是受台风做用的天区．（1）A 市是可会受到台风的做用？写出您的论断并赋予道明；（2）如果A 市受那次台风做用，那么受台风做用的时间有多少？25、如图所示，△ABC 是等腰曲角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中面，E 、F 分别是AB 、AC 边上的面，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．供线段EF 的少.26、已知：正圆形ABCD 的边少为1，正圆形ABCD 的边少为1，正圆形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且32=EFGH S 正方形.供：a b -的值. 27、正在等腰曲角三角形中，AB=AC ，面D 是斜边BC 的中面，面E 、F 分别为AB 、AC边上的面，且DE ⊥DF.（1）道明：222EF CF BE =+ )若BE=12,CF=5，试供DEF ∆的里积.28、如图，少圆形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.⑴若面P 是边AD 上的一个动面,当P 正在什么位子时PA=PC?⑵正在⑴中,当面P 正在面P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动面,若415AQ =时,QP' 与C P '笔曲吗？为什么？ 29、已知：如图，DE=m,BC=n,ÐEBC 与ÐDCB 互余，供BD2+CE2的值30、如图，正在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一面，且PB=1，PC=2，PA=3，供∠BPC 的度数．31、台风是一种自然灾害，它以台风核心为圆心正在周围数十千米范畴内产死气旋风暴，有极强的损害力，如图，据局里瞅测，距内天某皆会A 的正北目标220千米B 处有一台风核心，其核心最大风力为12级，每近离台风核心20千米，风力便会减强一级，该台风核心现正以15千米/时的速度沿北偏偏东30º目标往C 移动，且台风核心风力稳定，若皆会所受风力达到或者走过四级，则称为受台风做用.（1）该皆会是可会受到那接台风的做用？请道明缘由.（2）若会受到台风做用，那么台风做用该皆会持绝时间有几？（3）该皆会受到台风做用的最大风力为几级？ H G F E DC B A F E B A DC A B BE C D。

（图1）（2）第十一讲 勾股定理培优辅导点击一：勾股定理勾股定理： ．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c, 则c 2= , a 2= , b 2=勾股定理的逆定理： 点击二：学会用拼图法验证勾股定理如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明．证明图（2）或 （3点击三：在数轴上表示无理数 例点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．点击五：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等． 二、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________，斜边的高为__________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_________________.2.若三角形的三边是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是_________________.3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

八年级数学培优专题讲解《勾股定理》【培优图解】【技法透析】勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和证明等．2．勾股数的推算公式①若任取两个正整数m、 n(m>n)，那么 m 2 －n，2mn，m＋n是一组勾股数．2 2 2k 2 1，k2 1是一组勾股数．②如果 k是大于 1 的奇数，那么 k，2 22 2k k③如果 k是大于 2 的偶数，那么 k，1，1是一组勾股数，2 2④如果 a，b，c是勾股数，那么 na，nb，nc(n是正整数 )也是勾股数．3．创设勾股定理运用条件当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或 90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．【名题精讲】考点 1运用勾股定理解有关＂折叠＂问题例 1 如图，折叠长方形 ABCD一边，点 D落在 BC边的点 F处，若 AB＝8cm，BC ＝10 cm，求 EC 的长．【切题技巧】由图形易知△ ADF≌△ AFE，从而 AD＝AF，DE＝EF．先在 Rt△ABF中用勾股定理求出 BF，再在 Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC 的长．【规范解答】【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用．【同类拓展】 1．把一张长方形纸片 (长方形 ABCD)按如图 17－2所示的方式折叠，使顶点 B和点 D重合，折痕为 EF．若 AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△ DEF 的面积是2_______cm．考点 2运用勾股定理的逆定理求角度例 2 如图，在正方形 ABCD中， PA＝ 1，PB＝2，PC＝3，P在正方形内部，试求∠APB 的度数．【切题技巧】【规范解答】【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形．能够使用旋转法的条件是旋转后的图形与原图形有边相等能够重合．2．如图，等边△ ABC内有一点 P，若点 P到顶点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠ APB 的度数．考点 3求立体图形中的两点之间的最短距离例 3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到 B'点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为 1cm、高为 4cm．【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解．【规范解答】【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、同正方体、圆柱、圆锥等．在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置．时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案．【同类拓展】3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和 lcm，A和 B是这个台阶的两个相对的端点， A点上有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少？考点 4勾股定理反其逆定理的综合运用1 例 4如图所示，正方形 ABCD中， E是 AD中点，点 F在 DC上，且 DF＝ DC，4试判断 BE和 EF 的位置关系？并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与 EF垂直的直观印象．若直接证明BE与 EF 垂直，则十分困难．若连接BF，设 DF＝ a，利用勾股定理及其逆定理证明△BEF为直角三角形，得到 BE⊥EF．【规范解答】BF和 EF 的位置关系是： BE⊥EF．【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，两者相辅相成．4．如图，在四边形 ABCD中，∠ ABC＝30°，∠ ADC＝60°， AD＝CD，求证： BD 2 ＝AB＋BC．2 2考点 5勾股定理在实际问题中应用例 5如图 (1)，护城河在 CC'处直角转弯，宽度保持4米，从 A处往 B处，经过两座桥： DD'、EE'．设护城河是东西——南北方向的，A、B在东西向相距 64米，南北方向_______米．相距 84米，恰当地架河可使 AD、D'E'、EB 的路程最短，这个最短距离是【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解．【规范解答】如图 (2)，作 AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，则折线 ADD'E'EB 的长度等于折线AA，D'E'B'B 的长度，即等于折线A'D'E'B' 的长度＋ AA'＋BB'．而折线A'D'E'B'以线段 A'B'最短，故题目所求最短路程S＝A'B'＋ 8，而 A'、B'在东西方向上相距为 64－4＝60（米），在南北方向上相距 84－8＝80（米）2 米，＝由勾股定理可知， A'B'＝60 802＝100( ) S 108（米）【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定理计算求解．5．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5×6× 10(单位： cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边 AB距离为 1cm，到上盖中与 AB相邻的的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则 h 的最小值大约为 _______cm．（精确到个位，参考数据：2＝ 1.4，3＝1.7，5＝2.2）．考点 6勾股定理与函数的综合问题4 x例 6如图①，在平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线 y＝交于点 A、B．(1)x 4求 AB 的长． (2)若点 P是第一象限双曲线上一动点，如图②所示，BC⊥AP于点 C，交 xAE2 BF 2轴于点 F，AP交 y轴于点 E，试判断的值是否为定值？并加以证明．EF 2【切题技巧】 (1)因为 A 、B 为双曲线与直线 的交点，所以只需将两个已知函数 的解AE 2 BF 2 EF 2析式成方程组，它们 的解即交点 A 、B 的坐标． (2)从结论 入手，联想勾股定理， 通过作辅助线将 AE 、BF 、EF 这三条线段转移到同一直角三角形中．【规范解答】【借题发挥】 (1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角 三角形中则应添加辅助线，将分散 的线段集中在同一直角三角形中， 本题还可以过点 B 作 BN ∥AE 交 y 轴于点 N ，将三条线段收集在 Rt △ BNF 中，如图 17－11③所示． (2)利用“中 点”能构成多种辅助线，要根据题目 的需要进行构造．【同类拓展】 6．已知△ OMN 中， OM ＝ON ，∠ MON ＝90°，点 B 为 MN 的延长线上一点， OC ⊥OB ．且 OC ＝OB ，OG ⊥ BC 于 G ，交 MN 于点 A ． (1)如图①所示，①求证：∠ CMB ＝90°；②求证： AM 2＋BN ＝AB 2 2 ； (2)如图②，在条件 (1)上，过 A 作 AE ⊥OM 于 E ，过 B 作 BF ⊥ ON 于 F ，EA 、BF 的延长线交于点 P ，则 PA 、AE 、BF 之间 的数量关系为 _______；△ AME 、△ PAB 、△ BFN 的面积之间 的关系为 _______．k (3)如图③，在条件 (2)下，分别以 OM 、ON 为 x 轴和 y 轴建立坐标系，双曲线 y ＝经 x过点 P ，若 MN ＝2 2，求 k 的值．参考答案1.5.12.150°3.13cm4.略5.26.(1)略 (2)(2)AE +BF =PA2.2 2 S△AME+S△BFN=S△PAB .。