九年级数学直线与圆的位置关系3

初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。

新人教版九年级数学下册知识点总结人教版九年级数学下册知识点总结12.直线与圆的位置关系2.1.直线与圆的位置关系当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

直线与圆的位置关系有以下定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线性质：经过切点的半径垂直于圆的切线。

2.2.切线长定理从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。

切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。

2.3.三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。

3.三视图与表面展开图3.1.投影物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。

光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。

可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。

3.2.简单几何体的三视图物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。

主视图、左视图和俯视图合称三视图。

产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。

3.3.由三视图描述几何体三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。

3.4.简单几何体的表面展开图将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。

圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。

AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。

AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。

圆锥可以看做将一根直角三角形ACB绕它的一条直角边(AC)旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体。

直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点进阶：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点进阶：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点进阶：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离类型二、切线的判定与性质例2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．例3.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．例4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．O C B A举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED=EA ． （1）求∠DOA 的度数；（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 等于( )A ．2B ．3C ．22D ．23类型三、三角形的内切圆例5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.O C BA【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( ) A ．65° B ．50° C ．45° D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC=α，则( ) A ．∠A=α B ．∠A=90°－α C ．∠ABD=α D ．∠α2190o-=ABD第1题图 第2题图3．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A.d=3B. d ＜3C. d≤3D.d＞34.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A ．40°B ． 35°C ． 30°D ． 45°5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO ＝CD ，则∠PCA＝（ ） A.30° B.45° C.60° D.67.5°6．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D.若AC=5，BC=3，则⊙O的半径为_______.8．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点.若∠P=30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______________.9．在△ABO中，OA=OB=2cm，⊙O的半径为1cm，当∠ABO=时，直线AB与⊙O相切．10.如图所示，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，则∠ADC＝________．OCB A 11．如图所示，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________．12．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .三、解答题13. 如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，求⊙O 的面积.14． AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于D 点，过D 作⊙O 的切线DE 交BC 于E.求证：CE=BE.15.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．。

直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，如下所示：判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，OA 的一条半径，直线l 经过点A 且OA ⊥l ，则l 的切线.判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图所示：直线l的切线，切点为点A，则OA⊥l.例：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径.【解答】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3.知识点三、三角形的内切圆1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部.3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.补充：三角形外心与内心对比：例：直角三角形的两条直角边分别为8和15，那么这个直角三角形最大能容纳一个直径为几的圆？【解答】6【解析】如图所示：由勾股定理可求出三角形斜边AB＝17，设三角形的内切圆的半径为r即，解得半径，则直径为6.知识点四、切线长及切线长定理1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：.巩固练习一．选择题1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．80°【解答】A【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线， ∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P +∠PAO +∠AOB +∠PBO ＝360°， ∴∠P ＝180°﹣∠AOB ， ∵∠ACB ＝65°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝130°， ∴∠P ＝180°﹣130°＝50°， 故选A ．2．平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P 与y 轴的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．以上都不是【解答】A【解析】∵⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5）， ∴⊙P 到y 轴的距离d 为4 ∵d ＝4＜r ＝5 ∴y 轴与⊙P 相交 故选A ．3．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解答】B【解析】∵62+82＝100，102＝100， ∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r ，则12（6+8+10）r =12×6×8， 解得r ＝2，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆为三角形内切圆时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，故选B．4．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P ＝40°，那么∠B的度数为（）A．40°B．25°C．35°D．45°【解答】B【解析】∵PC与圆O相切，切点为C，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠POC＝∠B+∠C，∠POC＝25°．∴∠B=12故选B．5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】C【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选C．6．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12A．①②B．①②③C．②③D．①②③④【解答】D【解析】∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，AB，∴AC＝AB，又OA=12AC，选项③正确；∴OA=12则正确的结论为①②③④．故选D．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5 B．1.5 C．3 D．4【解答】D【解析】如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD 绕点C 旋转得矩形A 'B 'C 'D '， ∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，A ′B ′∥CD ′，BC ＝B ′C ＝4，∵边A 'B '与⊙O 相切，切点为E ， ∴OE ⊥A ′B ′，∴四边形EB ′CH 是矩形， ∴EH ＝B ′C ＝4，OH ⊥CF ，∵AB ＝5，∴OE ＝OC =12AB =52， ∴OH ＝EH ﹣OE =32，在Rt △OCH 中，根据勾股定理，得CH =√OC 2−OH 2=√(52)2−(32)2=2，∴CF ＝2CH ＝4． 故选D ．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于点B ，AB ＝AC ，若∠CBD ＝40°，则∠ABC 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】D【解析】∵BD 切⊙O 于点B ， ∴∠DBC ＝∠A ＝40°， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选D．9．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA 的值是（）A．32B．23C．12D．34【解答】A【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA=32．故选A．10．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】D【解析】∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选D．11．如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（）A．√33B．23√3C．1 D．√3【解答】A【解析】如图，选择一个等边三角形和其内切圆，圆O是等边三角形ACE的内切圆，圆O切三角形的边CE于点D，∵这条花边的总长度AB为4，∴CE＝2，连接OC，AD，则AD过点O，∴CD＝DE=12CE＝1，∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°，∵圆O是等边三角形ACE的内切圆，∴∠OCD＝30°，∴OD＝CD•tan30°=√33．∴花边上正三角形的内切圆半径为√33．故选A．二．填空题12．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．【解答】103＜AO＜203【解析】在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO=103，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴OCAC =OFAB，∴OC10=26，∴OC=103，∴AO=203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203，故答案为103＜AO＜203．13．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s 的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为时，BP与⊙O相切．【解答】2秒或10秒【解析】连接OP∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；∴∠B＝30°；∴∠O＝60°；∵OA＝6cm，=2π，弧AP=60π×6180∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为2秒或10秒．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于．【解答】2√2cm【解析】过C点作CD⊥AB于D，如图，∵⊙C与AB相切，∴CD为⊙C的半径，即CD＝2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC=√2CD＝2√2（cm）．故答案为2√2cm．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为．【解答】4√2【解析】连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OM＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′M＝OH=√OC2−CH2=2√2，∵四边形MB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CN＝2CG＝4√2，故答案为4√2．16．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为．【解答】8﹣4√3【解析】当⊙F与直线AD相切时．设切点为K，连接FK，如图：则FK⊥AD，四边形FKDC是矩形．∴FE＝FK＝CD＝2BE，∴BE＝4，FE＝8，在Rt△FBE中，FB=√FE2−BE2=√82−42=4√3，∴CF＝BC﹣FB＝8﹣4√3．故答案为8﹣4√3．17．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．【解答】125【解析】如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO=12．5．故答案为12518．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【解答】14【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为14．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．【解答】1【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为1．20．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝．【解答】1【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，∴r＝1，故答案为1．21．如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．【解答】2√2【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，=6，∴OA=OBtanA在Rt△AOP′中，∠A＝30°，OA＝3，∴OP′=12∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为2√2．三．解答题22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）BD=1207【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD =ADAC，10 8=8AC，∴AC =325，∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC=BD BC ， ∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．23．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为H ，P 是CD 延长线上一点，DE ⊥AP ，垂足为E ，∠EAD ＝∠HAD ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）已知PA ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半轻和DE 的长．【解答】（1）见解析；（2）DE 的长为35，⊙O 的半径为32 【解析】（1）证明：连接AO 并延长交⊙O 于点M ，连接MD ，如图，∵AB ⊥CD ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠M ＝∠BAD ，∵∠EAD ＝∠HAD ．∴∠M ＝∠EAD ，∵AM 为直径，∴∠ADM ＝90°，∴∠M +∠MAD ＝90°，∴∠EAD +∠MAD ＝90°，即∠MAE ＝90°，∴AM ⊥AE ，∴AE 为⊙O 的切线；（2）∵∠EAD ＝∠HAD ，DH ⊥AH ，DE ⊥AE ，AD ＝AD ，∴△AHD ≌△AED （AAS ）∴DE ＝DH ，AH ＝AE ，设DE ＝x ，AH ＝y ，则DH ＝x ，AE ＝y ，∵∠EPD ＝∠HPA ，∠PED ＝∠PHA ＝90°，∴Rt △PED ∽Rt △PHA ，∴DE AH =PE PH =PD PA ，即x y =2−y 1+x =12， ∴解得x =35，y =65，即DE 的长为35，AH =65，设圆的半径为r ，则OH ＝r −35， 在Rt △OAH 中，（r −35）2+（65）2＝r 2，解得r =32， 即⊙O 的半径为32．答：⊙O 的半轻和DE 的长分别为：32，35．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ，OC ＝5，BC 与⊙O 交于点D ，点E 是BD ̂的中点，EF ∥BC ，交OC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．【解答】（1）见解析；（2）CG=173【解析】证明：（1）连接OE，交BD于H，∵点E是BD̂的中点，OE是半径，∴OE⊥BD，BH＝DH，∵EF∥BC，∴OE⊥EF，又∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34，∵S△OBC=12×OB×OC=12×BC×OH，∴OH=√34=15√3434，∵cos∠OBC=OBBC =BHOB，∴√34=BH3，∴BH=9√3434，∴BD＝2BH=9√3417，∵CG∥OD，∴ODCG =BDBC，∴3CG =9√3417√34，∴CG=173．25．如图，△ABC中，BC＝14，AC＝9，AB＝13，它的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，求AE，BD 和CF的长．【解答】AE＝4，BD＝9，CF＝5【解析】设AE＝x，∵△ABC的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，∴AF＝AE＝x，BE＝BD，CD＝CF，而BE＝BA﹣AE＝13﹣x，CF＝CA﹣AF＝9﹣x，∴BD＝13﹣x，CD＝9﹣x，而BD+CD＝BC，∴13﹣x+9﹣x＝14，解得x＝4，∴AE＝4，BD＝9，CF＝5．26．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．【解答】（1）△PCD的周长＝12；（2）∠COD＝65°【解析】（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，{OA=OEOC=OC，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∠AOB＝65°．∴∠COD=1227．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．【解答】24cm【解析】连接OA，则OA⊥PA．在直角三角形APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm．∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长＝2PA＝24cm．28．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD＝AD+BC；（2）求∠AOD的度数．【解答】（1）见解析；（2）∠AOD＝90°【解析】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，∴AE+BE+DF+CF＝AN+BM+DN+CM，∴AB+DC＝AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE＝∠OAN．同理，∠ODN＝∠ODF．∴∠OAN+∠ODN＝∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN＝180°，×180°＝90°，∴∠OAN+∠ODN=12∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°．。

九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。

则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。

2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。

⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。

1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。

2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。

【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。

⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。

【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。

【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。

《直线与圆的位置关系》专题练习（3）1．（2016•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB 的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．2．（2016•锦州）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D 作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．3．（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC=，求DE的长．4．（2016•宿迁）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．5．（2016•菏泽）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．6．（2016•荆州）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．7．（2016•本溪）如图，△ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半径．8．（2016•茂名）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．9．（2016•宜宾）如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=，求EH的长．10．（2016•西宁）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．11．（2016•凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．12．（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S=（其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5∴p==6∴S===6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．13．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．14．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3．求：（1）AB的长度；（2）tan∠ECB的值．15．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交⊙P于C，过点C 的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB=4．（1）求点B、P、C的坐标；（2）求证：CD是⊙P的切线．16．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．17．如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠CAD=∠BAC；（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．18．完成下列各题：（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；（2）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．19．（2016•扬州）如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O 的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF的长．20．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，PQ⊥AC；（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．21．（2015•德阳）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D 为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．22．（2015•厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC 平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．24．等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．（1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？（2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．25．如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．（1）求证：∠ABO1=∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．26．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿着射线CB向右移动，以DE为一边在直线BC的上方作等边△DEF，连接CF，设点D、E运动的时间为t秒．（1）△DEF的边长为（用含有t的代数式表示），当t=秒时，点F落在AB上；（2）t为何值时，以点A为圆心，AF为半径的圆与△CDF的边所在的直线相切？（3）设点F关于直线AB的对称点为G，在△DEF运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．27．在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E 是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．28．如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为﹣1，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．①若点E在劣弧OC上，试说明：EA﹣EC=EO；②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．29．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．（1）求⊙O的半径；（2）如果F为上的一个动点（不与D、E），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．参考答案与解析1．（2016•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB 的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦且角定理得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD==3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半径是5．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2016•锦州）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D 作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．【分析】（1）连接DO并延长交AC于M，证出，由垂径定理得出DM⊥AC，证出DM∥BC，由已知得出DF⊥DO，即可得出DF为⊙O的切线；（2）由（1）得出DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，由垂径定理得出CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理求出半径，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.5﹣4=0.5，再由勾股定理求出DE 即可．【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴，∴DM⊥AC，∴DM∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥DO，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：AC∥DF，∵点D为AB的中点，∴DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理得：r2+（4.5﹣r）2=r2，解得：r=2.5，∴CN=EN=OM=4.5﹣2.5=2，∴CE=4，∴EF=4.5﹣4=0.5，∴DE===．【点评】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．3．（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC=，求DE的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得=求出AE，EC，再根据sin∠A=sin ∠EDH，得到=，求出DE即可．【解答】证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DEC，∴∠AEO=∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切线．（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A，∵DE=DC，∴EH=HC=EC，∵⊙O的半径为5，BC=，∴AB=10，AC=3，∵△AEO∽△ABC，∴=，∴AE==，∴EC=AC﹣AE=，∴EH=EC=，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A=sin∠EDH，∴=，∴DE===．，【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•宿迁）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．【分析】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，由已知条件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠ABC=∠CAD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED，∵∠AED=∠ABD，∴∠AED=∠ABC=∠CAD，∴∠EAD=90°﹣∠CAD，即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、角的互余关系；熟练掌握切线的判定方法，由圆周角定理得出直角是解决问题的关键．5．（2016•菏泽）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．【分析】（1）连接OC，欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可．（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线．（2）延长PO交圆于G点，∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．6．（2016•荆州）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．7．（2016•本溪）如图，△ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半径．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，∠OCE=∠E，推出∠ACO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠CFO=30°，解直角三角形得到DF==，EF=3OE=4，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵DE⊥AB，∴∠BDE=90°，∴∠B+∠E=90°，∴∠ACB+∠OCE=90°，∴∠ACO=90°，∴AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠E=30°，∴∠OCE=30°，∴∠FCE=120°，∴∠CFO=30°，∴∠AFD=∠CFO=30°，∴DF==，∵BD=5，∴DE=5，∵OF=2OC，∴EF=3OE=4，∴OE=，即⊙O的半径=．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．8．（2016•茂名）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．【分析】（1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O 的切线；（2）由在△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE=∠OFG，∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，∴OB=r，BE=r，∴BF=OB+OF=r，∴FG=BF •sinB=r ，∴BG==r ，∴EG=BG ﹣BE=r ，∴S △FGE =EG •FG=r 2，EG ：FG=1：2， ∵BC 是切线，∴∠GEH=∠EFG ，∵∠EGH=∠FGE ，∴△EGH ∽△FGE ，∴=（）2=，∴S △EHG =S △FGE =r 2． 【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．（2016•宜宾）如图1，在△APE 中，∠PAE=90°，PO 是△APE 的角平分线，以O 为圆心，OA 为半径作圆交AE 于点G ．（1）求证：直线PE 是⊙O 的切线；（2）在图2中，设PE 与⊙O 相切于点H ，连结AH ，点D 是⊙O 的劣弧上一点，过点D 作⊙O 的切线，交PA 于点B ，交PE 于点C ，已知△PBC 的周长为4，tan ∠EAH=，求EH 的长．【分析】（1）作OH ⊥PE ，由PO 是∠APE 的角平分线，得到∠APO=∠EPO ，判断出△PAO ≌△PHO ，得到OH=OA ，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE 是⊙O 的切线；（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．【解答】证明：（1）如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分线，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半径，∴OH是⊙O的半径，∵OH⊥PE，∴直线PE是⊙O的切线．（2）如图2，连接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切线，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周长为4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切线，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴===，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，∴EH=．【点评】此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出OA．10．（2016•西宁）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD∴△CDA∽△CBD∴∵，BC=6，∴CD=4，∵CE，BE是⊙O的切线∴BE=DE，BE⊥BC∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE=．【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．11．（2016•凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）由已知△ABC的三边a=3，b=12，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可；（2）由三角形的面积=lr，计算即可．【解答】解：（1）∵AB=13，BC=12，AC=7，∴p==16，∴==24；（2）∵△ABC的周长l=AB+BC+AC=32，∴S=lr=24，∴r==．【点评】此题考查了三角形面积的求解方法．此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键．12．（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S=（其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S 为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5∴p==6∴S===6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；（2）根据公式S=r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，∴p===10，∴S===10；故△ABC的面积10；（2）∵S=r（AC+BC+AB），∴10=r（5+6+9），解得：r=，故△ABC的内切圆半径r=．【点评】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．13．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．【分析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC∴∠OCP=90°．∵∠CPA=30°，∴∠COP=60°∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°∵PD平分∠APC，∴∠APD=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（2）∠CDP的大小不发生变化．∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°．∵PD是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APD．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．【点评】本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接．14．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3．求：（1）AB的长度；（2）tan∠ECB的值．【分析】（1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH=HD，由△OHE∽△FAE，得=求出EF=，由CE•ED=BE•AE求出k、a关系，得EF=10k，得到DE=DC，得△DEA、△BCE都是等腰三角形，在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．（2）根据tan∠ECB=tan∠AEF=，求出AF、AE即可．【解答】解：（1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH=HD，∴EH=0.5k，OE=0.5a，∵AF是切线，∴∠FAE=90°=∠OHE，∵∠OEH=∠FEA，∴△OHE∽△FAE，∴=即=，∴EF=，∵CE•ED=BE•AE，∴6k•5k=3a•2a，∴a2=5k2，∴EF=10k，∴点D是EF中点，∴AD=ED=DF=5k，∴△DEA、△BCE都是等腰三角形，∴BC=BE=3a，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC2+AC2=AB2，∴（3a）2+82=（5a）2，∴a=2，∴AB=5a=10．（2）∵a=2，∴k=，∵AF2=DF•FC=80k2=64，∴AF=8，∴tan∠ECB=tan∠AEF===2．【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设两个参数，想办法求出EF的长，发现点D是EF中点这个突破口，题目比较难，属于中考压轴题．15．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交⊙P于C，过点C 的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB=4．（1）求点B、P、C的坐标；（2）求证：CD是⊙P的切线．【分析】（1）连结AC，由于BC是圆P的直径，那么∠CAB=90°．解Rt△ABC，得出AC==2，由垂径定理得出OB=OA=2，根据三角形中位线定理得出OP=AC=1，从而求出点B、P、C的坐标；（2）将C（﹣2，2）代入y=2x+b，利用待定系数法求出过点C的直线解析式为y=2x+6，得到D（﹣3，0），AD=1．再利用SAS证明△ADC≌△OPB，得出∠DCA=∠B，然后证明∠BCD=90°，根据切线的判定定理证明CD是⊙P的切线．【解答】（1）解：连结AC．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，BC=2，AB=4，∴AC==2，∵OP⊥AB，∴OB=OA=2，∴OP=AC=1，∴P（0，1），B（2，0），C（﹣2，2）；（2）证明：将C（﹣2，2）代入y=2x+b，得﹣4+b=2，解得b=6∴y=2x+6，当y=0时，则x=﹣3，∴D（﹣3，0），∴AD=1．在△ADC和△OPB中，，∴△ADC≌△OPB（SAS），∴∠DCA=∠B．∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，∴CD是⊙P的切线．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．16．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．【解答】（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．17．如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠CAD=∠BAC；（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角相等即可证明；（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现∠BAC=∠GAD，再根据等式的性质即可证明∠BAG=∠DAC．【解答】（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，易得∠OCA=∠OAC．∵AD⊥EF，∴OC∥AD．∴∠OCA=∠CAD，∴∠CAD=∠OAC．即∠CAD=∠BAC．（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．证明如下：如图二，连接BG．∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG+∠ACG=180°．∵D，C，G共线，∴∠ACD+∠ACG=180°．∴∠ACD=∠ABG．∵AB是⊙O的直径，∴∠BAG+∠ABG=90°∵AD⊥EF∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BAG．【点评】此题运用了切线的性质定理、圆周角定理的推论．注意根据等角的余角相等是证明角相等的一种常用方法．18．完成下列各题：（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；（2）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．。