导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

导数的概念及运算知识与方法：1. 常见基本初等函数的导数公式和：0'=C (C 为常数)； 1)'(-=n n nx x , n ∈N +； x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=;x x e e =)'(; a a a x x ln )'(=; xx 1)'(ln =; 111(l o g )l o g ln a a x e x a x '=⋅=. 2．常用导数运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±. 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+ . 法则3 )0)(()()()()()(])()([2≠'-'='x v x v x v x u x v x u x v x u 3．复合函数的导数法则：设函数u ＝g (x )在点x 处有导数()x u g x ''=，函数f (u )在点x 处的u 处有导数()u y f u ''=；则复合函数y =f [(x )]在点x 处也有导数，且.x u x y y u '''=⋅也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.1. 下列求导运算正确的是 ( )e x x xx x A x 3x 222log 3)D.(3 -2xsinx )cosx (x C. 2ln 1)B.(log 11)1.(='='='+='+2. 3(21)y x =+在0x =处的导数是 ( )A. 0B. 1C. 3D. 63. 函数n m mx y -=2的导数为34x y =',则 ( )A.m = 1,n = 2B.m =－1,n=2C.m =－1,n =－2D.m =1,n =－2 4.已知2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim3--→x x f x x 的值为 ( )A. －4B. 0C. 8D. 不存在5．一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s t t t =-+,那么速度为零的时刻是（ ）A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末6.过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 。

导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。

导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。

已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。

已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。

已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。

已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。

解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。

解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。

导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。

求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。

下面是一些求导数的练习题，供大家参考。

(1)θ=sinx,y=cosx。

(x)=3xx=0为函数的极值点。

随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。

导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。

因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。

导数练习题(含答案)导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A 193B 103C 163D 1332 已知直线1y kx =+与曲线3y xax b =++切于点（1，3），则b 的值为A 3B -3C 5D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()xa - B 223()xa + C 223()xa - D 222()xa +4 曲线313y xx=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 23 5 已知二次函数2y axbx c=++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是A 211()1x x x '+=+ B 21(log )ln 2x x '= C 3(3)3log xxe'=⋅ D2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为A 6πB 34πC 4πD 3π9 曲线3231y xx =-+在点(1,1)-处的切线方程为A 34y x =-B 32y x =-+C 43y x =-+ D45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为A 36t ∆+B 36t -∆+C 36t ∆-D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A 5B 25 5 D 0 13 过曲线32y xx =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为A (0,1)(1,0)-或B (1,4)(1,0)--或C (1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y xx =-+上移动，设点P 处切线的倾斜A BC D角为α，则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________ 16函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数 （1）1sin 1cos x y x-=+ (2)5sin x x xy ++=(3)11x xy x x=-+ (4)tan y x x=⋅20 已知曲线21:Cy x =与22:(2)Cy x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x .2．(2019·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．(2019·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线y ＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∴f′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)，∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理，得(a －1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f′(1)＝－1，故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019 答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f′(x)＝1x ＋1，故f′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x ＋x 答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx 是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x 是偶函数，图像关于y 轴对称；D 项中，f ′(x)＝e x ＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 由f′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f′(x)的图像大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f′(0)＝1，故选C. 10．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析 因为f′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.11．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B. 12．(2019·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( )A ．ln2B ．2ln2C ．2 D. 2答案 A解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x ＋ae －x ＝e －x ＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x ，所以f′(x)＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f′(0)＝________． 答案 －120解析 f′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.16．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 y ＝－2x －1解析 由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f′(x 0)＝g′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 18．(2019·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。

导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。

在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。

本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。

一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。

2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。

这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。

3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。

这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。

4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。

这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。

二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算目录模拟基础练题型一：导数的定义及变化率问题题型二：导数的运算题型三：在点P 处的切线题型四：过点P 的切线题型五：公切线问题题型六：已知切线或切点求参数问题题型七：切线的条数问题题型八：利用导数的几何意义求最值问题题型九：牛顿迭代法题型十：切线平行、垂直、重合问题题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题题型十二：切线斜率的取值范围问题重难创新练真题实战练题型一：导数的定义及变化率问题1．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h®+--=（a 为常数），则0()f x ¢=（ ）A ．2a-B ．a-C ．aD ．2a2．对于函数()f x ，若()0f x ¢存在，求：(1)()()000()limh f x h f x h®+---；(2)()()000lim h f x h f x h h®+--．题型二：导数的运算3．求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-4．求下列函数的导数：(1)22()2f x a ax x =+-；(2)sin ()ln x xf x x=.(3)()2(34)21y x x x =-+；(4)2sin 12cos 24x x y æö=-ç÷èø；(5)y ＝2ln 1xx +.(6)221()(31)y x x =-+；(7)sin 2cos 2y x x x =-；(8)e cos x y x =；(9)y ＝ln(21)x x+.(10)n 1l y x x=+(11)sin x y x=(12)22(1e )2x y x x -=+-.5．已知函数()e 2(0)1x f x f x ¢=++，则()2f ¢的值为 ．（2024·河南·一模）6．已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，且23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---，则()f x 的极值点为（ ）A ．32或12B ．12C ．12-或32D ．32题型三：在点P 处的切线7．曲线e x y =在点(0,1)处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．210x y -+=（2024·黑龙江·二模）8．函数()31f x x =+在1x =-处的切线方程为（ ）A ．46y x =+B ．26y x =-+C ．33y x =--D ．31y x =--（2024·全国·模拟预测）9．函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（ ）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=10．下列函数的图象与直线y x =相切于点()0,0的是（ ）A ．3y x =B ．sin y x=C ．e xy =D ．()ln 2y x =+题型四：过点P 的切线11．过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是 .12．已知直线l 为曲线314()33f x x =+过点(2,4)P 的切线. 则直线l 的方程为 .13．已知函数()ln f x x =，过点()0,0P 作曲线()f x 的切线，则其切线方程为 .14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点()e,1--（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是，切线方程为题型五：公切线问题15．经过曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点，且与曲线e 1x y =+和1e x y +=的公切线l 垂直的直线方程为（ ）A ．8870x y ++=B ．8870x y +-=C ．8810x y -+=D ．8810x y --=16．已知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +=（ ）A ．2B ．12C ．eD ．1e17．过原点的直线l 与曲线()e ,ln xy y x a ==+都相切，则实数a =（ ）A ．12B ．14C ．1eD ．2e18．若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(ln 21,)--+¥B ．[ln 21,)--+¥C ．(ln 21,)-++¥D ．[ln 21,)-++¥19．已知曲线e x y =在点()11,x y 处的切线与曲线ln y x =在点()22,x y 处的切线相同，则()()1211x x +-=（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．220．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()02P ，处有相同的切线，则+a b c 的值为（ ）A ．0B ．πC ．2D ．3题型六：已知切线或切点求参数问题（2024·山东临沂·二模）21．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为 .（2024·高三·云南楚雄·期末）22．若直线y x m =+与曲线()320y x x x =-<相切，则切点的横坐标为 .（2024·湖北·二模）23．y kx b =+是2ln xy x =在(1,0)处的切线方程，则b = ．（2024·高三·安徽亳州·期末）24．已知直线l 的斜率为2，且与曲线2e x y =相切，则l 的方程为.（2024·全国·模拟预测）25．若直线y kx b =+与函数()e xf x =的图象相切，则k b -的最小值为（ ）A ．eB ．e-C ．1e-D ．1e（2024·四川绵阳·一模）26．设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（ ）A ．12e-B ．211e -C ．212e -D ．212e +题型七：切线的条数问题27．若过点()2,t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．2e t <B ．0e t <<C ．ln 2t <D ．ln 2t >（2024·全国·模拟预测）28．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（ ）A ．4,e æö+¥ç÷èøB ．4e ìüíýîþC ．40,e æöç÷èøD ．{}40,0e æöÈç÷èø（2024·宁夏银川·二模）30．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥题型八：利用导数的几何意义求最值问题（2024·陕西西安·二模）31．若1112ln 30x x y --+=，2250x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．B ．6C ．8D ．12（2024·广东·一模）32．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线1ey x =上，则PQ 的最小值为（ ）A BC D 33．已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（ ）A B C ．1D ．e（2024·高三·四川成都·期末）34．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+35．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线ln y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C D参考答案：1．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】0()f x ¢=()()0001lim222h f x h f x h a a h®+--=´=.故选：C.2．(1)()0f x ¢(2)()02f x ¢【分析】（1）利用导数的定义求解即可；（2）利用导数的定义求解即可；【详解】（1）0h ®Q 时，0h -®()()()()()000000()()limlimh h f x h f x f x h f x f x hh®-®+--+--¢=-\=-（2）[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--Q 又0000()()lim()h f x h f x f x h ®+-¢=()()()()()0000000limlimh h f x f x h f x h f x f x h h®-®---=-¢-\=0000()()lim 2()h f x h f x h f x h®+--¢\=3．(1)()12e 56x y xx +=++¢(2)22sin(21)cos(21)x x x y x -+-+¢=(3)(12)1y x x =+¢(4)231211y x x =++¢(5)y ¢ln 2x x=+(6)213e e xxy x ¢=++【分析】（1）—（6）根据导数的运算法则及基本初等函数函数的导数公式计算可得.【详解】（1）因为()2133e x y x x +=++，所以()()()212133e 33e x x y x x x x ++¢¢¢=++×+++×()121(23)e 33e x x x x x ++=++++()12e 56x x x +=++.（2）因为cos(21)x y x+=，所以2[cos(21)]cos(21)x x x x y x ¢¢+-+×¢=22sin(21)cos(21)x x x x -+-+=.（3）因为ln 12xy x=+，所以1212x x y x x ¢+æö¢=×ç÷+èø2122(12)(12)121x x x x x x x +-=+×=++.（4）因为1()23()()y x x x =+++326116x x x =+++，所以231211y x x =++¢.（5）因为2ln 2y x x x x =+-+，所以1ln 21y x x x x¢=+×+-ln 2x x =+.（6）因为31ln 2e exx y x =++-，所以213e exx y x ¢=++.4．(1)()22f x a x ¢=-(2)2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-¢=(3)218104y x x -¢=-(4)1cos 2y x¢=-(5)()222212ln 1x x x y x x +-¢=+(6)21843y x x ¢=+-(7)12cos 4y x¢=-(8)()e cos sin ¢=-xy x x (9)22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++(10)211x x =-(11)2cos sin x x xy x -¢=(12)22)3e (-¢=+-xy x 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.【详解】（1）解：因为22()2f x a ax x =+-，所以()22f x a x ¢=-；（2）解：因为sin ()ln x xf x x=，所以22(sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()(ln )ln x x x x x x x x x x x xf x x x ¢¢×-×+-¢==；（3）解：因为()2325(3)42164y x x x x x x =-+=--，所以218104y x x ¢=--；（4）解：因为21sin 12cos sin cos sin 24222x x x x y x æöæö=-=-=-ç÷ç÷èøèø，所以1cos 2y x ¢=-；（5）解：因为2ln 1xy x =+，所以()()()()2222ln 11ln 1x x x xy x ¢¢+-+¢=+()()()2222222112ln 12ln 11x x x x x x x x x x +-+-==++；（6）解：因为232()()21316231y x x x x x =-+=+--，所以21843y x x ¢=+-；（7）解：因为sin 2cos 2y x x x =-1sin 42x x =-，所以114cos 412cos 42y x x ¢=-´=-；（8）解：因为cos x y e x =，所以()cos sin cos sin x x xy e x e x e x x ¢=-=-；（9）解：因为ln(21)x y x+=，所以[]2ln(21)ln(21)x x x x y x ¢¢+-+¢=＝22ln(21)21xx x x -++＝22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++；（10）解：因为n 1l y x x=+，所以()2111ln y x x x x ¢æö¢¢=+=-ç÷èø；（11）解：因为sin xy x=，所以22(sin )sin cos sin x x x x x x xy x x ¢¢-×-¢==；（12）解：因为22(1e )2x y x x -=+-，所以22222(2)()()2213x x x y x e x x e x e ---¢=+-++--=.5．2e 2-【分析】先求出()0f ¢的值，进而求出()2f ¢即可.【详解】由题意知：()()e 20xf x f =¢+¢，所以()()0120f f =+¢¢，所以()01f ¢=-，所以()e 2xf x ¢=-，所以()22e 2f ¢=-.故答案为:2e 2-.6．D【分析】先对函数求导，先后代入3x =和1x =，确定函数()f x 的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.【详解】对23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---进行求导，可得31()(3)2(1)47f x f f x x¢=-×¢--，将3x =代入整理，4(3)21(1)140f f ¢++=①将 1x =代入23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---可得(1)(1)4f f =--，即(1)2f =-，将其代入① ，解得：(3)7f ¢=，故得2()3ln 24f x x x x =-+-.于是3()44f x x x¢=-+-，由()0f x ¢=可得12x =-或32x =，因0x >，故当302x <<时，()0f x ¢<，当32x >时，()0f x ¢> ，即32是函数()f x 的极小值点，函数没有极大值.故选：D.7．C【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解.【详解】()e xy f x ==Q ，()'e x f x \=，()'01f \=，\曲线e x y =在点()01，处的切线方程为：1y x =+，即10x y -+=，故选：C ．8．D【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x ¢=-，所以()()21313f ¢-=-´-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D 9．B【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由()()2e 22x f x x x =-+，可得()2e xf x x ¢=，则()11e f ¢-=，又()()()2151e 1212e f -éù-=--´-+=ëû，则所求切线方程为()511e ey x -=+，即e 60x y -+=．故选：B ．10．B【分析】利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，并由切点进行逐一判断即可得出结论.【详解】A ．323y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为0，不符合；B ．sin cos y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为1，所以切线为01(0)y x -=-，成立；C ．D ．两个函数均不经过()0,0，不符合.故选:B ．11．(1,e)【分析】设切点坐标为00(,e )x x ，根据导数的几何意义求出切线方程，将(0,0)代入，即可求得答案.【详解】由题意设切点坐标为00(,e )x x ，由e x y =，得e x y ¢=，故直线l 的斜率为0e x ，则直线l 的方程为00e e ()x x y x x -=-，将(0,0)代入，得0001e e ,x x x x -=-\=，则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)12．20x y -+=或440x y --=【分析】设切点为00(,)M x y ，由导数的几何意义求得切线方程，代入P 点坐标求出0x ，再回代得切线方程．【详解】∵314()33f x x =+，∴2()f x x ¢=. 设直线l 与曲线()f x 相切于点00(,)M x y ，则直线l 的斜率为200()k f x x ¢==，∴过点00(,)M x y 的切线方程为000()()()y f x f x x x ¢-=-，即3200014()()33-+=-y x x x x ，又点(2,4)P 在切线上，∴32000144()(2)33x x x -+=-，整理得3200340x x -+=，∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x =；∴所求的切线方程为20x y -+=或440x y --=.故答案为：20x y -+=或440x y --=.13．1ey x =【分析】设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点()0,0P ，代入求出0x ，即可求出切线方程.【详解】设切点为()00,ln x x ，由()ln f x x =，则()1f x x¢=，则()001f x x ¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过点()0,0P ，所以0ln 1x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =.故答案为：1ey x =14．(e,1)ex y =【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入()e,1--可得00ln e x x =，构造函数()ln H x x x =，求导，根据函数的单调性结合()e =e H ，可得0e x =，即可求解.【详解】设点A (x 0,y 0)，则00ln y x =.又1y x¢=，当0x x =时，01y x ¢=，曲线ln y x =在点A 处的切线方程为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点()e,1--，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，记()ln H x x x =，当x ∈(0,1)时，()0H x <，当x ∈(1,+∞)时，()0H x >，且()ln 1H x x =¢+，当1x >时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()e =e H ，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1，切线方程为ex y =，故答案为：()e,1，ex y =15．B【分析】首先联立37y x x =-与353y x x =--+得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，利用导数的几何意义得到方程，求出1x ，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.【详解】由33753y x xy x x ì=-í=--+î，消去y 整理得38430x x +-=，令()3843F x x x =+-，则()22440F x x ¢=+>，所以()3843F x x x =+-在R 上单调递增，又31118430222F æöæö=´+´-=ç÷ç÷èøèø，所以方程组33753y x x y x x ì=-í=--+î的解为1238x y ì=ïïíï=ïî，即曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点的坐标为13,28æöç÷èø，设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，而()e x f x ¢=，1()e x g x +¢=，11()e x f x ¢\=，212()e x g x +¢=，\122111121e e e e 1e x x x x x x x++ì=ïí--=ï-î，解得1201x x =ìí=-î，0(0)e 1f ¢\==，即公切线l 的斜率为1，故与l 垂直的直线的斜率为1-，所以所求直线方程为3182y x æö-=--ç÷èø，整理得8870x y +-=．故选：B ．16．A【分析】设(),e tt 是()f x 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线()ln 2g x x =+上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，设(),e tt 是()f x 图象上的切点，()e x f x ¢=，所以()f x 在点(),e tt 处的切线方程为()e e t t y x t -=-，即()e 1e t t y x t =+-①令()1e t g x x=¢=，解得()e ,e lne 22t t t x g t ---==+=-，即直线(R,0)y ax b a b =+Î>与曲线()ln 2g x x =+的切点为()e ,2tt --，所以2e e e t t t t t ---=-，即()11e tt t -=-，解得0t =或1t =，当1t =时，①为e ,0y x b ==，不符合题意，舍去，所以0t =，此时①可化为1y x =+，所以112a b +=+=，故选：A 17．D【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.【详解】由e x y =得e x y ¢=，由()ln y x a =+得1y x a¢=+，设过原点的直线l 分别与曲线()e ,ln xy y x a ==+相切于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则由导数的几何意义得111e x y x =，且11e x y =，故11x =，所以直线l 的斜率为e ，所以2221e y x x a ==+，所以()22ln e x a x +=，所以2e 1x =-，即21e x =-，代入21e x a =+得2e a =.故选：D 18．A【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x¢=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =×+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x ¢=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x ¢=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+¥，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.19．B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：e e x x y y ¢=Þ=，1ln y x y x¢=Þ=，则两函数在点()11,x y 和()22,x y 处的切线分别为：()()1112221e,x y y x x y y x x x -=--=-，化简得()111221e 1e ,ln 1x x y x x y x x x =+-=+-由题意可得：()112121e 1e ln 1x x xx x ì=ïíï-=-î，化简得()()12211210112x x x x x x +-+=Þ+-=-.故选：B 20．C【分析】根据两曲线在()02P ，有公切线，则P 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出,,a b c 的值，则答案可求【详解】由已知得(0)2(0)12f a b g c =+=ìí=+=î，解得1,2c b a ==-，又()()ππ,e sin 22xf x ag x x ¢¢==-，所以(0)(0)f g ¢¢=得0a =，所以0,2,1a b c ===，所以0212a b c +=+=.故选：C.21．31,e éö-+¥÷êëø【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x¢=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a=++×=+¢，令()0g a ¢>，可得31e a >，令()0g a ¢<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e æöç÷èø上单调递减，在31,e æö+¥ç÷èø上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e e e e e e g a g æö==+=-=-ç÷èø.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e éö-+¥÷êëø.故答案为：31,e éö-+¥÷êëø.22．1-【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由()320y x x x =-<求导得()2320y x x ¢=-<，直线y x m =+斜率为1，代入导函数有：()23210x x -=<，解得=1x -.故答案为：1-23．1-【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.【详解】令2ln ()x y f x x==，42ln ()x x xy f x x -¢¢==，则(1)1k f ¢==，则方程为y x b =+，将(1,0)代入方程，得01b =+，解得1b =-，故答案为：1-24．22y x =+【分析】由题意令()2e 2xf x =¢=，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.【详解】设()2e x f x =，令()2e 2xf x =¢=，得0x =，则切点为(0,2)，故所求l 的方程为22y x =+.故答案为：22y x =+.25．C【分析】由题意，设出切点，利用导数求出函数()e xf x =在该点的切线方程，对照已知的切线方程，得到k b -的解析式，故构造函数，利用导数知识求解其最小值即得.【详解】由()e xf x =可得()e x f x ¢=，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e ,x xy x x =+-依题意，()000e ,1e x x k b x ==-，故00e xk b x -=．设()e xg x x =， 则()()1e xg x x +¢=，当1x <-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，故()g x 的极小值为()11e g -=-，也是最小值，即k b -的最小值为1e -．故选：C.26．C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -¢=+，所以过切点的切线方程为()()()000e 1e x x y x x x ----=+-，即()()001ee1x x y x x --=+-+，所以()0001e e 1x x a b x --ì=+ïí=-+ïî，所以002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----¢=-+-=-，所以当(),2x Î-¥时()0g x ¢<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x Î+¥时()0g x ¢>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C 27．D【分析】设出切点000(,ln ),(0)x x x >，写出切线方程，依题转化成000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，求得()g x 的单调区间和最大值即可得解.【详解】设切点为000(,ln ),(0)x x x >，由题得：1y x¢=，故切线斜率为01x ，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-，因切线经过点()2,t ，则0001ln (2)t x x x-=-，故000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.不妨设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，则()ln ,g x t x ¢=-当0e t x <<时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当e t x >时，()0g x ¢<，()g x 单调递减.故max ()(e )e 2t tg x g ==-，则e 20t ->，即ln 2t >.故选：D.28．A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为()()02000,e 22x x x x -+，由()()2e 22x f x x x =-+可得()2e xf x x ¢=，则过坐标原点的切线的斜率()0020020e 22ex x x x k x x -+==，故()32000210x x x -+-=，即()()200120x x -+=，解得01x =，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A ．29．B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，根据导数研究函数()g a 的图象可得结果.【详解】设过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切时的切点为(),a b ，则1e aa b +=，因为()()()2e 1e 1,e e ex x x xx x x xf x f x -++==-¢=，所以切线方程为()1e ea a a ay x a +-=--，又()1,P t -在切线上，所以()11e e a a a a t a +-=---，整理得2(1)e aa t +=，则过点()1,P t -的直线与函数()1ex x f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e aa g a +=的图象的公共点的个数，因为()()()()2221e (1)e 11e e a a a aa a a a g a ¢+-+-+-==，令()0g a ¢=，得1a =±，所以，当1a <-时，()()0,g a g a ¢<单调递减；当11a -<<时，()()0,g a g a ¢>单调递增；当1a >时，()()0,g a g a ¢<单调递减，因为()()410,1eg g -==，当a ®+¥时()0g a ®，所以，函数()g a 的图象大致如图：所以当4et =时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点()1,P t -的直线与函数()1e x x f x +=的图象相切的切线条数转化为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数()g a 的图象.30．B【分析】根据直线和曲线相切得到322340t t m -+=，结合导数及函数零点的个数可得答案.【详解】点()1,P m 不在函数()33f x x mx =-的图象上，则()113f m m =-¹，即14m ¹，设过点P 的直线与()33f x x mx =-的图象相切于()3,3Q t t mt -，则切线的斜率()323331t mt mk f t t m t --¢==-=-，整理可得322340t t m -+=，则问题可转化为()32234g t t t m =-+只有一个零点，且()266g t t t ¢=-，令()0g t ¢=，可得0t =或1t =，当(),0t Î-¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，当()0,1t Î时，()0g t ¢<，则()g t 单调递减，当()1,t Î+¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，即当0t =时，()g t 有极大值，当1t =时，()g t 有极小值，要使()32234g t t t m =-+仅有一个零点，(0)(1)00g g m ×>Þ<或14m >故选：B31．C【分析】设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>和5y x =+，转化为切点P 到直线50x y -+=的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>，直线5y x =+，设直线y x b =+与函数()y f x =的切点为00(,)P x y 可得()21f x x¢=-，可得()00211f x x ¢=-=，解得01x =，可得02y =，即切点坐标为(1,2)P ，则切点到直线50x y -+=的距离为d ，又因为()()221212x x y y -+-表示点P 到直线50x y -+=的距离为平方，所以()()221212x x y y -+-的最小值为28d =.故选：C.32．B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令e e 1xy ¢==，得1x =-，代入曲线11e e y -==，所以PQ 的最小值即为点11,e æö-ç÷èø到直线1e y x =的距离d =.故选：B.33．A【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x ¢=Þ=+，当1ex >时，()()0,f x f x ¢>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x ¢<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P ¢=+=Þ=Þ=Þ，所以min PQ ==故选：A34．A【分析】先观察出函数关于1x =对称，在根据所求的式子可以判断1x >时比1x <的值要大，所以只需研究1x >的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.【详解】由函数解析式可知函数y 关于1x =对称，设z ()1x n n =<则z =()21x n n =-<，z =>即当1x >时z 的值要大于1x <时z 的值，所以只需研究1x >的情况即可， 当1x >时，12e 24x y x x -=+-，设1,4x a y b -=+=，b t a=则22222222111a ab b z b a a b t a b t++==+=++++， 根据复合函数单调性可知：()0,1t Î时，2z 递增，当(1,)t Î+¥，2z 递减.41b y t a x +==-，所以t 的几何意义是函数12e 24x y x x -=+-上一点与点()1,4-的斜率，设过点()1,4-的切线与函数12e 24x y x x -=+-的交点坐标（即切点）为()12,e24m m m m-+-(1)>m ，1e 44x y x -¢=+-，所以切线的斜率1e 44m k m -=+-，切线方程为()()()121e 24e 44m m y m m m x m ---+-=+--，把点()1,4-代入切线方程整理得：()()1e220m m m -+-=，所以2m =或1e 20m m -+=，设()1e 2mf m m -=+，()1e 20m f m -+¢=>，所以()f m 在(1,+∞)单调递增，所以()()13f m f >=，即1e 20m m -+=不合题意，所以2m =，此时切线的斜率1e 44e 4m k m -=+-=+，如图：[)e4,¥++，所以当e 4t =+时，2z 最大，此时z ==.故选：A【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：（1）换元法；（2）函数单调性法；（3）复合函数法；（4）数形结合；（5）导数法；（6）基本不等式.35．C【分析】求|PQ |的最小值转化为求P 到直线y x =的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案.【详解】e x y = 和ln y x =互为反函数，问题可以转化为直线y x =到e x y =距离的两倍.e x y ¢=，令e 1x =，得0,x =故切点为（0,1），min故选：C.。