第2章 地球物理中常用数值解法的基本原理-2
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地球物理计算方法课件：第二章_数值积分 3
R
I
S n
ba 180
h 4
2
f
(4) ( )
b a h4 2880
f
(4) ( ),
(a,b).
n , h4 0, R 0
具有相应的收敛性和稳定性.
10
复化求积公式的截断误差
复化梯形公式的截断误差：
RT ( f )
b
f (x)dx T
a
n
h3 12
nf
(
)
ba 12
h2
f
(
)
I S2n 1 I Sn 16
移项整理，知
I
16 15
S
2n
1 15
Sn
16
1
这个值正好是科特斯公式的结果。也可写为 Cn 15 S2n 15 Sn
Cn (1 )S2n Sn
1
15
3、Romberg公式
重复同样的手续，依据柯特斯法的误差公式可进一步导出下列 龙贝格公式：
Rn
64 63 C2n
1 63 Cn
这个公式也可写为
Rn (1 )C2n Cn
1
63
18
一般递推公式：
k次二分得到得到的m次加速值，龙贝格一般公式
T (k) m
4m 4m
1
T (k m1
1)
1 4m 1
T( m1
k
)
.k
1,2,....
19
4、 Romberg算法的实现
计算流程见P70,实现步骤：
① 用梯形公式计算积分近似值
xk a kh(k 0,1,, n),
由定积分性质知
I
b
n1
f (x)dx
应用地球物理学原理第二章01
• (2.1-16)式代表了空间的一个曲面，该 面上重力位处处相等，故叫作重力等位 面。 • 该面又处处与重力方向垂直，测量学上 又称作水准面，因为此时水不会流动而 静止下来。 • 由于 积分常数有无数多个，因而重力等 位面也有无数多个。
• 我们将其中一个与平均的海洋面(在 陆 地上是它的顺势延伸而构成封闭的曲面) 重合的那个重力等位面称为大地水准面，
2 1/ 2
• ③在质体τ内某点的位：
V lim G
0 0
d
G
d
• 式中δ为质体τ中挖出的空洞τ0的最大线 径。 • 由②、③中的两式可知位在整个空间是 连续的。
• 离心位为：
gradU C r ( x i y j )
2 2
P mg
• m 为物体的质量，P也就是人们常说的 物体的重量。
• 为方便比较重力场中各点重力值的大小， 总是采用单位质量在重力场中所受的重 力大小来度量 • 这即是场论中的重力场强度，由(2.1-2) 式可知:
P g m
• 该式表明：重力场强度与重力加速度无 论在数值上还是单位的量纲上都是相同 的，今后本书 中所说的重力不再是重量 的概念，而是指重力加速度或重力场强 度。 • 通常所说的重力，实际上是指单位质量 所受的力，在数值上等于重力加速度。
dm 2
• 式中G为万有引力常数，其值为 • 6.67×１０-11ｍ3／（ｋｇ·2）， s • ｄｍ为地球内部某一质量单元，它的坐标为(ξ， η，ζ)， • ρ为A点至dm的距离 ，其值 • ρ＝[(ξ－ｘ）2＋(η－ｙ)2＋(ζ－ｚ)2］1/2 • ρ/ρ为由A至dm方向上的单位矢量， • M为地球的总质量。
测绘技术中的地球物理数据处理与解释技术介绍
测绘技术中的地球物理数据处理与解释技术介绍地球物理数据处理与解释是测绘技术中的重要环节，它能够为地球科学研究和资源勘探提供关键的数据支持。
下面将介绍地球物理数据处理与解释技术的原理和应用。
一、地球物理数据处理技术地球物理数据处理技术是指通过将地球物理数据进行预处理、处理和后处理等一系列步骤，提取和处理出有效的地球物理信息。
其中，最常见的地球物理数据包括地震数据、电磁数据、重力数据和磁力数据等。
1. 地震数据处理地震是指地球内部发生的震动现象，通过地震数据的处理，我们可以了解到地下岩石的构成、厚度和形状等信息。
地震数据处理的主要步骤包括地震数据质量控制、地震数据成像和地震数据解释等。
地震数据经过处理后，可以生成地震剖面图和速度模型，为地下构造和资源勘探提供了重要的参考。
2. 电磁数据处理电磁数据是指通过测量地球表面的电磁场变化来研究地下结构和资源的一种方法。
电磁数据处理的主要步骤包括数据质量控制、数据解释和数据建模等。
电磁数据处理可以提供地下岩石的电导率分布图，从而为地下水资源勘探和矿产资源勘探等提供了重要的数据支持。
3. 重力数据处理重力数据是通过测量地球引力场的变化来研究地表和地下质量分布的一种方法。
重力数据处理的主要步骤包括数据质量控制、数据解释和数据建模等。
重力数据处理可以提供地下质量分布图，从而为地下岩石的密度分布和构造特征提供了信息。
4. 磁力数据处理磁力数据是通过测量地球磁场的变化来研究地下磁性物质的一种方法。
磁力数据处理的主要步骤包括数据质量控制、数据解释和数据建模等。
磁力数据处理可以提供地下磁性物质的分布图，从而为矿产资源勘探和地下构造研究等提供了重要的数据参考。
二、地球物理数据解释技术地球物理数据解释技术是指通过对处理后的地球物理数据进行解释和分析，得出地下结构和地下资源的有关信息。
地球物理数据解释技术主要包括数据解释方法和解释工具两个方面。
1. 数据解释方法数据解释方法是指通过对处理后的地球物理数据进行反演、成像和模拟等方法，得出地下结构和资源的一系列信息。
应用地球物理学原理
应用地球物理学原理地球物理学原理是一种研究地球内部结构和物质性质的科学方法。
这种方法主要通过测量和分析地球各种物理场的变化，如地震波、重力场、地磁场、电磁场等，来推导出地球的内部特征。
地球物理学原理被广泛应用于地质勘探、矿产资源调查、地震灾害预测、环境监测等领域。
地球物理学原理的应用之一是地震探测。
地震是指地下岩石断裂或移动释放出的能量，它会产生地震波。
地震波的传播受到地下岩石的物理特性影响，如密度、弹性模量等。
通过记录地震波在地球内部的传播路径和速度变化，可以推断出地壳、地幔、地核等不同岩石层的特征。
这对于了解地球的内部结构、划分地质单元、寻找地下矿产资源等具有重要意义。
另一个地球物理学原理的应用是重力测量。
地球的重力场是由地球质量分布引起的，而地形和地下岩石的变化会对重力场产生影响。
通过测量不同地点的重力值，可以推断出地下岩石的密度变化。
重力测量在石油勘探、矿产资源调查、地质环境评价等方面都有广泛应用。
地球物理学原理还可以应用于地磁测量。
地球具有一个磁场，它由地球内部的液态外核运动产生。
地磁场的强度和方向会随着地下岩石的变化而变化。
通过测量地磁场的强度和方向，可以推断出地下岩石的性质和构造。
地磁测量在地质构造研究、矿产资源勘探等方面有着重要的应用价值。
最后，地球物理学原理还可以应用于电磁测量。
地球内部岩石的导电性和磁性会对地下电磁场产生影响。
通过测量地下电磁场的变化，可以推断出地下岩石的电导率、磁化率等特性。
电磁测量在地质工程、环境监测等方面有广泛应用。
综上所述，地球物理学原理是一种研究地球内部结构和物质性质的重要科学方法，它在地质勘探、矿产资源调查、地震灾害预测、环境监测等领域都有着广泛应用。
偏微分方程的chebyshev谱方法及地球物理应用_概述说明
偏微分方程的chebyshev谱方法及地球物理应用概述说明1. 引言1.1 概述：在科学研究和工程应用中，许多实际问题可以通过偏微分方程的数值解来描述和求解。
而传统的数值方法面临着计算量大、精度不高等问题，因此需要寻找更有效的数值解法。
本文将重点介绍一种被广泛应用于偏微分方程求解的数值方法——Chebyshev谱方法，并结合地球物理学领域进行具体应用案例的介绍。
1.2 文章结构：本文共分为五个部分。
引言部分对文章整体进行概述，从概念上引出本文涉及的主题。
接下来，第二部分将对Chebyshev谱方法进行简要介绍，包括其基本原理和在偏微分方程中的应用。
第三部分将概述常见的偏微分方程类型及其特点，并对比各种数值解法的优势与局限性，并重点探讨了Chebyshev谱方法在偏微分方程数值解中的优势与局限性。
第四部分将从地球物理学角度出发，回顾地球物理学基础知识并说明偏微分方程在该领域中扮演着重要作用。
同时，还将通过实际案例介绍Chebyshev谱方法在地球物理学领域的应用。
最后，第五部分将对全文进行总结，展望Chebyshev谱方法及其应用的未来发展，并提出可能的未来研究方向建议。
1.3 目的：本文的目的是较为全面地介绍Chebyshev谱方法在偏微分方程数值解中的原理、优势与局限性，并通过地球物理学领域的具体应用案例，展示其实际效果和潜力。
通过本文的阐述，读者将对Chebyshev谱方法有一个深入了解，并且能够明确其在求解偏微分方程问题时的适应性和可行性。
最终，希望能够引起读者对该方法及其应用领域进一步研究与探索的兴趣。
2. chebyshev谱方法简介:2.1 chebyshev多项式及其性质:chebyshev多项式是指满足切比雪夫微分方程的一类特殊函数。
它们可以表示为T_n(x) = cos(n \arccos(x)), 其中n为非负整数，x为定义域在[-1, 1]上的变量。
chebyshev多项式具有许多重要的性质，如其具有正交性、极值点等。
第2章 地球物理中常用数值解法基本原理-有限差分法
2 1
等代入
U f x, y ,
2
x, y
Ui , j 1 2Uij Ui , j 1 h
2 2
hUij
Ui 1, j 2Uij Ui 1, j h
2 1
fij
2 截断误差为 O h
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式
2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 U x , y U x , y 1 1 1 U xi , y j 5 i j i j 3 4 6 h h h O h 1 1 1 1 3 4 5 3! x 4! x 5! x 2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 1 U xi , y j 3 1 U xi , y j 4 1 U xi , y j 5 6 h h h O h 1 1 1 1 3! x3 4! x 4 5! x 5
如果两个节点满足
i1 i2 j1 j2 1 ，称其为相邻节点。
非正则内点
正则内点——邻点都在区域内；
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式 对正则内点，
U xx , U yy
U xi , y j x U xi , y j x
2
特征方程
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
2 a12 a11a22 0
等代入
U f x, y ,
2
x, y
Ui , j 1 2Uij Ui , j 1 h
2 2
hUij
Ui 1, j 2Uij Ui 1, j h
2 1
fij
2 截断误差为 O h
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式
2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 U x , y U x , y 1 1 1 U xi , y j 5 i j i j 3 4 6 h h h O h 1 1 1 1 3 4 5 3! x 4! x 5! x 2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 1 U xi , y j 3 1 U xi , y j 4 1 U xi , y j 5 6 h h h O h 1 1 1 1 3! x3 4! x 4 5! x 5
如果两个节点满足
i1 i2 j1 j2 1 ，称其为相邻节点。
非正则内点
正则内点——邻点都在区域内；
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式 对正则内点，
U xx , U yy
U xi , y j x U xi , y j x
2
特征方程
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
2 a12 a11a22 0
地球物理计算方法课件：绪论2
(x)
1 10l1
2(1 1)
则x至少具有l位有效数字（即至少精确到它的第l位）。
例: 当用3.1416来表示 的近似值时，它的相对误差是多少？
例 为了使 x 20 的近似值x的相对误差小于0.1%，问至少
取几位有效数字？
误差的传播与估计
误差的传播
两个近似数x1与x2，其误差限分别为ε(x1) 及ε(x2)， 它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
解为 x1=-6.222…, x2=38.25…, x3=-33.65…,
误差来源
用计算机解决科学计算问题(地球物理)的过程如下：
修修改改处处理理
地地质问质题 问题
物物理理模 模型型
数数学学模 模型型
数数值值计 算计算
否否
计足计要算算求结果结是否果满 是否满足
要求
是是 地地质质解 解释释
模型 误差
Cp越大，病态越严重.
避免误差危害的若干原则
1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 x
y
若0 y ， 则x 可能对计算结果带来严重影响，应 尽量避免.
2. 要避免两相近数相减
在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失. 例如， x 532.65, 都y 具5有32五.5位2有效数字， 但 x y 只0.有13两位有效数字. 这说明必须尽量避免出现这类运算. 最好是改变计算方法， 防止这种现象产生.
a1 为0整, m数，取l
x x * 1 10ml. 2
0ln
有效数字与绝对误差限的关系
对 取3位和5位有效数字，他们的误差限是多少？
3* 0.002, 5* 0.000008,
地球物理解释基础-2
建立3D速度模型
沉积岩速度场 3D 盐和沉积层速度场
井的控制
3D DMO速度场 3D MBS（叠前偏移）速度分析 3D 叠后深度偏移
3D 叠后深度偏移
GOCAD 3D 速度包
应用井的信息、3D DMO（倾角动校正）速度信息、2D叠前偏移速度 分析信息和3D叠后深度偏移，来建立3D沉积层速度场 用3D叠后深度偏移，应用3D设计软件来建立盐和沉积层的3D速度场
体侧翼成倾斜状 ；盐侵入体之上形成断层圈闭；岩盖上呈垂直盐株状 ； 古老的盐丘有厚层堆积物 （石膏、碳酸盐岩）
• 盐丘的地震勘探成像问题是关键——盐丘的3D形状，通常需要3D
偏移。盐通常具有比围岩要高很多的P-波速度，围绕盐和周围沉积之间横 向速度差大成为成像主要问题
• 速度横向变化、三维形状的盐丘和陡倾角足以值得应用三维 叠前深度偏移
包括有密度、速度和厚度特征的一 系列水平层的1D地质模型
反演技术
地震反演技主要分四类：
(1)、基于地震数据的声波阻抗反演 (2)、基于模型的测井属性反演 (3)、基于地质统计的随机模拟与随机反演 (4)、叠前地震反演
常用的反演——地震波阻抗估算
算法：递归反演（早期的地震反演算法）
可以从反射系数和上面层的阻抗推断下面地层的阻抗。这个反演常常 叫作Seislog反演
炮检距比较
3D叠前深度偏移,50次覆盖, ,比较炮检距范围对盐成像的影响
炮检距：( a ) 375-1600 m 和 (b ) 375- 3000 m (来自Ratcliff 等人, 1994 )
2D 、3D叠前深度偏移比较
2D叠前深度偏移，显示了剖面 平面外的TOS，BOS不好
3D叠前深度偏移 TOS和BOS都能正 确成像钻井穿过清晰成像的盐背斜
计算地球物理课件 第2章 地球物理中常用数值解法的基本原理-2
在满足边值条件的一切可能位置中，使位能取最小者。设弦处于
某一位置 u x ，计算它的位能(W 1 T 2, 为伸缩率):
2
应变位能 外力作功
第二节 偏微分方程的有限元解法
2.2 两点边值问题——弦的平衡 总位能
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接
推广。
E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x (x1, x2, , xn ) E ，都有| xi | M (i 1, 2, , n) .
有界集
E
的外测度——
m*E
inf
Ii
,
Ii E ， inf 表
i 1
i 1
示最左边的意思。
有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第二节 偏微分方程的有限元解法
x y z x y z （结合律）；
2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足
x x x ; x x ; x y x y ; 1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0”，它满足
x0 x 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使 x x 0
正定：设A是n阶实系 数对称矩阵，如果对 任何非零向量x都有 xTAx>0，就称A正定。
某一位置 u x ，计算它的位能(W 1 T 2, 为伸缩率):
2
应变位能 外力作功
第二节 偏微分方程的有限元解法
2.2 两点边值问题——弦的平衡 总位能
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接
推广。
E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x (x1, x2, , xn ) E ，都有| xi | M (i 1, 2, , n) .
有界集
E
的外测度——
m*E
inf
Ii
,
Ii E ， inf 表
i 1
i 1
示最左边的意思。
有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第二节 偏微分方程的有限元解法
x y z x y z （结合律）；
2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足
x x x ; x x ; x y x y ; 1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0”，它满足
x0 x 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使 x x 0
正定：设A是n阶实系 数对称矩阵，如果对 任何非零向量x都有 xTAx>0，就称A正定。
应用地球物理学原理第二章02
• 太阳日变化另一特点是它与该日的地磁 活动性有关，受太阳黑子活动周期性的 影响。 • 经统计可选出一个月中有最大和 最小干 扰各五天，这几天内世界各地地磁台测 得的周日变化，分别称为国际扰日变化 (S a)和静日变化(Sq)，其它称为一般 日变化。 • 更明显 的极值，在赤道附近变幅最大， 甚至可达200nT，而在±30°附近最小， 近于零，曲线也有 明显的相位反转。
• 地磁要素是随时空变化的，要了解其分布特征， 必须把不同时刻所观测的数值都归算到某一特 定的日期，国际上将此日期一般选在1月1日零 点零分，这个步骤称之为通化。 • 将经通化 后的某一地磁要素值按各个测点的 经纬度坐标标在地图上，再把数值相等的各点 用光滑的曲 线连结起来，编绘成某个地磁要 素的等值线图，便称为地磁图。 • 地磁图按要素D、I、T、H、Z、X及Y可分别绘 制出相应的等值线图，按编图范围分类，有世 界地磁图和局部地磁图两种；
• 这两部分磁异常对编制世界地磁图来说， 均属全球地磁场的局部现象，应属于光 滑滤波除掉的部分。 • 而对于磁法勘查来说，测定和研究地壳 磁场，则是解决地质构造和矿产资 源调 查的一个重要研究对象。
• 综上所述，地球磁场的构成可用下式表 示：
T T0 Tm Tse T T T
• 例如， • 直角坐标系中用北向分量X， 东向分量 Y和垂直分量Z 表示，这些分量分别以 地理 • 北、地理东和垂直向下指向地心为正向; • 球坐标系中用磁偏角D、磁倾角I和水平 分量H表示。 • D是F偏离正北方向的角 度，以F偏东为 正、偏西为负；
• I是F 偏离水平面角度，在北半球取F下 倾的I 为正，在南半球取F上仰的I为正； H是F在水平面上的投影，以指磁北为正 向; • 柱坐标中用磁偏角D,水平分量H和垂直 分量Z表示。 • 地磁学中人们把描述地磁场大小和方向 的物理量X、Y、Z、H、D、I、F 称做 地磁要素。
地球物理反演基本理论与应用方法
地球物理反演基本理论与应用方法目录第一章地球物理反演问题的一般理论1－1 反演问题的一般概念1－2 地理物理中的反演问题1－3 地球物理反演中的数学物理模型1－4 地球物理反演问题角的非唯一性1－5 地球物理反演问题的不稳定性与正则化概念1－6 地球物理反演问题求解思考题与习题第二章线性反演理论及方法2－1 线性反演理论的一般论述2－2 线性反演问题求解的一般原理2－3 离散线性反演问题的解法思考题与习题第三章非线性反演问题的线性化解法3－1 非线性问题的线性化3－2 最优化的基本概念3－3 最速下降法3－4 共轭梯度法3－5 牛顿法3－6 变尺度法（拟牛顿法）3－7 最小二乘算法3－8 阻尼最小二乘法3－9 广义逆算法思考题与习题第四章完全非线性反演初步4－1 线性化反演方法求解非线性反演问题的困难4－2 传统完全非线性反演方法4－3 模拟退火法4－4 遗传算法4－5 其他完全非线性反演方法简介思考题与习题第五章位场勘探中的反演问题5－1 位场资料反演中的几个基本问题5－2 直接法求位场反演问题5－3 单一和组合模型位场反演问题5－4 连续介质参数化的线性反演问题5－5 物性分界面的反演问题思考题与习题第六章电法勘探中深曲线的反演6－1 直流电测深曲线的反演6－2 交流电测深曲线的反演思考题与习题第七章地震勘探中的反演方法7－1 地震资料反滤波处理7－2 波阻抗反演7－3 地震波速度反演7－4 其他地震反演思考题与习题参考文献。
地球物理计算方法课件：第二章_数值积分 1
平均高度
a
bx
左矩形公式 f ( ) f (a )
b
a f (x)dx (b a) f (a)
y
右矩形公式 f ( ) f (b )
b
a f (x)dx (b a) f (b)
y
y=f(x)
y=f(x)
11
a
bx a
bx
中矩形公式
f ( ) f ( a b)
2
b
ab
a f (x)dx (b a) f ( 2 )
0
3
计算 f (x) 1, x, x 2 , x3 , x 4 , e x 时积分结果并与准确值进行
比较.
解:梯形公式和Simpson公式的计算结果与准确值比较如下表所示
f(x) 准确值 梯形公式 辛卜生公式
1 x x2
x3 x4
ex
2 2 2.67 4 6.40 6.389
22 4
8 16 8.389
b
1dx
a
b
a，右
( A0
A1 )
当f (x) x时，左 b xdx 1 (b2 a2 )， 右 [A0a A1b]；
a
2
得到：
A0
A1
b
2
a；
例 若对于给定的一组求积节点 xk (k 0,1, 2, , n) 相应的求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
至少具有n次代数精度，试确定其求积系数．
xnn An
bn1 (n
an1 1) !
其系数矩阵
1 1
x0
x1
x02
x12
x0n x1n
地球物理计算方法
地球物理计算方法
课堂情况反馈
复习 上节课讲了些什么？
问题 （数值积分问题）
数值方法 （高斯积分公式）
复习
适当地选取求积节点（求系数Ak，待求节点xk) ，使求积公式具 有2n-1次代数精度（注意： n个求积节点）。
1
n
f (x)dx
1
Ak f (xk )
k 1
具有2n-1高精度的求积公式为高斯公式，该待求节点xk为高斯点。
效数字）
解：中点公式：
f 1 G h f 1 h f 1 h e1h e1h
2h
2h
h
G(h)
G1(h)
0.8
3.01765
G2(h)
G3(h)
0.4
2.79135
2.715917
0.2
2.73644
2.718137
2.718285
0.1
2.72281
2.719267
2.718276
2.71828
f
( x2 )
p2
(x0
th)
1 2
t
1t
2
f
(x0
)
t(t
2)
f
(x1)
1 2
t
t
1
f
( x2
)
对t求导，得
p
ห้องสมุดไป่ตู้
'2
(x0
th)
1 2h
2t
3
f
(x0
)
4(t
1)
f
(x1)
2t
1
f
( x2
)
t=0,1,2代入上式，得到三种三点公式
28
3、高阶导数公式 可以根据插值多项式构造：
课堂情况反馈
复习 上节课讲了些什么？
问题 （数值积分问题）
数值方法 （高斯积分公式）
复习
适当地选取求积节点（求系数Ak，待求节点xk) ，使求积公式具 有2n-1次代数精度（注意： n个求积节点）。
1
n
f (x)dx
1
Ak f (xk )
k 1
具有2n-1高精度的求积公式为高斯公式，该待求节点xk为高斯点。
效数字）
解：中点公式：
f 1 G h f 1 h f 1 h e1h e1h
2h
2h
h
G(h)
G1(h)
0.8
3.01765
G2(h)
G3(h)
0.4
2.79135
2.715917
0.2
2.73644
2.718137
2.718285
0.1
2.72281
2.719267
2.718276
2.71828
f
( x2 )
p2
(x0
th)
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t
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2)
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对t求导，得
p
ห้องสมุดไป่ตู้
'2
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4(t
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( x2
)
t=0,1,2代入上式，得到三种三点公式
28
3、高阶导数公式 可以根据插值多项式构造：
第二章 电像法
(a,0,0)
-0
q
x
-
边界条件： U x0 0
U r 0
(2)
(3)
0 0
r'
( x' ,0,0)
q’
0
r
(a,0,0)
q
x
地球物理场论II
第二章 电像法
点电荷的电位 U 1 q 4 0 r
设 x0空间的尝试解为
U 1
40
q 1
r 40
q' r'
4 1 0[x ( a )2 q y 2 z 2 ] 1 2 4 1 0[x ( x ')2 q 'y 2 z 2 ] 1 2(4)
Ra
E 1211 r1rr1 1r1'' rr1 1'' R ' R R
Ra
E2
1
22
''
r2''
r2'' r2''
其中
r 1 (R 2 d2 2 Rcdo 1 )1 s 2 r 1 ' (R 2 d'2 2 R'c do 1 )1s 2 r2 '' (R 2 d 2 2 Rcdo 2)1 s 2
q2' K13q q4' K13K12q
2 1 3
q(1K12) (1K12)K13q (1K1)2K1K 31q2
返
回
地球物理场论II
第二章 电像法
一、接地导体球面外一点电荷的电场
如图，设接地导体球面半径为a，球外距球心d处有点电荷q， 试求球外空间的电位分布及球表面的总感应电荷。
解：由静电感应，球面分布 感应自由面电荷，球外电场 由q和感应电荷 产生。
矿大地球物理数据解释技术重点
一、重力勘探1、 地表重力变化的原因地表重力值是随着地点和时间的不同而变化的。
地表重力变化的原因取决于多种因素，这些因素主要是：(1) 地球并不是真正的球体，而是一个两极压扁的旋转椭球体。
(2) 地球表面地形起伏不平，观测点之间的高差变化引起了重力的变化。
(3) 地球不停的绕轴自转，产生的离心力随纬度不同而变化。
(4) 地球内部物质密度分布不均匀，引起了重力的变化。
(5)重力随时间而发生变化 短期变化是指重力的日变，：太阳、月亮等天体引起的重力变化。
也称潮汐变化，3g.u.长期变化主要与地球形状、地球内部的物质运动，如岩浆活动、构造运动、板块运动等有关。
1g.u.2、 剩余密度和剩余质量在重力勘探中，可用剩余密度和剩余质量来描述地下物质密度分布的非均匀性。
设地下有一个体积为V 、密度为σ 的地质体，围岩的密度为 0σ，两者的密度差 0σσσ-=∆称为剩余密度 。
地质体与同体积围岩间的质量差 V m ⋅∆=∆σ，称为剩余质量。
3、 重力资料的校正与处理地面上任一点的重力值都由该点所在纬度、周围地形、固体潮及岩(矿)石的密度变化等四种因素决定。
其中固体潮的影响很小，一般可忽略不计；纬度变化的影响较大，可达500000 g.u.，约为重力平均值(9800000g.u.)的0.5％；地形高差影响次之，可达1000 g.u.。
相对于这两种干扰而言，重力异常是十分微弱的。
例如，储油构造的重力异常不超过100g.u.，仅为重力平均值的0.001％，因此从强干扰中提取微弱的异常，高精度地进行各项校正具有重大的意义。
A 、 地形校正地形起伏往往使得测点周围的物质不能处于同一水准面内，对实测重力异常造成了严重的干扰，因此必须通过地形校正予以消除。
其办法是：除去测点所在水准面（下图中的MN ）以上的多余物质，并将水准面以下空缺的部分用物质填补起来。
由图可见，测点O 所在水准面以上的正地形部分，多余物质产生的引力的垂直分量是向上的，引起仪器读数减小。
ce2 地球物理方法原理 (测井部分) 教学课件
Rh = 1.8 -m
Rv = 5.5 -m
Rsand = 10 Ohm-m
Rshale = 1 Ohm-m
1
10
Resistivity (Ohm-m)
Resistivity Response in Laminar Sand/Shale Sequences
10 m
Vertical resistivity
shale = 15%
Volume of Shale = 50%
True laminar sand total porosity corrected for laminar shale effects
using the Thomas-Stieber model
tsd
V t
shl a mr
sh35%
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Juhasz, 1986:
Compared Complete Vsh-e & Vsh-t Shale Distribution Models
Thomas-Stieber, Juhasz Shale Distribution & Laminar Sand Porosity
V( ) V V t sm das x la hm sm rdas xhsdh iss p dh is sph
) sh ? m
第1章 地球物理中的计算问题概述
第五节 地球物理中的电磁场方程
电磁勘探从理论基础并结合异常的原因分为： （ 2 ）感应类电法，观测和利用的是由电磁感应作用产生的 异常，如瞬变电磁法、大地电磁测深法、频率测深法、无 线电波法等，它们满足麦克斯韦方程，且又是一种波场， 与地震波场在某些方法有相通之处。这种方法称为电磁法。
瞬变电磁法—利用不接地回线或接地线源向地下发射一次脉冲 磁场，在一次脉冲磁场间歇期间利用线圈或接地电极观测地下 介质中引起的二次感应涡流场，从而探测介质电阻率的一种方 法。 频率测深法—指频率在几十到几万Hz的音频范围内，通过改变 交变磁场频率的办法探测岩层电阻率随深度的变化以了解地质 构造和找矿的一种人工场源电磁法。 无线电波——频率在几十万赫至几十兆赫的电磁波。
理问题为出发点和归宿点。 从地球物理问题提出的方程、公式和求解方法与计算方
法都是比较独特的，不但与现成的数学方法不完全一致，而
且有时很难对它们的适定性、收敛性和稳定性做出预先的研 究。常常是先应用，从应用的效果来判断模型、方法和计算
过程的可行性。
##
第二节 地球物理中的引力位方程
P x, y, z
功与运动所经过的路径无关而只决定于运动的起始 点和终点的位置。这个性质叫力场的保守性。
第二节 地球物理中的引力位方程
对于保守力场可引入一个标量函数来描述。固定一点Q，对空 间任意点P（M0点除外）赋予一个标量V(P)—单位质点从Q点移 动到点P引力所作的功： Q
L
P x, y, z
Q处于无穷远处 F
许多以前无法计算的问题得以解决。这样才逐渐形成了计
算地球物理学的分支学科。 形成的开始时期大约在1960年代初期。
第一节 绪论
1.2 计算地球物理学的研究内容 正问题 物理模拟、解析解、数值计算 解析法——分离变数法、积分变换方法、 Green 函数方法、 变分法、对于二维和三维 Laplace 方程的边值问题，也还 可以将解表示为特殊的积分公式、保角变换，对于双曲型 方程的定解问题，也存在一些特殊的解法，例如平均值法， 降维法。
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1
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个念
线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复） 线性空间： 1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y , z X ，则
x y X ，且满足 x y y x （交换律） ， ； x y z x y z （结合律） 2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足 x x ; x x x ;
3）若 x, y , z R ，则必有 x, z x, y y, z （三 点不等式） ， 则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。 设 f x 是距离空间 X 到 R (数轴)的映射，则称 f x 为泛函。
可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外 测度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。 可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实 数 a，集合 E x f x a 也是可测集，则称 f x 是可测 函数。
第二节 偏微分方程的有限元解法
I
i 1
i
E ， inf 表
示最左边的意思。 有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭 集的测度的上确界，称为 E 的内测度，记为 m*E 。 上 确界表示最右边的意思。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念 m*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集}，此乃外测度。 m*(E)=sup{F|E包含F且F为闭集} ，此乃内度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
泛函：简单地说， 泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个 实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。 设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应， 记为 П(y(x))， 则 П(y(x))是定义 于集合{y(x)}上的一个泛函。 泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自 变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。 抽象空间中定义的函数。
计算地球物理
第二章 地球物理中常用数值解法 的基本原理
地球物理与信息工程学院 周 辉 2013年 物探系
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它 和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应 用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或 “分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上 克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力 学，以后又用于流体力学、物理学和其它工程科学。 有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程， 特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
距离空间： 设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有 一个确定的实数 x, y 满足 1） x, y 0 （非负性） ，当且仅当 x=y 时取等号； 2） x, y y , x （对称性） ；
第二节 偏微分方程的有限元解法
伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明 的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题 （通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组 的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过 选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠 加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数 为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的 线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解 域内的一个近似解。
3） x y x y （三角不等式） 称 x 为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。 在线性赋范空间中，可以用范数定义距离： 若 x, y X ,则 x, y x y
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
内积空间： 1 设 H 是实数域 R 上的线性空间， 若对其中任意元素 x, y H , 可以定义一个实数，记为 x y ，它满足以下四条公理： 1） ax y a x y （ a R 的任意实数） ；
几个概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接 推广。 E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x ( x1 , x2 , , xn ) E ，都有 | xi | M (i 1, 2, , n) . 有界集 E 的外测度—— m E inf Ii ,
* i 1
x y x y ;
x0 x
1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0” ，它满足 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使
x x 0
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
线性赋范空间： 设 X 是线性空间，若对其中任一元素 x X ,可以引入一个与 之对应的数，记为 x ，它满足以下条件： 1） x 0 （非负性） ，等号只在 x 0 时成立； 2） x x （正齐次性） ， 为绝对值或模；
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个念
线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复） 线性空间： 1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y , z X ，则
x y X ，且满足 x y y x （交换律） ， ； x y z x y z （结合律） 2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足 x x ; x x x ;
3）若 x, y , z R ，则必有 x, z x, y y, z （三 点不等式） ， 则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。 设 f x 是距离空间 X 到 R (数轴)的映射，则称 f x 为泛函。
可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外 测度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。 可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实 数 a，集合 E x f x a 也是可测集，则称 f x 是可测 函数。
第二节 偏微分方程的有限元解法
I
i 1
i
E ， inf 表
示最左边的意思。 有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭 集的测度的上确界，称为 E 的内测度，记为 m*E 。 上 确界表示最右边的意思。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念 m*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集}，此乃外测度。 m*(E)=sup{F|E包含F且F为闭集} ，此乃内度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
泛函：简单地说， 泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个 实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。 设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应， 记为 П(y(x))， 则 П(y(x))是定义 于集合{y(x)}上的一个泛函。 泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自 变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。 抽象空间中定义的函数。
计算地球物理
第二章 地球物理中常用数值解法 的基本原理
地球物理与信息工程学院 周 辉 2013年 物探系
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它 和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应 用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或 “分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上 克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力 学，以后又用于流体力学、物理学和其它工程科学。 有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程， 特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
距离空间： 设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有 一个确定的实数 x, y 满足 1） x, y 0 （非负性） ，当且仅当 x=y 时取等号； 2） x, y y , x （对称性） ；
第二节 偏微分方程的有限元解法
伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明 的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题 （通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组 的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过 选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠 加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数 为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的 线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解 域内的一个近似解。
3） x y x y （三角不等式） 称 x 为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。 在线性赋范空间中，可以用范数定义距离： 若 x, y X ,则 x, y x y
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
内积空间： 1 设 H 是实数域 R 上的线性空间， 若对其中任意元素 x, y H , 可以定义一个实数，记为 x y ，它满足以下四条公理： 1） ax y a x y （ a R 的任意实数） ；
几个概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接 推广。 E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x ( x1 , x2 , , xn ) E ，都有 | xi | M (i 1, 2, , n) . 有界集 E 的外测度—— m E inf Ii ,
* i 1
x y x y ;
x0 x
1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0” ，它满足 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使
x x 0
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
线性赋范空间： 设 X 是线性空间，若对其中任一元素 x X ,可以引入一个与 之对应的数，记为 x ，它满足以下条件： 1） x 0 （非负性） ，等号只在 x 0 时成立； 2） x x （正齐次性） ， 为绝对值或模；