三角恒等变换复习小结

三角恒等变换与方程的应用知识点总结在学习三角函数和方程的过程中，三角恒等变换和方程的应用是非常重要的知识点。

它们有助于我们在解题过程中简化计算和推导，同时也能帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。

一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指能够保持等式成立的三角函数等式或恒等式。

在三角恒等变换中，我们主要关注三角函数的和差角、倍角和半角等变换公式。

1. 和差角公式和差角公式主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数的和差角公式。

其中，正弦函数的和差角公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB余弦函数的和差角公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB正切函数的和差角公式为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)2. 倍角公式倍角公式是通过将和差角公式中的A和B设置为相等，从而得到的。

正弦函数的倍角公式为：sin2A = 2sinAcosA余弦函数的倍角公式为：cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A正切函数的倍角公式为：tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)3. 半角公式半角公式是通过将和差角公式中的A和B设置为相等，然后取A 为半角，从而得到的。

正弦函数的半角公式为：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]余弦函数的半角公式为：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]正切函数的半角公式为：tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]二、方程的应用方程的应用是指通过建立三角函数方程，解决实际问题的过程。

在方程的应用中，我们主要关注利用三角函数的性质和恒等变换来建立和求解方程的方法。

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换知识点及题型归纳总结(共8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-三角恒等变换知识点及题型归纳总结知识点精讲常用三角恒等变形公式 和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin 22αα== sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .b aα= 常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα±=±cos 2sin();6πααα±=±题型归纳总结题型1 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例 证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得2221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-⋅+22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ⇒--+--=-+22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ⇒--=-+:cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+⇒+=-证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ∆≅∆得，213.AP PP =故2222(1cos())(0sin())[cos()cos ][sin()sin ],αβαββαβα-++-+=--+--即222222[1cos()]sin ()cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαββααββααβ-+++=+-+++化简得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(2)sin()[()][()]22cos cos ππαβαβαβ+=+-=+-cos()sin sin()22cos ππαβαβ=---sin sin cos cos αβαβ=+:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ+⇒+=+ sin(sin cos cos sin (3)tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ+-tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ++⇒+=- 变式１ 证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型2 化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例 已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析 解法一：化简所求式22sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan 1cos x x x x xx x x--=--cos 2sin (cos sin )2sin cos .cos sin xx x x x x x x=-=-由3cos()45x π+=得3,225x x -=即cos sin 5x x -=两边平方得 2218cos sin 2sin cos ,25x x x x +-=即1812sin cos .25x x -= 所以72sin cos .25x x =故选Ａ. 解法二：化简所求式2sin 22sin 2sin cos sin 21tan x xx x xx-==-27sin[2()]cos 2()12cos ().424425x x x ππππ=+-=-+=-+=故选Ａ. 评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单. 变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 （2012江西理４）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D 二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+ 例 若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（ ）. .1A - .1B -或725 24.25C - 24.25D ±分析 建立未知角与已知角的联系，().βαβα=+-解析 解法一：cos cos[()]cos()cos sin()sin .βαβααβααβα=+-=+++因为3(,)22ππαβ+∈所以，则 4cos(),(0,),sin 0,52παβαα+=-∈>4sin 5,α=433424cos ()().555525β=-⨯+-⨯=-解法二：因为(,)2πβπ∈，所示cos (1,0).β∈-故选Ｃ.评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则 sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换 例已知cos()sin 65παα-+=，则7sin()6πα+的值为（ ）..5A -.5B 4.5C - 4.5D分析 将已知式化简，找到与未知式的联系. 解析由题意，cos cossin sinsin 66ππααα++=3cos sin )2265πααα⇒+=+=，得4sin().65πα+= 所以74sin()sin[()]sin().6665πππαπαα+=++=-+=-故选Ｃ. 变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,2b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（ ）. <b<c <c<a <c<b <a<c变式2设sin15cos15,sin17cos17,b α=+=+则下列各式中正确的是（ ）.22.2a b A a b +<< 22.2a b B a b +<<5.12A π22.2a b C b a +<< 22.2a b D b a +<<3.倍角，降幂（次）变换例（2012大纲全国理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=.A .B - C D分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析 解法一：；因为sin cos αα+=所以21(sin cos )3αα+=得22sin cos 3αα=-，即2sin 23α=-.又因为α为第二象限角且sin cos 0αα+=>，则3(2,2)().24k k k Z ππαππ∈++∈所以32(4,4)().2k k k Z παπππ∈++∈故2α为第三象限角，cos 2α==.故选Ａ.解法二：由α为第二象限角，得cos 0,sin 0αα<>，cos sin 0,αα-<且2(cos sin )12sin cos αααα-=-，又sin cos αα+=，则 21(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=22sin cos 3αα⇒=-，得25(cos sin )3αα-=，所以cos sin 3αα-=-22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=+-(==故选Ａ. 变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2设α为锐角，若4cos()65πα+=，则7sin(2)12πα+的值省为 .变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值. 变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-= 24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D 变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3cos 2C x + .3sin 2D x +分析 化同函(cos )(sin())f x f =以便利用已知条件. 解析 解法一：(cos )[sin()]3cos 2()3cos(2)3cos 2.22f x f x x x x πππ=+=-+=-+=+故选Ｃ.解法二：22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+则2()22,[1,1]f x x x =+∈-故22(cos )2cos 22cos 13cos2 3.f x x x x =+=-+=+故选Ｃ.变式1α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α= 变式2若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+最有效训练题1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）.<b<c B. c<a<b <a<c <c<a2.若1sin()34πα+=，则cos(2)().3πα-= 1.4B - 7.8C - 7.8D3.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ-1.4A5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠=Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（ ）.1.2A -1226.15B -- 4.3C - 1226.15D -+ 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8.已知,x y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则cos()______.x y += 9.23tan101________.(4cos 102)sin10+=- 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ== 11.已知函数2()2cos 3sin .2x f x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若α是第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值.12.已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.。

三角恒等变换复习小结
〔一〕教学目标：
1、知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，
并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；
2、能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决
较为简单的三角函数综合题；
3、情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用
数学知识解决问题的意识；
〔二〕教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
〔三〕教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。

〔四〕教学过程：
本组成员：王琪、李路军、李晓峰、李淑清、时秋英、韩英、周跃辉、何春梅、
李云丽、李宁、苗佳、刘振刚、韩斌。

三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)2 6。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。