《何时获得最大利润》中考题解析

何时获得最大利润 ——以抛物线为背景的实际应用题教学课题: 何时获得最大利润 教学时间: 2017年4月23日 教学地点: 初2017级16班教室 授课教师: 王益 教学目标：1.知识与能力目标:让学生掌握方案与决策问题的分析方法和解题技巧 2.过程与方法目标: 体验以抛物线为背景的实际应用题的问题分析技巧 3.情感态度与价值观目标:充分调动学生的学习积极性，增强学生学习的内驱力重点难点：1.重点：启发学生，观察有关函数的方案与决策问题的解题方法。

2.难点：有关函数的方案与决策问题的解题方法。

学情分析:学生感到比较难 教学准备: 多媒体课件 教学过程：“以抛物线为背景的实际应用题”的问题，学生感到比较难，因此，在学习了函数及其图象后安排了这一专题课。

教学目标主要是让学生掌握方案与决策问题的分析方法和解题技巧。

教学中力求把握重点，突破难点，切实提高课堂教学效率。

一、引入课题，激发兴趣 师：同学们，今天我们进行“以抛物线为背景的实际应用题”的专题学习。

请回忆函数及其图象的性质。

[案例说明] 教学活动一开始，抛出专题名称，紧紧抓住学生前面的学习基础和已有知识，轻松引出专题激发学习兴趣。

二、回顾基础，巧妙铺垫某商店经营T 恤衫，已知成批购进时。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多销售200件。

设销售单价为x （）元，请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量。

（2）销售量可以表示为；销售额（）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示；（3）当销售单价是元时，可以获得，最大利润是元。

单价是35元时单价是20元20≤x 35分析：y =[500+200（35－x ）]（x －20）或y =[500+200（35－x ）]x －20[500+200（35－x ）]补充设置（1），让学生明确我们研究的是哪两个变量之间的关系自变量：销售单价因变量：所获利润x 2007500-22007500x x -第（2）问先列代数式，找到两个变量间的函数关系独立思考、相互讨论、教师参与分析：500+200（35－x ）分析：[500+200（35－x ）]x150000115002002-+-x x =y 最大利润≤该商店所获利润为y 元。

2.6 何时获得最大利润1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s=12t2-2t.(1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么?(2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元?(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?5.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y=277101010xx-++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.6.某市近年来经济发展迅速很快,根据统计,该市国内生产总值1990年为8.6 亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005 年该市国内生产总值将达到多少?答案:1.(1)设y=kx+b,则∵当x=20时,y=360;x=25时,y=210.∴3602021025k bk b=+⎧⎨=+⎩, 解得30960kb=-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)(2)设每月所得总利润为w元,则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.∵-30<0,∴当x=24时,w有最大值.即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.2.设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元),则每天客房出租数会减少6x间,客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时,y有最大值6750,这时每间客房的日租金为50+5×5=75元. 客房总收入最高为6750元.3.商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元.设定价提高x%, 则销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1-0.5x%)件.故y=100(1+x%)·1000(1-0.5x%)-8000 =-5x2+500x+20000=-5(x-50)2+32500.当x=50时, y 有最大值32500.即定价为150元/件时获利最大,为32500元.4.(1)s=12(t-2)2-2.故第2个月末时公司亏损最多达2万元.(2)将s=30代入s=12t2-2t,得30=12t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去).即第10个月末公司累积利润达30万元. (3)当t=7时,s=12×72-2×7=10.5, 即第7个月末公司累积利润为10.5万元;当t=8时,s=12×82-2×8 =16, 即第8个月末公司累积利润为16万元.16-10.5=5.5万元.故第8个月公司所获利润为5.5万元.5.(1)s=10×277101010xx⎛⎫-++⎪⎝⎭×(4-3)-x =-x2+6x+7.当x=62(1)-⨯-=3 时,S最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16.∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于再投资的资金有16-3=13万元.有下列两种投资方式符合要求:①取A、B、E各一股,投入资金为5+2+6=13万元,收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元.②取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12万元<13万元,收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元 .6.可以把三组数据看成三个点:A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9).设y=ax2+bx+c.把A,B,C三点坐标代入其中,得8.62558.610.4100108.612.9ca ba b=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.故y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,得y=0.014×152+0.29×15+8.6≈16.1.所以可预测2005年该市国内生产总值达到16.1亿元人民币.。

Ⅰ．背景材料数学史话 数学的符号文字是记录传递信息的符号，数学符号则是一种符殊的语言．十五世纪中期，欧洲文化开始复兴．当时的欧洲人所要求的，是实用的算术和代数，人们一边学习这些起源于阿拉伯与印度的学问，一边对它们加以包括使其符号完备在内的改良．下面，我们择要列举其内容．“＋，－”外号叫做“计算之父”的德国人惠特曼，于1489年在“过于”、“不足”的意义上开始使用这两个符号，渐渐地，它们被分别用作加法和减法的符号． “”这个符号以根号的意义首次出现于鲁道尔夫的著作《代数》（1525年）一书中． “=”最先出现于瑞科德（1510～1558年）《智慧的砥石》一书中，起初横向写得较长．瑞科德说：“把它用作等号的理由，是因为任何东西都不如等长的平行线这般相等．”“＜、＞“这两个不等号，最早使用于哈略特（1560～1622年）的著作中．“ד这个乘法记号见于奥特列德（1574～1660年）的著作．“x 、y 、z ”表示未知量，“a 、b 、c ”表示已知量，最早由彼埃特使用，后来笛卡尔（1596～1650年）对此作了改良，这种表示法沿用至今．“sin ，cos ”这两个三角函数的符号是瑞士数学家欧拉最早使用的．“dx ，dx dy， yxd ”等等微积分符号是德国数学家莱布尼兹最早提出并使用的．就中学数学而言，常见的数学符号也有100多个．简明而又精练的数学符号，不仅仅是深奥理论的源泉，也是一门重要的工具．为什么中国古代的数学领先，而近代逐渐落后了？原因之一就是没有使用简明而又精练的数学符号．悟与问：数学符号的产生是许许多多的数学家努力的结果，是一个艰辛的过程，我们做事情、学习呢？Ⅱ．课前准备一、课标要求体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、预习提示正确理解和分析实际应用题，找出其数量关系，等量关系，从而找出函数关系，并用函数的最值来帮助解决应用问题．三、预习效果反馈某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，就能卖出300个．若该商品在120元的基础上，想要降价出售．据市场调查统计，每减价1元，就可多卖出30个．为获得最大利润，商店应将商品定价为多少出售？Ⅲ．课堂跟讲一、教材中“？”解答1．问题（P 60） 解答：（1）销售量可以表示为3200－200x ；（2）销售额可以表示为3200x －200x 2；（3）所获利润可以表示为－200x 2＋3700x －8000；（4）当销售单价为9．25元时，可以获得最大利润为9112．5元．3．议一议（P 61） 解答：（1）图象略．由图象可知，当x ＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x ＞10时，橙子树的总产量随增种橙子树的增加而减少．（2）根据图象，可看出增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵或14棵时，都可以使橙子总产量在60400个以上．二、重点难点易错点讲解重点：本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．难点：本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．三、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】 在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次．如在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm ）是：6．5、5．9、6．0、6．7、4．5，这些大麦穗的最佳近似长度是使函数y=5x 2－59．2x ＋178．2为最小值的x ，则大麦穗长的最佳近似长度为 ．思维入门指导：不要被不熟悉的背景所迷惑，实际是求最值的问题．解：x=－522.59⨯-=5．92cm ．（二）中考题【例2】 （2002，长沙，12分）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价（1）在所给的直角坐标系甲中：①根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点；②猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P 元，根据日销售规律： ①试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P 是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x 与P 的取值范围．思维入门指导：根据图象确定一次函数表达式，再应用等量关系得二次函数．解：（1）①描出四点位置准确如图2-6-1甲所示．②猜测它是一位函数y=kx＋b．把两点（3，18）、（5，14）代入上式求得k=－2，b=24，则有y=－2x＋24．把（9，6）（11，2）代入，同样满足．∴所求函数表达式是y=－2x＋24．（*）（0≤x＜12）和y=0（x=12）画出图象．（2）①因为销售利润=售出价－进货价，则P=xy－2y．将（1）中（*）式代入则P=y （x－2）=（24－2x）（x－2）=－2x2＋28x－48=－2（x－7）2＋50．当x=7时，日销售利润获得最大值为50元．又当x＞12时，即销售单价大于12元时，此时无人购买，所以此时利润P=0（x≥12）．由实际意义知，当销售价x=0，即亏本卖出，此时利润P=－48，即为最小值．②根据实际意义有0≤x＜2时亏本卖出；当x=2或x=12时利润P=0；当x＞12时，即高价卖出无人购买P=0．故作出图2-6-1图象，由图象知x≥0，－48≤P≤50．点拨：此类题目的解答关键分析题意，得出函数表达式．本题不仅应用一次函数，也应用二次函数，由单一趋向复杂．（三）学科内综合题【例3】已知：如图2-6-2，抛物线C1经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M（a，b）对称轴与x轴相交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F 为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）思维入门指导：利用数形结合的思想确定A、B、C的坐标，求出C1表达式．四边形ABDE的面积可以分割成两个三角形计算，用三边对应成比例证明两个三角形相似．（2）因为y=－x 2＋2x ＋3=－（x －1）2＋4，所以抛物线C 1的顶点D 坐标为（1，4）．过点D 作DF ⊥x 轴，交x 轴于点F ，由图象可知，OA=1，OB=3，OF=1，DF=4．因y=0，则－x 2＋2x ＋3=0，所以x 1=－1，x 2=3．所以OE=3，则FE=2，S △ABO =21AO ·BO=21×1×3=23，S △DFE =21DF ·FE=21×4×2=4，S 梯形BOFD =()2DF BO +·OF=243+×1=27．所以S 四边形ABDE =S △ABD ＋S △DFE ＋S 梯形BOFD =23＋27＋4=9（平方单位）．（3）如图2-6-3，过B 作BK ⊥DF 于K ，则BK=OF=1，DK=DF －OB=4－3=1，所以BD=22BK DK +=2．又DE=22FE DF +=2224+=25，AB=10，BE=32．在△ABO 和△BDE 中，AO=1，BO=3，AB=10，BD=2，BE=32，DE=25． 因为DB AO =EB BO =DE AB =21，所以△AOB ∽△DBE ．（4）符合条件的三角形有七个，故顶点M （a ，b ）有七个：⎩⎨⎧==；，4511b a ⎩⎨⎧-==；，4522b a ⎩⎨⎧==；，2733b a ⎩⎨⎧-==；，2744b a ⎩⎨⎧-==；，4155b a ⎩⎨⎧-=-=；，2166b a ⎩⎨⎧=-=．，2177b a 点拨：此类综合题难度较大，要善于利用函数知识和几何图形的有关知识，挖掘隐含条件．注意抛物线的特殊点顶点，与坐标轴的交点，计算与证明有机结合即可．（四）应用题【例4】 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋a bac 442-的形式，写出顶点坐标，在图2-6-4所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70－x ）元，日均多售出2（70－x ）kg ，日均销售量为()[]x -+70260kg ，每千克获利为（x －30）元．依题意，得y=（x －30）()[]x -+70260－500=－2x 2＋260x －6500（30≤x ≤70）． （2）y=－2（x 2－130x ）－6500=－2（x －65）2＋1950（30≤x ≤70），顶点坐标为（65，1950）．二次函数的草图如图2-6-4，经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元．（3）当日均获利最多时，单价为65元，日均销售60＋2（70－65）=70kg ，那么获总利为1950×707000=195000元．当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60kg ，将这种化工原料全部售完需7000÷60≈117天，那么获总利为（70－30）×7000－117×500=221500元．因为221500＞195000，且221500－195000=26500元，所以销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元．点拨：注意考虑自变量、函数的实际意义，确定取值范围．【例5】 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S （10万元）与广告费x （10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？思维入门指导：本题的第一个函数表达式由表格提供信息列方程组解得，第二个表达式由题中给出的关系列出，实际问题中，二次函数的最值，自变量的取值范围要受到某些条件的限制，要根据实际意义和所给范围确定值．解得a=－101，b=53，c=1，所以，所求表达式为y=－101x 2＋53x ＋1．（2）由题意，得S=10y ·（3－2）－x=－x 2＋5x ＋10．（3）S=－x 2＋5x ＋10=－（x －25）2＋465，由于1≤x ≤3，所以当1≤x ≤2．5时，S随x 的增大而增大．答：当广告费在10万～25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大．点拨：解决这类题的关键是首先弄懂题意，结合图形和问题的背景，找到数量之间的关系，构建数量间的函数模型．涉及到最值问题，还要注意．自变量的取值不要使实际问题失去意义和题意的条件限制．（五）开放题【例6】 写出其图象经过点（1，0），（0，1）的三个不同函数表达式．思维入门指导：点（1，0），（0，1）在坐标轴上，除反比例函数，都可以满足条件． 解：①y=－x ＋1；②y=2x 2－3x ＋1；③y=5x 2－6x ＋1．点拨：如果写一次函数，只能确定一个，二次函数可以确定无数个．（六）动态题【例7】 如图2-6-5，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P 是BC 边上的一个动点，直线ι过点P 且平行于DC ，交梯形另外一边于E 点．若BP=x ，梯形位于直线ι左侧的图形的面积为S ．（1）分别求出当点E 位于BA 、AD 上时，S 与x 之间的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；（2）画出以上两个函数的图象．（不写画法）解：（1）过A 点作AN ⊥BC ，垂足为N ，作AG ∥DC 交BC 于G ，则AG=DC=AB ，GC=AD ，BG=BC －AD=10－4=6．在Rt △ABN 中，BN=6÷2=3，AN=2235 =4．当点E 在BA 上时，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M ．∵EP ∥DC ，∴∠B=∠C=∠EPB ，△EPB 是等腰三角形．∴BM=21BP=21x ． ∵EM ⊥BC ，AN ⊥BC ，∴EM ∥AN ．∴BN BM =AN EM ． ∴EM=BN BM ·AN=32x ． ∴S=21·BP ·EM=21·x ·32x=31x 2．∴当点E 在BA 上时，S 与x 之间的函数表达式是S=31x 2，自变量的取值范围是0≤x≤6；当点E 在AD 上时，四边形ABPE 为梯形，S=21（BP ＋AE ）·AN=21()[]6-+x x ×4=4x －12．∴当点E 在AD 上时，S 与x 之间的函数表达式是S=4x －12，自变量的取值范围是6≤x ≤12．（3）函数图象如图2-6-6．图2-6-6点拨：由三角形相似，得出函数表达式，是几何函数综合题中常用方法．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是a bac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（120分 100分钟）一、基础题（11、12每题6分，其余每题3分，共42分）1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-6-7所示，则点A （a ，b c）在（ ）2．当a ＜0，b ＞0时，二次函数y=ax 2＋bx 的图象可能是图2-6-8中的（ ）3．在图2-6-9中的四个函数的图象中，函数y 的值随x 值的增大而增大的是（ ）4．已知点A （1，y 1），B （－2，y 2），C （－2，y 3）在函数y=2（x ＋1）2－21的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 35．一个二次函数的图象经过A （0，0），B （－1，－11），C （1，9）三点，则这个二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2＋10xB ．y=－x 2－10xC ．y=x 2－10xD ．y=－x 2＋10x6．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴为y 轴，则m= ．7．若直线y=ax 2＋bx ＋c 开口向上，则直线y=ax ＋3经过 象限．8．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（1，0），（－1，－6），（2，6），则该抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ．9．某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房．购房时首期（每一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4%．若第x 年小明家交房款y 元，则y 与x 之间的函数表达式为 ．10．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地．那么选用哪一种方案围成场地的面积较大 ．11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？12．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？二、学科间综合题（4分）13．我们知道，溶液的酸碱度由pH 确定．当pH ＞7时，溶液呈碱性；当pH ＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCI 溶液加水稀释，那么，在下列图象中，能反映HCI 溶液的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（）三、学科内综合题（8分）14．如图2-6-11，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形置于直角坐标系xOy 中，使AB在x轴上，点C在直线y=x－2．（1）按题设画出图形，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）若直线y=x－2与y轴交于点E，抛物线y=ax2＋bx＋c过E、A、B三点，求抛物线的表达式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？并说明理由．四、应用题（每题8分，共24分）15．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？16．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）17．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg 放养在塘内，此时市场价为30元/kg ，据测算，此后1kg 活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg ．（1）设x 天后1kg 活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数表达式；（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？五、创新题（23分）（一）教材变型题（3分）18．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件．根据销售经验，降低销售单价会导致销售量的增加，即销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．如果设降低到x 元，销售利润最大为y 元，那么y 与x 的表达式为 ．（二）开放题（每题4分，共8分）19．老师给出一个函数y=f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x ＜2时，y ＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有条件的一个函数 ．20．经过点（0，3）的一条抛物线表达式是 ．（三）动态题（12分）21．已知：如图2-6-12所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3cm ，∠C=60°，BD ⊥CD ．（1）求BC 、AD 的长；（2）若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以1cm/s 的速度运动．当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围（不包含点P 在B 、C 两点的情况）；（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．六、中考题（19分）22．（2003，昆明，9分）已知：如图2-6-13所示，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（43，0），点P 在第一象限，且cos ∠OPA=21．（1）求出点P 的坐标；（一个即可）（2）当点P 的坐标是多少时，△OPA 的面积最大？并求出△OPA 面积的最大值；（不要求证明）（3）当△OPA 的面积最大时，求出过O 、P 、A 三点的抛物线的表达式．23．（2004，河北课改实验区，10分）图2-6-14是某段河床横断面的示意图，查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：（1中画出y 关于x 的函数图象；（2②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数表达式 ． （3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船度部在水面的距离）为1．8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？加试题：竞赛趣味题（10分）某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b ＜a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（ ）图2-6-16参考答案Ⅱ．三、解：商品可定价为x 元，则每个利润为（x －100）元，可售出⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+112030300x ，则获得利润y=（x －100）()[]x -+12030300=－30（x －115）2＋6750，即x=115时，有最大利润为6750元，商品可定价为115元．Ⅳ．1．D 点拨：①c=0，函数y=ax 2＋bx 过原点，正确；②c ＞0，开口向下时，y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点，即ax 2＋bx ＋c 有两不等实根，正确；据二次函数性质③、④也正确．2．解：设生产的档次为x ，利润为W ，则W=()[]128-+x ()[]1360--x =－6（x －9）2＋864．∴生产第9档次产品时所获利润最大，最大值是864元．Ⅴ．一、1．C 点拨：由图象a ＜0，c ＜0，a 、b 异号，b ＞0．2．A 点拨：当a ＜0，b ＞0时，抛物线y=ax 2＋bx 开口向下，对称轴x=－ab 2＞0，在y 轴的右侧，又抛物线过（0，0）．3．C 点拨：一次函数、反比例函数、二次函数增减性的考查．4．B 点拨：可将三点代入y=2（x ＋1）2－21中，比较y 1、y 2、y 3的大小．或画出草图，从图中找出y 1、y 2、y 3，大小即现．5．D 点拨：将三点代入表达式y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）求表达式即可．6．－3 点拨：对称轴为y 轴，即x=－ab 2=0．a ≠0，∴b=0．即m ＋3=0，∴m=－3．7．一、二、三8．－4 点拨：待定系数法将三点代入确定表达式即可．9．y=5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（2≤x ≤19） 点拨：由题意第二年付款为5000＋90000×0．4%（元），第三年付款5000＋（90000－5000）×0．4%（元），第四年付款为5000＋（90000－5000×2）×0．4%（元），则第x 年付款5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（元）． 10．围成圆形 点拨：S 正方形=（4a ）2=161a 2，S 圆形=π·（π2a ）2=π41a 2．∴S 圆形＞S 正方形11．解：（1）设每件衬衫降价x 元时，商场每天能盈利1200元．依题意，得（40－x ）（20＋2x ）=1200．整理，得x 2－30x ＋200=0．解得x 1=10，x 2=20．若为了减少库存，应降价20元．答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．（2）设每件衬衫降低x 元时，商场平均每天盈利y 元，则y=（40－x ）（20＋20x ）=－2x 2＋60x ＋800．当x=－ab 2=－()2260-=15时，y 最大=()()2460800244422-⨯-⨯-⨯=-ab ac =1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多． 点拨：（1）商场每天的盈利额等于这天售出衬衫总数与每件盈利之积，（2）利用二次函数．12．解：设提高x 元销售，售货总收入为y 元．y=（x ＋50）（500－20x ）－40（500－20x ）．整理，得y=20⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--413062152x =－20（x －215）2＋6125．解得x=7．5元时，即售价定为57．5元，收益最大，为6125．二、13．C 点拨：由化学知识知，HCI 溶液呈酸性，因此加水前其pH ＜7，而加水后其酸性减弱，pH 增大，并且pH 随所加水体积（V ）的增大而增大，但绝不会超过7，所以选C ．点拨：溶液的pH 是初中化学中一个十分重要的知识，应用很广．本题以“溶解度”为出发点，结合函数增减性质，增养学生的逻辑推理能力．三、14．解：如答图2-6-1．（1）根据题意，可设C 的坐标为（a ，2）． ∵点C 在直线y=x －2上，∴2=a －2．∴a=4． ∴C （4，2），B （4，0），A （1，0），D （1，2）．（2）若y=x －2中的x=0，则y=－2，∴点E （0，－2）． ∴过E 、A 、B 的表达式y=a （x －1）（x －4），－2=a （0－1）（0－4）． ∴a=－21．∴y=－21（x －1）（x －4），即y=－21x 2＋25x －2．（3）∵y=－21（x －25）2＋89，∴抛物线的顶点（25，89）．设在矩形ABCD 内部的点（x ，y ），则1＜x ＜4，0＜y ＜2． ∵1＜25＜4，0＜89＜2，∴抛物线y=－21x 2＋25x －2的顶点在矩形ABCD 内部．点拨：确定坐标系及用待定系数法确定表达式后，抛物线顶点若落在矩形内部，则1＜x ＜4，0＜y ＜2，否则落在矩形的外部．四、15．解：（1）y=240－3x （40≤x ≤70）．（2）当每箱售价为x 元时，每箱利润为（x －40）元，平均每天的利润为W=（240－3x ）（x －40），所以W=－3x 2＋360x －9600．（3）将W=－3x 2＋360x －9600，配方得W=－3（x －60）2＋1200． ∴此二次函数的顶点坐标为（60，1200）． 当x=40时，W=－3（40－60）2＋1200=0； 当x=70时，W=－3（70－60）2＋1200=900． 草图如答图2-6-2所示．（4）由图象易知，当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，其最大利润为1200元．点拨：实际应用题计算最值时，同时也要考虑自变量的取值范围．∴y=－21x 2＋4x （图象略）．（2）y=－21x 2＋4x=－21（x －4）2＋8，∴服药后4小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液8微克．（3）当y=0时，x 1=0，x 2=8，故一次服药后的有效时间为8小时． 17．解：（1）P=30＋x ；（2）Q=（1000－10x ）（30＋x ）＋200x=－10x 2＋900x ＋30000； （3）设总利润为L ，则由题意，得L=Q －30000－400x=－10x 2＋500x ，当x=25时，总利润最大为6250元．五、（一）18．y=－20x 2＋1400x －20000（二）19．y=x1（x ＞0）或y=－x ＋2或y=（x －2）2 点拨：这是一道结论不惟一的开放型试题，它可以是y=xk （x ＞0，k ＞0）型，如y=x1（x ＞0）；也可以是y=kx ＋b （k ＜0，b ≥－2k ＝型，如y=－x ＋2；也可以是y=a （x －2）2＋h （a ＞0，h ≥0）型，如y=（x －2）2．按试题要求任写一个即可．20．y=x 2＋3或y=2x 2＋x ＋3等 点拨：只要抛物线过点（0，3），即二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，c=3即可．（三）21．解：（1）显然Rt △BDC 中，∠C=60°，CD=3cm ，则BD=6cm ． 又∵∠DBC=30°，AD ∥BC ，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴AD=AB=3cm ． （2）当动点P 、Q 运动时间为t 秒时，则PC=6－2t ，QC=t ．作PC 边上的高QE ，则QE=23t ，∴S △PQC =21（6－2t ）·23t=43t （6－2t ），S 梯形ABCD =21（AD ＋BC ）·CD ·sin60°=4327．S=S 梯形ABCD －S △PQC =4327－43t （6－2t ）=43（2t 2－6t ＋27）（0＜t ＜3）．（3）假设存在符合条件的时刻t ，由于S △ABD =31S 梯形ABCD ，∴△PQC 与五边形ABPQD 的面积之比有可能是1：5． ∴S △PQC ：S 五边形ABPQD =1：5，即S 五边形ABPQD =65S 梯形ABCD ．∴43（2t 2－6t ＋27）=65·3427．整理，得4t 2－12t ＋9=0，∴t=23．即当t=23时，线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积之比为1：5．点拨：第（2）问中，由面积分割S=S 梯形ABCD －S △PQC 而建立了函数表达式．第（3）问为是否存在型的探索性问题，其基本解法是假设存在，依此前提进行运算或推理．若推出矛盾可否定假定，否则给出证明或解答．六、22．解：（1）如答图2-6-3所示，作Rt △OP 1A ，使∠P 1AO=90°，∠P 1OA=30°．则∠OP 1A=60°，即点P 1为所求的点．这时P 1A=OA ·tan30°=43×33=4．∴点P 1的坐标为（43，4），或作等边△OPA ，则∠OPA=60°，这时P （23，6）．（2）点P 在第一象限且在以OP 1为直径以OA 为弦的优弧上，当PO=PA 时，△OPA 的面积最大．过P 作PH ⊥x 轴于H ，则点P 的坐标为（23，6）．这时S △OPA =PH OA 21=21×43×6=123．（3）设抛物线的表达式为y=ax 2＋bx ＋c ．∵抛物线过点O （0，0），A （43，0），P （23，6），点拨：与圆的知识相结合，也是常见的题目．23．解：（1）图象如答图2-6-4所示．（2）①填表如下：②y=2001x 2（3）当水面宽度为36m 时，相应的x=18，则y=2001×182=1．62，此时该河段的最大水深为1．62m ．因为货船吃水深度为1．8m ，而1．62＜1．8，所以当水面宽度为36m 时，该货船不能通过这个河段． 点拨：把准题意理解图象中自变量、表达式的实际意义，解决实际问题．加试题：C 点拨：因为图A 中没有反映休息所消耗的时间；图B 虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；答图中没有反映沿原始返回的一段路程，惟有图C 正确地表述了题意．。

《何时获得最大利润》中考题解析“何时获得最大利润”是以二次函数知识点为依托，以生产、生活为背景，考查建立数学模型的能力．现采撷几多浪花奉献给大家．例1(贵阳实验区)某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解析：(1)设此一次函数解析式为y kx b=+．则15252020k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k =-1，b=40．即：一次函数解析式为y =－x＋40．(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元．w =(x－10)(40－x)=－x2＋50x－400=－(x－25)2＋225．则当产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．例2(山东青岛实验区)某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．(1)增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x的函数关系式。

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解析：(1)根据题意，得y =(80＋x)(384－4x)整理，得y =－4x2＋64x＋30720．(2)由y =－4x2＋64x＋30720=－4(x－8)2＋30976，则当x = 8时，y的最大值= 30976．故增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件． 例3(安徽实验区)某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第一年到第x 年的维修、保养费用累计为y (万元), 且y =ax 2＋bx ，若第一年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．(1)求y 得解析式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解析：由题意，当x = 1时，y = 2；当x = 2时，y = 2＋4 = 6．分别代入y =ax 2＋bx ，得2642.a b a b =+⎧⎨+⎩， 解得，a = 1，b = 1． 则 y = x 2＋x ．(2)设w = 33x －100－x 2－x ，则w =－x 2＋32x －100 =－(x －16)2＋156．由1≤x ≤16时，w 的值随x 的增大而增大，且当x = 1，2，3时，w 的值均小于0，当x = 4时，w =－122＋156 > 0，故投产后，这个企业在第4年就能收回投资．。

最大利润问题在中考数学中的体现【专题综述】利润问题是中考中的热点问题，在今年的中考试题中，出现了很多和利润有关的函数型试题．解决此类试题，需要从已知条件中捕捉函数信息，通过函数关系，进一步解决实际问题．本文最大利润问题在中考数学中的体现举例说明.【方法解读】一、图象型例1． 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）．（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？分析：本题第（1）个问题是已知一次函数和二次函数的图像，求函数的解析式，观察两个函数的图像可知，前者是正比例函数，后者是二次函数，顶点是（0，0），利用待定系数法，先设两个函数的解析式，再将P （1，2），Q （2，2）代入相应的解析式求出参数即可；第（2）个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值，属于二次函数的条件最值问题．解：（1）设1y =kx ,由图1所示，函数1y =kx 的图像过（1，2），所以2=1⋅k ，2=k故利润1y 关于投资量x 的函数关系式是1y =x 2；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =2ax ，由图2所示，函数2y =2ax 的图像过（2，2），所以222⋅=a ，21=a 故利润2y 关于投资量x 的函数关系式是221x y =；（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（80≤≤x ），则投入种植树木（x -8）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，得：z =)8(2x -+221x =162212+-x x =14)2(212+-x 当2=x 时，z 的最小值是14；因为80≤≤x ，所以622≤-≤-x ，所以36)2(2≤-x ，所以18)2(212≤-x ，所以32141814)2(212=+≤+-x ，即32≤z ，此时8=x ， 当8=x 时，z 的最大值是32．评注：这类试题一般先将函数解析式配方，将函数解析式变成顶点形式，找出顶点坐标和对称轴方程，结合自变量的取值范围，画出函数图像（抛物线的一部分），根据抛物线的对称性、开口方向，确定函数的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想，它的优点是直观形象，避免死记公式．二、表格型例2． 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：时间t （天） 1 36 10 36 … 日销售量m （件） 9490 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25t 41y 1+=（20t 1≤≤且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为40t 21y 2+-=（40t 21≤≤且t 为整数）。

北师大版九年级（下）中考题同步试卷：2.6 何时获得最大利润（04）一、填空题（共4小题）1．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y＝﹣x2+x+，则羽毛球飞出的水平距离为米．2．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．3．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．4．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．二、解答题（共26小题）5．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？6．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：．（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？7．今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：．8．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．9．某商场以每台360元的价格购进一批计算器，原售价每台600元，现为了促销，商场采取如下方式：买一台单价为590元，买两台每台都为580元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减10元，但最低不能低于每台400元．某单位一次性购买该计算器x台，实际购买单价为y元．（x为正整数）（1）求y与x的函数关系式；（2）若该单位一次性购买该计算器不超过20台，购买多少台时，商场获利最大？最大利润是多少？10．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．11．为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．采购数量（件）12…A产品单价（元/件）14801460…B产品单价（元/件）12901280…（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．12．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？13．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/℃…﹣4﹣2024 4.5……414949412519.75…植物每天高度增长量y/mm由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．14．某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y ＝ax2+bx．在x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？15．某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2﹣4．（1）求a的值；（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．16．如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB＝4米，∠ABC＝60°．设AE＝x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？17．“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x＝1时的y值表示7：00时的存量，x＝2时的y值表示8：00时的存量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．时段x还车数（辆）借车数（辆）存量y（辆）6：00﹣7：0014551007：00﹣8：0024311n……………根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m＝，解释m的实际意义：；（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；（3）已知9：00～10：00这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．18．某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（x为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？19．我市某海域内有一艘轮船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回．如图折线段O﹣A﹣B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律．抛物线y＝ax2+k 表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y（海里）随漂移时间x（分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）救援船行驶了海里与故障船会合；（2）求该救援船的前往速度；（3）若该故障渔船在发出求救信号后40分钟内得不到营救就会有危险，请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全．20．为衡量某特种车辆的性能，研究制定了行驶指数P，P＝K+1000，而K的大小与平均速度v（km/h）和行驶路程s（km）有关（不考虑其他因素），K由两部分的和组成，一部分与v2成正比，另一部分与sv成正比．在实验中得到了表中的数据：速度v4060路程s4070指数P1*******（1）用含v和s的式子表示P；（2）当P＝500，而v＝50时，求s的值；（3）当s＝180时，若P值最大，求v的值．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）21．甲、乙两企业去年末都有利润积累，甲企业利润为300万元，甲企业认为：企业要可持续发展，必须进行自主创新和技术改造，由于投资更新等原因，甲企业的利润积累y甲（万元）与时间x（年）之间的函数图象呈抛物线（如图）乙企业的利润积累y乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．（1）乙企业去年末的利润积累是万元，乙企业利润积累y乙（万元）与时间x（年）之间的函数关系式为（不必写出自变量x的取值范围）．（2）到第几年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系？（3）改造初期，甲企业的利润积累逐渐减少，甚至会低于乙企业的利润积累．随着甲企业进入改造成长期，甲企业的利润积累重新高于乙企业的利润积累，试问第几年（保留整数位．参考数据：≈3.6）甲企业开始进入改造成长期？5年后（含5年）甲企业进入改造成熟期，效益将显现出来．改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累多少万元？22．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？24．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：…55607075…销售单价x（元/件）…450400300250…一周的销售量y（件）（1）直接写出y与x的函数关系式：（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？25．某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n21速度x4060指数Q420100（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x＝70，Q＝450时，求n的值；（3）若n＝3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n＝2，x＝40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）26．为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB＝24米，∠BAC＝60°，设EF＝x米，DE＝y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的？27．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．28．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？29．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30405060…销售量y（万个）…5432…同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？30．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．销售量p（件）p＝50﹣x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q＝30+x 当21≤x≤40时，q＝20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？北师大版九年级（下）中考题同步试卷：2.6 何时获得最大利润（04）参考答案一、填空题（共4小题）1．5；2．4；3．10；4．48；二、解答题（共26小题）5．；6．y＝﹣0.02x+8；7．当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．60；该停车场当日6：00时的自行车数；18．；19．16；20．；21．100；y乙＝100+50x；22．；23．1000﹣10x；﹣10x2+1300x﹣30000；24．y＝﹣10x+1000；25．；26．；27．y＝60x2；0≤x≤；28．；29．；30．；。