全国高中数学联赛试题及解答(1978-2011)

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式 具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？ 2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x 2的值． 3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．10．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z=0， x 3+y 3+z 3=－18的整数解． 二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)·12(AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i分钟，假定这些T i各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断) 6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-3 -t 1=1x 1+x 2=29，t 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=814－16=174． ∴ 所求方程为(x －29)(x －174)=0，即36x 2－161x +34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．证明：连NP ，取AC 中点O ，则由于N 、P分别为CD 、BD 中点，故NP ∥AB ，NP=12BC=12(AB －AC )=AM=AO=OM ． ∴ NPMO 为平行四边形．即PO 经过MN 中点Q ．即直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m ，则此n 个连续偶数的和为(2m +…A D CBM N P Q O+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1=n(2m+n－1)，则(n－1)k－1－(n－1)=2m．无论n为偶数还是奇数，(n－1)k－1－(n－1)均为偶数，故m=12[(n－1)k－1－(n－1)]为整数．∴从(n－1)k－1－(n－1)开始的连续n个偶数的和等于n(n－1)k－1．由于n、k给定，故(n－1)k－1－(n－1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．解：设此三角形三个角为A、B、C，则其三边长分别为2sin A，2sin B，2sin C．本题即证明cos A+cos B+cos C<sin A+sin B+sin C．由于A＋B>90︒，故90︒>A>90︒－B>0，⇒sin A>sin(90︒－B)=cos B，同理，sin B>cos C，sin C>cos A，三式相加，即得证．9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q(a，4a)，(a>1)则直线PQ方程为y－4=4a－4a－6(x－6)，令y=0，得x=6－a－6a－1=5aa－1．∴S=12·5aa－1·4a=10a2a－1=10(a+1+1a－1)=10(a－1+1a－1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S取得最小值．1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚- 7 -即所求点为Q (2，8)．10．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z=0， x 3+y 3+z 3=－18的整数解． 解：x 3＋y 3＋z 3－3xyz=(x ＋y ＋z )(x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －zx )=0，故xyz=－6．故x=－3，y=1，z=2，等共6组解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD ∥EF ，作BG ∥ED 交AC 于G ，则AG AC =AB AE =AD AF，从而GD ∥BC ，即BCDG 为平行四边形．P 为BD 中点，从而Q 为EF 中点．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos 2π15＋i sin 2π15． ∴ (x 3－1)( x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1=14∏k=0(x －εk )．而x 3－1=(x －1)(x－ε5)(x －ε10)．E A QF D CB PG故x 12+x 9+x 6+x 3+1=14∏k=0(k 5，10)(x －εk )．⑵ 令x=cos θ，则5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ=5+8x +4(2x 2－1)+4x 3－3x=4x 3+8x 2+5x +1=(x +1)(2x +1)2≥0在x ≥－1时成立．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x －3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即为14t ． 分别以A 、B 、C 的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x －3y 的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )． 证明：连EF 、FG 、GH 、HE ，取BD 中点P ，连EP 、PG ． 易证S 四边形EFGH =12S 四边形ABCD ． 而S 四边形EFGH =12EG ∙HF sin ∠EOF ≤12EG ∙HF ． PO HG F EB C D A1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚- 9 -但EP=12AD ，PG=12BC ．EP +PG ≥EG ，故12(AD +BC )≥EG ， 同理，12(AB +CD )≥HF ．故EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )， 从而，四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10， 若当1≤i <j ≤10时，T i >T j ，则其余人不动，交换第i 个人与第j 个人的次序，则所需时间改变量10T 1+…+(11－i )T i +…+(11－j )T j +…+T 10－(10T 1+…+(11－i )T j +…+(11－j )T i +…)=(11－i )(T i －T j )+(11－j )(T j －T i )=(T j －T i )(i －j )>0．即这样交换后，所需时间变少．∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T 1<T 2<…<T 10，则所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10．⑵ 设T 1<T 2<…<T 10，则安排T 1、T 3、T 5、T 7、T 9在一个龙头，T 2、T4、T6、T8、T10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)．6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．∴34≤S△EFG≤23－3．EFGMA BCD。

一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3．（4分）求函数的定义域．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5．（4分）化简：6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．解答：证明：（1）连接CA、CB，则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．考点：对数的运算性质．分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．解答：解：∵18b=5，∴log185=b∴点评：本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°∵而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，∴a==8；b=；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题．分析：欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．解答：解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．．．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3si nαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1∴．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．考点：利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答：解：（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即，二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。

1978 年全国高中数学竞赛题一试题1．已知 y= log 11，问当 x 为何值时， (Ⅰ)y>0；(Ⅱ )y<0？2x+32．已知 tanx=2x 2 (180 °<x<270°)，求 cos2x， cos 的值．23．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－ 5，求椭圆方程．4．已知方程 2x2－9x+8= 0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为 1 的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段 AB 的中点为 M，从线段 AB 上的另一点 C 向直线 AB 的一侧引线段 CD ，令线段 CD 的中点为 N，BD 的中点为 P，MN的中点为Q，求证：直线 PQ 平分线段 AC．7．证明：当n、 k 都是给定的正整数，且n>2， k>2 时， n(n－ 1)k－1可以写成 n 个连续偶数的和．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l1： y= 4x 和点 P(6，4)，在直线l 1上求一点Q，使过PQ 的直线与直线l 1以及 x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．x+y+z= 0，10．求方程组x3+y3+z3=－18的整数解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设 R 为平面上以A(4，1)、B(－ 1，－ 6)、C(－ 3，2)三点为顶点的三角形区域 (包括三角形的边界)．试求当 (x， y)在 R 上变动时，函数4x－ 3y 的极大值和极小值． (须证明你的论断 )4．设 ABCD 为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、 CA 的中点11分别为 E、F、G、H ，证明：四边形 ABCD 的面积≤ EG?HF ≤(AB+CD) ·22 (AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i= 1，2，， 10)个人的提桶需时 T i分钟，假定这些T i各不相同，问：(Ⅰ )当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间( 包括各人自己接水所花时间) 为最少？这时间等于多少？ ( 须证明你的论断)(Ⅱ )当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？( 须证明你的论断) 6．设有一个边长为 1 的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．( 须证明你的论断 )1978 年全国高中数学竞赛题解答一试题1．已知 y= log 1 1，问当 x 为何值时， (Ⅰ)y>0；(Ⅱ )y<0？2x+3解：当 x>－ 3 时， y= log2(x+3) ，⑴x+3>1 x>－ 2 时， y>0；⑵0<x+3<1 ，－ 3<x<－2 时， y<0．x 2．已知 tanx=2 2 (180 °<x<270°)，求 cos2x， cos 的值．2 1－ (2 2)2= －7； cosx= －1= －1． cosx= －解： cos2x=1+(2 2)291+tan2x32 1+cosx32=－3．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－ 5，求椭圆方程．解：由已知 c=b ，故 a= 2c， a－c= 10－ 5=5(2－ 1)=c (2－1)，∴ c=5， a=10．x2 y2所求椭圆方程为10+5=1．4．已知方程2x2－9x+8= 0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．9解：设已知方程两根为x1， x2，则 x1+x2= 2，x1x2= 4．所求方程两根为 t1， t2，t 1=1 = 2， t 2= (x 1－ x 2)2= (x 1+x 2)2－ 4x 1x 2= 81－16= 17．x 1+x 2 9 4 42 17∴ 所求方程为 (x －9)(x － 4 )= 0，即 36x 2－ 161x+34= 0．5．把半径为 1 的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2 的正四面体的高h= 23 6．故所求高度= 1+ 2 362 6+1=2+ 3 ．6．如图，设线段 AB 的中点为 M ，从线段 AB 上的另一点 C 向直线 AB 的一侧引线段 CD ，令线段 CD 的中点为 N ，BD 的中点为 P ，MN 的中点为 Q ，求证：直线 PQ 平分线段 AC ．证明：连 NP ，取 AC 中点 O ，则由于N 、 PD1 1分别为 CD 、BD 中点，故 NP ∥ AB ，NP= 2BC= 2(ABN QPAOMCB－ AC)=AM=AO=OM ．∴ NPMO 为平行四边形．即 PO 经过 MN 中点 Q ．即直线 PQ 平分线段 AC ．7．证明：当 n 、 k 都是给定的正整数，且n>2， k>2 时， n(n － 1)k －1可以写成 n 个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m ，则此 n 个连续偶数的和为 (2m++2m+2n － 2)× n ÷ 2=n (2m+n － 1)．令 n(n － 1)k －1= n(2m+n －1)，则 (n －1)k －1－ (n － 1)= 2m ．无论 n 为偶数还是奇数， (n － 1)k －1－(n －1)均为偶数，故 m=1 [( n2－ 1)k －1－ (n －1)] 为整数．∴ 从 (n － 1)k － 1－ (n － 1)开始的连续 n 个偶数的和等于 n(n － 1)k －1．由于 n 、 k 给定，故 (n － 1)k －1－ (n － 1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．解：设此三角形三个角为A 、B 、C ，则其三边长分别为2sinA ，2sinB ，2sinC ．本题即证明 cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC ．由于 A ＋ B>90 ，故 90 >A>90 － B>0，sinA>sin(90同理， sinB>cosC ， sinC>cosA ，三式相加，即得证．－ B)= cosB ，9．已知直线 l 1： y= 4x 和点 P(6，4)，在直线 l 1 上求一点 Q ，使过PQ 的直线与直线 l 1 以及 x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．4a － 4解：设 Q(a ， 4a)， (a>1)则直线 PQ 方程为 y － 4= a － 6 (x － 6)，令a －6 5ay= 0，得 x= 6－ a －1= a － 1 ．1 5a ·4a= 10a2 11≥∴ S= · a －1 = 10(a+1+)= 10(a － 1++2)2 a － 1a － 1 a － 110(2+2) = 40．当且仅当 a= 2 时 S 取得最小值．即所求点为 Q(2， 8)．x+y+z= 0，10．求方程组的整数解．x 3+y 3+z 3= － 18解：x 3＋ y 3＋ z 3－ 3xyz=(x ＋ y ＋ z)(x 2＋ y 2＋ z 2－ xy － yz － zx)= 0，故 xyz=－ 6．故 x= － 3，y= 1， z= 2，等共 6 组解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．A证明：如图所示， BD ∥ EF ，作 BG ∥ ED 交GAC 于 G ，则BDP AG AB ADCE QFAC = AE = AF ，从而 GD ∥ BC ，即 BCDG 为平行四边形． P 为 BD 中点，从而 Q 为 EF 中点．2．⑴ 分解因式： x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有 5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．2π2π解：⑴令 ε= cos 15＋ isin 15．14∴ (x 3－ 1)( x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1= ∏(x －εk )．而 x 3－ 1= (x － 1)(xk= 0－ ε5)(x － ε10)．14故 x 12+x 9+x 6+x 3+1= ∏ (x －εk)．k=0(k 5，10)⑵令 x= cosθ，则 5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ= 5+8x+4(2x2－ 1)+4x3－ 3x= 4x3+8x2+5x+1= (x+1)(2 x+1) 2≥ 0 在 x≥－ 1 时成立．3．设 R 为平面上以A(4，1)、B(－ 1，－ 6)、yC(－ 3， 2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界 )．试求当 (x， y)在 R 上变动时，函数 4x－ 3y 的极大值和极小值． (须证明你的论断 )解：令 4x－ 3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即1为4t．C(-3,2)A(4,1)O x B(-1,-6)分别以 A、B、C 的值代入，得相应的t= 13，14，－ 18．即 4x－ 3y 的极大值为14，极小值为－ 18．4．设 ABCD 为任意给定的四边形，边AB、BC、CD 、 CA 的中点1分别为 E、F、G、H，证明：四边形 ABCD 的面积≤ EG?HF ≤2(AB+CD)? 12(AD+BC)．H D证明：连 EF、FG、GH、HE，取 BD 中点 P，A连 EP、 PG．P GE OB C1易证 S 四边形EFGH =S 四边形ABCD．F211而 S 四边形EFGH = 2EG?HF sin∠ EOF ≤2EG?HF ．但 EP=1A D ，PG=1BC． EP+PG≥ EG，故1(AD+BC)≥ EG，222同理，111(AB+CD)≥HF ．故 EG?HF ≤ (AB+CD)?(AD+BC)，222从而，四边形1(AB+CD)?1ABCD 的面积≤ EG?HF ≤(AD+BC)．225．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i= 1，2，， 10)个人的提桶需时T i分钟，假定这些T i各不相同，问：(Ⅰ )当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间( 包括各人自己接水所花时间) 为最少？这时间等于多少？ ( 须证明你的论断)(Ⅱ )当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？( 须证明你的论断)解：当只有 1 个水龙头可用时，所需时间为 10T1+9T2+8T3+ +T10，若当1≤i<j≤ 10 时， T i >T j，则其余人不动，交换第 i 个人与第 j 个人的次序，则所需时间改变量10T1+ +(11 － i)T i + +(11 － j)T j + +T10－ (10T1+ +(11 － i)T j + +(11 －j)T i + )=(11－ i)(T i－ T j )+(11 － j)(T j－T i )= (T j－ T i)(i － j)>0 ．即这样交换后，所需时间变少．∴应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T1<T2<<T10，则所需时间为10T1+9T2+8T3+ +T10．⑵设 T1<T2< <T10，则安排 T1、T3、T5、T7、T9在一个龙头， T2、T4、 T6、 T8、T10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间 5(T1+T2)+4( T3+T4)+3(T5+T6)+2( T7+T8)+(T9+T10)．DCEM 6．设有一个边长为 1 的正方形，试在这个正方形FABG的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积． ( 须证明你的论断)解：如图，设△ EFG 是正方形 ABCD 的一个内接正三角形．且E、F 分别在一组对边AD、BC 上，取EF 中点M，连MG ．则∠GME= ∠GAE= 90°，于是 A、G、M、E 四点共圆．∴∠ MAG= ∠MEG= 60°，同理，∠ MBG= 60°，即△ MAB 为正三角形．于是 M 为定点，故 1=AB ≤EF ≤ABsec15°= 6－2．3∴4≤S△EFG≤ 2 3－ 3．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？ 2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x2的值．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和． 8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．10．求方程组⎩⎨⎧x +y +z=0，x 3+y 3+z 3=－18的整数解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y 的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )· 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛题解答 一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？解：当x >－3时，y=log 2(x +3)，⑴ x +3>1⇒x >－2时，y >0；⑵ 0<x +3<1，⇒－3<x <－2时，y <0．2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x2的值．解：cos2x=1－(22)21+(22)2=－79；cos x=－1 1+tan 2x=－13．cos x 2=－1+cos x 2=－33．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．解：由已知c=b ，故a=2c ，a －c=10－5=5(2－1)=c (2－1)，∴ c=5，a=10．所求椭圆方程为x 210+y 25=1．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．解：设已知方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=92，x 1x 2=4．所求方程两根为t 1，t 2，t 1=1x 1+x 2=29，t 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=814－16=174． ∴ 所求方程为(x －29)(x －174)=0，即36x 2－161x +34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．证明：连NP ，取AC 中点O ，则由于N 、P 分别为CD 、BD 中点，故NP ∥AB ，NP=12BC=12(AB －AC )=AM=AO=OM ．∴ NPMO 为平行四边形．即PO 经过MN 中点Q ．即直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．ADCBMN PQO解：设开始的一个偶数为2m ，则此n 个连续偶数的和为(2m +…+2m +2n －2)×n ÷2=n (2m +n －1)．令n (n －1)k －1= n (2m +n －1)，则(n －1)k －1－(n －1)=2m ．无论n 为偶数还是奇数，(n －1)k －1－(n －1)均为偶数，故m=12[(n －1)k －1－(n －1)]为整数．∴ 从(n －1)k －1－(n －1)开始的连续n 个偶数的和等于n (n －1)k －1．由于n 、k 给定，故(n －1)k －1－(n －1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半． 解：设此三角形三个角为A 、B 、C ，则其三边长分别为2sin A ，2sin B ，2sin C ． 本题即证明 cos A +cos B +cos C <sin A +sin B +sin C ．由于A ＋B >90︒，故90︒>A >90︒－B >0，⇒sin A >sin(90︒－B )=cos B ，同理，sin B >cos C ，sin C >cos A ，三式相加，即得证．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q (a ，4a )，(a >1)则直线PQ 方程为y －4=4a －4a －6(x －6)，令y=0，得x=6－a －6a －1=5aa －1．∴ S=12·5a a －1·4a=10a 2a －1=10(a +1+1a －1)=10(a －1+1a －1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S 取得最小值．即所求点为Q (2，8)．10．求方程组⎩⎨⎧x +y +z=0，x 3+y 3+z 3=－18的整数解．解：x 3＋y 3＋z 3－3xyz=(x ＋y ＋z )(x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －zx )=0，故xyz=－6． 故x=－3，y=1，z=2，等共6组解． 二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD ∥EF ，作BG ∥ED 交AC 于G ，则 AG AC =AB AE =ADAF，从而GD ∥BC ，即BCDG 为平行四边形．P 为BD 中点，从而Q 为EF 中点．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos 2π15＋i sin 2π15．∴ (x 3－1)( x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1=14∏k=0(x －εk )．而x 3－1=(x －1)(x －ε5)(x －ε10)．EAQF DCBP G故x 12+x 9+x 6+x 3+1=14∏k=0(k 5，10)(x －εk )．⑵ 令x=cos θ，则5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ=5+8x +4(2x 2－1)+4x 3－3x=4x 3+8x 2+5x +1=(x +1)(2x +1)2≥0在x ≥－1时成立．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y 的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x －3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即为14t ．分别以A 、B 、C 的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x －3y 的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．证明：连EF 、FG 、GH 、HE ，取BD 中点P ，连EP 、PG ． 易证S 四边形EFGH =12S 四边形ABCD ．而S 四边形EFGH =12EG ∙HF sin ∠EOF ≤12EG ∙HF ．但EP=12AD ，PG=12BC ．EP +PG ≥EG ，故12(AD +BC )≥EG ，同理，12(AB +CD )≥HF ．故EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )，从而，四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10，若当1≤i <j ≤10时，T i >T j ，则其余人不动，交换第i 个人与第j 个人的次序，则所需时间改变量 10T 1+…+(11－i )T i +…+(11－j )T j +…+T 10－(10T 1+…+(11－i )T j +…+(11－j )T i +…)=(11－i )(T i －T j )+(11－j )(T j －T i )=(T j －T i )(i －j )>0．即这样交换后，所需时间变少． ∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T 1<T 2<…<T 10，则所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10．⑵ 设T 1<T 2<…<T 10，则安排T 1、T 3、T 5、T 7、T 9在一个龙头，T 2、T 4、T 6、T 8、T 10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T 1+T 2)+4(T 3+T 4)+3(T 5+T 6)+2(T 7+T 8)+(T 9+T 10)． P OH GFE BCDA6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．∴34≤S△EFG≤23－3．此文档基本上包括了所有课后问题的答案不过因为是乱序，所以只好下载下来然后通过word关键词搜索法方法如下，把题目复制到word搜索框，就会弹出。

2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

1978年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N 点，且∠BDM=α．求证：．，．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=07．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．1978年全国统一高考数学试卷（附加题）参考答案与试题解析一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3（2）应用特殊角的三角函数值．（3）分母不为0，对数的真数大于0．（4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算．（5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项．解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）（2）原式=﹣0+1﹣=（3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）（5）原式=10•（﹣2 ）﹣+30•=10﹣20﹣10+30=﹣20+30•=﹣20+点评：（1）体现整体的数学思想．（2）记住特殊角的三角函数值．（3）分式的分母不为0，对数的真数大于0．（4）直接使用圆锥的体积公式．（5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．分析：1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积．解答：解：x+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故得：1/x1+1/x2=1由②式得.=由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0．点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得．解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD∴作AE⊥BD于点E，则故得证．点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α．求证：．，．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中也可求得CN．解答：证明：证作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，，∴，∴．类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：点评：此题考查了学生的识图能力，还考查了解三角形及正切函数定义，还考查了学生的计算能力．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．考点：函数与方程的综合运用．专题：证明题．分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．解答：证明：（1）∵，∴===∴f（x）等于一个二次三项式的平方（2）∵4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2=4x4﹣4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2，∴由（1）可得a=﹣p代入（2）得将a，b的表达式代入（3）得，∴p[p2﹣4q﹣4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2﹣4q﹣4（m+1）=0．点评：本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：可先，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入②即可得证．解答：证明：则①可写成cosysinx﹣sinycosx=0，∴sin（x﹣y）=0∴x﹣y=kπ（k为整数），∴x=y+kπ又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y=代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0．点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．7．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合．分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为草图为：（2）由，解得A点横坐标．∴线段PA的函数表达式为：由，解得B点横坐标．∴圆弧AB的函数表达式为：∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，由（2）和题意知，P'点的横坐标为﹣和点P，∴∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，∴扇形OAB的面积为∴所求面积（图中阴影部分）．点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yx OPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，Y Y YXX y=-214422=+-y k x求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+-已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-++===<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;sin 60sin 45cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程 略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积 作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由22121:(),(y A x x y PA f x x x ⎧=⎪=-⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:()2:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL。

1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )A ．y=－φ(x )B ．y=－φ(－x )C ．y=－φ－1(x )D ．y=－φ－1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1<k <1 D ．0<|k |<1 3．平面上有三个点集M ，N ，P ：M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，N={(x ，y )|(x －12)2+(y +12)2+(x +12)2+(y －12)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则A ．MPN B ．MNP C ．PNM D ．A 、B 、C 都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有 命题甲：θ>π3；命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则A ．甲是乙的充分条件但不必要B ．甲是乙的必要条件但不充分C ．甲是乙的充分必要条件D ．A 、B 、C 都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠Ø． ⑶ M ≠Ø． ⑷ P ≠Ø中，正确的表达式的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3a 2－a 1= ．2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ．3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DEBC= ．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1b =1，试证：对每一个n ∈N *，(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，a n +2=⎩⎨⎧5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·a n +1为奇数)．试证：对一切n ∈N*，a n ≠0．二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：SPQRSABC >29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．N ACBPQ R H1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )A ．y=－φ(x )B ．y=－φ(－x )C ．y=－φ－1(x )D ．y=－φ－1(－x )解：第二个函数是y=φ－1(x )．第三个函数是－x=φ－1(－y )，即y=－φ(－x )．选B ．2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1<k <1 D ．0<|k |<1 解：因是椭圆，故k ≠0，以(0，0)代入方程，得k 2－1<0，选D ． 3．平面上有三个点集M ，N ，P ：M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，N={(x ，y )|(x －12)2+(y +12)2+(x +12)2+(y －12)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则A ．MPN B ．MNP C ．PNM D ．A 、B 、C 都不成立解：M 表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N 表示焦点为(12，－12)，(－12，12)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P 表示由x +y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A ．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有命题甲：θ>π3；命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则A ．甲是乙的充分条件但不必要B ．甲是乙的必要条件但不充分C ．甲是乙的充分必要条件D ．A 、B 、C 都不对解：a ，b ，c 或平行，或交于一点．但当a ∥b ∥c 时，θ=π3．当它们交于一点时，π3<θ<π．选C ．5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠Ø． ⑶ M ≠Ø． ⑷ P ≠Ø中，正确的表达式的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 解：均正确，选D ．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3a 2－a 1= ．解：a 2－a 1=14(y －x )，b 4－b 3=23(y －x )，b 4－b 3a 2－a 1=83．2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 解：(x +2)2n +1－(x －2)2n +1=2(C 12n +12x n +C 32n +123x n －1+C 52n +125x n －2+…+C 2n +12n +122n +1)． 令x=1，得所求系数和=12(32n +1+1)．3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DEBC = ．解：△AED ∽△ABC ，DE BC =ADAC=|cos α|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．解 画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有C 714种比赛方式．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD 中点O 作MN ⊥BD 交边AD 、BC 于M 、N ，作AE ⊥BD 于E ，则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=23=63．其体积V=π3(63)2·3=239π．同样， △BCD 旋转所得旋转体的体积=239π．其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM ∽△DAB ，DO=32，OM=DO ·AB DA =64． ∴其体积=2·13π·(64)2·32=38π．∴ 所求体积=2·239π－38π=23723π．四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：Z 1=－1Z ，故得|－1Z －Z 0|=|1Z |，即|ZZ 0+1|=1．|Z +1Z 0|=|1Z 0|．即以－1Z 0为圆心|1Z 0|为半径的圆．五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1b =1．试证：对每一个n ∈N *，(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．证明：由已知得a +b=ab ．又a +b ≥2ab ，∴ ab ≥2ab ，故a +b=ab ≥4．于是(a +b )k =(ab )k ≥22k ． 又 a k +b k ≥2a k b k =2(a +b )k ≥2k +1．下面用数学归纳法证明： 1° 当n=1时，左=右=0．左≥右成立． 2° 设当n=k (k ≥1，k ∈N )时结论成立，即(a +b )k －a k －b k ≥22k －2k +1成立．则(a +b )k +1－a k +1－b k +1=(a +b )(a +b )k －(a k +b k )(a +b )+ab (a k －1+b k －1)=(a +b )[(a +b )k －a k －b k ]+ ab (a k －1+b k －1)≥4∙(22k －2k +1)+4∙2k =22(k +1)－4∙2k +1+4∙2k =22(k +1)－2(k +1)+1．即命题对于n=k +1也成立．故对于一切n ∈N *，命题成立．二试题O N MEBCD A一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，a n +2=⎩⎨⎧5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·a n +1为奇数)．试证：对一切n ∈N *，a n ≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证a n ≢0(mod 4)或a n ≢0(mod 3)．证明：由a 1=1，a 2=2，得a 3=7，a 4=29，…… ∴ a 1≡1，a 2≡2，a 3≡3(mod 4)．设a 3k －2≡1，a 3k －1≡2，a 3k ≡3(mod 4)．则 a 3k +1≡5×3－3×2=9≡1(mod 4)；a 3k +2≡1－3=－2≡2(mod 4)；a 3k +3≡5×2－3×1=7≡3(mod 4)． 根据归纳原理知，对于一切n ∈N ，a 3n －2≡1，a 3n －1≡2，a 3n ≡3(mod 4)恒成立，故a n ≢0(mod 4)成立，从而a n ≠0．又证：a 1≡1，a 2≡2(mod 3)．设a 2k －1≡1，a 2k ≡2(mod 3)成立，则当a 2k －1∙a 2k 为偶数时a 2k +1≡5×2－3×1≡1(mod 3)，当a 2k －1∙a 2k 为奇数时a 2k +1≡2－1≡1(mod 3)，总之a 2k +1≡1(mod 3)．当a 2k ∙a 2k +1为偶数时a 2k +2≡5×1－3×2≡2(mod 3)，当a 2k ∙a 2k +1为奇数时a 2k +2≡1－2≡2(mod 3)，总之，a 2k +2≡2(mod 3)．于是a n ≢0(mod 3)．故a n ≠0．二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：SPQRSABC >29． 证明：作△ABC 及△PQR 的高CN 、RH ．设△ABC 的周长为1．则PQ=13．则S PQRSABC =PQ ·RH AB ·CN =PQ AB ·AR AC ，但AB <12，于是PQ AB >23，AP ≤AB －PQ <12－13=16，∴ AR=13－AP >16，AC <12，故AR AC >13，从而S PQRS ABC >29． 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件：⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．证明：设a n =b n ≠0，即k n －1=－1，或a n =b n =0，即k n =1，就有k n +1=0，此时a n +1不存在，故k n ≠±1． 现设k n ≠0，1，则y=k n (x －1)+1，得b n =1－k n ，a n =1－1k n ，∴ k n +1=k n －1k n ．此时k n k n +1=k n 2－1．∴ k n >1或k n <－1．从而k 1>1或k 1<－1．⑴ 当k 1>1时，由于0<1k 1<1，故k 1>k 2=k 1－1k 1>0，若k 2>1，则又有k 1>k 2>k 3>0，依此类推，知当k m >1时，有k 1>k 2>k 3>∙…>k m >k m +1>0，且0<1k 1<1k 2<…<1k m<1，k m +1=k m －1k m <k m －1k 1=k m －1－1k m －1－1k 1<k m －1－2k 1<…<k 1－mk 1．由于k 1－m k 1随m 的增大而线性减小，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0k 1≤1，从而必存在一个m 值m=m 1≤m 0，使k m 1－1≥1，而1>k m 1=k m 1－1－1k m 1－1>0，此时k m 1·k m 1+1<0．即此时不存在这样的直线族．N ACBPQ R H⑵ 当k 1<－1时，同样有－1<1k 1<0，得k 1<k 2=k 1－1k 1<0．若k 2<－1，又有k 1<k 2<k 3<0，依此类推，知当k m <－1时，有k 1<k 2<k 3<∙…<k m <k m +1<0，且0>1k 1>1k 2>…>1k m>－1，k m +1=k m －1k m >k m －1k 1=k m －1－1k m －1－1k 1>k m －1－2k 1>…>k 1－mk 1．由于k 1－m k m 随m 的增大而线性增大，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0k 1≥－1，从而必存在一个m值，m=m 1(m 1≤m 0)，使k m 1－1≤－1，而－1<k m 1=k m 1－1k m 1－1<0，此时k m 1·k m 1+1<0． 即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛 暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为},,,{4321a a a a A =A }8,5,3,1{-=B ，则集合 ．=A2．函数的值域为 ．11)(2-+=x x x f3．设为正实数，，，则 ．b a ,2211≤+b a 32)(4)(ab b a =-=b a log4．如果，，那么的取值范围是 ．)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-)2,0[πθ∈θ5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知，，，则四面体ABCD ︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB 3==BD AD 2=CD 的外接球的半径为 ．ABCD7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则012=--y x x y 42=B A ,C ︒=∠90ACB 点的坐标为 ．C8．已知C ，则数列中整数项的个数为 ．=n a ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-n n n n }{n a二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，|)1lg(|)(+=x x f )(,b a b a <21()(++-=b b f a f ，求的值．2lg 4)21610(=++b a f b a,10．（本小题满分20分）已知数列满足：R 且，}{n a ∈-=t t a (321)1±≠t N ．121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n ()*（1）求数列的通项公式；}{n a （2）若，试比较与的大小．0>t 1+n a na11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：31l C 143622=+y x 交于两点（如图所示），且在直线的左上方．B A ,)2,23(P l （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；PAB （2）若，求△的面积．︒=∠60APBPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式4≥n n 0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：（1）均为正整数；110,,,-n a a a （2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有m )2(≥k k k r r r ,,,21 ．)()()()(21k r f r f r f m f ≠三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数)4(,,,21≥n a a a n n a a a <<< 21，满足的三元数组的个数记为．r )1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--),,(k j i )(r f n 证明：．4)(2n r f n <四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整93⨯数．称A 中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 数．称A 中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”11⨯个数的最大值．。