第一课时等量代换
第一站：倒酒
例1：群宴时，曹丞相让曹冲给大家倒酒。于是，曹冲就把720毫升酒倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满。大杯的容量是小杯的3倍，小杯和大杯各可以装多少毫升酒？
思路点拨：一个大杯的容量可以换成3个小杯，“把720毫升酒倒入6个小杯和1个大杯”，就可以替换成“把720毫升酒倒入（）个小杯”。
尝试解答：
第二站：奖赏
例2：曹操为了把宴会搞得更加隆重，他对每个大臣都进行了赏赐。他给每个文官奖励4只羊，每个武官奖励2头猪。如果6只同样的小猪和18只同样的小羊总共价值648文钱，且2只小猪和三只小羊的价钱相等。问：每只小猪和每只小羊各是多少文钱？
思路点拨：已知2只小猪和3只小羊的价钱相等，如果把小猪替换成小羊，那么6只小猪的价钱= 只小羊的价钱。
尝试解答：
第三站：取剑
例3：宴会结束后，曹操把曹冲带到一个藏宝室。曹操对曹冲说：“这里有很多宝剑和宝刀，你可以任选一样，但得回答我的一个问题。”曹冲说：“没问题！”
曹操说：“3把同样的宝刀和20把同样的宝剑，一共价值134两银子；同样的3把宝刀和16把宝剑，一共价值118两银子。宝刀和宝剑的单价各是多少两银子?”
思路点拨：把两组条件进行比较，可以发现，第一组比第二组多两银子，是因为第一组比第二组多了把宝剑的价钱。
尝试解答：
大胆闯关
1、曹冲把40个同样质量的苹果和5个同样质量的西瓜一起称了一下，一共重12千克，并且每个西瓜的质量是每个苹果质量的8倍。问每个苹果和每个西瓜各重多少克？
2、一个大臣先取出5个同样质量的橙子和6个同样质量的梨子，一共重3120克；又取出5个同样质量的橙子和9个同样质量的梨子，一共重4080克。你知道每个橙子和每个梨子的质量分别是多少克吗？
3、曹冲用大小两种车运石头，大车运了9次，小车运了10次，一共运了132吨，大车3次运的石头等于小车4次运的石头。大、小车的载重量各是多少吨？
4、小强在3个同样的大盒和5个同样的小盒里装满乒乓球，正好是98个。每个大盒比小盒多装6个，每个大盒和小盒各装多少个？
5、同学们去公园划船，如果租6条大船和4条小船可坐52人，如果租4条大船和4条小船则可坐40人，那么每条大船坐多少人？
第二课时和差问题
第一站：多少人参加
例1：生日这天，兰兰的好朋友都来向她祝贺生日。参加她的生日宴会的男同学和女同学一共35人，女同学比男同学多5人，男同学和女同学各是多少人？
提示：根据题意，可以画出线段图，假设男生人数与女生人数一样多。
？人
男生5人
35人
女生
？人
解答：
第二站：准备多少钱
例2：兰兰的同学准备了5元、10元、20元的纸币共50张，给兰兰买些礼物。5元纸币张数比10元少6张，20元的张数比10元多5张，5元、10元、20元纸币各有多少张？
提示：本题中有3个未知数量，需要我们找其中一个数量作为标准数。先画出示意图来理解。
解答：
第三站：买多少水果
例3：兰兰父母为同学们准备了两筐水果，已知甲乙两筐水果共重32千克，从甲筐取出3千克水果放到乙筐去，结果甲筐的水果还比乙筐多2千克，原来甲乙两筐各有水果多少千克？
第四站：买了多少菜
例4：兰兰的妈妈今天买了很多菜，准备为同学们做一顿丰盛的午餐，其中青菜和萝卜共重2800克，青菜和番茄共重1200克，萝卜和番茄共重3200克。问萝卜、青菜、番茄各买了多少千克？提示：每两种菜的质量和已经知道了，怎么求出它们的差呢？
解答：
大胆闯关：
1、同学们分成两组进行夹弹珠比赛，已知第一组和第二组在1分钟内共夹156颗弹珠，第一组比第二组少夹了6颗弹珠，两个小组分别夹了多少颗弹珠？
2、同学们送了兰兰最喜欢看的书《樱桃小丸子》分上、中、下三册，全书共208元，上册比中册贵15元，下册比中册便宜8元，上、中、下册各是多少元？
3、第一组和第二组共有64颗糖果，如果第一组给第二组8颗糖，那么第一组比第二组少2颗糖，两组原来各有多少颗糖？
4、兰兰心中想了两个幸运数。如果两个数的和与这两个数差的积是77，这两个数可能是多少？
5、兰兰和她的好朋友小聪、小林、大志四人的年龄和为77岁，最小的小林今年10岁，最大的与最小的年龄之和比另外两个人年龄和大7岁，最大的大志今年多少岁？
第三课时和倍问题
例1：我们一行96人，分别乘坐大小两辆客车。已知安排在大客车上的同学人数是小客车上人数的3倍，大小两辆客车分别安排了多少人？
提示：
1倍
小客车
3倍
96人
女生
从线段图中可知，把看作一份数，那么就有份数。
解答：
例2：一个农场原有水田325公顷，旱田155公顷。现在计划把一部分旱田改成水田，使全场水田的公顷数相当于旱田的3倍。问：应该把多少公顷旱田改成水田？
提示：改成水田，农场的总公顷数就是旱田剩下公顷数的倍。这时水田和旱田的总面积有没有变化？
解答：
例3：植树节实验小学四、五年级学生参加植树活动。五年级学生植树的棵数比四年级学生植树棵数的3倍多10棵，两个年级学生共植树410棵，这两个年级学生各植树多少棵？
提示：五年级学生植树棵数比四年级学生植树棵数的3倍多10棵，不是整倍数，我们应该先变成整倍数，即去掉多出的10棵。
解答：
小结：关键是要找到和所对应的倍数和。
总数÷（倍数和）=较小数（1倍数）总数—较小数=较大数（几倍数）
大胆闯关：
1、一块长方形的草地周长是32米，已知长是宽的3倍。这块长方形草地的面积是多少平方米？
2、书架上总共有书864本，其中第二层的书是第一层的5倍，那么两层书架各有多少本书？
3、学校买来三中球，一共90个，其中篮球是足球的2倍，排球是足球的3倍。这三种球各买了多少个？
4、师傅和徒弟共生产了200个零件，师傅生产的零件个数比徒弟生产的3倍少16个，师傅和徒弟各生产了多少个零件？
5、两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克茶叶放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原来各有茶叶多少千克？
6、一天，小红的爸爸拿了14粒糖果和大、中、小三只盘子，要求小红把这14粒糖果放在这三只盘子里，使大盘子里的糖果是中盘子的2倍，中盘子里的糖果是小盘子里的2倍。那么每个盘子各放多少粒糖果？
课后作业：
1、甲、乙两个车间共有职工795人，甲车间的人数是乙车间的4倍，两个车间各有职工多少人？
2、一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是84厘米。这个长方形木板的面积是多少平方厘米？
3、有大小两个数，其中大数的个位是0，如果将这个0去掉，就和小数相等。如果大小两个数的和是792，那么这两个数分别是多少？
第四课时差倍问题
【专题导引】
解答差倍应用题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般情况下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：
差÷（倍数－1）=小数
小数×倍数=大数或小数+差=大数
【典型例题】
【例1】学校去年有12人参加体育兴趣小组，今年是去年的2倍少3人，今年体育兴趣小组有多少人？
【试一试】
1、小红有15颗星，亮亮的颗数是小红的3倍还少4颗，亮亮有多少颗星？
2、有甲、乙两个数，甲是32，乙是甲的3倍还多4，乙是多少？
【例2】暑假里，兄弟两人去池塘钓鱼，哥哥比弟弟多钓20条，哥哥钓的条数是弟弟的3倍，哥哥与弟弟各钓了多少条鱼？
【试一试】
1、哥哥与弟弟做题比赛，哥哥做的数学题比弟弟多18道，哥哥做的题是弟弟的4倍。两人各做了多少道数学题？
2、甲、乙两人出钱买礼物，甲比乙多出90元，甲出的钱是乙的10倍。甲、乙各出了多少钱？
【例3】有大小两个书架，大书架上书的本数是小书架上的4倍，如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两书架上的书的本数相等。大小书架原来各有多少本？
【试一试】
1、甲桶酒是乙桶的5倍，如从甲桶中取出20千克倒入乙桶，那么两桶酒重量相等。两桶酒原来各多少千克？
2、小明的铅笔支数是小华的3倍，如果小明给小华6支后两人就同样多。两人原来各有多少支铅笔？
【例4】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？
【试一试】
1、三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？
2、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，今年有多少人参加？
【例5】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍，足球、排球、篮球各买了多少只？
具个数是一月份的2倍，每个月各生产多少个？
2、某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？
课外作业
家长签名：
1、小娟捐给希望工程50元钱，小明看见了说：“我捐的钱是你的2倍少27元钱。”小明捐了多少钱？
2、已知两个数整除得到的商是4，这两个数的差是39。那么它们分别是多少？
3、老猫和小猫去钓鱼，老猫钓的是小猫的3倍。如果老猫给小猫3条后，小猫比老猫还少2条。两只猫各钓多少条鱼？
4、果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵。苹果树和桃树各种了多少棵？
5、三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍，求三个人各折纸飞机多少架？
第五课时盈亏问题
日常生活中，我们常常要分配东西。已知两种分配方案：按一种方法分配，东西有余（称作“盈”）；而按另一种方法分配，东西不足（称作“亏”），求参加分配的人数和被分配的总量。这样的应用题称为盈亏问题。
解盈亏问题的关键在于确定两次分配数的差与盈亏的总额（盈数+亏数）。
解答盈亏问题的基本数量关系是：
（盈+亏）÷两次分配量的差=参加分配的份数（人数）。
（大盈-小盈）÷两次分配量的差=参加分配的份数（人数）。
（大亏-小亏）÷两次分配量的差=参加分配的份数（人数）。
例1：班主任带我们去坐旋风车，连班主任在内，如果每车坐12人，则多出12人；如果每车坐20人，则空出一辆车没人坐。你知道公园里有多少旋风车吗？我们一共去了多少同学？
提示：比较两次分的结果，第一次多出12人，第二次空出一辆车没人坐（也就是少人），这是因为第二次比第一次每辆车上多坐了人。
解答：
例2：玩过了旋风车，班主任给同学们分发了苹果，如果每人分3个，则少61个苹果；如果每人分2个，则少1个苹果。想一想，班主任一共准备了多少个苹果？
提示：同学人数和苹果总数是不变的，每人少分1个苹果，就少要个苹果，所以一共有个同学。
解答：
例3：分完苹果，来到了民俗街，正好有促销活动。
一共还剩20元钱；如果都买小号的，则共剩120元钱。你知道我们
第一小组一共带了多少钱去民俗街吗？
提示：买小号的比买大号的多剩（）元，因为每个小号福娃比每
个大号福娃便宜（）元。
解答：
大胆闯关：
1、下午在民俗街玩具店，第二组同学也买了一些玩具。若每人分5个，还多两个；若每人分7个，
则少8个；如果每个玩具的平均价格为5元，第二组同学在玩具店一共用去多少元？
2、回到住宿的旅馆，他们发现了一棵古树，旅馆的工作人员告诉他们，用一根绳子绕树三圈，余8米，如果绕树五圈，则绳子余下2米。你知道树周长是几米吗？绳子有多长？
3、晚饭后，班主任给第三小组的同学分发写日记的稿纸。如果每人分5张，则缺32张；如果每人分3张，则缺2张。第三小组有多少名同学？班主任一共准备了多少张稿纸？
4、孙悟空采到一堆桃子，平均分给花果山的小猴子吃。每只小猴子分9个，有4只小猴子没有分到；第二次重分，每只小猴分7个，刚好分完。问：孙悟空采到多少个桃子？小猴子有多少只？
5、育才小学安排学生住宿，如果每间12人，则有34人没有床位；如果每间14人，则多出4间宿舍。问：宿舍几间？学生几人？
6、学校组织乘汽车外出春游，如果每车坐45人，则有10人乘不上车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问：一共有几辆车？有多少学生？
课后作业：
1、小朋友分糖果，每人10颗少9颗，每人8颗多7颗。问：有多少个小朋友和多少颗糖果？
2、长缨小学在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下12棵；如果每班分20棵，则少12棵。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？
3、四（2）班同学去兴庆公园租船游玩，如果每条船坐6人，则空出1人的位置；如果每条船坐7人，则空出8人的位置。问有学生多少人？共租了多少条船？
4、同学们来到香港迪士尼乐园游玩，首先在美国小镇大街乘坐古董车，开始怀旧之旅。如果每车坐6人，则多出6人；如果每车坐8人，则少2人。一共多少辆古董车？共有多少名同学？
5、同学们来到探险世界，由勇敢的船长带领大家去体验原始森林中的河流之旅。如果每条船坐10人，则多出8人；如果每条船改坐12人，则有4人没有座位。一共有多少名同学来到探险世界？
6、到了午饭时间，老师给同学们分饼干，如果每人分6块，还有1人分9块就正好分完；如果其中两人各分5块，其余每人分7块饼干，也恰好分完所有饼干。你知道有多少块饼干吗？
第六课时等差数列
像1,2,3,4,……10这样一组数，每相邻的两个数之间的差是固定不变的，我们就叫它是等差数列。如：
2,4,6,8……
5,10,15,20……
等差数列的相关概念：
公差：等差数列的后一项与前一项的差，叫做这个等差数列的公差。
项：数列中的每一个数都是数列的项。
项数：数列的所有项的个数叫做这个数列的项数。
首项：数列的第一项称为首项。
末项：数列的最后一项称为末项。
例1：少先队员们兴致勃勃地观看解放军叔叔的刻苦训练，不时地为他们精湛的军事技术喝彩。训练队伍是这样的：第一排1人，第二排3人，第三排5人……一共站了15排，你知道最后一排有多少名解放军叔叔？
提示：观察1、3、5……发现后一个数都比前一个数多，那么第15个数比第一个数多个2。解答：
本题是等差数列中的求类问题，解决这类问题用的公式：
末项=（）+公差×（项数- ）
例2：同学们观看完解放军叔叔的表演后，又来到了会议厅。会议厅里座无虚席，联欢活动就要开始了。张玲同学数了一下，第一排有20个座位，每往后一排都比前一排多2个座位，最后一排有58个座位。你们知道有多少排座位吗？
提示：第二排比第一排多2，第三排比第一排多个2，第四排比第一排多个2……最后一排比第一排多了个2，也就是第排。说明一共有排。
解答：
本题是等差数列中的求类问题，解决这类问题用的公式：
项数=（ - ）÷（）+（）
例3：活动要结束了，在告别仪式上，张指导员代表驻地部队送给我们一套书。他拿出一本《钢铁是怎样炼成的》，问我们，如果他第一天看了20页，以后每一天比前一天多看5页，最后一天看了60页。这本书一共有多少页？
提示：每天读的页数依次是：20、25、30、35……60，这是一个等差数列，求这个等差数列的和，先要知道项数，即一共看了几天，然后再求一共有多少页？
解答：
大胆闯关：
1、求下列等差数列的和
（1）6，11，16…，76 （2）9，18，27，36，…，108
（3）11，20，29，38，…，452 （4）101，98，95，…，17，14，11
2、有20个小朋友参加聚会，如果见面时每个人都和其他人握手一次，那么一共握手多少次？
3、某剧院第一排有20个座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有72个座位，这个剧院共有多少个座位？
4、有一数列5，9，13，17，…求117在这数列中的第几项，第20项是多少？
5、有一数列3,8,13,18，…求98在这数列中是第几项，第30项是多少？
6、在北京与上海之间往返的火车，除起点和终点站外，还要停靠8个火车站。问：一共要准备多少种火车票？
课后作业：
1、求1+3+5+7+9+11+13+15+17+19的和。
2、求93+97+101+105+109+113+117+121的和。
3、小茜和爸爸进行体能训练。她和爸爸从第一周起每天跑步500米，第二周每天跑步650米，第三周每天跑步800米，照这样的进展，到第11周她每天跑多少米？
4、晚上18名同学相约每两人之间互通一次电话，他们一共通了多少次电话？
5、一辆列车从南京开往北京一共要经过24个站（不包括南京和北京两个站），那么铁路部门共需要为往返于南京和北京的这辆列车准备多少种不同的车票？
6、数列5,8,11,…296,299中，299是第几项？
7、一本书的页码从1~62共有62页，小强把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张被撕掉了，他把其它页码加起来的和是1858。问被撕掉的这张纸上的页码是多少？
第七课时周期问题
例1：国庆节，在人民广场的一边挂了200个灯笼，这些灯笼是按3个红的，2个绿的，1个黄的顺序轮流排列的。问：第200个是什么颜色的灯笼？这200个灯笼中红色的有多少个？
提示：题中以个灯笼为一个周期。200个灯笼里有个周期还余个，余下的灯笼是什么颜色？
解答：
例2
第128组是什么字？
提示：这题上下两行的变化规律不统一，也就是周期里的字数不同，要分别找出两行中第128个字。解答：
例3：有一列数：2,5,1,3,2,5,1,3……，第129个数是多少？这129个数相加的和是多少？
解答：
巩固练习：
1、我国农历有鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。例如，第一年是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。如果公元1年是鸡年，那么公元2016年是什么年？
2、有一列数字，按945367294536729453672……排列。那么前50个数字之和是多少？
3、2015年11月1日是星期日，问2016年1月1日是星期几？
4、2011年的元旦是星期六。你能算一算2012年元旦是星期几吗？
5、有一个100位的数，各位数字都是8，这个数除以6后余数是几？
6、有一列数：4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7,1，……第57个数是多少？这57个数相加的和是多少？
7、红红把积存袭来的硬币按先四个1元，再三个5角，最后两个1角这样的顺序一直往下排。她排到第100个是什么硬币？这100个硬币合起来是多少元钱？
8、河岸上种了100棵果树，第1棵是桃树，接着是2棵苹果树，苹果树的后面是3棵梨树。接下去一直按照1棵桃树，2棵苹果树，3棵梨树这样的排列方式种下去。问第100棵是什么树？三种树各有多少棵？
第八课时策略问题
例1：王大叔:24根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，怎样围面积最大？
由题意可知长方形的周长是24米，那么长与宽的和是米，再把长和宽分别是多少米一一列举出来，通过列表进行分析。
变式练习：将1、2、3、4、5、0这6个数字填入下面的算式中，使乘积最大。
×
例2：游乐园只售两种门票，个人票每张5元，10人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票者，每张团体票可优惠3元。
（1）甲单位42人，最少应付多少钱？
（2）乙单位108人，最少应付多少钱？
例3、甲、乙、丙三个同学来找张老师请教数学问题，张老师预估了一下，讲解甲的问题需要10分钟，讲解乙的问题需要3分钟，讲解丙的问题需要7分钟。怎样安排三人的顺序，才能使三人解决问题和等候所用的时间总和最少？最少要用多少分钟？
巩固练习：
1、园林工人打算用栅栏围一个面积是120平方米的长方形草地。同学们，你们能帮园林工人设计一下，怎么围才能最省材料？最少需要多少米的栅栏呢？
2、暑假期间，宁宁想买个新书包，下表中列出了同一种书包在不同商场的促销方法。请你帮宁宁
3、用一只平底锅煎饼，每次只能放2个，煎一个需要4分钟（正反面各需2分钟），问煎63个饼至少需要多少分钟呢？
4、甲乙两人轮流报数，从1到60，谁先数到60谁就赢，规定每人每次最少数1个数，最多数4个数。如果甲先数，那么谁必胜？为什么？
5、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需9分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。问：要把4头牛都赶到对岸最少要多长时间？
第九课时行程问题（一）
例1：小明去外婆家时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟。如果他往返都坐车需30分钟；如果他往返都步行，需多少分钟？
提示：根据“往返都坐车需30分钟”可算出单程坐车需要的时间是分钟，进而算出单程步行所需的时间。
解答：
例2：表哥准备开车去接小明，已知两人原来相距300千米，表哥的小轿车每小时行52千米，小明乘坐的大巴车每小时行40千米，若两车同时从两地相向而行，经过多长时间两车相距24千米？提示：两车要相距24千米，说明两车共同行使了千米，而每小时两车合行千米，因此需要小时。
解答：
相遇时间=（）÷（）
例3：下午，小明乘中巴车以每小时60千米的速度回家，出发1小时后，表哥发现小明有一样东西忘拿了，立即坐小轿车以每小时90千米的速度追去。表哥经过多少小时才能追上小明？
提示：根据题意可知，当小轿车出发时，与中巴车的路程差是千米。而小轿车每小时比中巴车多行千米，也就是每小时可以追上中巴车千米，那就需要小时。
解答：
追及时间=（）÷（）
大胆闯关：
1、张师傅上班坐车，下班步行，在路上共用90分钟。如果往返都步行，在路上共需要150分钟。
问张师傅往返都坐车，在路上则需多少时间？
2、宁宁上学时骑车，放学回家时步行，在路上共用去40分钟。已知他骑车的速度是步行的4倍，
那么宁宁往返都骑车需多长时间？
3、学校环形跑道长200米，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒跑6米，晶晶每秒跑4米。
问：冬冬第一次追上晶晶要多少秒？第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？