专题08%C2%A0排列组合二项式定理-2020年新高考数学二轮专项习题练

教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新数学高考通用版二轮专题复习专题检测：（八）排列与组合、二项式定理-含解析撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2,3}，Q＝{1,2,3,4,5}，则P⊗Q中元素的个数是( ) A．4 B．9C．20 D．24解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素．2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A．224 B．112C．56 D．28解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC＝112种．3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝Cx4i2＝－15x4.4．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )A．12种 B．24种C．36种 D．72种解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．5．在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )A．－56 B．－35C．35 D．56解析：选 A 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2得r＝3，所以展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.6．若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )A. B．12C．1 D．2解析：选D 依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.7．已知(x＋2)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，则a13的值为( )A．945 B．－945。

专题 排列组合二项式定理排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力．§10－1 排列组合【知识要点】1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合．3．组合数的性质：(1)；(2)．【复习要求】理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性．熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】例1 有3封信，4个信筒．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法?⋅=-=-=m n mn mn m nA A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!mn n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法?【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．(2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法．34A 22A 37A由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种．【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲站在中间； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲在乙的左边(但不一定相邻)； (4)甲、乙、丙相邻； (5)甲、乙、丙两两不相邻；解：(1)甲站在中间，其余6名同学任意排列，故不同排法有＝720．(2)第一步：先把甲、乙捆绑，视为一个元素，连同其余5个人全排列，共有种排法；第二步：给甲、乙松绑，有种排法，此题共有＝1440种不同排法． (3)在7名同学站成一排的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的，各占一半，因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2＝2520种．(4)先把甲、乙、丙视为一个元素，连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种，再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种，此题的解为：＝720．(5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好，共有种站法，让甲、乙、丙3人插空，由于4个人形成5个空位，所以甲、乙、丙共有种站法，此题答案．【评述】当要求某几个元素排在一起时，我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素与其他元素进行排列如例4(2)，(4)．当要求某几个元素不相邻时，我们常常先排其他元素，然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5)．例5 4个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒不放球，共37A 66A 66A 22A 66A 22A 77A 77A 55A 33A 55A 33A 44A 35A 14403544 A A几种放法?【分析】先将4个球分成3组，共有种分组方法；再将3组球放在4个盒子里，是排列问题，有24种方法，所以，共有种不同的放球方法．【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好．例6某班组有10名工人，其中4名是女工．从这10个人中选3名代表，其中至少有一名女工的选法有多少种?解法1：至少有一名女工的情形有三类：1名女工和2名男工；2名女工和1名男工；3名女工，把这3类选法加在一起，共有种不同的选法．解法2：与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法，从所有的选法中除去“没有女工”的选法，剩下的即为所求，共有．【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时，从大的方向看我们常常是对其分类讨论，运用分类计数原理解决问题，当然，也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算．例7 如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．解：1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法； 1、3两个格子颜色不相同时，按分步计数原理，有6×5×4×4＝480种方法． 所以，共有不同的涂色方法630种．例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点，不同取法有多少种?624=C =34A 1443424=A C 1003416242614=++C C C C C 10036310=-CC【分析】没有限制地从10个点中选出4个点，共有种不同选法，除去4点共面的选法即可．4点共面的选法有3类．(1)4个点在四面体A －BCD 的某一个面 上，共有种共面的情况．(2)过四面体的一条棱上的3个点及对棱的中点，如图中点A ，E ，B ，G 平面，共计有6种共面的情况．(3)过四面体的四条棱的中点，而且与一组对棱平行的平面，如图E ，F ，G ，H 平面，此类选法共有3种．综上，符合要求的选法共有种．例9 在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST ”的路线的条数与“TSETNOC ”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T 走到边上的C 共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC ”路线共有26＝64条．所以本题的答案为64×2－1＝127．410C 464C 141)364(46410=++⨯-CC【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同．借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法．例10 (1)计算的值； (2)计算的值；(3)证明：．(1)解：． (2)解：注意到中的隐含条件：n ≥m ，m ∈N ，n ∈N *，有解得，所以n ＝10． 所以，．(3)证明：．【评述】对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种，一种是运用排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题，另一种是运用组合数的一些性质进行计算及证明．常用的组合数的性质有：(1)； (2)；59694858A A A A -+nn nnC C 321383+-+mn m n m n A mA A 11+-=+275!93!85!9!94!8!84!4!9!3!9!4!8!3!859694858=⨯⨯=-⨯+⨯=-+=-+A A A A mn C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥->-≥,321,038,03,383n n n n n n 221219≤≤n 46613123030312830=+=+C C C C )!1(!)!1(!)1()!1(!)!(!1+-++-+-=+-+-=+⋅⋅-m n n m m n n m n m n n m m n n mA A m nm n m n A m n n m n n m n n m m n n m n 1]!)1[()!1()!1()!1()!1(!)!1(!)1(+=-++=+-+=+-++-+-=⋅⋅m n n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C(3)；(4)．练习10－1一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) (A)10种(B)20种(C)25种(D)32种2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) (A)42(B)30(C)20(D)123．四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( ) (A)30种(B)33种(C)36种(D)39种4．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有( ) (A)5种(B)6种(C)7种(D)8种5．下列等式中正确的是( )(1)；(2)； (3)； (4)． (A)(1)(2) (B)(1)(2)(3) (C)(1)(3)(D)(2)(3)(4)6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不．能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) (A)234种 (B)346种 (C)350种 (D)363种二、填空题nn n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 11--=k n k n nC kC 111111+++=+k n k n C n C k kn k nC k k n C 11+-=+kn k n C n k C 1111++=++7．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有______条．(结果用数值表示)8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有______． 9．马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．10．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)11．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______．(用数字作答)12．8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里，则放法种数为______．(以数值作答)§10－2 二项式定理【知识要点】1．二项式定理：．2．通项公式：，3．，，，…，，…，称为二项式系数，4．二项展开式的系数的性质：；．【复习要求】会求二项展开式中适合某种特殊条件的项；了解利用二项式定理进行近似计算，证明与组合数有关的等式或整数(整式)的整除性的方法． 【例题分析】例1 在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是______．nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(rr n r n r b a C T -+=10n C 1n C 2n C r n C nn C n n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 52)1(xx -解：， 令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4项的系数是．例2 (1)若(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 系数的7倍，求n 的值； (2)在(2＋lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：(1)由已知，即，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5(舍)．所以n ＝8．(2)(2＋lg x )8的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项．由已知，，整理得(lg x )4＝1，所以lg x ＝±1，解得x ＝10或 例3 求的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．解：，若系数为有理数，则都必须是整数，即r 应为6的倍数． 又0≤r ≤100，所以r 的不同值有17个． 所以x 的系数为有理数的项共有17项．例4 已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．解： 由已知，所以n ＝7．所以第4项系数最小， r r r r rr r x C xx C T 31055251)1()1()(--+-=-=10)1(225=-C 137n n C C =n n n n 76)2)(1(=--1120)(lg 244485=⋅=⋅x C T ⋅=101x 1003)23(+x r r r rrr r r x C x C T ---+==1003210010031001001·2·3·)2()3(3,2100rr -nnx )1(-,)1(,)1(1055556422223-----=-==-=n n n n n n n n x C xx C T x C x xC T 25n n C C =.35)1(37337374x x C xxC T -=-=-=-【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同时注意系数、上标、下标之间的关系；注意系数、二项式系数的区别，如例2； 注意运用通项公式求第3项时，r ＝2．如例4．例5 已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，解：的展开式的第r ＋1项令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，r ＝4，所以常数项 又(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于2n ，由题意得2n＝16，所以n ＝4．由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项，是中间项T 3，所以，解得．例6 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1． ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37． ②(1)易知a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7－a 0＝－2；(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝＝－1094；rr n r n r b a C T -+=152)1516(xx +52)1516(xx +.)516()1()516(2520555251rr r r r r r xC xx C T ---+==.16516455=⨯=C T 54424=a C 3±=a 2317--(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6=＝1093；(4)方法1：因为(1－2x )7的展开式中a 1，a 3，a 5，a 7是负数，a 0，a 2，a 4，a 6是正数， 所以｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝2187． 方法2：因为｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜表示(1＋2x )7的展开式中各项系数的和，令x ＝1，可得｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝37＝2187．【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点，常令字母为1或－1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题．例7 若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．【分析】方法1：由于a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10＝x 2＋x 10[－1＋(x ＋1)2]＋[－1＋(x ＋1)10]＝，则．方法2：由于等式左边x 10的系数为1，所以a 10＝1，又，等式左边x 9的系数为0，所以，所以a 9＝－10．例8 除以100的余数为______．解：前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，，所以9192除以100的余数为81．例9求(0.998)5精确到0.001的近似值． 解：． 2317+-10101091910)1()1()1(+++-+x C x C Λ10)1(9109-=-=C a 0109109=+a C a 9291190909090)190(9191922909291192920929292+++++=+=⋅⋅⋅⋅C C C C Λ81820082811909192+==+⋅C =-=55)002.01((0.998)990.0)002.0()002.0(2251505÷+-+-+ΛC C C【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一． 例10 设a ＞1，n ∈N *且n ≥2，求证． 证明：设，则(x ＋1)n＝a ．欲证原不等式，即证nx ＜(x ＋1)n－1，其中x ＞0．，即有(x ＋1)n＞nx ＋1，得证．例11 的展开式中常数项为______．(用数字作答)解：求的常数项，即求展开式中的常数项及含x －2的项．对于，． 令8－2r ＝0，即有r ＝4，．令8－2r ＝－2，即有r ＝5，．所以常数项为70＋2×(－56)＝－42．练习10－2一、选择题1．若的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 (A)－84(B)84(C)－36(D)362．已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为( )(A)1 (B)2(C)4 (D)83．在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( ) (A)4(B)－4(C)8 (D)－8na a n 11-<-x a n =-1)2(111)1(11110≥+=+>++++=+---n nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n Λ82)1)(21(xx x -+82)1)(21(xx x -+8)1(xx -8)1(xx -r r r r rr r x C xxC T 288881)1()1(--+-=-=70)1(4845=-=C T 22585656)1(---=-=x x C T nxx )1(2-9)2(x x a -494．若与同时有最大值，则m 的值是( )(A)5 (B)4或5 (C)5或6 (D)6或7二、填空题 5．(x 2＋)6的展开式中常数项是______．(用数字作答) 6．若(x ＋1)n＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______． 7．(n ＋1)n ＋1除以n 2(n ＞1)的余数为______．8．观察下列等式：，，，，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于___________．三、解答题9．在(3x ＋1)n的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，求n 的值． 10．若f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为( )11．当n ∈N *时，求证：nC 21mn C x12235515-=+C C 3799591922+=++C C C 511131391351311322-=+++C C C C 7151717131791751711722+=++++C C C C C =++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n ΛN .3)11(2<+≤nn习题10一、选择题1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有( ) (A)35种(B)25种(C)20种(D)16种2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) (A)18(B)24(C)30(D)363．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”(其中“qu ”相连且顺序不变)的不同排列共有( ) (A)120种(B)480种(C)720种(D)840种4．若＝，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为( )(A)－1 (B)1 (C)0 (D)25．若的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6(C)5(D)36．若，则的值为( )(A)2 (B)0(C)－1(D)－2二、填空题7．在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是______．(用数字作答)8．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少有一名女生，则不同的选法有______种．9．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种．3)32(+x 332210x a x a x a a +++nxx )23(32-)()21(20092009102009R ∈+++=-x xa x a a x Λ200920092122aa a a +++Λ10．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于______．11．数列a 1，a 2，…，a 7，其中恰好有5个2和2个4，调换a 1至a 7各数的位置，一共可以组成不同的数列(含原数列)______个．12．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种． 三、解答题13．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝509－n ，求n ．14．已知n 是等差数列4，7，10，13，…中的一项．求证的展开式中不含常数项．nxx )1(专题10 排列组合二项式定理参考答案练习10－1一、选择题1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 二、填空题7．30； 8．240； 9．56； 10．240； 11．8424； 12．45．练习10－2一、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 二、填空题5．15； 6．11； 7．n ＋1； 8．24n －1＋(－1)n 22n －1．三、解答题9．解：令x ＝1，得各项系数和为4n ，又各项二项式系数和为2n， 所以4n －2n ＝992.22n －2n－992＝0，解得n ＝5．10．解：f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中含x 的项，由2m ＋3n ＝13，m ，n 为正整数，得m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1，当m ＝2，n ＝3时，求得x 2的系数为31；当m ＝5，n ＝1时求得x 2的系数为40， 故x 2的系数为31或40．11．证明：， 因为， x n m x C x C n m )32(3211+=+2111111)11(1221=+≥++++=+⋅⋅⋅⋅nC n C n C n C n n n n n n n nΛ121!1)11()21)(11(!1)!(!!1-≤≤----==-=⋅k k k knk n k n n k n k n k n n C ΛΛ所以 所以习题10一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 二、填空题7．－189； 8．100； 9．72； 10．－240； 11．21； 12．36． 三、解答题13．解：令x ＝1，得2＋22＋23＋ (2)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ．令x ＝0，则a 0＝n ． 又由已知可得a n ＝1．∴，化简得2n ＝256，∴n ＝8． 14．解：用反证法，假设第r ＋1项为常数，即为常数项．又等差数列4，7，10，13，…的第k 项为a k ＝4＋(k －1)×3＝3k ＋1(k ∈N *)． 令n ＝3k ＋1，T r ＋1为常数项，则 即，∵k ∈N *，这与，且r ∈N 矛盾，所以它没有常数项．nn n n n n n n n n n C n C n C n C n C n 1·121111)11(22221+++≤++++=+⋅⋅⋅⋅ΛΛ.32132121212112<-=++++≤--n n Λ.3)11(2<+≤nn1)509(12)12(2+-+=--n n n 2321r n r nr rn r nr xC xxC T ---+==⋅.02313,023=-+=-r k r n 322+=k r。

2020年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理一、选择题:1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 3．(2020年高考天津卷理科5)在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C【解析】因为1r T +=666((rr x C x-⋅⋅,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6(42)()xx x R --∈的展开式中的常数项是（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C【解】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．5.(2020年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B解析： ()13n x +的通项为()13rrr n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =712.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：D解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 7．(2020年高考福建卷理科6)（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．10【答案】B 二、填空题:1. (2020年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 【答案】4【解析】因为6162(rrr r a T C xx-+=⋅⋅-,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.2. (2020年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。

专题08 排列组合二项式定理一、单选题1．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12B ．24C ．36D ．482．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种3．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．134．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A ．48B ．36C ．24D ．125．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72B ．144C ．150D ．1806．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A ．12B ．24C ．36D ．727．若03sin m xdx π=⎰，则二项式12mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．60D ．1208．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-9．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是（ ）A ．35350C CB ．123555350C C C C ++ C ．3453501C C -D ．1221545545350C C C C C + 10．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对二、多选题11．84112x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项（ ） A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项12．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.三、填空题13．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋯++++，则2a =________. 15．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中a (k=2,3,4,5)k 出现0的概率为13 ，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，当程序运行一次时，X 的数学期望()E X =_____．四、解答题16．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线0.5 0.6 0.9 0.7若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.参考答案1．B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有22A种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有2323A A种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为223 22324A A A=种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A=种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A=种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．3．B【解析】【分析】算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．解：3男2女共5名同学站成一排合影，基本事件总数55120n A==，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数23223224m A A A==，∴2名女生相邻且不站两端的概率为2411205mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①将歌曲节目排在首尾；②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间；③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，由分步计数原理计算可得结论.【详解】分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有222A=种排法.②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有222A=种排法.③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有21236A A=种排法.则这2个节目出场的不同编排种数为22624⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.5．B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取；千位数字去掉个位数字选用的和0还剩下四个数字中选择，最后再排百、十位数字。

高中数学专题复习
《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．(汇编山东文)已知(x x 1
2-)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为14
3，则展开式中常数项是（ D ）
(A )－1 (B)1 (C)－45 (D)45
2．生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( )
A.24种
B.36种
C.48种
D.72种(汇编辽宁理)
3．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A ）36个 （B ）24个（C ）18个 （D ）6个(汇编北京理)
4．(汇编浙江文)在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )。

十、排列、组合、二项式定理考试要求：1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

1、高三年级有文科、理科共9个备课组，每个人备课组的人数不少于4人，现从这9个备课组中抽出12人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有：A ．129种B ．148种C ．165种D ．585种2、从4名教师与5名学生中任选3人,其中至少要有教师与学生各1人,则不同的选法共有：A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种3、 对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有：A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种4、以长方体的8个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是：A ．0B ．6C ．8D ．245、4个男生2个女生排成一排，若女生不能排在两端，且又不相邻，则不同的排法数有____________种。

6、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点 伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，从最初位置爬 到6号蜂房共有 种不同的爬法。

7、某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为A.2426C AB. 2426A AC. 262AD. 242621C A 8、中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中的四个区域内坐定.有四种不同颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域的观众服装颜色相同与否，不受限制，那么不同的着装方法有：A.36种B.84种C.48种D.24种9、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有A. 144B. 96C. 72D. 4810、直线x y m x ==,将圆面422≤+y x 分成若干块. 现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的涂法，则实数m 的取值范围是 .11、用1个1，2个2，3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数: 0654321蜜蜂A ．20B ．60C ．120D ．9012、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .13、 在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中，含4x 项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的：A ．第13项B ．第18项C ．第11项D ．第20项14、在7)1(+ax 的展开式中，3x 项的系数是2x 的系数与5x 项系数的等比中项，则a 的值是： A. 510 B. 925 C. 35 D. 325 15、若n xx )213(32-的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是: A ．3B ．4C ．5D ．6 16、102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于 .17、已知二项式72展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于：A ．1BC ．2D ．4618、若nx )51(+与n x )57(+的展开式中各项系数之和分别为n a ，n b ，则nn n n n b a b a 432lim +-∞→= . 19、二项式(1+x)n 的展开式中, 存在着系数之比为5: 7的相邻两项, 则指数n (n ∈N*)的最小值为：A. 13B. 12C. 11D. 10十、排列、组合、二项式定理参考答案1、C ；2、C ；3、C ；4、C ；5、144；6、21；7、D ；8、B ；9、A ；10、22<<-m ； 11、B ；12、36；13、D ；14、B ；15、C ；16、-10，2；17、C ；18、21-；19、C。

高考数学专题命题解读1.高考对排列组合的考查，重点是特殊元素与特殊位置、两元素相邻或不相邻、分组、分配等问题。

题型一般与生活实际联系紧密。

2.高考对二项式定理的考查，重点是二项展开基本定理考查特定项、系数、二项式系数等问题，同时会涉及到赋值法的应用。

命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷的排列组确定所有可能结果，其实Ⅰ卷的题目也其中逻辑推理能力比较重要，而且都是试题精讲一、填空题1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如图的则共有种选法，在所有符合上述要求的考数学真题题型分类解析08排列组合与二项式定理考向 点是特殊或不相一般与生重点是二特定项的时会涉及排列组合202202202202二项式定理 202排列组合是体现在概率中的，后续专题会体现出来。

题目也可以采用列举法，这两题考查的方向偏向于与实且都是压轴题。

预计2025年高考还是主要考查排列组合图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是解析解析 式定理式定理考查统计2023·新高考Ⅰ卷，13 2022·新高考Ⅱ卷，5 2023·新高考Ⅱ卷，3 2024·新高考Ⅱ卷，14 2022·新高考Ⅰ卷，13 。

Ⅱ卷考查了通过列举来于与实际生活联系在一起；列组合的应用，题型多变。

列均恰有一个方格被选中，大值是．【答案答案】】 24 112【分析分析】】由题意可知第一由题意可知第一、、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选个方格可选；；利用列举法写出所有的可能结果利用列举法写出所有的可能结果，，即可求解.【详解详解】】由题意知由题意知，，选4个方格个方格，，每行和每列均恰有一个方格被选中每行和每列均恰有一个方格被选中，， 则第一列有4个方格可选个方格可选，，第二列有3个方格可选个方格可选，， 第三列有2个方格可选个方格可选，，第四列有1个方格可选个方格可选，， 所以共有432124×××=种选法种选法；；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一分别表示第一、、二、三、四列的数四列的数字字， 则所有的可能结果为则所有的可能结果为：： (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中所以选中的方格中，，(15,21,33,43)的4个数之和最大个数之和最大，，为152********+++=. 故答案为故答案为：：24；112 【点睛点睛】】关键点点睛关键点点睛：：解决本题的关键是确定第一解决本题的关键是确定第一、、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选个方格可选，，利用列举法写出所有的可能结果.一、单选题1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【答案答案】】B【分析分析】】利用捆绑法处理丙丁利用捆绑法处理丙丁，，用插空法安排甲用插空法安排甲，，利用排列组合与计数原理即可得解【详解详解】】因为丙丁要在一起因为丙丁要在一起，，先把丙丁捆绑先把丙丁捆绑，，看做一个元素看做一个元素，，连同乙连同乙，，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端为使甲不在两端，，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，，有2种插空方式种插空方式；；注意到丙丁两人的顺序可交换注意到丙丁两人的顺序可交换，，有2种排列方式种排列方式，，故安排这5名同学共有名同学共有：：3!2224××=种不同的排列方式种不同的排列方式，，故选故选：：B 2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种二、填空题3．（2022新高考Ⅰ卷·13）81()y x y x −+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）． 【答案答案】】64【分析分析】】分类讨论选修2门或3门课门课，，对选修3门，再讨论具体选修课的分配再讨论具体选修课的分配，，结合组合数运算求解.【详解详解】（】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类若体育类选修课选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述综上所述：：不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为故答案为：：64.一、排列与排列数1、定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示．2、排列数的公式：()()()()!121!mnn A n n n n m n m =−−−+=− ． 特例：当m n =时，()()!12321m n A n n n n ==−−⋅⋅ ；规定：0!1=． 3、排列数的性质：①11m m n n A nA −−=；②111mm m n n n n A A A n m n m+−==−−；③111m m m n n n A mA A −−−=+．二、组合与组合数1、定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示．2、组合数公式及其推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ； 根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅；因此()()()121!m mn nm m n n n n m A C A m −−−+== ．这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!!m n n A n m =−，所以组合数公式还可表示为：()!!!m n n C m n m =−．特例：01n n n C C ==．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C !m n n n n n m m −−⋅⋅⋅−+=常用于具体数字计算，!C !()!m n n m nm =−常用于含字母算式的化简或证明．3、组合数的主要性质：①m n m n n C C −=；②11m m mn n n C C C −++=．4、组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型三、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．四、二项式展开式的特定项二项式展开式的特定项、、特定项的系数问题1、二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N −−∗+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b −+=， 其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2、二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次 数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．3、两个常用的二项展开式：①（）②4、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r r r n T C a b −+=()0,1,2,3,,r n =…公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．n n b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b −−−=−++−⋅++−⋅ *N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++ r n C注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b −的二项展开式的通项是（只需把b −看成b 代入二项式定理）．五、二项式展开式中的最值问题1、二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C −+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C −=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=− ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==−，，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C −+−++−=−= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +−++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ． ⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T +的二项式系数12n nC−，12n nC+相等且最大．2、系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r r r r A A A A +++≥ ≥ ，从而解出r 来．六、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：1、设， 二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．r n r rnC a b −r n r r n C b a −1(1)r r n r rr nT C a b −+=−()011222nn n n r n r r n nn nn n n a b C a C a b C a b C a b C b −−−+=++++++ 1a b ==012n nn n n C C C =+++ ()012301nnn n n n n C C C C C =−+−+− 02131n n n n n n n n C C C C C C −+++=+++ n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C −−+++=+++=2、若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a −−−−=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a −=+++++ ． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +−+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a −−+++=． （可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a −−+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +−+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x −−=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =−，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【排列组合常用结论排列组合常用结论】】一、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．二、常见排列组合类型及解法1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ， ，(2)n M n …，现取(2)k k …种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k −−+−种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =−=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A −+−+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k nk kk A A −+−+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤−+），求不同排法种数的方法是：先将（n k −）个元素排成一排，共有n kn k A −−种排法；然后把k 个元素插入1n k −+个空隙中，共有1k n k A −+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A −−·1k n k A −+种．一、单选题1．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ）A ．402400CB ．242400C C ．122400CD ．102400C2．（2024·北京·三模）已知x的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）A ．240−B ．240C ．60D ．60−的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案答案】】C【分析分析】】依题意依题意，，先将在同一区域的三个先将在同一区域的三个人选出并选定区域人选出并选定区域人选出并选定区域，，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.【详解详解】】要使五人中恰有三人在同一区域要使五人中恰有三人在同一区域，，可以分成三步完成可以分成三步完成：： 第一步第一步，，先从五人中任选三人先从五人中任选三人，，有35C 种方法种方法；； 第二步再选这三人所在的区域第二步再选这三人所在的区域，，有13C 种方法种方法；；第三步第三步，，将另外两人从余下的两个区域里任选将另外两人从余下的两个区域里任选，，有1122C C ⋅种方法.由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理，，共有31115322C C C C 120⋅⋅⋅=种方法.故选:C.4．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（ ） A ．2455B ．2855C ．811D ．2755 【答案答案】】D【分析分析】】利用古典概率结合组合数的计算求解即可. 【详解详解】】从11所学校中任选3所学校共有种311C 165=选法. 其中排名为第一名或第五名的学校其中排名为第一名或第五名的学校，，可以分为三种情况可以分为三种情况：：第一类第一类：：只含有排名为第一名的学校的有29C 36=种选法种选法；；邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（ ） A ．310B ．35C ．110D ．156．（2024·新疆喀什·三模）21x x ++展开式中，3x 的系数为（ ）A ．20B ．30C ．25D ．40【答案答案】】B【分析分析】】分不含2x 项和含有一个2x 项两种情况求解项两种情况求解．．【详解详解】】25(1)++x x 展开式中展开式中，，3x 的项为33212133554C 1C C 130x x x x ⋅+⋅⋅=，则3x 的系数为30． 故选故选：：B ．7．（2024·新疆·三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．35【答案答案】】B【分析分析】】求出事件的总数以及目标事件的数量求出事件的总数以及目标事件的数量，，再用古典再用古典概型计算即可概型计算即可..【详解详解】】将古都分成2个、3个两组个两组，，再在两个月安排旅游顺序再在两个月安排旅游顺序，，故事件总数为2252C A 20⋅=，分2个古都组中含西安个古都组中含西安、、洛阳洛阳，，或3个古都组中含西安个古都组中含西安、、洛阳洛阳，，故恰好在同一个月游览西安和洛阳的事件8．（2024·北京·三模）在2221x x −−的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．144−B ．16−C ．16D ．144【答案答案】】C【分析分析】】写出()()552112x x −=−−的展开式通项，即可列式求解.【详解详解】】()()552112x x −=−−，其展开式通项公式为()15C 2rr r T x +=−−，0,1,2,3,4,5r =，所以所求5x 项的系数为()()353555C 22C 2806416−−+−=−=，故选故选：： C ． 9．（2024·河北秦皇岛·三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．24种【答案答案】】B【分析分析】】根据参加晚会的人数分类讨论根据参加晚会的人数分类讨论，，利用排列组合数求解即可.【详解详解】】第一种情况第一种情况，，只有两人参加晚会只有两人参加晚会，，有23A 6=种去法种去法；； 第二种情况第二种情况，，三人参加晚会三人参加晚会，，有2232C A 6=种去法种去法，，共12种去法.故选故选：：B10．（2024·安徽芜湖·三模）已知A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人站成一排，要求A 和B 不相邻，C 不站两端，则不同的排法共有（ ）种A ．186B ．264C ．284D ．336【答案答案】】D【分析分析】】先考虑A 和B 不相邻的排法不相邻的排法，，再考虑A 和B 不相邻不相邻，，且C 站两端的情况站两端的情况，，相减后得到答案. 【详解详解】】先考虑A 和B 不相邻的排法不相邻的排法，，将C 、D 、E 、F 四个人进行全排列四个人进行全排列，，有44A 种情况种情况，，C 、D 、E 、F 四个人之间共有5个空个空，，选择2个排A 和B ，有25A 种情况种情况，，故有4245480A A =种选择种选择，，再考虑A 和B 不相邻不相邻，，且C 站两端的情况站两端的情况，， 先从两端选择一个位置安排C ，有12C 种情况种情况，， 再将D 、E 、F 三个人进行全排列三个人进行全排列，，有33A 种情况最后D 、E 、F 三个人之间共有4个空个空，，选择2个排A 和B ，有24A 种情况种情况，，故有132234C A A 144=种情况种情况，，则要求A 和B 不相邻不相邻，，C 不站两端不站两端，，则不同的安排有480144336−=种情况. 故选故选：：D 11．（2024·浙江绍兴·三模）在()()()()()123x x x x a x b +++++的展开式中，含4x 项的系数是10，则()2log a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案答案】】C【分析分析】】在()()()()()123x x x x a x b +++++的展开式中含4x 的项即从5个因式中取4个x ，1个常数项即可写出含4x 的项的项，，则可得出答案.【详解详解】】根据二项展开式可知含4x 项即从5个因式中取4个x ，1个常数项即可写出含4x 的项；所以含4x 的项是()4412310a b x x ++++=，可得4a b +=；即可得()22log log 42a b +==. 故选故选：：C 12．（2024·湖北荆州·三模）已知()202422024012202431a a x a x a x x =+++−+L ，则122024a a a +++L 被3除的余数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案答案】】D【分析分析】】先对二项展开式中的x 进行赋值进行赋值，，得出101212202441a a a +++=− ，再将10124看作()101231+进行展开，再利用二项展开式特点分析即得.【详解详解】】令0x =，得01a =，令1x =，得202401220242a a a a ++++= ， 两式相减两式相减，，202410121220242141a a a +++=−=− ，因为()101210120101211011101110121012101210121012431C 3C 3C 3C =+=++++ ，其中01012110111011101210121012C 3C 3C 3+++L 被3整除整除，，所以10124被3除的余数为1， 综上综上，，122024a a a +++L 能被3整除整除．． 故选故选：：D.二、多选题13．（2024·山西临汾·三模）在82x 的展开式中（ ） A ．所有奇数项的二项式系数的和为128 B ．二项式系数最大的项为第5项 C ．有理项共有两项D ．所有项的系数的和为8314．（2024·江西南昌·三模）已知12x x − 的展开式中二项式系数的最大值与+a x x的展开式中1x 的系数相等，则实数a 的值可能为（ ）A B ．D ．15．（2024·山西·三模）已知函数2120121241f x x a a x a x a x =−=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．333124C a =×B ．()f x 展开式中，二项式系数的最大值为612CC ．12123123a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 的个位数字是1【答案答案】】BD【分析分析】】对于A ：根据二项展开式分析求解根据二项展开式分析求解；；对于B ：根据二项式系数的性质分析求解根据二项式系数的性质分析求解；；对于C ：利用赋值法值法，，令0x =、1x =即可得结果即可得结果；；对于D ：因为()()125201f =−，结合二项展开式分析求解.【详解详解】】对于选项A ：()1241x −的展开式的通项为()()()12121211212C 4114C ,0,1,2,,12rr rr r rr r T x x r −−−+=⋅−=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令9r =，可得()93933334121214C 4C T x x =−⋅⋅⋅=−×⋅， 所以333124C a =−×，故A 错误错误；；对于选项B ：因为12n =为偶数为偶数，，可知二项式系数的最大值为612C ，故B 正确正确；； 对于选项C ：令0x =，可得01a =；令1x =，可得12012123a a a a +++⋅⋅⋅+=； 所以121231231a a a a +++⋅⋅⋅+=−，故C 错误错误；；对于选项D ：因为()()125201f =−，且()12201−的展开式的通项为()12112C 201,0,1,2,,12kkk k T k −+=⋅⋅−=⋅⋅⋅， 可知当0,1,2,,11k =⋅⋅⋅，1k T +均为20的倍数的倍数，，即个位数为0， 当12k =时，131T =，所以()5f 的个位数字是1，故D 正确正确；； 故选故选：：BD.三、填空题16．（2024·山东烟台·三模）614x展开式的中间一项的系数为.胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有． 【答案答案】】504【分析分析】】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求根据题目要求，，分两类进行讨论分两类进行讨论，，第一类叶光富在最右侧叶光富在最右侧，，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案. 【详解详解】】根据叶光富不站最左边根据叶光富不站最左边，，可以分为两种情况可以分为两种情况：：第一种情况第一种情况：：叶光富站在最右边叶光富站在最右边，，此时剩余的5人可以进行全排列人可以进行全排列，，共有55A 120=种排法.第二种情况第二种情况：：叶光富不站在最右边叶光富不站在最右边，，根据题目条件叶光富不站最左边根据题目条件叶光富不站最左边，，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边件汤洪波不站在最右边，，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有4444A 384××=种排法种排法，，由分类加法计数原理可知由分类加法计数原理可知，，总共有120384504+=种排法种排法．． 故答案为故答案为：：504 18．（2024·福建福州·三模）421x x +−的展开式中常数项为．4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为． 【答案答案】】96【分析分析】】利用捆绑法即可求解.【详解详解】】从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间之间，，将其与两个1看作一个整体看作一个整体，，与剩下元素全排列与剩下元素全排列，，故不同的密码个数为1444C A 96=，故答案为故答案为：：96 20．（2024·河北衡水·三模）()()7222x y x y +−的展开式中46x y 的系数为（用数字作答）【答案答案】】35−【分析分析】】根据题意根据题意，，结合二项式的展开式的性质结合二项式的展开式的性质，，准确计算准确计算，，即可求解.【详解详解】】由题意由题意，，多项式()()7222x y x y +−的展开式中含有46x y 的项为的项为：：()()()265262524677C 2C 35x x y y xy x y ⋅⋅−+⋅−=−，所以46x y 的系数为35−． 故答案为故答案为：：35−.21．（2024·河南·三模）若()*nn∈N 的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（写出一个值即可）场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有种. 【答案答案】】4050【分析分析】】先考虑两对混双的组合先考虑两对混双的组合，，再从余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合双组合，，两对女双组合双组合，，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解详解】】先考虑两对混双的组合有22662C C ⋅种不同的方法种不同的方法，，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合对方法组成两对男双组合，，两对女双组合双组合，，故共有22662C C 334050⋅××=.故答案为故答案为：：4050。

专题19排列组合与二项式定理常考小题目录01二项式定理之特定项、三项式问题 (2)02二项式定理之系数和问题 (2)03二项式定理之系数最值问题 (3)04特殊优先与正难则反策略 (4)05相邻问题与不相邻问题 (4)06列举法 (4)07定序问题（先选后排） (5)08多面手问题 (6)09错位排列问题 (6)10涂色问题 (6)11分组与分配问题 (7)12隔板法 (8)13查字典问题 (8)14分解法模型与最短路径问题 (8)15构造法模型和递推模型 (10)16环排与多排问题 (11)17配对型模型 (11)18电路图模型 (12)19机器人跳动模型 (13)20波浪数模型 (13)01二项式定理之特定项、三项式问题1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）()423a b c --的展开式中2abc 的系数为（）A ．208B ．216-C ．217D ．218-2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．103．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x -=+++++++ ，则7a =（）A ．－960B ．960C ．－480D ．48002二项式定理之系数和问题5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中(0,1,,5)i a i = 为实数，则（）A ．01a =B ．310a =C ．13516a a a ++=-D ．1251a a a +++= 6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++ ，则（）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++= C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++=D ．(0,1,2,,8,9)i a i = 的最大值为6a 7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知()210121nn n n n p x a a x a x a x a x --+=+++++ （0p >，*N n ∈且2n ≥），其中20log 12a =，2121log log 10n a a --=，则（）A ．24np =B ．0121n a a a a ++++= C ．120122n inn i iC a -==-∑D ．21231112322222n n a a a a -++++=- 8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+，则下列选项正确的是（）A ．01a =B ．01222nn a a a a +++⋅⋅⋅=C ．0242312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．13521312n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若()623601236(1)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+++++++++ ，则（）A ．064a =B ．0246365a a a a +++=C ．512a =D ．123456234566a a a a a a +++++=-03二项式定理之系数最值问题10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知()13nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即可）11．（2024·全国·高三专题练习）若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为.12．（2024·浙江·统考模拟预测）已知(13)n x -展开式中第三项的二项式系数是10，则n =，展开式中系数的绝对值最大的项是.04特殊优先与正难则反策略13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（）A．81B．72C．48D．3614．（云南省红河州第一中学2024届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A．15种B．28种C．31种D．63种15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．65B．73C．70D．60.16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（）A．360B．630C．1170D．84005相邻问题与不相邻问题17．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.（用数字作答）18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有种(用数字作答)．06列举法20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++．设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是（）A ．28B ．24C ．20D ．1621．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母x ，y ，z 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz ），则不同的排法共有（）种A ．36B ．30C ．24D ．1622．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()A ．13B ．14C ．15D ．1607定序问题（先选后排）23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（）A ．120种B ．80种C ．20种D ．48种24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）A ．8B ．1680C ．140D ．7025．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是A ．6B ．10C ．12D ．2408多面手问题26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A．675B．575C．512D．54527．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．11028．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种09错位排列问题29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种30．（2024·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．4531．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（）A．42B．44C．46D．4810涂色问题32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）A ．72B ．96C ．108D ．14433．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（）A ．48种B ．64种C ．96种D ．144种34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A ．320B ．17C ．16D ．1511分组与分配问题35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A ，B ，C ，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到C 地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（）A ．180种B ．240种C ．480种D ．540种36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A 、B 两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A ．15B ．30C ．25D ．1637．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有,,,A B C D 四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则甲志愿者被分到A 服务站的不同分法的种数为（）A ．80B ．120C ．160D ．6012隔板法38．（2024·全国·高三专题练习）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为（）A ．10B ．15C ．20D ．3039．（2024·全国·高三专题练习）11(2)x y z ++的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A ．72项B ．75项C ．78项D ．81项40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（）种分配方案．A ．135B ．10C ．75D ．12013查字典问题41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（）个A ．175B ．174C ．180D ．18542．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中比30000大的偶数共有（）A ．12个B ．18个C ．24个D ．30个43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A ．2301B ．2304C ．2305D ．231014分解法模型与最短路径问题44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A ．20条B ．21条C ．22条D ．23条45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角.18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸.令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是10928'︒，所有的锐角都是7032'︒.后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度.从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路径数为(),A n m .例如：()3,11A =，()4,23A =.则不等式()10,81A m ≤的解集为（）A ．{}1,2,3,7,8,9B ．{}1,2,3,8,9,10C ．{}1,2,3,9,10,11D ．{}4,5,6,7,847．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 、5A 是道路网中的5个指定交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有30种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的方法有6种C ．甲、乙两人在3A 处相遇的概率为6225D ．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为8122515构造法模型和递推模型48．将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）A ．33B ．56C ．64D ．7849．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）A ．4种B ．10种C ．12种D ．22种50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种16环排与多排问题51．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．753753A A A -⋅52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）A ．24B ．48C ．60D ．12017配对型模型54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A ､B ､C ､D 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错的概率是（）A ．14B ．13C ．38D ．51255．（2024·高二单元测试）箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（）A．16B．13C．15D．2556．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为．57．（2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有种．18电路图模型58．（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有种.59．（2024·高二课时练习）如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有种.60．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是．61．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有种．19机器人跳动模型62．（2024·北京大兴·高三统考期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（）A ．7B ．9C ．11D ．1363．（2024·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）如图，由6636⨯=个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C 点出发，沿若小正方形的边走到D 点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB ，那么不同的走法共有种．20波浪数模型64．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A ．13B ．16C ．18D ．11265．（2024·安徽六安·高二六安一中校考）因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A ．181B ．109C ．84D ．9666．（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A．379B．360C．243D．21767．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有个。