黑龙江省齐齐哈尔市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数z=在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（）A . 720B . 360C . 240D . 1203. （2分） (2016高二下·新洲期末) 已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A . μ1＜μ2=μ3 ，σ1=σ2＞σ3B . μ1＞μ2=μ3 ，σ1=σ2＜σ3C . μ1=μ2＜μ3 ，σ1＜σ2=σ3D . μ1＜μ2=μ3 ，σ1=σ2＜σ34. （2分）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为（）A . 42B . 96C . 48D . 1245. （2分） (2018高二下·张家口期末) 从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2016·上饶模拟) 已知（2x2+4x+3）6=a0+a1（x+1）2+a2（x+1）4+…+a6（x+1）12 ，则a0+a2+a4+a6的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·桂林期末) 复数z=﹣3+2i的实部为（）A . 2iB . 2C . 3D . ﹣38. （2分） (2017高三上·辽宁期中) 已知定义在上的奇函数的图象如图所示，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（）A .B .C .D .10. （2分）根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）将5列车停在5条不同的轨道上，其中列车甲不停在第一轨道上，列车乙不停在第二轨道上，则不同的停放方法有（）A . 70种B . 72种C . 76种D . 78种12. （2分）已知，且现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为（）A . ①③B . ①④C . ②④D . ②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设X～B（4，p），且P（X＝2）＝，那么一次试验成功的概率p等于________．14. （1分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=xlnx﹣x，则曲线y=f （x）在点（﹣e，f（﹣e））处的切线方程为________．15. （1分）(2018·栖霞模拟) 在的展开式中项的系数为________．16. （1分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2018高二上·吉林期末) 已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是，求展开式中不含x的项．18. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 学校高三数学备课组为了更好地制定复习计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：期末分数段人数510151055“过关”人数129734（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由：分数低于90分人数分数不低于90分人数合计“过关”人数“不过关”人数合计（2）在期末分数段的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为，求的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0252.072 2.7063.841 5.02419. （20分）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/ －504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是，预测这天卖出的热饮杯数．20. （5分） (2017高二上·枣强期末) 衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男20100120女202040合计40120160下面临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？21. （5分） (2018高二下·黄陵期末) 在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,.从这10件产品中任取3件,求：取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.22. （15分） (2017高二上·江苏月考) 设，函数 .（1）求的单调递增区间；（2）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明理由；（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市数学高二第二学期期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】 由n=k 时，左边为11112k k k k+++++， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++ 所以增加项为两式作差得：11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k(k≥n 0，k∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可． 2．已知直线1:1x t l y at=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ） A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C 普通方程为221164x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】由直线1:1x tl y at=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由曲线221613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为221164x y +=，设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2221164x y +=，两式相减，可得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+. 所以1212114y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14-，故选A ．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则(A B = )A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞D ．3(2，3]【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可。

黑龙江省高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。

）1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）． A. 15 B. 15i C. 15i -D. 15-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。

【详解】()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选：A 。

【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。

2.已知X ～1(5,)4B ，则(21)E X += ( )．A.54B.72C. 3D.52【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望，计算出()E X ，再利用期望的性质求出()21E X +的值。

【详解】1~5,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()15544E X ∴=⨯=，因此，()()5721212142E X E X +=+=⨯+=，故选：B 。

【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值为（ ）. A. 17 B. 12C. 32D. 24【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值。

【详解】()3128f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令()2f x '=±，列表如下：所以，函数()y f x =的极大值为()224f -=，极小值为()28f =-，又()317f -=，()31f =-，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为24， 故选：D 。

2020年黑龙江省齐齐哈尔市数学高二第二学期期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos cA b<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形2．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，则()UA B =Ið（ ）A ．{2,3,4,5,6}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}3．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(C ︒) 10 13 18 －1 用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量度数约为（ ） A ．64B ．65C ．68D ．704．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）． A ．至多等于4B ．至多等于5C ．至多等于6D ．至多等于86．复数34i -的模是( ) A ．3B ．4C ．5D ．77．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x ，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x =（ ） A ．21B ．15C ．22D ．358．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）． A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1-D ．()2,19．对于实数x ，y ，若:2p x ≠或y 1,:3q x y ≠+≠，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点(23,3)P 为双曲线2221x y a-=上一点，则它的离心率为（）A B ．3C D ．11．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 12．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cosx≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cosx 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____．14．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．15．已知在平面内，点(,)a b 关于x 轴的对称点的坐标为(,)a b -.根据类比推理，在空间中，点(3,4,5)关于x 轴的对称点的坐标为__________．16．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[)100120，内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．已知椭圆C ：2214x y +=，点P （0，1）.（1）过P 点作斜率为k （k ＞0）的直线交椭圆C 于A 点，求弦长｜PA ｜（用k 表示）；（2）过点P 作两条互相垂直的直线PA ，PB ，分别与椭圆交于A 、B 两点，试问：直线AB 是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？19．（6分）如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：（I ）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ，求X 的分布列及数学期望 20．（6分）已知()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．（1）若1,2A a ⎛⎫⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫⎪⎝⎭是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距．21．（6分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点为()2,0A ，定点()0,1P -，直线PA 与椭圆交于另一点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点P 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，使得6PAMPBNS S ∆∆=成立？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 22．（8分）阅读： 已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求 【详解】解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A cA b∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴< 又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题． 2．D 【解析】【分析】按照补集、交集的定义，即可求解. 【详解】{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，()UA B =Ið{3,5}.故选:D. 【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】先求解出气温和用电量的平均数,x y ，然后将样本点中心(),x y 代入回归直线方程，求解出$a的值，即可预测气温为4C -︒时的用电量. 【详解】 因为()10131813834246410,4044x y +++-+++====，所以样本点中心()10,40，所以$40210a =-⨯+，所以60a =$，所以回归直线方程为：ˆ260yx =-+， 当4x =-时，68y =. 故选：C. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心(),x y . 4．D 【解析】 【分析】先判断点的位置，然后根据公式：，求出，根据点的位置，求出. 【详解】因为点的直角坐标为，所以点在第二象限.，因为点在第二象限，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置. 5．A 【解析】 【分析】当3,4,5n =L 时，一一讨论，由此判断出正确选项. 【详解】当3n =时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等. 当4n =时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等. 不存在n 为4以上的情况满足条件，故n 至多等于4. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】直接利用复数的模的定义求得34i -的值． 【详解】|2234345i -=+=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题． 7．A 【解析】 【分析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】因为数据有8个，所以中位数为：23222x +=，所以解得：21x =， 故选：A.本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数. 8．D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量. 【详解】 直线的斜率为12，故其方向向量为()2,1. 故选：D 【点睛】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案. 【详解】取0,0x y == 此时03x y +=≠ 不充分:3q x y +≠⇒若:2p x ≠或y 1≠等价于2x =且13y x y =⇒+=，易知成立，必要性故答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例和转化为逆否命题都可以简化运算. 10．B 【解析】 【分析】将点P 带入求出a 的值，再利用公式c e a ==计算离心率。

2019-2020学年齐齐哈尔市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点在()1.已知复数z=1−1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知f1(x)=sinx+cosx，f n+1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，f n+1(x)=f n′(x)，n∈N∗，则f2011(x)=()A. sinx+cosxB. sinx−cosxC. −sinx+cosxD. −sinx−cosx3.凡自然数都是整数，而4是自然数所以，4是整数，以上三段论推理()A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一致D. 两个“整数”概念不一致)6中x3的系数为()4.(x2+1xA. 20B. 30C. 25D. 405.7.下列判断中不正确的是A. 为变量间的相关系数，值越大，线性相关程度越高B. 在平面直角坐标系中，可以用散点图发现变量之间的变化规律C. 线性回归方程代表了观测值x、y之间的关系D. 任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程6.下列推理是归纳推理的是()Ａ.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由，求出猜想出数列的前n项和S n的表达式Ｃ.由圆的面积，猜想出椭圆的面积D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇A. AB. BC. CD. D7.设f(x)是定义在R上的函数，它的图象关于点(1,0)对称，当x<1时，f(x)=2xe−x(e为自然对数的底数)，则f(2+3ln2)=()A. 48ln2B. 40ln2C. 32ln2D. 24ln28.曲线y=x2与直线y=x所围成的平面图形绕x轴转一周得到旋转体的体积为()A. 130π B. 115π C. 215π D. 16π9.某射手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()A. B. C. D.10.函数f(x)=log2.5(x+2)−1的图象不经过的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有()个．A. 78B. 102C. 114D. 12012.f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=x2−2x，则x<0时，f(x)=()A. f(x)=x2+2−xB. f(x)=x2−2−xC. f(x)=−x2+2−xD. f(x)=−x2−2−x二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.(a+x)5展开式中x 2的系数为10，则实数a的值为________．14.已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P(B|A)=______．15.某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有______种.三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知函数y=f(x)，若对于任意x∈R，f(2x)=2f(x)恒成立，则称函数y=f(x)具有性质P，(1)若函数f(x)具有性质P，且f(4)=8，则f(1)=(1)；(2)若函数f(x)具有性质P，且在(1,2]上的解析式为y=cosx，那么y=f(x)在(1,8]上有且仅有(2)个零点．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核：10分制)，用相关的特征量y表示；医护专业知识考核分数(试卷考试：100分制)，用相关的特征量x表示，数据如表：特征量1234567x98889691909296y9.98.69.59.09.19.29.8(I)求y关于x的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；(II)利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1)附：回归直线方程ŷ=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2，a=y−bx．18. 某中学将名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班人，吴老师采用、两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验.为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于分者为“成绩优秀”．(1)在乙班样本的个个体中，从不低于分的成绩中随机抽取个，记随机变量为抽到“成绩优秀”的个数，求的分布列及数学期望；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？甲班(方式)乙班(方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计19.已知函数f(x)=ax2+lnx−x，a∈R且a≠0．(1)当a=−1时，求函数f(x)的单调区间与极值；(2)当x>1时，f(x)<2ax恒成立，求a的取值范围．20.中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀(1刀=100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：x的范围(44,48]∪(52，56](48,52][0,44]∪(56，60]质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为−20元．(Ⅰ)试估计该公司的年利润；(Ⅱ)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围(x−−2,x−+2)(x−−6,x−+6)频率0.68270.9545其中x为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)21.如图，曲线y=f(x)在点P处的切线方程是y=−x+8，求f(5)及f′(5)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−12ty =1−√32t(t 为参数)，直线l 与曲线C ：(y −1)2−x 2=1交于A ，B 两点． (Ⅰ)求|AB|的长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为(√2,3π4)，求点P 到线段AB 中点M 的距离．23. 已知a ，b ∈R +，且a ≠b ，设f(n)=a n −b n ，且f(3)=f(2)，求证：1<a +b <43．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由z=1−1+i=−1−i(−1+i)(−1−i)=−12−i2，∴z在复平面内对应的点的坐标为(−12,−12)，在第三象限角．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：f2(x)=f1′(x)=cosx−sinx，f3(x)=(cosx−sinx)′=−sinx−cosx，f4(x)=−cosx+sinx，f5(x)=sinx+cosx，以此类推，可得出f n(x)=f n+4(x)f2011(x)=f3(x)=−sinx−cosx，故选D．先求出f2(x)、f3(x)、f4(x)，观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．此题是中档题．本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用．3.答案：A解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．解：凡自然数都是整数，而 4是自然数所以4是整数．大前提：凡自然数都是整数是正确的，小前提：4是自然数也是正确的，结论：4是整数是正确的，∴这个推理是正确的，故选A．4.答案：A)6展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x12−3r，解析：解：(x2+1x令12−3r=3，求得r=3，可得展开式中x3的系数为C63=20，故选：A．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5.答案：D解析：解：的值介于0和1之间，当它越接近1时，表明相关性越强；当它接近0时，表明两个变量之间几乎不存在相关关系，故A正确；散点图能直观反映数据的相关程度，故B正确；回归直线方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系，故C正确；并不是任意一组数据都有回归直线方程，例如当一组数据的线性相关系数很小时，就不会有回归方程，故D错误；故选D．6.答案：B解析：试题分析：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳).由A可知其为椭圆的定义；B由求出猜想出数列的前n项和S n的表达式，属于归纳推理；C由圆的面积，猜想出椭圆的面积，是类比推理；D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理，故选B．考点：归纳推理7.答案：A解析：解：∵f(x)是定义在R上的函数，它的图象关于点(1,0)对称，当x ≤1时，f(x)=2xe −x (e 为自然对数的底数)， ∴当x <1时，f(x)=2xe −x ，f(1+x)+f(1−x)=0， ∵2+3ln2=2+ln23=1+(1+ln23)， ∴f(2+3ln2)=f[1+(1+ln23)] =−f[1−(1+ln23)]=−f(−ln23) =2(−ln23)⋅eln23 =−f(−ln23) =2(−ln23)⋅eln23 =−16×3ln2 =−48ln2．∴f(2+3ln2)=−48ln2． 故选：A ．利用函数的解析式，推导出2+3ln2=2+ln23=1+(1+ln23)，从而f(2+3ln2)=f[1+(1+ln23)]=−f[1−(1+ln23)]=−f(−ln23)，由此能求出f(2+3ln2)．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8.答案：C解析：解：∴曲线y =x 2与直线y =x 交于点O(0,0)和A(1,0) ∴根据旋转体的积分计算公式，可得该旋转体的体积为V =∫π10(x 2−x 4)dx =π(13x 3−15x 5)|01 =π[(13×13−15×15)−(13×03−15×05)]=215π故选：C求出曲线y =x 2与直线y =x 交点O 、A 的坐标，结合旋转体的积分计算公式，可得所求旋转体的体积等于函数y =π(x 2−x 4)在[0,1]上的积分值，再用定积分计算公式加以计算即可得到该旋转体的体积．本题给出曲线y =x 2与直线y =x 所围成的平面图形，求该图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．9.答案：C解析：本题考查条件概率，考查学生的计算能力．设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P(AB)=0.4，P(A)=0.7，利用P(B|A)=P(AB)P(A)可得结论，比较基础．解：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P(AB)=0.4，P(A)=0.7，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=47．故选C．10.答案：B解析：解：作函数f(x)=log2.5(x+2)−1的图象，即：将对数函数g(x)=log2.5x的图象水平向左平移2个单位，纵坐标不变，再将变换后的图象水平向下平移1个单位，横坐标不变，可得函数f(x)=log2.5(x+2)−1的图象．故选：B．函数f(x)=log2.5(x+2)−1的图象利用函数的图象求解．本题考查了函数的图象和性质的应用，平移变换．属于基础题．11.答案：C解析：解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片中有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选：C．根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．12.答案：C解析：解：由题意，f(x)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，当x>0时，f(x)=x2−2x，当x<0时，则−x>0，那么f(x)=(−x)2−2−x=−f(x)，∴f(x)=−x2+2−x故选C．根据函数的性质知f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2−2x，可求x<0时的解析式．。

2020年黑龙江省齐齐哈尔市数学高二(下)期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．()22xy x x e -= 【答案】D【解析】【分析】 对B 选项的对称性判断可排除B. 对C 选项的定义域来看可排除C ，对A 选项中，2x =-时，计算得0y <，可排除A ，问题得解． 【详解】 Q 2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B.Q 函数ln x y x=的定义域为{}011x x x <或，∴排除C . 对于221x y x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A故选D【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题． 2．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若，则的极大值点为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】【分析】设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点。

【详解】 设切点坐标为，∵，∴，即， 解得或.∵，∴，即， 则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。

3．已知32,43,23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】分析：由32a =，43b =，23c =，可得34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<< 22222lg 2lg 4lg 3lg 2lg3lg 2lg 4lg 3(lg 22)lg 320lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4a b +⎛⎫- ⎪⋅--⎝⎭-=-=≤=<⋅⋅⋅， 即a b < ， 综上a b c <<，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．函数()262x f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,1--【答案】A【解析】【分析】求出导函数()262xf x x e =-+'，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间． 【详解】∵()262xf x x x e =-+， ∴()262xf x x e =-+'，且函数()f x '单调递增． 又()()006240,1420f e f e ''=-+=-=-+， ∴函数()f x '在区间()0,1内存在唯一的零点，即函数()f x 的极值点在区间()0,1内．故选A ．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．5．用数学归纳法证明“211*43()n n n N -++∈能被13整除”的第二步中，当1n k =+时为了使用归纳假设，对21243k k +++变形正确的是（ ）A ．211116(43)133k k k -+++-⨯B ．24493k k ⨯+⨯C ．211211(43)15423k k k k -+-+++⨯+⨯D ．211213(43)134k k k -+-+-⨯【答案】A【解析】试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线2l 与抛物线C 交于,M N 点，若1l 与直线2l 的斜率的乘积为1-，则||||AB MN +的最小值为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20 【答案】B【解析】【分析】设出直线1l 的斜率，得到2l 的斜率，写出直线12,l l 的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得,AB MN 的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知12,l l 斜率存在且不为零，设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k -，所以()()121:1,:1l y k x l y x k =-=--，有()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，有()2222240k x k x k -++=，212222442k x x k k++==+，故122424AB x x k =++=+，同理可求得244MN k =+.故2248488816AB MN k k +=++≥+=+=，当且仅当2244,1k k k ==±时，等号成立，故最小值为16，故选B.【点睛】 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.7．设35z i =-，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】 先求出z ，再判断得解.【详解】 35z i =+， 所以复数z 对应的点为（3,5）， 故复数z 表示的点位于第一象限.故选A【点睛】本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1B C ．2 D ．【答案】B由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，即可得出AB 的值.【详解】易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立曲线1C 与2C的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，AB ρ== 故选：B.【点睛】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.9．一个随机变量ξ的分布列如图，其中A 为ABC ∆的一个内角，则ξ的数学期望E ξ为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得sin A ，然后根据数学期望的计算公式可得结果.【详解】由cos2sin 1A A +=， 得212sin sin 1A A -+=，所以1sin 2A =或sin 0A = (舍去) 则1cos 2sin 2A A ==， 11312222E ξ∴=⨯+⨯=本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.10．已知:1p a >，213211:22a a q +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即2132a a +>-，从而求得12a >，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系. 详解：由21321122a a +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2132a a +>-，解得12a >， 因为(1,)+∞是1(,)2+∞的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q 为真命题时对应的a 的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果.11．若l m n 、、是互不相同的空间直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中真命题是( ) A ．若//l m αβαβ⊂⊂，，，则//l mB ．若l αβα⊥⊂，， 则l β⊥C ．若l β⊥，//l α，则αβ⊥D ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m【答案】C【解析】【分析】对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C ，考虑面面垂直的判定定理；对于D ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.【详解】选项A 中，l 除平行m 外，还有异面的位置关系，则A 不正确；选项B 中，l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B 不正确；选项C 中，由l αP ，设经过l 的平面与α相交，交线为c ，则l c P ，又l β⊥，故c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥，则C 正确；选项D 中,l 与m 的位置关系还有相交和异面，则D 不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何问题，涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定和性质，属于简单题目.12．在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线A E '与直线BF 共面B ．12BF =C ．A EC 'V 可以是直角三角形D ．A C DE '⊥ 【答案】C【解析】【分析】（1）通过证明,,,A E B F '是否共面，来判断直线A E '与直线BF 是否共面；（2）取特殊位置，证明12BF =是否成立；（3）寻找A EC 'V 可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明'A C DE ⊥能否成立．【详解】 ，如图，因为,,,B C E A '四点不共面，所以E ⊄面A BC '，故直线'A E 与直线BF 不共面；ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，位置不定，当面A DE '⊥面BCDE ，此时12BF ≠； 取DE 中点，连接,A G CG '，则A G DE '⊥，若有A C DE '⊥，则DE ⊥面A CG '即有DE CG ⊥，在Rt DGC ∆中，12,,602CD DG CDE ο==∠=明显不可能，故不符合； 在A EC 'V 中，1A E '=,3CE =72AC =>，所以当2A C '=时，A EC 'V 可以是直角三角形；【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则12345a a a a a ++++的值是________【答案】2【解析】【分析】利用赋值法,分别令0,1x x ==-代入式子即可求得12345a a a a a ++++的值.【详解】因为52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++令0x =,代入可得0123451a a a a a a =+++++令1x =-,代入可得01a -=两式相减可得123452a a a a a =++++,即123452a a a a a ++++=故答案为:2【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题.14．已知1()42x x f x m +=-⋅，设21()21x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1(,)2+∞【解析】【分析】根据奇偶性定义求得()g x 为奇函数，从而可得=-b a 且0a ≠，从而可将()()0f a f b +=整理为：221222a a a a m --+=-+，通过求解函数()()122x h x x x =->的值域可得到m 的取值范围. 【详解】()()21122121x xx x g x g x -----===-++Q ()g x ∴为R 上的奇函数 又()()0g a g b +=且a b ¹ b a ∴=-且0a ≠()()()()()1144220a a a a f a f b f a f a m -+-∴+=+-=+-+=即：()()2112224422122222222a a a a a a a a a a a a m ---+---+-++===-+++ 令()()122x h x x x =->，则()21102h x x'=+> ()h x ∴在()2,+∞上单调递增 ()()112122h x h ∴>=-= 又222a a -+> ()2211222222a a a a a a h ---+∴+=->+ 1,2m ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭本题正确结果：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 【点睛】 本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为221222a a a a --+-+的值域的求解问题；易错点是在求解22a a -+的取值范围时，忽略0a ≠的条件，错误求解为222a a -+≥，造成增根.15．已知X 服从二项分布()100,0.2B ，则()32E X --= ________.【答案】62-【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得()E X ，再求()32E X --.详解：因为X 服从二项分布()100,0.2B ，所以()1000.220,E X =⨯=所以()32320262.E X --=-⨯-=-点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.16．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________. 【答案】14【解析】【分析】通过计算对应面积，即可求得概率.【详解】该点取自圆内，占有面积为2=4S r ππ=，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：21=S r ππ=，故所求概率为：114S S =.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22(4)(3)25x y -+-=（Ⅱ）15m =±【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C 的半径，由此能求出圆C 的方程；（Ⅱ）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，从在则 |AD| ＝12|AB| ＝4，由勾股定理求出CD ，由点到直线的距离公式求出CD ，由此能求出m试题解析：（Ⅰ）解：圆C 的半径22345OC =+=，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ， 所以142AD AB ==． 在直角三角形ADC 中，22||3CD AC AD =-=． 由点到直线的距离公式，得223443534mm CD ⨯-⨯+==+， 所以35m=，解得15m =±．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质 18．设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-. （1）若2k =，()y f x =极大值；（2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>. 【答案】（1）1ln 12-；（2）1(,)e +∞；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）()12'xf x x -=，根据导数的符号可知()f x 的极大值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()1'kxf x x-=，就0,0,0k k k =分类讨论即可； （3）根据1122ln ,ln x kx x kx ==可以得到121121221ln ln ln 1x x xx x x x x ++=-，因此原不等式的证明可化为1ln 21t t t +>-，可用导数证明该不等式. 详解:（1）当2k =时，()12'xf x x-=，当102x <<时，()'0f x >，当12x >时，()'0f x <，故()f x 的极大值为11ln 122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）()1'kxf x x-=， ①若k 0<时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数，∵(1)0f k =->，()(1)0k a kf e k ke k e =-=-<， ∴(1)()0kf f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =；③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f k kk=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e>，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞． （3）由已知得1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，所以12121212ln ln ln ln x x x x k x x x x +-==+-，故12ln ln 2x x +>等价于121122ln 2x x x x x x +>-即1211221ln 21x x x x x x +>-． 不妨设12x x >，令121x t x =>，()()21ln 1t g t t t -=-+， 则()()2'22114()011t g t t t t t -=-=>++（），()g t 在()1,+∞上为单调增函数， 所以()()10g t g >=即()21ln 1t t t ->+，也就是1ln 21t t t +>-，故原不等式成立． 点睛： 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式．19．（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，且122,CC AC BC AC BC ==⊥，D 是棱AB的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.（1）当M 是棱1CC 的中点时，求证：CD ∥平面1MAB ； （2）当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角11A MB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）314-. 【解析】试题分析：（1）取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM ．可得四边形CDEM 是平行四边形，CD EM P ，即可证明CD P 平面1MAB ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角11A MB C --的余弦值. 试题解析：(1)取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM . ∵1,AD DB AE EB ==,∴1//DE BB ，且112DE BB =. 又M 为1CC 的中点，∴1//CM BB ,且112CM BB =. ∴//CM DE ,且CM DE =.∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴//CD EM .又EM ⊂平面1,AB M CD ⊄平面1AB M ,∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CA CB CC 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1AC =，则由3tan 2MAC ∠=，得32CM =. ∴()()()()130,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2C A B B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴()131,0,,1,1,22AM AB u u u u v u u uv⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,设平面1AMB 的一个法向量为(),,n x y z =，则130,220,AM n x z AB n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩u u u uv u u u v 令2z =，得3,1x y ==-，即()3,1,2n =-.又平面11BCC B 的一个法向量为()1,0,0CA =u u u v ,∴314cos ,14CA n CA n CA n⋅==u u u vu u u v, 又二面角11A MB C --的平面角为钝角，∴二面角11A MB C --的余弦值为314-. 20．用数学归纳法证明：()()()2222*24(2)221335212121n n n n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】用数学归纳法进行证明，先证明当1n =时，等式成立.再假设当n k =时等式成立，进而证明当1n k =+时，等式也成立. 【详解】() 1当1n =时，左边43==右边，等式成立． ()2假设当n k =时等式成立，即()()222224(2)221335212121k k kk k k +++⋯+=⨯⨯-++当1n k =+时，左边∴当1n k =+时，等式也成立．综合()()12，等式对所有正整数都成立． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，（1）(奠基())P n 在1n =时成立；（2）(归纳)在()(P k k 为任意自然数)成立的假设下可以推出()1P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立．21．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积m （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择ˆˆˆya x =+ˆˆˆln y c d x =+两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ˆ0.93690.0285yx =+ˆ0.95540.0306ln y x =+，并得到一些统计量的值，如表所示：ˆ0.93690.0285yx =+ ˆ0.95540.0306ln yx =+ ()()1niii x x y y =--∑0.005459 0.005886()()2211nni i i i x x y y ==--∑∑ 0.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln15 2.71≈3 1.73≈15 3.87≈17 4.12≈参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑【答案】（1）96；（2）1.2；（3）模型ˆ0.95540.0306ln yx =+的拟合效果更好，预测2019年8月份的二手房购房均价1.038万元/平方米. 【解析】【分析】（1）求解每一段的组中值与频率的乘积，然后相加得出结果；（2）分析可知随机变量X 服从二项分布，利用二项分布的概率计算以及期望计算公式来解答；（3）根据相关系数的值来判断选用哪一个模型，并进行数据预测. 【详解】解：（1）650.05750.1850.2950.251050.21150.151250.05m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯96=. （2）每一位市民购房面积不低干100平方米的概率为0.200.150.050.4++=， ∴~(3,0.4)X B ，∴33()0.40.6k k kP X k C -==⨯⨯，(0,1,2,3)k =3(0)0.60.216P X ===，123(1)0.40.60.432P X C ==⨯⨯=，223(2)0.40.60.288P X C ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P X ===，∴X 的分布列为∴30.4 1.2EX =⨯=.（3）设模型ˆ0.9369y=+ˆ0.95540.0306ln y x =+的相关系数分别为1r ，2r 则10.0054590.006050r =，20.0058860.006050r =，∴12r r <，∴模型ˆ0.95540.0306ln yx =+的拟合效果更好， 2019年8月份对应的15x =，∴ˆ0.95540.0306ln15y=+0.95540.0306ln15 1.038=+≈万元/平方米. 【点睛】相关系数r 反映的是变量间相关程度的大小：当||r 越接近1，相关程度就越大，当||r 越接近0，则相关程度越小.22．设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域；(2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围． 【答案】 (1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ， 所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π． (2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x， 令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>， 所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题．。

某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x03．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣405．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．8197．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．12012．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．14．已知向量，且，则|＝．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k021．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0．故选：B．3．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵2z+＝6+i，∴2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝6+i，即，解得，∴z＝2+i．故选：A．4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40解：设（）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1＝•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r＝0得r＝2，∴（）5展开式中的常数项为（﹣2）2×＝4×10＝40．故选：C．5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能解：该演绎推理的大前提是：指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，小前提是：y＝（）x是指数函数，结论是：y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y＝a x在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．819解：由题意，μ＝75，σ＝4，则P（79＜X≤83）＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ+σ＜X≤μ+σ）]＝﹣0.6827）＝0.1359．×≈136．故选：B．7．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）解：∵y＝2cos x+ax在上单调递增，∴y′＝﹣2sin x+a≥0，即a≥2sin x在上恒成立，∵g（x）＝2sin x在上单调递增，∴g（x）max＝g（）＝1，∴a≥1，故选：D．8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝5＜b＝（）﹣＝5，而c＝log0.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种解：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，∵恰有两个空座位相邻，∴三个空座位在种插入方法，∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有＝72种．故选：C．10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+解：直线l与圆x2+y2＝相切，那么圆心（0，0）到直线的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y＝2x+1与y＝联立，可得2x﹣+1＝0，此时无解；对于D选项：y＝x+与y＝联立，可得x﹣+＝0，此时解得x＝1；∴直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，方程为y＝x+，故选：D．11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．120解：因为若要求每组至少3人，所以有3，5和4，4两种，若人数为3，5，则有（﹣1）•＝110种；人数为4，4，则有种；共有110+70＝180，故选：C．12．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0解：令f（x）＝e x﹣x，则当x＞0时，f′（x）＝e x﹣1＞0，∴f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）单调递增．又a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，即e a﹣a＞e lnb﹣lnb，即f（a）＞f（lnb），若lnb≤0，则a＞0＞lnb；若lnb＞0，则a＞lnb＞0；∴a＞lnb，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．解：因为tanα＝3，所以sin2α﹣2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．14．已知向量，且，则|＝5．解：由∥，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以+2＝（10，﹣5），故|+2|＝＝5．故答案为：5．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案为：．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是①②③．解：对于①，以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，两边取对数：lny＝ln（ce kx），＝lnc+kx，令z＝lny，可得：z＝lnc+kx，由于zx+5，所以lnc＝5，k＝0.6，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；故①正确对于②，若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为＝，故②正确；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则100p＝20，解得p＝，则D（X）＝np（1﹣p）＝100×＝16，故③正确；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．感染此病毒的概率为，若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a2，a4，3a3成等差数列，得2a4＝2a2+3a3，即2a1q3＝2a1q+3a1q2，又a1＝2，所以2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣（舍去），所以a n＝2n；S n＝＝2n+1﹣2．（2）由（1）可知S n＝2n+1﹣2，所以b n＝log2（S n+2）＝log22n+1＝n+1，所以＝＝＝﹣，则T n＝c1+c2+…+＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠BCC1＝，BC＝1，C1C＝2，∴由余弦定理知，＝BC2+﹣2BC•CC1cos∠BCC1＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，∴BC1＝，∴BC2+＝，即BC⊥BC1，∵AB⊥侧面BB1C1C，且BC⊂面BB1C1C，∴AB⊥BC，又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴BC⊥平面ABC1．（2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），C（1，0，0），E（，，0），B1（﹣1，，0），∴＝（﹣，﹣，2），＝（﹣，，0），＝（1，0，﹣2），设平面AEB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝1，∴＝（1，，1），设AC与平面AEB1所成角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线AC与平面AEB1所成角的正弦值为．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x，f′（x）＝，f′（1）＝1，又f（1）＝﹣1，∴切点为（1，﹣1），∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2．（2）由题意：f（x）的定义城为（0，+∞），f′（x）＝+ax﹣2＝（a＞0），①当△＝（﹣2）2﹣4a≤0，即a≥1时，ax2﹣2x+1≥0，即f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；②当△＝（﹣2）2﹣4a＞0，即0＜a＜1时，令f′（x）＝0，则ax2﹣2x+1＝0，解得：x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2，当f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞，∴f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），当f′（x）＜0，得＜x＜，∴f（x）的减区间为（，），综上所述，当a≥1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无递减区间；当0＜a＜1时，f （x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，）．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k0解：（1）由题意知：100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有，（0.0015+0.001）×100×2000＝500（人）．（2）由题意可得，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，（k＝0，1，2，3），故随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P随机变量X的数学期望．（3）由题可知，样本中35周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人，得出以2×2列联表：合计获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”35周岁以上10 50 6035周岁以下15 25 40 合计25 70 100 K2＝＝≈5.556＞5.024，故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关．21．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝1（或x＝﹣1舍去），∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值＝f（1）＝，无极大值．（2）f（x）≥（1﹣a）x+1，即ax2﹣lnx≥（1﹣a）x+1，即a（x2+2x）≥2lnx+2x+2，∴x＞0，即x2+2x＞0，∴原问题等价于a≥在（0，+∞）上恒成立，设g（x）＝，x∈（0，+∞），则只需a≥g（x）max，由g′（x）＝﹣，令h（x）＝x+2lnx，∵h′（x）＝1+＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（1）＝1＞0，h（）＝+2ln＝﹣2ln2＝ln﹣ln4＜0，∴存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝x0+2lnx0＝0，∵当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（x0）＝＝＝，∴a≥即可，∴x0∈（，1），∴∈（1，2），故整数a的最小值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．解：（1）将曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得：．曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0．（2）把直线x+y﹣2＝0，转换为参数方程为，代入，得到，故，t1t2＝﹣1，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值X围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．。

黑龙江省齐齐哈尔市2020年高二下数学期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】为纯虚数，所以，故选A.2．若函数()()2e xf x a xa =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e【答案】A 【解析】 【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e xx x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞， 则()()00f x f ==极小值，()()242ef x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a e a ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性． 4．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项. 【详解】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集. 5．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于2【答案】D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m.6．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,32a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.7．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．2a > B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >【答案】B 【解析】 【分析】对a 的范围分类讨论，当2a <时，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，即可判断：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增，即可判断：一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，问题得解.【详解】 当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，12a≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增， 又21111a a -+⨯=⨯-， 所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。

2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知函数f（x）＝xlnx的导函数为f′（x），且e为自然对数的底数，则f′（e）＝（）A．2B．1C．0D．e3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确4．（2x﹣）6展开式的第5项的系数为（）A．15B．﹣60C．60D．﹣155．下列说法错误的是（）A．在回归分析中，回归直线始终过样本点（x1，y1 ），（x2，y2），…，（x n，y n）的中心（，）B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A．153B．190C．231D．2767．函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．9．2020年6月23日，我国第55颗北斗导航卫星发射成功．为提升卫星健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良好”、“待提高”三个等级．现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概率分别为、、、，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有1人获得“优秀”的概率为（）A．B．C．D．10．已知a＝，b＝，c＝e（e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 11．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）A．72B．36C．48D．5412．若不等式e x﹣ax2﹣ax＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0]B．[0，）C．（0，）D ．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13．已知（kx﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5＝244，则实数k的值为．14．某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为．15．为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有种．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝（e x﹣1+x）（x﹣ae x﹣1）﹣e2（x﹣1），若a＝﹣1，则函数f（x）有个零点；若函数f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17．为了做好中央提出的“六稳”工作，落实“六保”任务，努力实现全年经济社会发展目标，某省采取了“云”上谈生意助力经济加速发展的稳外贸措施，通过电商平台，为外贸企业“在线洽谈、直播营销”提供服务和支持．已知该省某电商平台为某外贸工厂的产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如表数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）现已知该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，请预测把单价定为多少时，此外贸工厂可获得的利润最大？（参考公式：回归方程＝x+，其中＝，＝﹣）18．2020年3月，由于受病毒疫情的影响，我市的全体学生只能在网上在线学习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查（男生与女生的人数之比为11：13），结果发现：男生中有30人对线上教学满意，女生中有15人对线上教学不满意．（1）请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计态度性别男生女生合计120（2）采用分层抽样的方法，从被调查的“对线上教学满意”的学生中，抽取8名学生，再从这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，设其中抽取男生的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考公式：K2＝．P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．已知f（x）＝alnx+2x2（a∈R）．（1）当a＝﹣4时，求f（x）的单调区间；（2）令g（x ）＝，若g（x）在区间[e2，e4]上单调递减，求实数a的取值范围．20．2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）．（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）．（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值．附：①s2＝28.2，；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973．21．已知函数f（x）＝lnx+x+（a∈R）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线与直线y＝a2x+1平行，求a的值；（2）若函数g（x）＝xf（x）﹣（a+1）x2﹣x有两个不同的极值点x1，x2，且x2＞x1＞0，求证：＞（e为自然对数的底数）．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中C1为参数）．以坐标原点O为极点，t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）写出直线C1的极坐标方程；（2）设动直线l：y＝kx（k＞0）与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a+b+c+m＝0，证明：a2+b2+c2﹣2b+4c+2≥0．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解：＝＝＝1+i，故选：C．2．已知函数f（x）＝xlnx的导函数为f′（x），且e为自然对数的底数，则f′（e）＝（）A．2B．1C．0D．e【分析】可以求出导函数f′（x）＝lnx+1，然后将x换上e即可求出答案．解：∵f′（x）＝lnx+1，∴f′（e）＝1+1＝2．故选：A．3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＝x0附近的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．4．（2x﹣）6展开式的第5项的系数为（）A．15B．﹣60C．60D．﹣15【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．解：（2x﹣）6的展开式的第5项：T5＝（2x）2（﹣）4＝22×15x﹣2＝60x﹣2．因此展开式的第5项的系数是60．故选：C．5．下列说法错误的是（）A．在回归分析中，回归直线始终过样本点（x1，y1 ），（x2，y2），…，（x n，y n）的中心（，）B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好【分析】A，由线性回归直线方程的性质即可判断；B，利用线性相关关系判断；C，根据残差图的特点，可判断；D，用系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，即可判断；解：对于A，由样本数据得到的线性回归直线必过样本点的中心（，），故正确；对于B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1或﹣1，故B错；对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C对；对于D，在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好，故D对．故选：B．6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A．153B．190C．231D．276【分析】根据已知数，求出其规律即可求解结论．解：因为：1＝1，6＝1+5，15＝1+5+9，28＝1+5+9+13，45＝1+5+9+13+19；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：c n＝1•n+×4＝2n2﹣n；∴第11个六边形数为：2×112﹣11＝231．故选：C．7．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数是否存在零点，以及f（1）的符号，利用排除法进行判断即可．解：f（1）＝＞0，排除C，D，由＝0，则方程无解，即函数没有零点，排除B，故选：A．8．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．解：曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为＝（）＝；故选：C．9．2020年6月23日，我国第55颗北斗导航卫星发射成功．为提升卫星健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良好”、“待提高”三个等级．现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概率分别为、、、，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有1人获得“优秀”的概率为（）A．B．C．D．【分析】至少有1人获得“优秀”的对立事件是四个人都没有获得优秀，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人获得“优秀”的概率．解：现有甲、乙、丙、丁四人参赛，这四人获得“优秀”的概率分别为、、、，且四人是否获得“优秀”相互独立，至少有1人获得“优秀”的对立事件是四个人都没有获得优秀，则至少有1人获得“优秀”的概率为：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故选：A．10．已知a＝，b＝，c＝e（e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】可设，然后求导，根据导数符号即可得出f（x）在[e，+∞）上单调递增，从而得出a，b，c的大小关系．解：设，，∴x≥e时，f′（x）≥0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递增，又a＝f（3），b＝f（π），c＝f（e），∴f（π）＞f（3）＞f（e），∴b＞a＞c．故选：D．11．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）A．72B．36C．48D．54【分析】根据题意，分2步进行分析：①将选出的4人分成3组，②将分好的三组全排列，对应3个崎岖路段，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将选出的4人分成3组，有C42＝6种分组分法；②将分好的三组全排列，对应3个崎岖路段，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的安排方法；故选：B．12．若不等式e x﹣ax2﹣ax＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0]B．[0，）C．（0，）D．（﹣∞，）【分析】讨论a＝0，a＞0，a＜0，由参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，解不等式可得所求范围．解：当a＝0时，原不等式即为e x＞0恒成立；当a＞0时，原不等式化为＞恒成立，设f（x）＝，导数为f′（x）＝﹣，可得当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞或x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，则f（x）在x＝﹣1处取得极小值，且为﹣e，在x＝处取得极大值，当x→+∞时，f（x）→0；当x→﹣∞时，f（x）→+∞，则f（x）无最大值，有最小值f（﹣1）＝﹣e，则a＞0时，原不等式不恒成立；当a＜0时，原不等式化为＜恒成立，由f（x）的最小值f（﹣1）＝﹣e，可得＜﹣e，解得﹣＜a＜0；综上可得，a的范围是（﹣，0]．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13．已知（kx﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5＝244，则实数k的值为4．【分析】根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，先求出a0的值，即可求得k的值．解：∵（kx﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，∴令x＝0，可得a0＝﹣1．再令x＝1，可得﹣1+a1+a2+a3+a4+a5＝（k﹣1）5＝﹣1+244，∴（k﹣1）5＝243，k﹣1＝3，则实数k＝4，故答案为：4．14．某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.98．【分析】设事件A表示“患某种疾病”，设事件B表示“血检呈阳性”，则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.49，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为P（B|A）＝．解：设事件A表示“患某种疾病”，设事件B表示“血检呈阳性”，则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.49，∴在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为：P（B|A）＝＝＝0.98．故答案为：0.98．15．为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有120种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有A54＝120种安排方法，故答案为：12016．已知函数f（x）＝（e x﹣1+x）（x﹣ae x﹣1）﹣e2（x﹣1），若a＝﹣1，则函数f（x）有2个零点；若函数f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（﹣1，）．【分析】判断函数单调性，根据零点存在性定理判断零点个数；分离参数a＝﹣，讨论方程＝m的根的情况，根据f（x）有3个零点和m的范围得出函数a的范围．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝（e x﹣1+x）2﹣e2（x﹣1）＝2xe x﹣1+x2＝x（2e x﹣1+x），显然x＝0是f（x）的一个零点，令g（x）＝2e x﹣1+x，则g′（x）＝2e x﹣1+1＞0，故y＝g（x）在R上单调递增，又g（0）＝＞0，g（﹣1）＝﹣1＜0，∴y＝g（x）在（﹣1，0）上有1个零点，故y＝f（x）有2个零点．（2）令f（x）＝0可得a＝﹣＝﹣，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∴当x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴当x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝1，又当x＜0时，g（x ）＝＜0，当x＞1时，g（x ）＝＞0，令g（x）＝m，则当m≤0或m＝1时，关于x的方程g（x）＝m只有1解，当0＜m＜1时，关于x的方程g（x）＝m有2解，当m＞1时，关于x的方程g（x）＝m无解．令h（m）＝m ﹣（m≤1且m≠﹣1），则h（m）在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，1]上单调递增，∵f（x）有3个零点，∴关于m的方程h（m）＝a在（﹣∞，0）和（0，1]上各有1解，又h（1）＝，h（0）＝﹣1，∴﹣1＜a ＜．故答案为：2，（﹣1，）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17．为了做好中央提出的“六稳”工作，落实“六保”任务，努力实现全年经济社会发展目标，某省采取了“云”上谈生意助力经济加速发展的稳外贸措施，通过电商平台，为外贸企业“在线洽谈、直播营销”提供服务和支持．已知该省某电商平台为某外贸工厂的产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如表数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）现已知该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，请预测把单价定为多少时，此外贸工厂可获得的利润最大？（参考公式：回归方程＝x +，其中＝，＝﹣）【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）结合（1）求得的线性回归方程写出利润t关于x的函数，利用配方法求最值．解：（1），，＝，．∴y关于x 的线性回归方程为；（2）设工厂获得的利润为t万元，则t＝（x﹣4）（﹣20x+250）＝﹣20（x﹣8.25）2+361.25．当x＝8.25时，t max＝361.25．∴该外贸产品单价定为8.25元时，外贸工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元．18．2020年3月，由于受病毒疫情的影响，我市的全体学生只能在网上在线学习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查（男生与女生的人数之比为11：13），结果发现：男生中有30人对线上教学满意，女生中有15人对线上教学不满意．（1）请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度满意不满意合计性别男生女生合计120（2）采用分层抽样的方法，从被调查的“对线上教学满意”的学生中，抽取8名学生，再从这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，设其中抽取男生的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考公式：K2＝．P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈6.713＞6.635，从而有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；．（2）从被调查者中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取的男生的个数ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）完成2×2列联表：满意不满意合计态度性别男生302555女生501565合计8040120K2＝≈6.713＞6.635，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；．（2）依题意，从被调查者中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取的男生的个数ξ的取值为0，1，2，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123PE（ξ）＝＝．19．已知f（x）＝alnx+2x2（a∈R）．（1）当a＝﹣4时，求f（x）的单调区间；（2）令g（x）＝，若g（x）在区间[e2，e4]上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≥在x∈[e2，e4]上恒成立，设F（x）＝，x∈[e2，e4]，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝+4x＝，当a＝﹣1时，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由题意g（x）＝，x∈[e2，e4]，∵g（x）在区间[e2，e4]上单调递减，∴g′（x）＝＝≤0，即a≥在x∈[e2，e4]上恒成立，设F（x）＝，x∈[e2，e4]，∵F（x）在[e2，e4]递增，∴F（x）max＝F（e4）＝﹣，∴a≥﹣，a∈[﹣，+∞）．20．2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）．（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）．（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k 的值．附：①s2＝28.2，；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）计算，根据正态分布的概率公式和对称性得出P（z≥99.31），再计算人数即可；（2）计算成绩在[100，120]内的频率，根据二项分布的概率公式计算，令＞1，得出概率的增减性，从而得出k的值．解：（1）μ＝＝65×0.005×10+75×0.010×10+85×0.020×10+95×0.030×10+105×0.025×10+115×0.010×10＝94，σ＝≈5.31，∴z～N（94，5.31），∴P（88.69＜z＜99.31）＝0.6827，∴P（z≥99.31）＝＝0.1587，500×0.1587＝79.35≈79∴该校500名学生中英语成绩不低于99.31的人数约为79人．（2）由频率分布直方图可知学生成绩在[100，200]内的频率为（0.025+0.010）×10＝0.35，故X～B（20，0.35），∴P（X＝k）＝•0.35k•0.6520﹣k，k＝0，1，2， (20)故＝＝，令＞1可得k＜7.35，令＜1可得k＞7.35，∴当k＝7时，P（X＝k）取得最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+x+（a∈R）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线与直线y＝a2x+1平行，求a的值；（2）若函数g（x）＝xf（x）﹣（a+1）x2﹣x有两个不同的极值点x1，x2，且x2＞x1＞0，求证：＞（e为自然对数的底数）．【分析】（1）求出原函数的导函数得到f′（1）＝2﹣a，再求出f（1）＝1+a，利用直线方程的点斜式写出切线方程，结合切线与直线y＝a2x+1平行，可得关于a的方程，进一步求得a值；（2）由题意，g（x）＝xf（x）﹣（a+1）x2﹣x＝xlnx﹣ax2+a﹣x，得到g′（x）＝lnx ﹣2ax，再由g（x）有两个极值点x1，x2，可得lnx1＝2ax1，lnx2＝2ax2，利用分析法，把证＞，转化为a＞，由lnx1＝2ax1，lnx2＝2ax2，求得a＝，转化为证＞，即＞即可．设t ＝，则t＞1，则只需证lnt＞（t＞1）．构造函数h（t）＝lnt﹣（t＞1），再由导数证明．【解答】（1）解：f′（x）＝，f′（1）＝2﹣a，又f（1）＝1+a，∴切点为（1，1+a），∴x＝1处的切线方程为y﹣（1+a）＝（2﹣a）（x﹣1），即y＝（2﹣a）x+2a﹣1．∵y＝（2﹣a）x+2a﹣1与直线y＝a2x+1平行，∴2﹣a＝a2，且2a﹣1≠1，解得a＝﹣2（a＝1舍去）；（2）证明：由题意，g（x）＝xf（x）﹣（a+1）x2﹣x＝xlnx﹣ax2+a﹣x．∴g′（x）＝lnx﹣2ax．∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴lnx1＝2ax1，lnx2＝2ax2，①要证＞，只需证＞e3，即证＞lne3＝3．即证lnx1+2lnx2＞3．只需证2ax1+4ax2＞3，又由0＜x1＜x2，故只需证a＞，由①可得a＝，只需证＞，即证＞即可．设t＝，则t＞1，则只需证lnt＞（t＞1）．令h（t）＝lnt﹣（t＞1），则h′（t）＝．∵t＞1，∴h′（t）＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞（t＞1）成立，∴原不等式成立，即＞．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中C1为参数）．以坐标原点O为极点，t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）写出直线C1的极坐标方程；（2）设动直线l：y＝kx（k＞0）与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得ρsinθ+ρcosθ＝2，即，（2）设直线l的极坐标方程为，设M（ρ1，α），N（ρ2，α），则，由，有，当时，的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a+b+c+m＝0，证明：a2+b2+c2﹣2b+4c+2≥0．【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得a+b+c＝2，然后配凑柯西不等式证明a2+b2+c2﹣2b+4c+2≥0．【解答】（1）解：f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＝，作出函数的图象如图：根据函数图象得，f（x）的最小值为﹣2，∴m＝﹣2；（2）证明：由（1）知，a+b+c＝2，∴[a2+（b﹣1）2+（c+2）2]•（12+12+12）≥[a•1+（b﹣1）•1+（c+2）•1]2＝（a+b+c+1）2＝9，∴a2+（b﹣1）2+（c+2）2≥3，当且仅当a＝b﹣1＝c+2，a+b+c＝2，即a＝1，b＝2，c＝﹣1时等号成立，∴a2+b2+c2﹣2b+4c+2≥0．。

2020年齐齐哈尔市高中必修二数学下期末试卷(含答案)一、选择题1．已知向量a v ，b v 满足4a =v，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（ ） A．B ．10 CD ．8 2．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或43．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?6．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53 B ．103C ．56 D ．1168．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．2510．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U11．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上12．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．14．不等式2231()12x x -->的解集是______． 15．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________．16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu v方向上的投影为________． 17．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.18．设，则________19．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 20．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．三、解答题21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:122．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =，33ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 23．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．25．已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证：AB BC ⊥u u u v u u u v；(2) //AD BC u u u v u u u v，求实数m 的值.26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求22a b -r r 的最小值即可得出结果.【详解】因为b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-r r r， 即2||cos ,b a b =-<>r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r，因为222222 2(2)44||4||||cos,4||a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r22=1644(2)4||484||b b-⨯⨯-+=+r r所以22484464a b-≥+⨯=r r，即28a b-≥r r，故选D.【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.2．C解析：C【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则121282l r S lr+===，，∴解得28r l==，或44r l==，41lrα==或，故选C．3．B解析：B【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆy bx a=+，ˆˆˆ0.76,b a y bx==-所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．C解析：C【解析】【分析】由题意可知，()min19ax yx y⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1ax yx y⎛⎫++⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.6．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π 结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，252sin α=＞s ，∴α＞45°且5cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且132252＜＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）c osα+sin（α+β）sinα453252555=-⨯+⨯=．故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.11．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．12．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()1,3C ，则：()2,0AB =uu u r ，()1,3BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，10BC =u u u v，据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---n ＝﹣1且022+＝k •022-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．20．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1 【解析】由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．三、解答题21．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=, 解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.22．（1）3C π=（2）5【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.23．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)；x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈) 【解析】 【分析】（1）先由函数()y f x =的最大值求出A 的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T ，于此得出2T πω=，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式结合φ的范围得出φ的值，于此可得出函数()y f x =的解析式； （2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间，由()2262x k k Z πππ+=-+∈可求出函数()y f x =取最小值时x 的取值集合．【详解】（1）由图象可知，2A =.因为51264T ππ-=，所以T π=.所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+=， 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2πϕ<，所以=6ϕπ，所以()2sin(2)6f x x π=+.（2）222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)，()f x 的最小值为-2，取得最小值时x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈). 【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>≠的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，max min2y y b +=； （2）求ω：2Tπω=； （3）求ϕ：将顶点或对称中心点代入函数解析式求ϕ，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC .（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ， 所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1//C F 平面ABE .（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以，所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=⋅=111232⨯⨯ 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 25．(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC u u u v u u u v ，算出AB BC u u u v u u u v⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得，()()2,3,3,2AB BC =-=u u u v u u u v所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u v u u u v所以AB BC ⊥u u u v u u u v . (2)()233,3AD m m u u u v =++，因为//AD BC u u u v u u u v所以()()2332330m m +-+=整理得2210m m --= 所以，实数m 的值为12-或1. 26．（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝34或－3.若a＝34t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a--<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。

2020年黑龙江省齐齐哈尔市数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】【分析】由题意利用n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【详解】 由题意可得，01110.92n n C ⎛⎫-⋅-> ⎪⎝⎭，求得10.12n⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴4n ≥， 故选B ．【点睛】本题主要考查n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用，属于基础题．2．等差数列{n a }中，385a a +=，则前10项和10S =( )A ．5B ．25C ．50D ．100 【答案】B【解析】 试题分析：因为38381010()5,55252a a a a S ++=∴==⨯=. 考点：等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,,,,m n p q m n p q N *+=+∈,则m n p q a a a a +=+．3．()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】 通过21i z i=+ 求出z ，然后得到复数z 对应的点的坐标． 【详解】由()12z i i +=得22(1)1.1(1)(1)i i i z i i i i -===+++- 所以复数z 在复平面对应的点在第一象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种【答案】C【解析】【分析】先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数.【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C. 【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.5．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．3 【答案】D【解析】【分析】首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫+++⎪⎝⎭再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于是 ()3312,2a b a b+=>>，而2=26x y a b ++-， ()33632=2=9+9b a a b a ba b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭2x y +的最小值为3， 故答案为D.【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.6．5(1)x -展开式3x 的系数是（ ）A ．-5B ．10C ．-5D ．-10【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数．【详解】解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r 5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣35C ＝﹣10， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7．已知椭圆2221(5)25x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为( )A ．10B ．20C ．D ．【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，计算即可得到所求值．【详解】 由题意可得椭圆22x a +225y =1的b=5，c=4，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ，即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2故选D ．【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 8．已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 判断原命题的真假即可知逆否命题的真假，由原命题得出逆命题并判断真假，即可得否命题的真假。

2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0,1A =-，{B x =∈N }2x <，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．()0,1C ．{}1D ．{}0,12．已知集合{}2|,20A x x Z x x =∈-++>，则集合A 的子集个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．若复数1z i i -=+，则z =（ ）A B ．2C D ．54．复数231ii i -+的共轭复数是（ ） A ．12i -+B ．12i --C ．21i +D ．21i -+5．己知复数z 满足()253zi i π=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ）A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝8．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≥C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>9．已知11232f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭,()8f m =,则m 等于（ ） A ．14-B ．14C ．32D ．32-10．已知()()11,326,3x x f x f x x -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()18f 的值为（ ）A ．12B ．1C ．0D ．211．函数()31f x x =+的定义域为（ ）A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．函数111y x=-+的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市数学高二(下)期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知命题:p x R ∃∈，2x x e <，那么命题p ⌝为（ ） A ．x R ∃∈，2x x e ≥ B ．x R ∀∈，2x x e < C ．x R ∀∈，2x x e ≥ D ．x R ∀∈，2x x e >【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题，则p ⌝为x R ∀∈，2x x e ≥，故选C ． 2．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 31357则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+必过 A ．()2,2 B ．()1.5,4C ．()1,2D ．()1.5,0【答案】B 【解析】 【分析】先求出x 的平均值 x ，y 的平均值 y ，回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），代入可得答案． 【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），01231.54x +++==135744y +++== ，∴样本中心点是（1.5，4），则y 与x 的线性回归方程y ＝bx+a 必过点（1.5，4）， 故选B ． 【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ）． 3．在△ABC 中内角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =+-，则角A = A ．60° B ．120°C ．30°D ．150°【答案】A 【解析】分析：利用余弦定理即可。

详解：由余弦定理2222a b c cosAbc =+-可知12cosA =，所以60A =︒。

点睛：已知三边关系求角度，用余弦定理。

4．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =（ ） A ．3881B ．608729C ．152243D ．5227【答案】B 【解析】分析：由已知得12612a a a++=可得a 值，在求出期望算方差即可. 详解：因为随机变量X 的概率分布为()()21,2,3a P X n n n n ===+，故12612a a a++=得43a =，故E （X ）=139,又()2()D aX a D X =，而222132132131()(1)(2)(3)939999D X =-⨯+-⨯+-⨯,故()2()D aX a D X == 608729，选B点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.5．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．6．已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2C D【答案】D 【解析】设P 为双曲线右支上一点,1PF =m,2 PF =n,|F 1F 2|=2c ， 由双曲线的定义可得m−n=2a ， 点P 满足12PF PF ⊥,可得m 2+n 2=4c 2， 即有(m−n)2+2mn=4c 2， 又mn=2a 2， 可得4a 2+4a 2=4c 2，即有a ，则离心率 故选：D . 7．若直线1223x ty t=-⎧⎨=+⎩ （t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k=（ ）A ．83B ．-6C ．6D ．83-【答案】B 【解析】 【分析】由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k. 【详解】由参数方程可求得直线斜率为：132k =-，另一直线斜率为：24k k=-， 由直线垂直可得：1234·12k k k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得：6k =-. 故选B. 【点睛】本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.8．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．1B ．2C D【答案】D先求出复数z ，然后根据公式z =.【详解】Q 21z i -=，∴12z i =+，∴z ==故选D.【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.9．抛物线2y 4x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716-B ．1516-C ．1716D ．1516【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程化标准方程为214x y =-，再由焦半径公式12M pPF y =-=，可求得M y 。

黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为2Sb cr a =++.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC -的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝（ ） A ．1234VS S S S +++B ．12342VS S S S +++C ．12343VS S S S +++D ．12344VS S S S +++【答案】C 【解析】 【分析】由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：()123413V S S S S r =+++，所以12343V S S S S r =+++. 故选：C 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，属于中档题.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x = B ．1ln|x |y = C ．sin y x = D ．||2x y =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可 【详解】对于A ，3y x =为奇函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，不满足题意；对于B, 1ln|x |y =为偶函数，在区间(0,)+∞上为单调递减的函数，故B 满足题意； 对于C,sin y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上为周期函数，故C 不满足题意； 对于D, ||2x y =为偶函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，故D 不满足题意； 故答案选B 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质. 3．已知集合{}250M x x x =-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )A ．{}3,4B ．5,6C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,5【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥. 4．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【答案】B 【解析】试题分析：根据二项式的展开式的二项式系数是14，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果． 解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =14， ∴n=1．T r+1=C 1r x 1﹣r x ﹣r =C 1r x 1﹣2r ， 令1﹣2r=0，∴r=3， 常数项：T 4=C 13=20，故选B ．考点：二项式系数的性质． 5．179︒是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】 【分析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案． 【详解】由题意，1791801︒︒︒=-，所以179︒表示第二象限角，故选B ． 【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 6．二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )A ．B ．C ．或D ．或【答案】A【解析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.考点：二项式定理、积分的运算.7．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种【答案】B 【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有123543C C A ⋅⋅种选派方案，若是两男一女，则有213543C C A ⋅⋅种选派方案．所以总共有123213543543420C C A C C A ⋅⋅+⋅⋅=种不同选派方案，故选B8．若函数3ax y e x =+有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30a -<<B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【答案】A 【解析】分析：函数3axy e x =+有小于零的极值点转化为()'30axf x ae=+=有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的a 取值范围. 详解：设()3axf x e x =+，则()'3axf x ae =+，函数在x ∈R 上有小于零的极值点，()'30ax f x ae ∴=+=有负根，①当0a ≥时，由()'30axf x ae=+>，()'30ax f x ae ∴=+=无实数根，∴函数3,ax y e x x R =+∈无极值点，不合题意，②当0a <时，由()'30axf x ae =+=，解得13ln x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当13ln x a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当13ln x a a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭时，()'0f x <， 13ln x a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数的极值点， 13ln 0a a ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，解得30a -<<， ∴实数的a 取值范围是30a -<<，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题. 求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.9．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线22(>0)y px p =，弦AB 过焦点，ABQ △为阿基米德三角形，则ABQ △的面积的最小值为（ ）A ．22pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的知识，可得1AQ BQ k k ⋅=-，即三角形ABQ △为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线AB 垂直x 轴时，面积取得最小值2p . 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，过A ，B 的切线交于Q ， 直线AB 的方程为：2px my =+， 把直线AB 的方程代入22(>0)y px p =得：2220y pmy p --=，所以22121212,,24p y y pm y y p x x +==-=，则2||2(1)AB p m ==+，由导数的知识得：AQ BQ k k ==所以1AQ BQ k k ⋅=-，所以AQ BQ ⊥，所以222||||||AQ BQ AB +=，因为222221111||||(||||)||[2(1)]2444S AQ BQ AQ BQ AB p m =⋅≤+==+， 当0m =时，可得S 的最大值为2p ，故选B. 【点睛】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线AB 过抛物线的焦点，则切线AQ 与切线BQ 互相垂直，能使运算量变得更小. 10．已知函数()()f x x R ∈满足()4(2)f x f x -=-+，函数21()1x g x x -=-.若函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点，记作(,)(1,2,,214)i i i P x y i =，则2141()i i x x y =+∑的值为A ．642B ．1284C ．214D ．321【答案】A【解析】分析：根据题意求解()f x ，()g x 的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案 详解：函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -=-+，()()24f x f x ∴-++= 即函数()f x 关于点()12，对称 函数()()2112112111x x g x x x x -+-===+--- 即函数()g x 关于点()12，对称 ∴函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点即在()12，两边各有107个交点121224x x y y +=+=，，则共有107组，故()()()()214112221421416107642iix x y x y xy x y =+=++++++=⨯=∑，故选A点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。