数学金融学之连续时间金融市场课件(复旦大学-雍炯敏

适应的，有界的}
Lp0 F
(0,T
;
R
m
)
LqF (0,T ; Rm ),1 p
q p
L0 F
(0,T
;
Rm
)
LqF (0,T ; Rm )
1q
(1.3)
现在，我们对市场M (r,b, )引入三种可能的假定：
(M1)(r, b, ) :[0,T ] R Rn Rnd为{Ft}t0 循序可
和100种股票的市场，则很难想象用前面章节中的方法能 得到深刻而简洁的结果。另一方面，不难想象，将离散的 问题“连续化”，比如，允许交易时刻是任何实数，交易 量也允许是任何实数，则许多诸如微积分、随机分析等强 有力的数学工具就能够在处理金融市场问题中发挥作用。 事实上，这种“连续化”的近似使得原来非常复杂的问题 变得相对容易了，我们将建立这种连续化市场模型下若干 数学金融问题的一般推论。 定义1.1 称市场M为无摩擦的，如果 （1）资产的交易时间和额度是连续的；（2）不存在交易费 和税收；（3）对资产的交易没有约束（比如，可以卖空 等）；（4）存借款利率相同。
测的有界随机过程。
(M 2)(r,b, ) :[0,T ] R Rn Rnd为有界可测函数。
(M 3)
r,
bi
,
为常数。
ij
在上述条件中，(M1)最弱，(M 2)其次，(M 3)最强，以后我们
总假定市场M (r,b, )至少满足(M1)。容易知道，在(M1)条
件下，常微分方程(1.1)存在唯一解：
空间(, F,{Ft}t0 , P)上的一个d维标准Brown运动，其中
{Ft}t0为Brown运动(•)生成的自然 域流；bi (•)称为第i 种股票的平均回报率， ij (•)称为股票价格的波动系数（它 表示第j种不定因素 j (•)对第i种股票价格过程的影响），
pi 0为第i种股票的初始价格。我们记b(•) (b1(•)，，
无摩擦市场是一种理想化的市场。研究这样的市场的目的 是揭示市场的许多内蕴性质。以后，在无特殊声明的情况 下，我们总假定市场M是无摩擦的。上面所说的市场比较 抽象，现在，让我们来给出一个具体的市场模型，即给出
市场中债券和股票的价格过程。记债券的价格过程为P0 (•) 假定它满足如下常微分方程：
dP0 (t) P0 (t)r(t)dt, P0 (0) 1 (1.1)
从上面(1.6)可见，当pi 0时，必有Pi (t) 0。进一步，我
们不难证明：
Pi
(•),
P0 Pi
(•), P0 (•)1 LF (•)1 LF0 (0,T
(0,T ; R),
;
R) 1
i
n
(1.7)
需要注意的是，一般而言，对1 i n，Pi (•)和Pi (•)1未必
是有界的，所以，(1.7)第二式中出现的是LF0 (0,T ; R)而不
t
r (s)ds P0 (t) e0 ,t [0,T ]
(1.4)
由随机微分方程的一般理论，我们知道在(M1)条件下，(1.2)
存在唯一的强解。
为了得到该强解的表达式，我们对随机过程t ln Pi (t)运
用Ito公式：(注意，由于pi 0,我们可以证明Pi (t) 0,从而
ln Pi (t)有意义。)
其中r(t)称为时刻t的短期利率。我们记股票的价格过程为 Pi (•),i 1,2,, n。它们在时间区间[0,T ]内满足如下的随机 微分方程：
dPi
(t )
Pi
(t )bi
(t)dt
Pi
(t)
d j 1
ij
(t )di
(t),
1i n
Pi (0) pi
(1.2)
在方程（1.2）中，(•) (1(•)，，d (•))为带域流的概率
d[ln
Pi
(t
)]
[bi
(t
)
1 2
d
ij (t)2 ]dt
j 1
d
ij (t)d j (t)
j 1
(1.5)
所以，(1.2)的强解为
t
[bi
0
(s)1 2
d
ij
(
s
)
2
]ds
t
j1
0
d
ij (t )d
j1
j
(s)
P (t) p e ,0 t T ,1 i n i
i
(1.6)
8.1证券市场的描述 假定在一个金融市场（记作M）中有n 1种资产：1种是所谓 的无风险资产（即其市场价值始终是上升的），我们称之 为债券或投资者的银行账户；另外n种是所谓的风险资产 （它们的市场价值未必总是上升的），为了方便起见，通 常这些风险资产可以认为就是普通的股票。我们知道，在 真实的金融市场中，所有涉及的量都是离散的。利用前面 章节中的结果，原则上我们可以解决血多问题（未定权益 定价、最优投资问题，等等）。但是，如果我们面临的是 一个具有1000个状态（它们可以代表1000个有影响的投资 机构或个人独立的参与投资所带来的不确定因素）、1000 个时段（如果每10秒采一次样，则3小时就有1080个时段）
bd (•))T , (•) ( ij (•))nd ,由上面(1.1)和(1.2)可知，当r(•), b(•)和 (•)给定时，债券和股票的价格过程就完全确定 了。因此，当r(•),b(•)和 (•)给定时，人们就认为一个（连 续时间的）证券市场给定了。我们将用M (r,b, )来记这个 市场以强调市场对r(•),b(•)和 (•)的依赖。
是LF (0,T ; R)。
t
以后，我们称 0
(1.8)
P0 (•)
为贴现因子过程，并且对任何{Ft }t0 适应过程~f (•) (•)
为了研究(1.1)和(1.2)，让我们引入一些空间，它们将在后 面的讨论中反复用到。
LFp (0,T ; Rm ) { :[0,T ] Rm (•)是{Ft}t0
T
适应的，E (s) p ds },1 p
0
LF (0,T ; Rm ) { :[0,T ] Rm (•)是{Ft}t0
第8章，连续时间证券市场 知识储备： 1，初步的随机分析知识；2，控制理论方面的知识。
说明：在随机分析中，人们遇到的等式或不等式往往是以
概率1成立的（未必是对所有的 均成立），在一般的
文献中，常常用记号a.s.来表示（英文almost surely的缩写） 为了记号简便起见，我们约定一般不用a.s（. 除非有特别的 强调），但是所有遇到的等式或不等式均理解为“以概率 1成立”。