九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆ppt作业课件新版新人教版
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人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章24.1 圆的有关性质(共22张PPT)
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆心角 ∠AOB与∠ A'OB'
A' B
O
A
B'
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/8/10 2021/8/10Tues day , August 10, 2021
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，10202 1/8/102 021/8/1 0Tuesd ay , August 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/10202 1/8/102 021/8/1 02021/8 /108/10 /2021
B
A
·
等对等定理
同样在，同还圆可以或得等到圆：中，两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应 的在其同余圆各或组等圆量中也，相如等果．两条弧相等，那么它
们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他 们所对的圆心角______，所对的弧 _________．
A.AB>CD B.AB = CD C. AB < CD D. AB =2
CD
2、下列结论正确的是（ ） • 长度相等的两条弧是等弧 B. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等
3、在半径为3的圆中，弦长为3的弦所对的 圆心角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年8月 10日星 期二20 21/8/10 2021/8/102021 /8/10
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章22.1圆的有关性质(共25张PPT)
论从哪个角 度看，它都具有同一形状 。十五的圆月更是象征着 圆满、团圆。
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆(听课)课件(新版)新人教版
24.1.1 圆
总结反思
知识点一 圆的定义
1．如图24－1－3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个_____端_点______A所形成的图形叫做圆，
记作⊙O，读作“圆O”．其固定的端点O叫做___圆__心___，线段
OA叫做___半__径___．
2．圆可以看成是到一个定点(圆心)
图 24－1－1
24.1.1 圆
解：如图，连接 OB.
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB， ∴∠A＝∠1. 又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A， ∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A. 而∠DOE＝78°，∴3∠A＝78°，∴∠A＝26°.
24.1.1 圆
【归纳总结】求与圆有关的边或角时，作半径构造等腰三角形是 常用的方法．
24.1.1 圆
又∵OA＝OB，∴△OAB 是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°， ∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝45°＋60°＝105°.
以上解答完整吗？若不完整，请进行补充． 图 24－1－4
24.1.1 圆
解：不完整．补充如下： 若点 B，C 在直线 OA 的异侧，则∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝45°＋60°＝105°；
24.1.1 圆
【归纳总结】圆中容易混淆的“两组概念”： 1．弦与直径： (1)直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； (2)弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦． 2．弧与半圆： (1)半圆是弧，但弧不一定是半圆； (2)圆上任意两点分圆成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把 圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
24.1.1 圆
目标二 能利用圆的定义证明几个点共圆
例3 教材例1针对训练 将矩形改为如图24－1－2所示的四边形
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
九年级数学上册第二十四章《圆》PPT课件
证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
·O
C
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的 弦，但弦不一定是直径.
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等 圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区 别和联系.（难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于 定长r的点的集合．
D
r
A
C
r O· r
r r
E
要点归纳
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
（本页为FLASH动画，播放模式下点击）
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质第1课时圆课件(新版)新人教版
分层训练
【A组】
1. 以一个点O为圆心作圆可以作（ D ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数个
2. 下列说法错误的是（ C ）
A. 圆有无数条直径
B. 连接圆上任意两点之间的线段叫做弦
C. 过圆心的线段是直径
D. 能够重合的圆叫做等圆
分层训练
3. 有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；② 直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半 圆. 其中说法错误的有（ B ）
b，则（
A）
A. a=b C. a＞b
B. a＜b D. 不能确定
分层训练
11. 如图24-1-12，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB,CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，若△COD为直角 三角形，求∠E的度数. 解：∵AB是⊙O的直径，AB=2DO，AB=2DE， ∴DO=DE. ∴∠DOE=∠E. ∵△COD为直角三角形，OC=OD， ∴△COD为等腰直角三角形. ∴∠CDO=45°. ∵∠CDO=∠DOE+∠E，∴∠E= ∠CDO=22.5°.
解：∵AC=3，BC=4，
∴AB=
=5.
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D,
∴AD=AC=3.
∴BD=AB-AD=5-3=2.
分层训练
【B组】
7. 如图24-1-9，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，
圆心经过的距离是（
）B
A. 4π r
B. 2π r
C. π r
D. 2r
8. 已知矩形的两边长分别为6和8 ，则矩形的四个顶点
课前预习
（4）圆上任意两点间的部分叫做___圆__弧_____，简称 _____弧_____. 直径把圆分成的两条弧都叫____半__圆____， 大于半圆的弧叫___优__弧_____，小于半圆的弧叫做 ___劣__弧_____. B. 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是 ____圆__心____，另一个是___半__径_____，其中______圆_心___确 定圆的位置，______半__径__确定圆的大小.
初中九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆预习课件
此说出圆的形成过程吗？
图24－1－1
通过动画演示，发现在一个平面内一条___线__段___绕它的一个 ___端__点___旋转一周，另一个端点形成的图形就是___圆_____．
谢谢观看！
24.1.1 圆
2.圆的有关概念 自学课本，讨论圆中相关元素的定义．如图24－1－2，你能
说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？什么是优弧和劣弧？
图24－1－2
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.1 圆
24.1.1 圆
探究新知
活动1 知识准备
1．圆的半径长为2 cm，则它的直径长为____4____ cm. 2．圆的半径长为3 cm，则它的面积为___2_._9_π__ cm2.24Biblioteka 1.1 圆活动2 教材导学
1.圆的定义 如图24－1－1，观察下列画圆的过程，动手画一个圆，你能由
图24－1－1
通过动画演示，发现在一个平面内一条___线__段___绕它的一个 ___端__点___旋转一周，另一个端点形成的图形就是___圆_____．
谢谢观看！
24.1.1 圆
2.圆的有关概念 自学课本，讨论圆中相关元素的定义．如图24－1－2，你能
说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？什么是优弧和劣弧？
图24－1－2
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.1 圆
24.1.1 圆
探究新知
活动1 知识准备
1．圆的半径长为2 cm，则它的直径长为____4____ cm. 2．圆的半径长为3 cm，则它的面积为___2_._9_π__ cm2.24Biblioteka 1.1 圆活动2 教材导学
1.圆的定义 如图24－1－1，观察下列画圆的过程，动手画一个圆，你能由
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆课件新版新人教版
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
快乐预习感知
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个
端点A所形成的图形叫做 圆 .其固定的端点O叫做 圆心 ,线
段OA叫做 半径 .以点O为圆心的圆,记作 ☉O ,读作
“ 圆O ”. 2.以2 cm为半径可以画 无数 个圆;以O为圆心可以画_无__数__
解析 答案
1
2
3
4
5
6
6.
轻松尝试应用
五名小朋友站成一个圆圈,如图,做一个抢小红旗的游戏,把小红旗 放在什么位置上,才能使这个游戏比较公平?说说你的理由.
关闭
把小红旗放在所围成的圆圈的圆心处,才能使这个游戏比较公平.理由
如下:当小红旗位于圆圈的圆心处时,五个小朋友到小红旗的距离相等 (都等于该圆圈的半径),这样谁能抢到小红旗,就要看各自的速度了,当
做 等弧 .
快乐预习感知
4.下列说法:①直径是弦;②弧是半圆;③经过圆内一点可以作无 数条弦;④等弧的长度相等;⑤半径相等的圆是等圆,其中正确的 是 ①③④⑤ .(填序号)
5.如图,在☉O中,AB是☉O的直径,点P是OB上的任一点(不与O,B 重合),CD,EF是过点P的两条弦,则图中的弦有 AB,CD,EF ,以B为
然就比较公平.
答案
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
快乐预习感知
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个
端点A所形成的图形叫做 圆 .其固定的端点O叫做 圆心 ,线
段OA叫做 半径 .以点O为圆心的圆,记作 ☉O ,读作
“ 圆O ”. 2.以2 cm为半径可以画 无数 个圆;以O为圆心可以画_无__数__
解析 答案
1
2
3
4
5
6
6.
轻松尝试应用
五名小朋友站成一个圆圈,如图,做一个抢小红旗的游戏,把小红旗 放在什么位置上,才能使这个游戏比较公平?说说你的理由.
关闭
把小红旗放在所围成的圆圈的圆心处,才能使这个游戏比较公平.理由
如下:当小红旗位于圆圈的圆心处时,五个小朋友到小红旗的距离相等 (都等于该圆圈的半径),这样谁能抢到小红旗,就要看各自的速度了,当
做 等弧 .
快乐预习感知
4.下列说法:①直径是弦;②弧是半圆;③经过圆内一点可以作无 数条弦;④等弧的长度相等;⑤半径相等的圆是等圆,其中正确的 是 ①③④⑤ .(填序号)
5.如图,在☉O中,AB是☉O的直径,点P是OB上的任一点(不与O,B 重合),CD,EF是过点P的两条弦,则图中的弦有 AB,CD,EF ,以B为
然就比较公平.
答案
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十四章24.1 圆的有关性质(共25张PPT)
图 24-1-7
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径 ） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角 三角形的问题．
CD为直径 条件
ACDE⊥=BAEB
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒
AC ⌒
=
B⌒C
AD = BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1 C
O E
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2 A
E
B
A C
E 图4 B
O
D
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离OE为3cm，求⊙O的 A
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
∟
·O
∟
A
D
B
Thank you for your attention.
C
的圆心为O，半径为R.
A
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，⌒与AB
交于点C，则D是AB的中点⌒，C是AB的中点，
D
B
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m 有计算，勾股来帮忙
∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径 ） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角 三角形的问题．
CD为直径 条件
ACDE⊥=BAEB
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒
AC ⌒
=
B⌒C
AD = BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1 C
O E
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2 A
E
B
A C
E 图4 B
O
D
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离OE为3cm，求⊙O的 A
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
∟
·O
∟
A
D
B
Thank you for your attention.
C
的圆心为O，半径为R.
A
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，⌒与AB
交于点C，则D是AB的中点⌒，C是AB的中点，
D
B
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m 有计算，勾股来帮忙
∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23
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第13题图
14．(练习3变式)如图，已知BD，CE是△ABC的高，试说明：B，C，D， E四点在同一个圆上．
解：取 BC 的中点 F，连接 DF，EF.∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△ BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF，EF 分别为 Rt△BCD 和 Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF＝12 BC，∴E，B，C，D 四点在以
第11题图
12．如图，矩形PAOB的顶点P在弧MN上，且不与M，N重合．顶点A，B
分别在线段OM，ON上．当P点在弧MN上移动时，PA2＋PB2的值( C )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．不变
D．不能确定
第12题图
13．(随州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则 ∠B＝_____6_0__度．
解：连接 OA，∵∠POM＝45°，四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝BC ＝CD＝OC，设 AB＝x，则 OB＝2x，又 OA＝5，在 Rt△ABO 中，由勾股定 理有 x2＋(2x)2＝52，∴x＝ 5 (取正值)，即 AB 的长为 5
第7题图
8．(新县月考)若圆的半径为3，则圆中的弦AB长度的取值范围是 ___0_＜__A__B_≤_6_．
9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于 点E，F，∠B＝∠C，求证：CE＝BF.
解：易证△BOE≌△COF(ASA)，∴OF＝OE，∴CO＋OE＝BO＋ OF，即CE＝BF
第二十四章 圆
24．1.1 圆
知识点1：圆的定义 1．平面内已知点P，以点P为圆心，3 cm为半径作圆，这样的圆可以作( )
A
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的
坐标是( B)
A.(0，1) B．(0，－1) C．(1，0) D．(－1，0)
3．(例题1变式)下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( B)
A．平行四边形、菱形 B．矩形、正方形
C．菱形、正方形
D．矩形、平行四边形
知识点2：与圆有关的概念
4．下列结论正确的是(
B)
A．长度相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
5．下列命题中是真命题的有( B )
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两 部分；③半径相等的圆是等圆；④直径是圆中最长的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF， 请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF， ∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF
17．如图，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径 OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，
则∠C的度数为(
)C
A．50° B．60° C．70° D．80°
第10题图
11．(舞阳月考)如图，A，B 是⊙O 上两点，若四边形 ACBO 是菱形，
⊙O 的半径为 r，则点 A 与点 B 之间的距离为( B )
A． 2 r B． 3 r C．r D．2r
6．如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列
说法正确的是( C )
A．线段AB，AC，CD，OB都是弦
B．与线段OB相等的线段有OA，OC，CDC．图中的 Nhomakorabea弧有2条
D．AC是弦，AC又是⊙O的直径，所以弦是直径
第6题图
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝16°，则∠BOC的度数 是____3_2_°__．
点 F 为圆心，12 BC 为半径的圆上
15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线相交于点 E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，试求∠AOC的度数．
解：连接OD，∵AB＝2DE，AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E， ∴∠ODC＝2∠E＝36°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∴∠AOC＝ ∠C＋∠E＝54°
14．(练习3变式)如图，已知BD，CE是△ABC的高，试说明：B，C，D， E四点在同一个圆上．
解：取 BC 的中点 F，连接 DF，EF.∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△ BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF，EF 分别为 Rt△BCD 和 Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF＝12 BC，∴E，B，C，D 四点在以
第11题图
12．如图，矩形PAOB的顶点P在弧MN上，且不与M，N重合．顶点A，B
分别在线段OM，ON上．当P点在弧MN上移动时，PA2＋PB2的值( C )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．不变
D．不能确定
第12题图
13．(随州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则 ∠B＝_____6_0__度．
解：连接 OA，∵∠POM＝45°，四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝BC ＝CD＝OC，设 AB＝x，则 OB＝2x，又 OA＝5，在 Rt△ABO 中，由勾股定 理有 x2＋(2x)2＝52，∴x＝ 5 (取正值)，即 AB 的长为 5
第7题图
8．(新县月考)若圆的半径为3，则圆中的弦AB长度的取值范围是 ___0_＜__A__B_≤_6_．
9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于 点E，F，∠B＝∠C，求证：CE＝BF.
解：易证△BOE≌△COF(ASA)，∴OF＝OE，∴CO＋OE＝BO＋ OF，即CE＝BF
第二十四章 圆
24．1.1 圆
知识点1：圆的定义 1．平面内已知点P，以点P为圆心，3 cm为半径作圆，这样的圆可以作( )
A
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的
坐标是( B)
A.(0，1) B．(0，－1) C．(1，0) D．(－1，0)
3．(例题1变式)下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( B)
A．平行四边形、菱形 B．矩形、正方形
C．菱形、正方形
D．矩形、平行四边形
知识点2：与圆有关的概念
4．下列结论正确的是(
B)
A．长度相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
5．下列命题中是真命题的有( B )
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两 部分；③半径相等的圆是等圆；④直径是圆中最长的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF， 请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF， ∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF
17．如图，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径 OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，
则∠C的度数为(
)C
A．50° B．60° C．70° D．80°
第10题图
11．(舞阳月考)如图，A，B 是⊙O 上两点，若四边形 ACBO 是菱形，
⊙O 的半径为 r，则点 A 与点 B 之间的距离为( B )
A． 2 r B． 3 r C．r D．2r
6．如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列
说法正确的是( C )
A．线段AB，AC，CD，OB都是弦
B．与线段OB相等的线段有OA，OC，CDC．图中的 Nhomakorabea弧有2条
D．AC是弦，AC又是⊙O的直径，所以弦是直径
第6题图
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝16°，则∠BOC的度数 是____3_2_°__．
点 F 为圆心，12 BC 为半径的圆上
15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线相交于点 E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，试求∠AOC的度数．
解：连接OD，∵AB＝2DE，AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E， ∴∠ODC＝2∠E＝36°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∴∠AOC＝ ∠C＋∠E＝54°