07-08(1)线性代数(32)考试试卷B参考答案

西南交通大学2007－2008 学年第(一)学期考试试卷课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟阅卷教师签名：注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。

一、填空题（每空4分，共24分）1．设(111),(111)T T αβ==-，则T βα= ； 2．设{}V =X |AX =0，则V （是/不是）向量空间； 3．已知 3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2，则2*2A A E +-= ； 4．设矩阵1234(,,,),A =αααα其中234,,ααα线性无关，且12332ααα=-，1234=+++βαααα，则 AX β= 的通解为： ；5．设3250326120531614A ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则A 的列向量组的一个最大线性无关组为： ， ()A R = 。

二、选择题（每小题4分，共24分）班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线6．行列式 001100010020100003A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求1A -=（ ）（A ） 100010121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1001002103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 00110021003⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭7．设 21201123()132013x x x f x x x x--=，则()f x 中3x 的系数为( )。

(A) -1 ； (B) 1 ； (C) -17 ； (D) 17 。

8．设 A B 、 均为 n 阶可逆方阵，下列各式正确的是( )。

(A) ||||A A λλ=； (B) 111()AB B A ---=； (C) ()T T T AB A B =； (D)||||||A B A B +=+。

线性代数考试试卷一．单选题：(2510)''⨯=1．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ）A. AB=BAB ()111---+=+B A B A C. B A B A +=+D. ()T T T B A B A +=+2．设A 为3阶方阵，且已知22A -=，则|A |=（ ）A ．1-B ．14-C ．41D ．13．．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500043200101，则A 中（ ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．3B ．1-C ．1D ．3-5．线性方程组12233121x x x x x x αα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩有解的充分必要条件是α=（ ）A 、1-B 、13C 、13- D 、1 二、填空题(4520)''⨯=1.行列式122305403--中元素3的代数余子式是 . 2．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21031231B A ，，则 BA AB -＝ ；3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 200012011，则=A -1 ；4.若向量组T T T t t )1,0,0(,)0,2,1(,)0,1,1(2321+==+=ααα线性相关，则t ＝ .5. 设A 为n 阶方阵，0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值为 ；三、计算题)(06601'=⨯'1.计算行列式的值12342341=34124123D2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B ,求X 使B XA =. 3.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--=-+-02200432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系.4.求向量组T T T T )1,2,2,2(,)1,1,3,2(,)1,1,2,3(,)1,3,2,1(4321-==-=-=αααα的秩和一个最大线性无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.5. 设三阶矩阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ，对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212,122,221321p p p ，求A .6. 判断二次型312123222132144465),,(x x x x x x x x x x f ++---=的正定性．四、证明题）（01'若21αα，是n 阶矩阵A 属于不同特征值21λλ，的特征向量，证明21αα+不是A 的特征向量．。

武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。

2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。

六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。

《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。

（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。

二、 计算行列式的值。

（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。

（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。

（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。

六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。

（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。

（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。

（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。