2021年高三第三次质量检测数学(理)试题 含答案

合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1 14.28=y x 15.1260016.① ②三、解答题：17. (本小题满分12分) 解：(1)由4a C bπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()sin cos a b C C =+. 由正弦定理得()sin sin sin cos A B C C =+，即()()sin sin sin cos B C B C C +=+， ∴cos sin sin sin B C B C =.∵在ABC ∆中，sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =.∵()0B π∈，，∴4B π=.…………………………5分 (2)由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=2222a c b ac+-=，∴222b a c =+.又∵(22b ac =，∴22a c ac +=2，即a c =. 由(1)知4B π=，又∵2c =，∴ABC ∆面积11sin 22222S ac B ==⨯⨯= .………………12分 18. (本小题满分12分)(1) 证明：∵DE ∥BC ，BC ⊥平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴DE ⊥AE .在Rt ADE ∆中，由60DAE ∠=，6DE =得，AE =.又45,, 2.BAC BC AB AB BC ∠=⊥∴== 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，解得4BE =.∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥.而BC AE ⊥，∴AE ⊥平面ABC .又∵AC ⊂平面ABC ，∴AE ⊥AC .…………………………5分(2) 解：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵AB ∥平面CEF ，平面ABD 平面CEF FG =，∴AB ∥FG ，∴AF BG FD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG ∆~∆，∴13BG BC GD DE ==，∴13AF FD =. 如图，以E 为坐标原点，EB ，ED 所在的直线分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，D (0，0，6)，C (4，0，2).又∵A(30)，∴133 4442AF AD ，⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴93 442F ，，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴71 42CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()404DC ，，=-. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C A A C D C D B D令平面CDF 的一个法向量为()m x y z ，，=，由00CF m DC m ，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得7200. x z x z ，⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1x =，得()11m =.同理，平面CEF的一个法向量为()3 6n =-， ∴cos 0m n m n m n ，⋅<>==⋅，即二面角D CF E --的大小为.2π …………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)A 系统需要维修的概率为231311112222C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， B 系统需要维修的概率为23452155111111222222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则12X B ⎛⎫~2 ⎪⎝⎭，，200X ξ=. ()()2211200(0 1 2),22k k k P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴ξ的分布列为 ∴120022002E ξ=⨯⨯=. …………………………6分 (2)A 系统3个元件至少有2个正常工作的概率为()223323123A P C p p p p p =-+=-+，B 系统5个元件至少有3个正常工作的概率为()()2334455511B P C p p C p p p =-+-+54361510p p p =-+，则 ()()()2543226151233121B A f p P P p p p p p p p =-=-+-=--.∵01p <<.令()0f p >，解得112p <<. 所以，当112p <<时，B 系统比A 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A 系统； 当102p <<时，A 系统比B 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B 系统； 当12p =时，A 系统与B 系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A ，B 系统检测不分次序. ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)()()2ln 1f x x a x =--，则()22ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增. ∵()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；②当02a <<时，21a>，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当21,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；③当2a =时，21a=，由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >. ∴()f x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减. 又∵()10f =，∴()0f x ≤成立.④当2>a 时，21<a，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当2,1⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去； 综上得，2a =. …………………………6分(2) 由(1)知，当2a =时，()0f x <在()1+∞，上成立，即ln 1x x <-. 令()211kx n =++(1 2 k n = ，，，)，则()()22ln 111k k n n ⎡⎤+<⎢++⎢⎥⎣⎦， ∴()()()()2222112ln 1ln 1111111nk k n n n n n =⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪+=+⋅+⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎨⎬++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑ ()()()()()()22221121112121112121n n n n n n n n n n +<+++===<+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭， 即()()()()2222112111ln 21⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭ n n n n n n ，∴()()()()2222112111n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦<+ *n N ∈). .…………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)由题意知BQ BA BQ BD DQ +=+===8AQ >=， 根据椭圆的定义得，交点B 的轨迹是一个以A ，Q 为焦点的椭圆，2a =28c =，∴22218162b a c =-=-=，∴曲线C 的方程为 221182x y +=. …………………………4分 (2)由曲线T 与曲线C 相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T 经过点()30E -，，()30F ，，可设曲线T 的方程为22182x y λ+=(0λ>).将点() 0F 3，坐标代入上式得，1λ=， ∴曲线T 设P (00x 11(22x y ，).① 当切线PG 的斜率不存在时，切线PG 的方程为：3x =±，代入221182x y +=得1y =±，此时PH 与曲线T 相切，M 为PG 的中点，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值； 同理可求，当切线PH的斜率不存在时，12MNGH =也是一个定值.②当切线PG 和PH 的斜率都存在时，设切线PG 的方程为：y kx m =+，分别代入2219x y +=和221182x y +=，化简整理得()2229118990k x kmx m +++-=①，()22291189180k x kmx m +++-=②.由题意知，方程①有两个相等的实数根1x ；方程②有两个不相等的实数根02x x ，， ∴110221891km x x x x k +=+=-+，∴0212x x x +=， ∴()020*******y y k x x m kx m y +=++=+=,此时，M 为PG 的中点.同理可证，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值. 综上可知，12MNGH =是一个定值. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).由2cos 4sin ρθθ=得，22cos 4sin ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24.x y = …………………………5分(2)将直线l 的参数方程1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入24x y =，并整理得()22cos 2cos 4sin 70t t ααα⋅+--=. 设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，由线段PQ 的中点为M 得120t t +=，即22cos 4sin 0cos ααα--=， ∴直线l 的斜率1tan .2k α== ∴直线l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=. …………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)当2a =时，()221f x x x =++-.当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，结合2x ≤-得，解集为∅； 当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，结合21x -<≤得，01x ≤≤； 当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，结合1x >得，413x ≤＜. ∴原不等式的解集为403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分 (2)当12x ≤≤时，221x a x x ++-＞可化为222x a x x +-+＞， ∴222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-， 即存在[]12x ∈，，使得232a x x >-+，或22a x x <-+-. ∴14a >-，或2a <-， ∴实数a 的取值范围为()1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. …………………………10分。

2021年高三第三次教学质量监测考试数学（理）试题 Word版含答案
一、选择题
1．复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=2（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A． 1﹣iB．1+iC．3﹣iD．3+i
2．若随机变量x～N（1，4），P（x≤0）=m，则P（0＜x＜2）=（ ）
A． 1﹣2mB．C．D．1﹣m
∴a的取值范围（﹣∞．﹣]；
（Ⅱ）（用数学归纳法证明）
当n=1时，sin=＞，成立，
假设当n=m，m∈N•时成立，即
sin+sin+sin+…+sin≥，
∴当n=m+1，m∈N•时，
sin+sin+sin+…+sin+sin
≥+sin（+）≥，
∴当n=m+1，m∈N•时成立，
∴原命题成立．
34803 87F3蟳o20684 50CC僌35250 89B2覲IN38737 9751靑x|30338 7682皂31678 7BBE箾{37929 9429鐩d
21．（13分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．
14．设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为_________．

合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺当！ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 A.2 B.2 C.1 D.1或22.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >”的否定是A.对于任意x R ∈,都有0x e ≤B.不存在x R ∈,使得0x e ≤C.存在0x R ∈,使得00x e >D.存在0x R ∈,都有00x e ≤ 3.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B = B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.A B =∅ 4.在等差数列{}n a 中,已知1823(4)a a =-,则该数列的前11项和11S 等于 A.33 B.44 C.55 D.66 5.执行如图所示的程序框图,若将推断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n的取值A.是4B.是5C.是6D.不唯一 6.在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是 A.1 B.214π+ C.7 D.5 7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是 A.62 B.1C.22 D.648.某校方案组织高一班级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有A.240种B.204种C.188种D.96种 9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A +=,则A ∠的大小是A.2πB.3πC.4πD.6π10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞B.(,0)(3,)-∞+∞C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上. 11.某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,则这80名老师中年龄小于45岁的老师有人12.设 6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则1350246a a a a a a a ++=+++ 13.在平面直角坐标系中,不等式组02y x x y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两部分,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,则实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,则点P 的坐标为 15.已知向量,OA OB 满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C 满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①若1x y +=,则点C 的轨迹是直线; ②若||||1x y +=,则点C 的轨迹是矩形; ③若1xy =,则点C 的轨迹是抛物线; ④若1x y =,则点C 的轨迹是直线;⑤若221x y xy ++=,则点C 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分) 已知函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π. (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((n n n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题满分12分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b .(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A 的坐标为(0,)b ,椭圆上存在点,P Q ,使得圆224x y +=内切于APQ ∆,求该椭圆的方程.19(本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BF ⊥平面,//.ABCD DE BF (Ⅰ)求证:AC EF ⊥;(Ⅱ)若2,1,BF DE ==在EF 上取点G ,使//BG 平面ACE ,求直线AG 与平面ACE 所成角θ的正弦值.20(本小题满分13分) 某校高三班级争辩性学习小组共6人,方案同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观挨次,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,全部展厅参观结束后集合返回,设大事A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;大事B 为:在参观的其次个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人. (Ⅰ)求()P A 及(|)P B A ; (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在大事A 发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望. 21(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 3.f x x x =-+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设函数2()1t g x x x =-+,若()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。

2021年高三上学期第三次阶段检测数学（理）试题含答案一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，，那么集合（）A．B．C．D．2．求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C． D．3. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A． B．C．D．4．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）5．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，⊥，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45o,∠CAB=105o后，就可以计算出A 、B两点的距离为（）A. B.B. D.7．已知P是边长为2的正边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．最小值为2 C．是定值6 D．与P的位置有关8．函数，若对任意都有成立，则的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．9．已知，若的充分条件，则实数取值范围是（）A．B．C．D．10．已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为（）A．25 B．50 C．100 D．不存在11．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3012．函数y=f(x)定义域为,f(1) =f(3) =1 ,f(x)的导数.，其中a为常数且a>0，则不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A．B． C．D．1二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为l，等腰三角形的腰长为，则该几何体的表面积是．14．有下列说法：①是数列的前n项和，若，则数列是等差数列；②若实数x,y满足,则的最小值是；③在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若，则为等腰直角三角形；④中，“”是“”的充要条件.其中正确的有.（填上所有正确命题的序号）15．根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S 7=22+23+24+25+26+27+28=175, 可得S 1+S 2+…+S 99=16．设定义域为的函数若关于的方程 有7个不同的实数根，则实数 .三、解答题：17．(满分12分)已知函数， 若数列（n ∈N *）满足：， (Ⅰ) 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列满足：，求数列的前n 项的和.18． (满分12分)如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的余弦值；19.(满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知,, 随机变量， 求的分布列和数学期望.20．(满分12分) 设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线． (I) 求双曲线的标准方程；(II) 若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求 的最大值.21．(满分12分)已知函数A B CDF E(I) 若直线l1交函数f(x)的图象于P，Q两点，与l1平行的直线与函数的图象切于点R，求证P,R,Q三点的横坐标成等差数列；(II) 若不等式恒成立,求实数a的取值范围；(III) 求证:〔其中, e为自然对数的底数）.请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。