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《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析

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理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程


10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
第三章力系的平衡介绍

第三章力系的平衡介绍


工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
理论力学：第3 章 力系的平衡

理论力学：第3 章 力系的平衡

第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R

0，M O

0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则

G sin cos

G sin cos( )
cos( ) 1,

arctan 3
3652'
Pmin

G sin

20

3 5

12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q

G(b
e) 50b a

Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程

工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A c oS sCD co 40 s 50
Y0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一 力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐 调条件来求解。
判断各图的超静定次数

P
P
P
P
P
F
F
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只 不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
工程力学力系平衡

工程力学力系平衡


D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
工程力学第三章-力系的平衡

工程力学第三章-力系的平衡


将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
平衡方程的解析形式

平衡方程的解析形式


在静力学中求解物体系统的平衡问题时， 若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则 由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这 类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独 立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学 理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超 静定问题。
B
P
A
S6 5 6
S5 B1
z
x
C S4 S3 3 a D S2 4 S 1 2 C1
1
y
A1
D1
a
a
空间汇交力系平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零。
FR = ∑ Fi = 0
以解析式表示为：
∑ F ∑ F ∑ F
x y z
= 0 = 0 = 0
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所 有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
∴N B =
60 =300N 0.2
[例] 图示结构，已知 例 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 两点的约束反力。 ， 、 两点的约束反力
M AC = R C d = 0.255 R C ( N .m )
∑M
i
=0
M AC M = 0
RC = 3137 N
[例]图示杆系，已知 ，l。求A、B处约束力。 例 图示杆系 已知m， 。 图示杆系， 处约束力。 、 处约束力 N AD 解：1、研究对象二力杆：AD 、研究对象二力杆：
P cos450 =4.24 kN ； RA =SCD SCD = =3.16 kN 0 cos450 tg sin45 cos
平面平行力系： 平面平行力系： 各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。 各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选x轴与各力作用 图示一受平面平行力系作用的物体，如选 轴与各力作用 线垂直，显然有： 线垂直，显然有：
工力C第三章力系的平衡方程及应用

工力C第三章力系的平衡方程及应用



M
静力学
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
例3-3 伸臂式起重机，已知匀质梁AB 重P =4kN，吊车连 同吊起重物重P1=10kN。有关尺寸如图。
y
试求：拉索BD 的拉力及铰链 A 的约束力。
D
解：取AB梁连同重物为研究对象，
FAy
FT
C 30°
A
FAx
画受力图。 取坐标，列平衡方程。
B
x由： X 0
• 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩式、五矩式 和六矩式。
• 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立平衡方程， 解6个未知数，任何多于6个的方程都是这些方程的线性 组合。
• 空间任意力系平衡方程是平衡方程的一般形式。汇交 力系、平行力系、力偶系及平面力系是其特殊形式。
第三章 力系的平衡方程及其应用
对图（d）:
FT1
由 M B (F ) 0 0.4FT cos 1YH 0
(d)
X H
H
由 X 0
FT sin X H X B 0
(e)
YH
FT2 由 Y 0
FT cos YH YB 0
(f )
(c)
YB E X B
B
F'T
但若系统的n物体中，有n1个物体为二力构件或受平面 力偶系， n2个受平面汇交力系或平面平行力系、n3个受平 面任意力系作用，则最多可列的独立平衡方程的数目m为
m n1 2n2 3n3
可解m个未知数。
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
设k为物体系统的未知量数目
若k = m，未知量数目等于可列独立平衡方程的数
FB
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第3章 力系的平衡

《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第3章 力系的平衡

工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第3章 力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA 、FRB ，其中（a ）M = 60kN ·m ，FP = 20 kN ；（b ）FP = 10 kN ，FP1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。

知识点：固定铰支座、辊轴支座、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答：图（a-1） 0=∑x F ，FAx = 00=∑A M ，05.34R P =⨯+⨯--B F F M 05.342060R =⨯+⨯--B F FRB = 40 kN （↑）=∑y F ，0P R =-+F F F B Ay20-=Ay F kN （↓）图（b-1），M = FPd 0=∑A M ，03221P R P =⋅-⋅++⋅d F d F d F dqd B即 032211P R P =-++F F F qd B 02032108.02021R =⨯-++⨯⨯B FFRB = 21 kN （↑）=∑y F ，FRA = 15 kN （↑）3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。

试求A 处全部约束力。

A MB Ay F B R F CAx F PF(a) M A B B R F A R F P 1F C qdBD(b)（a ）（b ） 习题3－1图FMB习题3－3图sF W A F ABF BF AN F(a)知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答： 图（a ）： 0=∑x F ，0=Ax F=∑y F ，=Ay F （↑）0=∑A M ，0=-+Fd M M AM Fd M A -=3－3 图示拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力FS = 10 kN 。

试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。

知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般解答： 图（a ）：0)(=∑F A M 08.214.1NB S =⨯+⨯-⨯-F F W6.13NB =F kN=∑y F ，4.6NA =F kN3－4 图示起重机ABC 具有铅垂转动轴AB ，起重机重W = 3.5kN ，重心在D 。

《理论力学》第三章力系的平衡条件及其应用

《理论力学》第三章力系的平衡条件及其应用

4、联立求解
MA
FAy A FAx
x
FAx F sin 60 F1 316.4 kN
FAy P F cos 60 100 kN
26
M A M F1 l Fl cos 60 3Fl sin 60 789.2 kN m
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
G3
6m
G1 12 m
A
MO
MO (Fi ) 0
又 F ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
MO ( M x (F))2 ( M y (F))2 ( M z (F))2
所以空间一般力系的平衡方程为：
Fix 0, M x (Fi ) 0 还有四矩式，五矩式和六矩式， Fiy 0, M y (Fi ) 0 同时各有一定限制条件。
解：
F
1、取伸臂AB为研究对象
2、受力分析如图
y
FAy FAx
C
A
D
A
FB
α
B
E
x
F1 G
F2
c C
F1 a
l
αB F2 b
19
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
3、列平衡方程
Fix 0
y
FAy FAx
C
A D
FB α
B
x
E
FAx FB cos 0
a
F1
G l
F2 b
Fiy 0
4.联立求解。
F1 ll
M
A
l2
B
l1
y FAy
A
FAx
F1 M
B FBy
解：1、取梁为研究对象
F2
2、受力分析
力系的平衡条件与平衡方程资料课件

力系的平衡条件与平衡方程资料课件


然后，利用微分性质和平衡条 件求解微分方程。
最后，将微分方程的解代回原 方程进行验证。
积分法求解平衡方程
积分法是通过对方程进行积分，然后 利用积分性质和平衡条件求解平衡方 程的方法。
然后，利用积分性质和平衡条件求解 积分方程。
首先，将平衡方程表示为积分方程。
最后，将积分方程的解代回原方程进 行验证。
空间力系平衡方程的形式
空间力系平衡方程的一般形式为FX=0、FY=0和FZ=0，其中FX、FY和FZ分别表示X轴、Y 轴和Z轴上的合力矩。
特殊力系的平衡方程
01
特殊力系平衡方程 的概念
特殊力系平衡方程是在研究特殊 情况下物体受力情况时，根据力 的平衡条件建立起来的方程。
02
特殊力系平衡方程 的建立方法
THANKS
感谢观看
3
平衡方程
对于特殊力系，需要结合具体问题进行分析和求 解。
03
平衡方程的建立
平面力系的平衡方程
01
平面力系平衡方程的概念
平面力系平衡方程是在研究平面物体受力情况时，根据力的平衡条件建
立起来的方程。
02
平面力系平衡方程的建立方法
通过分析物体的受力情况，列出所有力的正负号，然后根据力的平衡条
件建立方程。
弹性力学问题
弹性力学问题主要研究物体在受到外力作用时发生的形变 和应力分布情况。平衡方程在弹性力学问题中同样发挥着 重要的作用。
弹性力学问题中，平衡方程的应用包括分析物体的形变情 况、求解物体的应力分布和应变等参数，以及判断物体的 稳定性和平衡状态等。
05
平衡方程的求解方法
代数法求解平衡方程
01
空间力系的平衡条件
空间力系中，所有力的矢量和为零，即合力为零。

《工程力学第三章》PPT课件

F A y － F Q － F W ＋ F T B sin＝ 0
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
12
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q

工程力学：第3章 力系的平衡

解得 MA 1188kN m
已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解：取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
MB 0
P3min 8 2P1 10P2 0
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M A 0 4P3max-2P1=0
解得
解得 解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
P3=180kN时
MA 0 FB=870kN
4P3 2P1 14P2 4FB 0
Fiy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得 FAx 32.89kN
Fiy 0 FAy FB sin 600 2ql F cos300 0
解得
FAy 2.32kN
M A 0 M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos300 4l 0
解得
M A 10.37kN
平面一般力系的平衡方程
一矩式
解：研究B
由 Fx 0 N SB sin 0

工程力学03章静力学平衡问题


FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0

M M
x y
(F ) (F )

0 0

M
z
(F
)

0

26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN

《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》

受 力 图 为 ：
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.4 结果与讨论
3.4.1 关于坐标系和力矩中心的选择 3.4.2 关于受力分析的重要性 3.4.3 关于求刚体系统平衡问题时要注意的几个方面 3.4.4 摩擦角与自锁的概念
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
因为 FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
平面任意力系平衡的解析条件 是： 一般式 所有各力在两个任选的坐标轴 上 的投影的代数和分别等于零， 以
FQ l x FAy FP 2 l 2 FP x FTB FQ l
FTB 2 FP FQ
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-2 如图所示，为悬梁臂AB，A端固定，B端
自由。梁的全长上作用有集度为q的均布荷载，自 由段B处承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知 FP=qL，M=qL2，L为梁的长度。试求固定端A处的 约束力。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-10 如图示是放置在斜面上的物体，物体重
FW=1000N；斜面倾角为30°，物体承受一向右的水平 推力，其数值为FP=400N，若已知物体和斜面之间的摩 擦因数fs=0.2，试求：（1）物体处于静止时，静摩擦 力的大小和方向；（2）使物体向上滑动时，力FP的最 小值。

工程力学基础课件：第3章 力系的平衡条件与平衡方程


MD 0
FCx
a
qa
a 2
0
得
FCx
1 2
qa
取BC杆（不含销钉B)，画受力图.
Fix 0 FBCx FC'x 0
MC 0 M FBCya 0
解得
FBCx
1 qa 2
FBCy qa
取销钉B，画受力图.
Fix 0
F' ABx
F' BCx
0
解得
F' ABx
1 2
qa
则
FABx
1 2
MB o FD' x a F 2a 0
得 FD' x 2F
对ADB杆受力图
M A 0 FBx 2a FDx a 0
得 FBx F
已知：q ,a ,M , 且M qa2, P作用于销钉B上；
求：固定端A处的约束力和销钉B对BC杆,AB杆的作用力.
解：取CD杆，画受力图.
已知：P 1500N , fs 0.2 , fd 0.18 ,F 400N：
求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
解：取物块，设物块平衡 Fx 0, F cos 30o P sin 30o Fs 0
Fy 0, F sin 30o P cos30o FN 0
解得： F 403.6N (向上) s FN 1499N
平面汇交力系的平衡方程.
Fx 0
Fy 0
二、简单的刚体系统平衡问题
如图所示匀质长方 板由六根直杆支持于水 平位置，直杆两端各用 球铰链与板和地面连接。 板重为G，在A处作用 一水平力F，且F = 2G。 求各杆的内力。
解： 1. 取工件为研究对象，受力分析如图。 2. 列平衡方程。

工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程

平衡方程的推导
根据力的平衡条件，可以列出平衡方程。对于一个物体，在X轴和Y轴上的力可以表示为F1、F2、F3、F4等，根 据平衡条件，可以列出两个平衡方程：F1X+F2X+F3X+F4X=0和F1Y+F2Y+F3Y+F4Y=0。
平衡方程的分类
平面力系的平衡方程
对于平面力系，可以列出三个平衡方程，分别表示X轴、Y轴 和Z轴上的力的平衡。
• 总结词：平面力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0。
• 详细描述：平面力系的平衡方程是根据平衡条件建立的数学方程，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0，其中X和Y表示力在两个相互垂直的方向上的投影。通过解平衡 方程，可以求出未知力的值。
空间力系的平衡条件和平衡方程
• 总结词：空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，平衡条件是力系 中所有力在三个相互垂直的方向上的投影之和为零。
• 详细描述：在空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，即一个力可 以分解为三个相互垂直的分力。平衡条件是指力系中所有力在三个相互垂直的 方向上的投影之和为零，即合力矩为零。满足平衡条件的力系不会产生相对运 动或相对运动趋势。
• 总结词：空间力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0、∑Y=0和∑Z=0。
跨学科融合
力系的平衡条件和平衡方程将与其它学科进行更紧密的融合，如计算机科学、人工智能 等，为解决复杂问题提供更高效的方法。
实际应用
力系的平衡条件和平衡方程在实际应用中将更加注重与工程实践的结合，提高解决实际 问题的效率。
力系平衡条件和平衡方程的实际应用
工程设计
在工程设计中，力系的平衡条件和平衡方程被广泛应用于结构分析 和优化设计，以确保结构的稳定性和安全性。
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工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-10 如图示是放置在斜面上的物体，物体重
FW=1000N；斜面倾角为30°，物体承受一向右的水平 推力，其数值为FP=400N，若已知物体和斜面之间的摩 擦因数fs=0.2，试求：（1）物体处于静止时，静摩擦 力的大小和方向；（2）使物体向上滑动时，力FP的最 小值。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3-1 平面力系的平衡条件和平衡方程 §3-2 简单的刚体系统平衡问题
§3-3 考虑摩擦时的平衡问题
§3-4 结论与讨论
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.1.1 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一.平面一般力系的平衡方程
受 力 图 为 ：
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.1.2 平面一般力系的平衡方程其他形式
Fx 0 M A 0 M 0 B
M A 0 M B 0 M 0 C
三矩式
二矩式 其中x轴不能与AB连线相垂直。
三个取矩点，不得共线
平面一般力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
因为 FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
平面任意力系平衡的解析条件是： 所有各力在两个任选的坐标轴上 一般式 的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零.
受 力 图 为 ：
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-3 如图所示的钢架，由立柱AB和横梁BC组
成。B处为刚性节点（钢架受力和变形过程中横梁和 竖杆之间的角度保持不变）。钢架在A处为固定铰链 支座，C处为辊轴支承，在C处承受集中力的作用， 如图示。若图中FP和L均为已知，试求A、C两处的 约束力。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
平面汇交力系对平面内任一点的主矩恒等于 零，所以平面汇交力系的平衡方程为：
Fy 0 F 0 x
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 例题3-1 1为悬臂式吊车的结构简图。其中AB为吊车大梁， BC为钢索，A处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知， 起重电机E与重物的总重力为FP,（因为两滑轮之间的距离 很小，FP可视为集中力作用在大梁上），梁的重力为FQ， 角度θ=30°。试求：（1）电动机处于任意位置时，钢索 BC所受的力和支座A处的约束力。 • （2）分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并确 定其数值。
受 力 图 为 ：
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.4 结果与讨论
3.4.1 关于坐标系和力矩中心的选择 3.4.2 关于受力分析的重要性 3.4.3 关于求刚体系统平衡问题时要注意的几个方面 3.4.4 摩擦角与自锁的概念
刚体系统是由多个刚体组成的，研究对象的选择对能不能求解 3. 对刚体系统做受力分析时，要分清内力和外力。 以及求解的繁简程度有很大关系。一般先以整体为研究对象，求出 内力和外力是相对的，根据选择的研究对象而定，受力分析图 一个或几个未知力。 4. 严格根据约束的性质确定约束力，注意相互连接 上只画出物体受到的外力，不需要画内力。 物体之间的作用力和反作用力。
FQ l x FAy FP 2 l 2 FP x FTB FQ l
FTB 2 FP FQ
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第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-2 如图所示，为悬梁臂AB，A端固定，B端
自由。梁的全长上作用有集度为q的均布荷载，自 由段B处承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知 FP=qL，M=qL2，L为梁的长度。试求固定端A处的 约束力。
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第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.2 简单的刚体系统平衡问题
3.2.1 刚体系统静定与非静定概念
实际工程构件大都是由两个或两个以上构件通过一定约束方式 连接起来的系统，因为工程静力学中的构件模型都是刚体，这种 系统又叫刚体系统。 静定问题：未知数的数目正好等于独立的平衡方程的数目，可以 解出所有未知量。相应的结构为静定结构。