年湖南省湘潭市中考数学试题及答案

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．﹣6的绝对值是（ ）A ．﹣6B ．6C ．−16D ．16 2．地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．0.6×108B ．6×107C ．6×108D ．6×109 3．已知2x n +1y 3与13x 4y 3是同类项，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列运算中正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．（12）﹣1＝﹣2C ．（2−√5）0＝1D ．a 3•a 3＝2a 66．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD ＝110°，∠B ＝50°，则∠A ＝（ ）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60°7．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A 、“北斗卫星”：B 、“5G 时代”；C 、“智轨快运系统”；D 、“东风快递”；E 、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G 时代”的频率是（ ）A ．0.25B ．0.3C ．25D ．308．如图，直线y ＝kx +b （k ＜0）经过点P （1，1），当kx +b ≥x 时，则x 的取值范围为（ ）A ．x ≤1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ＞1二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算：sin45°＝ ．10．在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为 ．（任意写出一个即可）11．计算：√8−√2= ．12．走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是 步．13．若y x =37，则x−y x = ．14．如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角∠AOB ＝60°，则阴影部分面积为 ．15．如图，点P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．16．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字形式1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式| || ||| |||| ||||| 横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是 ．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．解分式方程：3x−1+2=x x−1． 18．化简求值：（1−2a−1）÷a−32，其中a ＝﹣2．19．生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122）21．“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x（小时）4＜x≤55＜x≤66＜x≤77＜x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b 应用数据：（1）填空：a＝，b＝；（2）补全频数直方图；（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y=kx的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．（1）求这两种书的单价；（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、S △OBC S △ABC 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．26．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b ≥4，0≤x ≤2时，函数值y 的最大值满足3≤y ≤15，求b 的取值范围．2020年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．B ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．D ； 7．B ； 8．A ；二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．√22； 10．3； 11．√2； 12．6400； 13．47； 14．6π； 15．3； 16．8167； 三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17． ； 18． ； 19． ； 20． ； 21．6；6.5； 22． ； 23． ；24． ； 25． ； 26． ；。

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−6的绝对值是()A. −6B. 6C. −16D. 162.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.6×108B. 6×107C. 6×108D. 6×1093.已知2x n+1y3与13x4y3是同类项，则n的值是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.下列运算中正确的是()A. (a2)3=a5B. (12)−1=−2 C. (2−√5)0=1 D. a3⋅a3=2a6 6.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=()A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是()A. 0.25B. 0.3C. 25D. 308.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为()A. x≤1B. x≥1C. x<1D. x>1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.计算：sin45°=______．10.在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可)11.计算：√8−√2=______．12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是______步．13.若yx =37，则x−yx=______．14.如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB=60°，则阴影部分面积为______．15.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为______．16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．18. 化简求值：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1，其中a =−2．19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生) (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3，将步梯DE 改造为斜坡AF ，其坡度为i 2=1：4，求斜坡AF 的长度．(结果精确到0.01m ，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5时长x(小时)4<x≤55<x≤66<x≤77<x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b应用数据：(1)填空：a=______，b=______；(2)补全频数直方图；(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x≤7小时的人数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．(1)求过点B的反比例函数y=k的解析式；x(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．26.如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6．故选：B．在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：600000000=6×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】Bx4y3是同类项，【解析】解：∵2x n+1y3与13∴n+1=4，解得，n=3，故选：B．根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．4.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C【解析】解：A、(a2)3=a6，故A错误；)−1=2，故B错误；B、(12C、(2−√5)0=1，正确；D、a3⋅a3=a6，故D错误；故选：C．根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式． 6.【答案】D【解析】解：∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD =∠B +∠A ，∴∠A =∠ACD −∠B ，∠B =50°， ∴∠A =60°， 故选：D ．根据三角形的外角的性质进行计算即可．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 7.【答案】B【解析】解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)， 选择“5G 时代”的人数为：30人， ∴选择“5G 时代”的频率是：30100=0.3；故选：B ．先计算出八年级(3)班的全体人数，然后用选择“5G 时代”的人数除以八年级(3)班的全体人数即可．本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键． 8.【答案】A【解析】解：由题意，将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)， 可得k +b =1，即k −1=−b ，整理kx +b ≥x 得，(k −1)x +b ≥0， ∴−bx +b ≥0， 由图象可知b >0， ∴x −1≤0， ∴x ≤1， 故选：A ．将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)，可得k −1=−b ，再将kx +b ≥x 变形整理，得−bx +b ≥0，求解即可．本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．9.【答案】√22【解析】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．根据特殊角的三角函数值解答．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33，cot30°=√3；sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33．10.【答案】3【解析】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可故答案为：3(答案不唯一，3，2，1，0，−1，−2，−3任意一个均可)根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可． 本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 11.【答案】√2【解析】解：√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为√2．先把√8化简为2√2，再合并同类二次根式即可得解．本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12.【答案】6400【解析】解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400(步)，故答案为：6400．根据算术平均数的计算公式即可解答．本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．13.【答案】47【解析】解：由yx =37可设y =3k ，x =7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k =4k 7k =47．故答案为：47．根据比例的基本性质变形，代入求值即可．本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 14.【答案】6π【解析】解：阴影部分面积为60π×62360=6π，故答案为：6π．直接根据扇形的面积计算公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式． 15.【答案】3【解析】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD =3， ∴PM =PD =3， 故答案为：3．根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16.【答案】8167【解析】解：根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：8167．根据算筹计数法来计数即可．本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．17.【答案】解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2(x −1)=x ， 解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x =−1．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.【答案】解：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1=a −1−2a −1⋅(a −1)2a −3=a −1，将a =−2代入得：原式=−2−1=−3．【解析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a =−2代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19.【答案】解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为24=12．【解析】(1)直接列举出所有可能出现的结果即可；(2)画出树状图，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.【答案】解：∵DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3， ∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10， ∴解得DC =5．∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD =5．∵斜坡AF 的坡度为i 2=1：4， ∴AB BF =14，∴BF =4AB =20， ∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61(m)．故斜坡AF 的长度约为20.61米．【解析】先由DE 的坡度计算DC 的长度，根据矩形性质得AB 长度，再由AF 的坡度得出BF 的长度，根据勾股定理计算出AF 的长度．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．21.【答案】6 6.5【解析】解：(1)由总人数是20人可得在5<x ≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以a =6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b =6.5；故答案为：6，6.5；(2)由(1)得a =6．频数分布直方图补充如下：(3)由图可知，学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%=70%，∴1000×70%=700(人)．∴学习时长在5<x ≤7小时的人数是700人．(1)根据各组频数之和等于数据总数，可得5<x ≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；(2)根据(1)中的数据画图即可；(3)先算出样本中学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．22.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =AD AB =AC， ∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；(2)直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD=DC，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．【解析】(1)AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；(2)由△ABD≌△ACD得BD=BC，结合AO=BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．23.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A(3,4)，∴OE=3，AE=4，∴AO=√OE2+AE2=5∵四边形OABC是菱形，∴AO=AB=OC=5，AB//x轴，∴EF=AB=5，∴OF=OE+EF=3+5=8，∴B(8,4)．设过B点的反比例函数解析式为y=kx，把B点坐标代入得，k=32，所以，反比例函数解析式为y=32x；(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBF+∠DBF=90°，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠OBF=∠BDF，又∠OFB=∠BFD=90°，∴△OBF～△BDF，∴OFBF =BFDF，∴84=4DF，解得，DF=2，∴OD =OF +DF =8+2=10，∴D(10,0)．设BD 所在直线解析式为y =kx +b ，把B(8,4)，D(10,0)分别代入，得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20， ∴直线BD 的解析式为y =−2x +20．【解析】(1)由A 的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)证明△OBF ～△BDF ，利用相似三角形的性质得出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，由题意得：{2x +y =1006x =7y， 解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费17×35+33×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费17×35+33×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费17×35+33×30=1600元；．所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【解析】(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．25.【答案】解：(1)连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线，∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE//AB ，DE =12AB ，∴△ODE∽△OAB ，∴OD OA =DE AB =12， ∵AB =2，BD =1，∠ADB =90°，∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC =BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3； (2)由(1)可知，OD OA =12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBCS △ABC =13，是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，∴CD//AB ，AB =BC =CD =4，∴△CME ～△AMB ，∴EM BM =CE AB ，∵E 为CD 的中点，∴CE =12CD =2， ∴BE =√BC 2+CE 2=2√5，∴EM BM =12， ∴EM BE =13， 即EM =23√5；②∴S △CME =1，且ME BM =12，∴S △BMC =2，∵ME BM =12， ∴S △CME S △AMB =(ME BM )2=14，∴S △AMB =4，∴S △ABC =S △BMC +S △ABM =2+4=6，又S △ADC =S △ABC ，∴S △ADC =6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．【解析】(1)连接DE，利用相似三角形证明ODAO =12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；(2)根据(1)的证明可求解；(3)①证明△CME∽△ABM，得EMBM =12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26.【答案】解：(1)①抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，则b2=2，解得：b=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，则OB′=OB，PB′=PB，对于y=−x2+4x+5，令y=0，则−x2+4x+5=0，解得：x1=−1，x2=5，∴A(−1,0)，B(5,0)，∴OB′=OB=5，∴CB′=√OB′2−OC2=√25−4=√21，∴B′(2,√21)，设点P(2,m)，由PB′=PB可得：√21−m=√m2+(5−2)2，解得：m=2√217，∴P(2,2√217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2,−2√217).综上所述，点P(2,2√217)或P(2,−2√217)；(2)∵抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴当b≥4时，x=b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x=2，y有最大值，即y=−4+2b+5=2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．【解析】(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB′=OB，PB′=PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′(2,√21)，再根据PB′=PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；(2)当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第(1)②问要先画出图形再理解，第(2)问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．。

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 1．（3分）如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是()A ．2B ．2-C ．12D ．12- 2．（3分）下列整式与2ab 为同类项的是() A ．2a b B ．22ab -C ．ab D ．2ab c3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是() A ．48，47B ．50，47C ．50，48D ．48，50 4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是()A ．B ．C ．D ．5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x 张桌子，有y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是()A ．404312x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．124340x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．403412x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．123440x y x y +=⎧⎨+=⎩6．（3分）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则(BCD ∠=)A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒7．（3分）在ABC ∆中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:(ADE ABC S S ∆∆=)A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:48．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan (α=)A ．2B ．32C ．12D二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9．（3分）若a b >，则下列四个选项中一定成立的是()A ．22a b +>+B ．33a b ->-C ．44a b>D ．11a b -<- 10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一)班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：030x <…，3060x <…，6090)x <…．则下列说法正确的是()A ．该班有40名学生B ．该班学生当天完成作业时长在3060x <…分钟的人数最多C ．该班学生当天完成作业时长在030x <…分钟的频数是5D ．该班学生当天完成作业时长在060x <…分钟的人数占全班人数的80% 11．（3分）下列计算正确的是()A ．422a a -=B ．325a a a ⋅=C ．224(3)6a a =D ．624a a a ÷=12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段2AB =，分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ；②连接AC 、BC ，作直线CD ，且CD 与AB 相交于点H ．则下列说法正确的是()A ．ABC ∆是等边三角形B ．AB CD ⊥C ．AH BH =D ．45ACD ∠=︒三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13．（3分）四个数1-，0，1214．（3分）请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式．15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为米．16．（3分）如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则AEF ∠=．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(4,0)B -，(2,2)C -．将ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到△111A B C ．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标： 1A ，1B ，1C ；（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．18．（6分）先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷-⋅--+，其中2x =． 19．（6分）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ． （1）求证：AEC DEB ∆∆∽；（2）连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求O 的半径．20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一)班由1A 、2A 、3A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若1A 、2A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A 、B 、C 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由1A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由2A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618)DHAH≈：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20AB AC cm ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少1.732)22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析： 数据收集2 53 54 6 15 3 4 367 58 3 4 7 3 4 数据整理数据分析绘制成不完整的扇形统计图： 依据统计信息回答问题：（1）在统计表中，m=；（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为；（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12)m和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1=的水池，AE m且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？24．（8分）已知(3,0)A、(0,4)B是平面直角坐标系中两点，连接AB．（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将A O N∆沿AN翻折，使得点O与线段AB 上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．25．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．（1）特例体验：如图①，若直线//l BC ，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转(045)αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转(4590)αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S ∆．26．（10分）已知抛物线2y x bx c =++．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交点(0,3)B -，连接AB ． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点(3,0)D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．2022年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 1．（3分）如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是()A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案． 【解答】解：2-的相反数是2， 故选：A ．2．（3分）下列整式与2ab 为同类项的是() A ．2a b B ．22ab -C ．ab D ．2ab c【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断． 【解答】解：在2a b ，22ab -，ab ，2ab c 四个整式中，与2ab 为同类项的是：22ab -，故选：B．3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是()A．48，47B．50，47C．50，48D．48，50【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均数即可．【解答】解：这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数1x=⨯++++++=（件)；(35475048426068)507将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，因此中位数是48，故选：C．4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的特点解答即可．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；故选：A．5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x 张桌子，有y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是() A ．404312x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．124340x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．403412x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．123440x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个， 12x y ∴+=；又桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿， 4340x y ∴+=．∴列出的方程组为124340x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故选：B ．6．（3分）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则(BCD ∠=)A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【分析】根据平行线的性质可求得ACD ∠，即可求出BCD ∠． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，40BAC ∠=︒， //AB CD ∴，40ACD BAC ∴∠=∠=︒， 80ACB ∠=︒，120BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=︒，故选：C ．7．（3分）在ABC ∆中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:(ADE ABC S S ∆∆=)A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：在ABC ∆中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点， DE ∴为ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =， ADE ABC ∴∆∆∽，211:()24ADE ABC S S ∆∆∴==．故选：D ．8．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan (α=)A ．2B ．32C ．12D【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tan α的值． 【解答】解：由已知可得， 大正方形的面积为1415⨯+=，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ， 则225a b +=，1a b -=，解得2a =，1b =或1a =，2b =-（不合题意，舍去）， 2tan 21a b α∴===， 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9．（3分）若a b >，则下列四个选项中一定成立的是() A ．22a b +>+B ．33a b ->-C ．44a b>D ．11a b -<- 【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可． 【解答】解：A ．22a b +>+， a b >， 22a b ∴+>+，故A 选项符合题意； B ．33a b ->-， a b >， 33a b ∴-<-，故B 选项不符合题意； C ．44a b >， a b >， ∴44a b >， 故C 选项符合题意； D ．11a b -<-， a b >， 11a b ∴->-，故D 选项不符合题意； 故选：AC ．10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一)班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：030x <…，3060x <…，6090)x <…．则下列说法正确的是()A ．该班有40名学生B ．该班学生当天完成作业时长在3060x <…分钟的人数最多C ．该班学生当天完成作业时长在030x <…分钟的频数是5D ．该班学生当天完成作业时长在060x <…分钟的人数占全班人数的80%【分析】把三个组的频数加起来判断A 选项；根据该班学生当天完成作业时长在3060x <…分钟的人数为25人判断B 选项；根据该班学生当天完成作业时长在030x <…分钟的频数是10判断C 选项；根据该班学生当天完成作业时长在060x <…分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=判断D 选项． 【解答】解：A 选项，1025540++=（名)，故该选项符合题意；B 选项，该班学生当天完成作业时长在3060x <…分钟的人数最多，故该选项符合题意；C 选项，该班学生当天完成作业时长在030x <…分钟的频数是10，故该选项不符合题意；D 选项，该班学生当天完成作业时长在060x <…分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=，故该选项不符合题意； 故选：AB ．11．（3分）下列计算正确的是()A ．422a a -=B ．325a a a ⋅=C ．224(3)6a a =D ．624a a a ÷= 【分析】根据实数指数幂的运算方法分别判断各个选项即可． 【解答】解：A ．422a a -=， 422a a a -=，故A 选项不符合题意；B ．325a a a ⋅=，计算正确，故B 选项符合题意； C ．224(3)6a a =，224(3)9a a =，故C 选项不符合题意； D ．624a a a ÷=，计算正确，故D 选项符合题意； 故选：BD ．12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段2AB =，分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ；②连接AC 、BC ，作直线CD ，且CD 与AB 相交于点H ．则下列说法正确的是()A ．ABC ∆是等边三角形B ．AB CD ⊥C ．AH BH =D ．45ACD ∠=︒【分析】利用基本作图得到CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，则可对A 选项、B 选项和C 选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D 选项进行判断． 【解答】解：由作法得CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，ABC ∴∆为等边三角形，AB CD ⊥，AH BH =，所以A 、B 、C 选项符合题意；1302ACD ACB ∴∠=∠=︒．所以D 选项不符合题意；故选：ABC ．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13．（3分）四个数1-，0，12【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解答】解：四个数1-，0，1214．（3分）请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式2y x =-（答案不唯一） ． 【分析】根据y 随着x 的增大而增大时，比例系数0k >即可确定一次函数的表达式． 【解答】解：在y kx b =+中，若0k >，则y 随x 增大而增大， ∴只需写出一个0k >的一次函数表达式即可，比如：2y x =-，故答案为：2y x =-（答案不唯一）．15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为5410⨯米．【分析】根据科学记数法的形式改写即可．【解答】解：400000米用科学记数法表示为5410⨯米， 故答案为：5410⨯．16．（3分）如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则AEF ∠=40︒．【分析】根据平面镜反射的规律得到20EDO CDB ∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，根据三角形内角和定理求出OED ∠的度数，即可得到AEF OED ∠=∠的度数．【解答】解：一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出， 20EDO CDB ∴∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，1801801202040OED AOB EDO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 40AEF OED ∴∠=∠=︒．故答案为：40︒．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(4,0)B -，(2,2)C -．将ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到△111A B C ．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标： 1A (1,1)，1B ，1C ；（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可； （2）根据弧长公式直接求值即可．【解答】解：（1）由图知，1(1,1)A ，1(0,4)B ，1(2,2)C ， 故答案为：(1,1)，(0,4)，(2,2)；（2）由题意知，点B 旋转到点1B 的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90︒， ∴弧长为：9042180ππ⨯=． 18．（6分）先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷-⋅--+，其中2x =． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可． 【解答】解：原式21(1)(3)(3)31x x x x x x x x +=⋅+--⋅-+31x =+-2x =+，当2x =时， 原式224=+=．19．（6分）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ． （1）求证：AEC DEB ∆∆∽；（2）连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求O 的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB 的长，从而可以得到O 的半径． 【解答】（1）证明：C B ∠=∠，AEC DEB ∠=∠， AEC DEB ∴∆∆∽；（2）解：C B ∠=∠，30C ∠=︒， 30B ∴∠=︒，AB 是O 的直径，3AD =， 90ADB ∴∠=︒， 6AB ∴=，O ∴的半径为3．20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一)班由1A 、2A 、3A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若1A 、2A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A 、B 、C 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由1A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由2A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：1A 、2A 、3A ；1A 、3A 、2A ；2A 、1A 、3A ；2A 、3A 、1A ；3A 、1A 、2A ；3A 、2A 、1A ；共6种等可能的情况数；（2）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种， 则1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是3193=． 21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618)DHAH≈：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20AB AC cm ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少1.732)【分析】作BE AH ⊥于点E ，根据三角函数求出AE 和EB ，再利用等腰直角三角形的性质得出DE ，再根据比例关系求出AH 的长度即可． 【解答】解：作BE AH ⊥于点E ，120BAC ∠=︒，AH 平分BAC ∠， 60BAE ∴∠=︒，1cos602010()2AE AB cm ∴=⋅︒=⨯=，sin 602017.32()BE AB cm =⋅︒==≈， BD CD =，90BDC ∠=︒， 45BDE ∴∠=︒， 17.32DE BE cm ∴==，1017.3227.32()AD AE DE cm ∴=+=+=， 0.618DHAH=， 即27.320.618AH AH-=，解得72AH ≈，∴最少需要准备72cm 长的伞柄．22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集2 53 54 6 15 3 43 6 7 5 8 34 7 3 4数据整理数据分析绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题：（1）在统计表中，m=9；（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为；（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．【分析】（1）根据各组的频数之和等于总人数可得m的值；（2）用360︒乘以样本中C组人数所占比例即可；（3）用总人数乘以样本中C、D组人数和占被调查人数的比例即可．【解答】解：（1）由已知数据得B组的频数20(263)9m=-++=，故答案为：9；（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为636010820︒⨯=︒，故答案为：108︒；（3）632009020+⨯=（人)，答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12)m 和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1AE m =的水池，且需保证总种植面积为232m ，试分别确定CG 、DG 的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？【分析】（1）设水池的长为a m ，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，得出面积关于x 的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）(2112)33()m -÷=， ∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为212336()m ⨯=，设水池的长为a m ，则水池的面积为21()a a m ⨯=， 3632a ∴-=，解得4a =， 4DG m ∴=，1248()CG CD DG m ∴=-=-=，即CG 的长为8m 、DG 的长为4m ；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，∴总种植面积为227147(213)3(7)3()24x x x x x -⋅=--=--+，30-<， ∴当72x =时，总种植面积有最大值为21474m ， 即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为21474m ．24．（8分）已知(3,0)A 、(0,4)B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将A O N ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．【分析】（1）作P C x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，可知矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==，利用//PD OA ，得PDB AOB ∆∆∽，从而求出点P 的坐标，利用待定系数法解决问题； （2）利用翻折的性质得，ON NM =，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =，再根据A O B A O N A B NS S S ∆∆∆=+，求出点N 的坐标，利用待定系数法解决问题．【解答】解：（1）作PC x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，则四边形OCPD 是矩形，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切， PC PD ∴=，∴矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==， (3,0)A 、(0,4)B ， 3OA ∴=，4OB =， 4BD x ∴=-， //PD OA ， PDB AOB ∴∆∆∽， ∴PD BDAO BO =， ∴434x x-=， 解得127x =， 12(7P ∴，12)7，设过点P 的函数表达式为ky x=， 12121447749k xy ∴==⨯=， 14449y x∴=； （2）方法一：将AON ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合， ON NM ∴=，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =， AOB AON ABN S S S ∆∆∆∴=+， ∴1113435222ON MN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， 解得，32ON =， 3(0,)2N ∴，设直线AN 的函数解析式为32y mx =+， 则3302m +=，12m ∴=-， ∴直线AN 的函数解析式为1322y x =-+．方法二：利用BMN BOA ∆∆∽，求出BN 的长度，从而得出ON 的长度， 与方法一同理得出答案．25．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．（1）特例体验：如图①，若直线//l BC ，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转(045)αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转(4590)αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S ∆．【分析】（1）易证ABD ∆和ACE ∆是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可．（2）（Ⅰ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可； （Ⅱ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可；（3）根据题意可证明ABD FBA ∆∆∽，由此可得出BF 的长，根据BFC ABC ABF S S S ∆∆∆=-，可得出结论．【解答】解：（1）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =， 45ABC ACB ∴∠=∠=︒，//l BC ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，45CAE ACB ∠=∠=︒， 45DAB ABD ∴∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，AD BD ∴=，AE CE =，AB AC = 1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=；（2）（Ⅰ）DE BD CE =+．理由如下： 在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒， 90BAC ∠=︒， 90BAD CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中， 90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆； CE AD ∴=，BD AE =， DE AE AD BD CE ∴=+=+．（Ⅱ）DE BD CE =-．理由如下： 在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒， 90BAC ∠=︒， 90BAD CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中， 90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆； CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=-=-．（3）由（2）可知，ABD CAE ∠=∠，DE AE AD BD CE =-=- 90BAC ADB ∠=∠=︒，ABD FBA ∴∆∆∽， ::AB FB BD AB ∴=， 3CE =，1DE =，4AE BD ∴==， 5AB ∴=．254BF ∴=． 2112525532248BFC ABC ABF S S S ∆∆∆∴=-=⨯-⨯⨯=． 26．（10分）已知抛物线2y x bx c =++．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交点(0,3)B -，连接AB ． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点(3,0)D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．。

湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（•湘潭）﹣5的相反数是（）A．5B．C．﹣5 D．考点：相反数．专题：计算题．分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．解答：解：﹣5的相反数是5．故选A．点评：本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2．（3分）（•湘潭）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、众数为2，故本选项错误；B、中位数是2，故本选项正确；C、极差为2，故本选项错误；D、平均数为2，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．3．（3分）（•湘潭）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．析：解答：解：从上面看易得两个横向排列的正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（•湘潭）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．正五边形C．等腰梯形D．直角三角形考点：中心对称图形分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5．（3分）（•湘潭）一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（3分）（•湘潭）下列命题正确的是（）A．三角形的中位线平行且等于第三边B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．四条边都相等的四边形是菱形D．相等的角是对顶角考点：命题与定理分析：利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．解答：解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．7．（3分）（•湘潭）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．解答：解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，∴k=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=，故选：D．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式．8．（3分）（•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．B D=CE B．A D=AE C．D A=DE D．B E=CD考点：等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（•湘潭）|﹣3|=3．考点：绝对值分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．解答：解：|﹣3|=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．10．（3分）（•湘潭）如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A=55°．考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．解答：解：∵∠EFD为△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．11．（3分）（•湘潭）到底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为 3.02×106．考点：科学记数法—表示较大的数分科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，析：要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（•湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为2x+16=3x．考点：由实际问题抽象出一元一次方程分析：根据“送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完”表示出牛奶的总盒数，进而得出答案．解答：解：设敬老院有x位老人，依题意可列方程：2x+16=3x，故答案为：2x+16=3x．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出牛奶的总盒数是解题关键．13．（3分）（•湘潭）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是．考点：概率公式分析：由在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，∴恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（•湘潭）函数：中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围专计算题．题：分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．解答：解：根据题意可得x+1≠0；解可得x≠﹣1；故答案为x≠﹣1．点评：求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．15．（3分）（•湘潭）计算：=2．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=×+1=1+1=2．故答案为2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．16．（3分）（•湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为2．考点：函数值；估算无理数的大小专题：图表型．分析：根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．解答：解：∵x=＞1，∴y=2﹣1=3﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（6分）（•湘潭）解不等式组．．考点：解一元一次不等式组分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．解答：解：，由①得：x≥2，由②得：x≤4，不等式组的解集为：2≤x≤4．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（6分）（•湘潭）先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=×=，当x=﹣2时，原式=﹣=﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：分别在Rt△ACD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案．解答：解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=×60=30海里，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=30×=60海里，60÷60=1（小时）．答：从B处到达C岛需要1小时．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．20．（6分）（•湘潭）4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？考点：分式方程的应用分析：首先设原计划每小时抢修道路x米，则实际施工速度为每小时抢修道路（x+40）米，根据题意可得等量关系：原计划修2400米道路所用时间﹣实际修2400米道路所用时间=2小时，根据等量关系，列出方程即可．解答：解：设原计划每小时抢修道路x米，由题意得：﹣=2，解得：x1=200，x2=﹣240，经检验：x1=200，x2=﹣240，都是原分式方程的解，x=﹣240不合题意，舍去，答：原计划每小时抢修道路200米．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．21．（6分）（•湘潭）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表：关注问题频数频率A 24 0.4B 12 0.2C n 0.1D 18 m合计 a1请你根据图表中提供的信息解答以下问题：（1）根据图表信息，可得a=60；（2）请你将条形图补充完整；（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．分析：（1）根据空气污染的频数除以对应的频率即可求出a的值；（2）由a的值，减去其它频数求出n的值，补全条形统计图即可；（3）求出表格中m的值，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：24÷0.4=60，即a=60；故答案为：60；（2）根据题意得：n=60﹣（24+12+18）=6，补全条形统计图，如图所示；（3）由表格得：m=0.3，根据题意得：该校关注“全球变暖”的学生大约有1200×0.3=360（人）．点评：此题考查了条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）（•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．考点：一次函数的应用分析：（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，，解得，故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=﹣2x+32；（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：W=（﹣2x+32）（13﹣10）=﹣6x+96．点评：此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．23．（8分）（•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．考点：一元一次不等式组的应用分析：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思想求出其解即可．（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，就可以求出实现愿望的概率．解答：解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得，∵x、y为正整数，当x=1时，y=6，7，8符合题意，当x=2时，y=5，6符合题意，当x=3时，y=4，5符合题意，当x=4时，y=3符合题意，当x=5时，y=1舍去，当x=6时，y=0舍去．共有8种购买方案，方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；（2）由题意，得，，购花的方案有：方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，∴小明能实现购买愿望的概率为P=．点评：本题考查了列不等式组及运用分类讨论思想解答方案设计的运用，概率在实际问题中的运用，解答时根据不等式组及分类讨论思想求出购买方案是关键．24．（8分）（•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．解答：解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．25．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D 点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．考相似形综合题点：分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证△PCO∽△CBO，得出=，求出OP=即可；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出=，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出=，求出R即可．解答：解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y 轴，垂足分别为A、C两点，∴DC=5，OC=4，OB=3，∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP，∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形，∴DC=BP=5，∴OP=5﹣3=2，2÷1=2，即当t为2秒时，PC∥BD；（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，∴∠CPO=∠BCO，∴△PCO∽△CBO，∴=，∴=，∴OP=，÷1=，即当t为秒时，PC⊥BC；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，4÷1=4，即t=4；②如图2，当⊙P与BC相切时，∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM，∴=，∴=，R=12，12÷1=12，即t=12秒；③根据勾股定理得：BD==2，如图3，当⊙P与DB相切时，∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，∴△ADB∽△MPB，∴=，∴=，R=6+12；（6+12）÷1=6+12，即t=（6+12）秒．点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．26．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF•h=S△ABC，∴（﹣x）•（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．。

2022年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷考试时量：120分钟考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是（）A.2B.－2C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，点A 表示的数是-2，所以点B 表示的数是2，故选：A ．【点睛】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思想解答．2.下列整式与2ab 为同类项的是（）A.2a bB.22ab - C.abD.2ab c【答案】B 【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．【详解】解：由同类项的定义可知，a 的指数是1，b 的指数是2．A 、a 的指数是2，b 的指数是1，与2ab 不是同类项,故选项不符合题意；B 、a 的指数是1，b 的指数是2，与2ab 是同类项,故选项符合题意；C 、a 的指数是1，b 的指数是1，与2ab 不是同类项,故选项不符合题意；ab不是同类项,故选项不符合题意．D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与2故选：B．【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．3.“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具数量（件）35475048426068则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）A.48，47B.50，47C.50，48D.48，50【答案】C【解析】【分析】根据平均数和中位数的定义解答即可．【详解】这组数据的平均数是：（35+42+47+48+50+60+68）÷7＝50；将数据按照从小到大依次排列：35，42，47，48，50，60，68处在中间位置的数是48，即中位数是48；故选：C．【点睛】此题考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是把数据按照从小到大依次排列．4.下列几何体中，主视图为三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可【详解】A 、主视图是三角形，故此选项正确；B 、主视图是矩形，故此选项错误；C 、主视图是圆，故此选项错误；D 、主视图是矩形，故此选项错误；故选A ．【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别5.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x 张桌子，有y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是（）A.404312x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.124340x y x y +=⎧⎨+=⎩C.403412x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.123440x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B 【解析】【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x +y =12，根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x +3y =40，组成方程组即可．【详解】解：根据题意可列方程组，124340x y x y +=⎧⎨+=⎩故选：B ．【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组，解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．6.在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（）A.80︒B.100︒C.120︒D.140︒【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD∴∠DCA ＝∠CAB ，∵BCD ∠=∠DCA +∠ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒∴BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．7.在ABC 中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =V V （）A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4【答案】D 【解析】【分析】证出DE 是ABC ∆的中位线，由三角形中位线定理得出//DE BC ，12DE BC =，证出ADE ABC ∆∆ ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解： 点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC D D ∴ ，211:24ADE ABCS S ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭V V ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．8.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（）A.2B.32C.12D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∴a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、选择题（本题共4小题，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.若a b >，则下列四个选项中一定成立的是（）A.22a b +>+ B.33a b->- C.44a b< D.11a b -<-【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的基本性质1来判断A 和D ，根据不等式的基本性质2来求解B 的C ．【详解】解：A ．因为a b >，不等边两边同时加上2得到22a b +>+，故原选项正确，此项符合题意；B ．因为a b >，不等边两边同时乘-3得到33a b -<-，故原选项错误，此项不符合题意；C ．因为a b >，不等边两边同时除以4得到44a b>，故原选项错误，此项不符合题意；D ．因为a b >，不等边两边同时减1得到11a b ->-，故原选项错误，此项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．10.依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数直方图：（数据分成3组：030x <≤，3060x <≤，6090x <≤）．则下列说法正确的是（）A.该班有40名学生B.该班学生当天完成作业时长在3060x <≤分钟的人数最多C.该班学生当天完成作业时长在030x <≤分钟的频数是5D.该班学生当天完成作业时长在060x <≤分钟的人数占全班人数的80%【答案】AB 【解析】【分析】根据频数直方图逐一判断各个选项即可.【详解】解：因为10+25+5=40，故A 选项正确，符合题意；因为该班学生当天完成作业时长在3060x <≤分钟的人数是25人，最多，故B 选项正确，符合题意；该班学生当天完成作业时长在030x <≤分钟的频数是10，故C 选项错误，不符合题意；该班学生当天完成作业时长在060x <≤分钟的人数为10+25=35，占全班人数的百分比为：35100%87.5%40⨯=，故D 选项错误，不符合题意；故选：AB ．【点睛】本题考查数据的整理与分析，涉及频数分布表、众数、用样本估计总体等知识，解题的关键是掌握相关知识．11.下列计算正确的是（）A.422a a -= B.325a a a ⋅= C.()22436a a = D.624a a a ÷=【答案】BD 【解析】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，同底数幂相除法则计算判断即可．【详解】解：A ．422a a a -=，故选项错误，不符合题意；B ．325a a a ⋅=，故选项正确，符合题意；C ．()22439a a =，故选项错误，不符合题意；D ．624a a a ÷=，故选项正确，符合题意；故选：BD ．【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，解题的关键是正确掌握以上知识．12.2AB =，分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ；②连接AC 、BC ，作直线CD ，且CD 与AB 相交于点H ．则下列说法正确的是（）A.ABC 是等边三角形B.AB CD ⊥C.AH BH= D.45ACD ∠=︒【答案】ABC 【解析】【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知：AB =BC =AC ，∴△ABC 是等边三角形，故A 选项正确∵等边三角形三线合一，由作图知，CD 是线段AB 的垂直平分线，∴AB CD ⊥，故B 选项正确，∴AH BH =，30ACD ∠=︒，故C 选项正确，D 选项错误．故选：ABC ．【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、填空题（本题共4个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上）13.四个数－1，0，12【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】解：－1，0，12是有理数；【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．14.请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式_________．【答案】y x =（答案不唯一）【解析】【分析】在此解析式中，当x 增大时，y 也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．【详解】解：如y x =，y 随x 的增大而增大．故答案为：y x =（答案不唯一）．【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．15.2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为_________米．【答案】4×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：400000＝4×105，故答案为：4×105．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．16.如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则∠=AEF _________．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．四、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A _________，1B _________，1C _________（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）（2）2π【解析】【分析】（1）将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90º，OB =4，根据弧长公式即可计算求出．【小问1详解】解：将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A 1（1，1）；B 1（0，4）；C 1（2，2）【小问2详解】解：由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90度，OB =4，∴点B 旋转到点1B 的弧长=904180π⨯⨯=2π【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．18.先化简，再求值：22211391x x x x x x x+÷-⋅--+，其中2x =．【答案】x +2，4【解析】【分析】先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项．【详解】解：22211391x x x x x x x+÷-⋅--+=2(3)(3)11(1)31x x x x x x x x +⨯-⋅-++-=x +3-1=x +2．当x =2时，原式=2+2=4．【点睛】此题考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．19.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：AEC DEB △∽△；（2）连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析（2）⊙O 的半径为3【解析】【分析】（1）利用 AD AD =，同弧所对的圆周角相等，得到C B ∠=∠，再结合对顶角相等，即可证明；（2）利用C B ∠=∠，得到30B ∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角得到90ADB ∠=︒，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙O 的半径．【小问1详解】证明：在⊙O 中，∵ AD AD =，∴C B ∠=∠，又∵AEC DEB ∠=∠,∴AEC DEB △∽△．【小问2详解】解：∵30C ∠=︒，由（1）可知，30B C ∠=∠=︒，∵直径AB ，∴90ADB ∠=︒，∴在Rt ADB 中，3AD =，30B ∠=︒，∴26AB AD ==，∴132OA AB ==，即⊙O 的半径为3．【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含30°角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．20.5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由1A 、2A 、3A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若1A 、2A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A 、B 、C 的3张卡片（如图，，放在一个不透明的盒子里．先由1A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由2A 随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）A “杂交水稻之父”袁隆平B “天眼之父”南仁东C “航天之父”钱学森【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1（2）1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为13【解析】【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A 1A 2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：画树状图如下：∴共有6种等可能的结果，分别是：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1．答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1．【小问2详解】解：画树状图如下：∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，∴P (1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事)=39=13，答：1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为13．【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．21.湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DH AH ≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3 1.732≈）【答案】72cm【解析】【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC = ，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠，60BAE CAD ∴∠=∠=︒1cos 60102AE AB AB ∴=︒⨯==，3103BE ==,,AB AC BAD CAD AD AD=∠=∠= ADC ADB ∴ ≌90BDC ∠=︒45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED∴=1010327.32AD AE ED ∴=+=+≈ 0.618DH AH≈0.618DH DH AD ∴≈+解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈答：最少需要准备72cm 长的伞柄【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．22.百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集：25354615343675834734数据整理：本数02x <≤24x <≤46x <≤68x <≤组别A B C D 频数2m 63数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题（1）在统计表中，m =_________；（2）在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为_________；（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．【答案】（1）9（2）108º（3）90【解析】【分析】（1）由随机调查的八年级20名学生读书数量的数据直接得出m 的值；（2）根据读书数量在46x <≤对应人数求出百分比再乘以360︒即可得到对应的圆心角；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【小问1详解】解：满足24x <≤的本数有3和4，这样的数据有9个，所以m =9；故答案为：9．【小问2详解】解：6100%30%20⨯=，360º×30%=108º，故答案为：108º．【小问3详解】解：∵20人中共有6+3=9名学生读书在4本以上，∴200×920×100%=90（人）答：该校八年级学生读书在4本以上的人数为90人．【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，理解样本和总体的关系．23.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m ）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1m AE =的水池且需保证总种植面积为232m ，试分别确定CG 、DG 的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）CG 长为8m ，DG 长为4m（2）当BC =72m 时，围成的两块矩形总种植面积最大=1474m 2【解析】【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y ，BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC ×DC ，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可.【小问1详解】解：两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，那么AD ×DC -AE ×AH =32即12×3-1×（12-a ）=32解得：a =8∴CG =8m ，DG =4m ．【小问2详解】解：设两块矩形总种植面积为y m 2，BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，两块矩形总种植面积=BC ×DC即y =x ·(21-3x )∴y =-3x 2+21x=-3(x -72)2+1474∵21-3x ≤12∴x ≥3∴当BC =72m 时，y 最大=1474m 2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．24.已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．【答案】（1）14449y x =（2）1322y x =-+【解析】【分析】（1）根据,A B 的坐标，可得直线AB 的解析式，根据题意点P 为y x =与AB 的交点，求得交点P 的坐标，即可求解；（2）设()0,N n ，04n ≤≤，根据题意求得5AB =，根据轴对称的性质结合图形求得,,BM MN BN ，在Rt BMN △中，222BN BM NM =+即可求得n 的值，进而待定系数法求解析式即可求解．【小问1详解】()3,0A 、()0,4B 设直线AB 的解析式为y kx b =+，则304k b b +=⎧⎨=⎩，解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式为443y x =-+， 以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则P P x y =，∴点P 为y x =与AB 的交点，443y x y x⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，解得127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1212,77P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点P 的反比例函数表达式为2k y x =，则214449k =，∴14449y x=；【小问2详解】设()0,N n ，04n ≤≤ 将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，ON OM ∴=，OA AM= ()3,0A 、()0,4B 3,4OA OB ∴==Rt AOB △中，5AB ==2BM AB AM AB AO ∴=-=-=，MN ON n ==，4BN n=-在Rt BMN △中，222BN BM NM =+即()22242n n -=+解得32n =则30,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AN 的解析式为y sx t=+则3032s t t +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1232s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AN 的解析式为1322y x =-+．【点睛】本题考查了坐标与图形，切线的性质，勾股定理与折叠，求直线解析式，求反比例函数解析式，求两直线交点，数形结合是解题的关键．25.在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．（1）特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；（2）规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】（1）BD =1；CE =1；DE =2（2）①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析（3）258BFC S ∆=【解析】【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS ”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS ”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．【小问1详解】解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，∴2sin 12AD BD AB DAB ==⨯∠==，2sin 12AE CE AC EAC ==⨯∠==，∴2DE AD AE =+=．【小问2详解】①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．【小问3详解】根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF=，即345AF =，解得：154=AF ，∴155544CF AC AF =-=-=，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．【答案】（1）①223y x x =--，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析（2）b <32-或b >133【解析】【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【小问1详解】①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b c c⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴223y x x =--②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把()3,0A ，()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m =2或m =12或m =3，经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）【小问2详解】解：把点D （-3，0）代入直线43y x n =+，解得n =4，∴直线443y x =+，当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD ，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <32-或b >133【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．。

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−6的绝对值是()A. −6B. 6C. −16D. 162.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.6×108B. 6×107C. 6×108D. 6×1093.已知2x n+1y3与13x4y3是同类项，则n的值是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.下列运算中正确的是()A. (a2)3=a5B. (12)−1=−2 C. (2−√5)0=1 D. a3⋅a3=2a6 6.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=()A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是()A. 0.25B. 0.3C. 25D. 308.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为()A. x≤1B. x≥1C. x<1D. x>1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 计算：sin45°=______．10. 在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可) 11. 计算：√8−√2=______．12. 走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是______步． 13. 若yx =37，则x−y x=______．14. 如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角∠AOB =60°，则阴影部分面积为______．15. 如图，点P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，且PD =3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为______．16. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字 形式 1 2 3 4 5 6789纵式 |||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分） 17. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．18. 化简求值：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1，其中a =−2．19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生)(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE=10m，其坡度为i1=1：√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1：4，求斜坡AF的长度．(结果精确到0.01m，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x(小时)4<x≤55<x≤66<x≤77<x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b应用数据：(1)填空：a=______，b=______；(2)补全频数直方图；(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x≤7小时的人数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．(1)求过点B的反比例函数y=k的解析式；x(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．26.如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6．故选：B．在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：600000000=6×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】Bx4y3是同类项，【解析】解：∵2x n+1y3与13∴n+1=4，解得，n=3，故选：B．根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．4.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C【解析】解：A、(a2)3=a6，故A错误；)−1=2，故B错误；B、(12C、(2−√5)0=1，正确；D、a3⋅a3=a6，故D错误；故选：C．根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式．6.【答案】D【解析】解：∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD =∠B +∠A ，∴∠A =∠ACD −∠B ，∠B =50°， ∴∠A =60°， 故选：D ．根据三角形的外角的性质进行计算即可．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键7.【答案】B【解析】解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)， 选择“5G 时代”的人数为：30人， ∴选择“5G 时代”的频率是：30100=0.3；故选：B ．先计算出八年级(3)班的全体人数，然后用选择“5G 时代”的人数除以八年级(3)班的全体人数即可．本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：由题意，将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)， 可得k +b =1，即k −1=−b ，整理kx +b ≥x 得，(k −1)x +b ≥0， ∴−bx +b ≥0， 由图象可知b >0， ∴x −1≤0， ∴x ≤1， 故选：A ．将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)，可得k −1=−b ，再将kx +b ≥x 变形整理，得−bx +b ≥0，求解即可．本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．9.【答案】√22【解析】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．根据特殊角的三角函数值解答．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33，cot30°=√3；sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33．10.【答案】3【解析】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可故答案为：3(答案不唯一，3，2，1，0，−1，−2，−3任意一个均可)根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可． 本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．11.【答案】√2【解析】解：√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为√2．先把√8化简为2√2，再合并同类二次根式即可得解．本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．12.【答案】6400【解析】解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400(步)，故答案为：6400．根据算术平均数的计算公式即可解答．本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．13.【答案】47【解析】解：由yx =37可设y =3k ，x =7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k =4k 7k =47．故答案为：47．根据比例的基本性质变形，代入求值即可．本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．14.【答案】6π【解析】解：阴影部分面积为60π×62360=6π，故答案为：6π．直接根据扇形的面积计算公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．15.【答案】3【解析】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD =3， ∴PM =PD =3， 故答案为：3．根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．16.【答案】8167【解析】解：根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：8167．根据算筹计数法来计数即可．本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．17.【答案】解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2(x −1)=x ， 解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x =−1．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.【答案】解：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1=a −1−2a −1⋅(a −1)2a −3=a −1，将a =−2代入得：原式=−2−1=−3．【解析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a =−2代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为24=12．【解析】(1)直接列举出所有可能出现的结果即可；(2)画出树状图，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.【答案】解：∵DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3， ∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10，∴解得DC =5．∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD =5．∵斜坡AF 的坡度为i 2=1：4， ∴ABBF =14，∴BF =4AB =20，∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61(m)． 故斜坡AF 的长度约为20.61米．【解析】先由DE 的坡度计算DC 的长度，根据矩形性质得AB 长度，再由AF 的坡度得出BF 的长度，根据勾股定理计算出AF 的长度．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．21.【答案】6 6.5【解析】解：(1)由总人数是20人可得在5<x ≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以a =6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b =6.5； 故答案为：6，6.5；(2)由(1)得a =6．频数分布直方图补充如下：(3)由图可知，学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%=70%，∴1000×70%=700(人)．∴学习时长在5<x ≤7小时的人数是700人．(1)根据各组频数之和等于数据总数，可得5<x ≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；(2)根据(1)中的数据画图即可；(3)先算出样本中学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．22.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =ADAB =AC ，∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；(2)直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD=DC，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．【解析】(1)AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；(2)由△ABD≌△ACD得BD=BC，结合AO=BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．23.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A(3,4)，∴OE=3，AE=4，∴AO=√OE2+AE2=5∵四边形OABC是菱形，∴AO=AB=OC=5，AB//x轴，∴EF=AB=5，∴OF=OE+EF=3+5=8，∴B(8,4)．设过B点的反比例函数解析式为y=kx，把B点坐标代入得，k=32，所以，反比例函数解析式为y=32x；(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBF+∠DBF=90°，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠OBF=∠BDF，又∠OFB=∠BFD=90°，∴△OBF～△BDF，∴OFBF =BFDF，∴84=4DF，解得，DF =2，∴OD =OF +DF =8+2=10，∴D(10,0)．设BD 所在直线解析式为y =kx +b ，把B(8,4)，D(10,0)分别代入，得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20， ∴直线BD 的解析式为y =−2x +20．【解析】(1)由A 的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)证明△OBF ～△BDF ，利用相似三角形的性质得出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，由题意得：{2x +y =1006x =7y， 解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费17×35+33×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费17×35+33×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费17×35+33×30=1600元；．所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【解析】(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．25.【答案】解：(1)连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线，∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE//AB ，DE =12AB ，∴△ODE∽△OAB ，∴OD OA =DE AB =12， ∵AB =2，BD =1，∠ADB =90°，∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC =BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3； (2)由(1)可知，OD OA =12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBCS △ABC =13，是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，∴CD//AB ，AB =BC =CD =4，∴△CME ～△AMB ，∴EM BM =CE AB ，∵E 为CD 的中点，∴CE =12CD =2， ∴BE =√BC 2+CE 2=2√5，∴EM BM =12，∴EM BE =13， 即EM =23√5；②∴S △CME =1，且ME BM =12，∴S △BMC =2，∵ME BM =12，∴S △CME S △AMB =(ME BM )2=14， ∴S △AMB =4，∴S △ABC =S △BMC +S △ABM =2+4=6，又S △ADC =S △ABC ，∴S △ADC =6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．【解析】(1)连接DE，利用相似三角形证明ODAO =12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；(2)根据(1)的证明可求解；(3)①证明△CME∽△ABM，得EMBM =12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26.【答案】解：(1)①抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，则b2=2，解得：b=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，则OB′=OB，PB′=PB，对于y=−x2+4x+5，令y=0，则−x2+4x+5=0，解得：x1=−1，x2=5，∴A(−1,0)，B(5,0)，∴OB′=OB=5，∴CB′=√OB′2−OC2=√25−4=√21，∴B′(2,√21)，设点P(2,m)，由PB′=PB可得：√21−m=√m2+(5−2)2，解得：m=2√217，∴P(2,2√217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2,−2√217).综上所述，点P(2,2√217)或P(2,−2√217)；(2)∵抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴当b≥4时，x=b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x=2，y有最大值，即y=−4+2b+5=2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．【解析】(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB′=OB，PB′=PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′(2,√21)，再根据PB′=PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；(2)当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第(1)②问要先画出图形再理解，第(2)问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．。

2020年湖南省湘潭市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6B．6C．﹣D．2．（3分）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.6×108B．6×107C．6×108D．6×1093．（3分）已知2x n+1y3与x4y3是同类项，则n的值是（）A．2B．3C．4D．54．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算中正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（）﹣1＝﹣2C．（2﹣）0＝1D．a3•a3＝2a66．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°7．（3分）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25B．0.3C．25D．308．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）计算：sin45°＝．10．（3分）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为．（任意写出一个即可）11．（3分）计算：＝．12．（3分）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是步．13．（3分）若，则＝．14．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为．15．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM 的最小值为．16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．（6分）解分式方程：+2＝．18．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．19．（6分）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20．（6分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE ＝10m，其坡度为i 1＝1：，将步梯DE 改造为斜坡AF，其坡度为i 2＝1：4，求斜坡AF 的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.122）21．（6分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x（小时）4＜x≤55＜x≤66＜x≤77＜x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b 应用数据：（1）填空：a＝，b＝；（2）补全频数直方图；（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．（1）求这两种书的单价；（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；＝1，求正方形ABCD的面积．②若S△CME26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．2020年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以﹣6的绝对值是6．故选：B．2．【解答】解：600000000＝6×108，故选：C．3．【解答】解：∵2x n+1y3与是同类项，∴n+1＝4，解得，n＝3，故选：B．4．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．5．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；B、，故B错误；C、，正确；D、a3•a3＝a6，故D错误；故选：C．6．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B，∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，∴∠A＝60°，故选：D．7．【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），选择“5G时代”的人数为：30人，∴选择“5G时代”的频率是：；故选：B．8．【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，∴﹣bx+b≥0，由图象可知b＞0，∴x﹣1≤0，∴x≤1，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．10．【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0，从中任选一个即可，故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）11．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为．12．【解答】解：这3天步数的平均数是：（步），故答案为：6400．13．【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．14．【解答】解：阴影部分面积为，故答案为：6π．15．【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．16．【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167故答案为：9167．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．【解答】解：去分母得，3+2（x﹣1）＝x，解得，x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．所以，原方程的解为：x＝﹣1．18．【解答】解：＝＝a﹣1，将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．19．【解答】解：（1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，所以恰好选中一男一女的概率为．20．【解答】解：∵DE＝10m，其坡度为i1＝1：，∴在Rt△DCE中，＝10，∴解得DC＝5．∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5．＝1：4，∵斜坡AF的坡度为i2∴，∴BF＝4AB＝20，∴在Rt△ABF中，≈20.61（m）．故斜坡AF的长度约为20.61米．21．【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；故答案为：6，6.5；（2）由（1）得a＝6．频数分布直方图补充如下：（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比＝×100%＝70%，∴1000×70%＝700（人）．∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．22．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．23．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，∴B（8，4）．设过B点的反比例函数解析式为，把B点坐标代入得，k＝32，所以，反比例函数解析式为；（2）∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF+∠DBF＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF～△BDF，∴，∴，解得，DF＝2，∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，∴D（10，0）．设BD所在直线解析式为y＝kx+b，把B（8，4），D（10，0）分别代入，得：，解得，，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．24．【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，由题意得：，解得．答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据题意得，解得：，则n可以取17、18、19、20，当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585元；当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590元；当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595元；当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600元；所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．25．【解答】解：（1）连接DE，如图，∵点O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC边上的中线，∴D，E为BC，AC边上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△ODE∽△OAB，∴＝，∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD＝，OD＝，∴，＝；（2）由（1）可知，，是定值；点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，故＝，是定值；（3）①∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，∴△CME～△AMB，∴，∵E为CD的中点，∴，∴，∴，∴，即；②∴S △CME ＝1，且，∴S △BMC ＝2，∵，∴，∴S △AMB ＝4，∴S △ABC ＝S △BMC +S △ABM ＝2+4＝6，又S △ADC ＝S △ABC ，∴S △ADC ＝6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6＝12．26．【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x 2+bx+5的对称轴为直线，∴若过点C 的直线x＝2是抛物线的对称轴，则，解得：b＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x 2+4x+5；②存在，如图，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，则OB'＝OB，PB'＝PB，对于y＝﹣x 2+4x+5，令y＝0，则﹣x 2+4x+5＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），∴OB'＝OB＝5，∴，∴，设点P（2，m），由PB'＝PB 可得：，解得：，∴P（2，）；同理，当点P 在x 轴下方时，P（2，﹣）．综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；（2）∵抛物线y＝﹣x 2+bx+5的对称轴为直线，∴当b≥4时，，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x＝2，y 有最大值，即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．。

湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（•湘潭）下列等式成立是（ ）A 、|﹣2|=2B 、﹣（﹣1）=﹣1C 、1÷（﹣3）=13D 、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。

分析：A ，﹣2的绝对值为2，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．解答：解：A 、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B 、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C 、正负乘除得正，故本选项错误；D 、同选项C ，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A ，负数的绝对值为正数，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．本题很容易选得A ．2、（•湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（ ）A 、3，3B 、3，4C 、2，3D 、2，4考点：极差；算术平均数。

专题：计算题。

分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：x =1+3+53=3， 由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B ．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（•湘潭）不等式组{x ＞1x ≤2的解集在数轴上表示为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可． 解答：解：不等式组{x ＞1x ≤2在数轴上表示为：故选A ．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4、（•湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ）A 、球B 、圆柱C 、长方体D 、圆锥考点：由三视图判断几何体。

2024年湖南省初中学业水平考试数学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（）A.180+元B.300+元C.180-元D.480-元2.据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（）A.70.401510⨯ B.64.01510⨯ C.540.1510⨯ D.34.01510⨯3.如图，该纸杯的主视图是（）A. B.C. D.4.下列计算正确的是（）A.22321a a -= B.32(0)a a a a ÷=≠ C.236a a a ⋅= D.()3326a a =5.计算）A. B. C.14 D.6.下列命题中，正确的是（）A.两点之间，线段最短B.菱形的对角线相等C.正五边形的外角和为720︒D.直角三角形是轴对称图形7.如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A.60︒B.75︒C.90︒D.135︒8.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（）A.130 B.158 C.160 D.1929.如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A .DE BC ∥ B.ADE ABC △△∽ C.2BC DE = D.12ADE ABC S S = 10.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（）A.3a <- B.若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C.若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D.若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11.计算：()2024--=________．12.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13.分式方程21x +=1的解是_______．14.一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15.若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．16.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l =（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17.如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．18.如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.计算：01|3|cos 6042⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭．20.先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．21.某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22.如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上，．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23.某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：测绘过程①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；与数据信息②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF 的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.31.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．25.已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26.【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC的值．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【解析】解：收入为“+”，则支出为“-”，那么支出180元记作180-元．故选：C ．2.【答案】B【解析】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3.【答案】A【解析】解：该纸杯的主视图是选项A ，故选：A ．4.【答案】B【解析】解：A 、22232a a a -=，故该选项不正确，不符合题意；B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5.【答案】D【解析】⨯=，故选：D6.【答案】A【解析】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7.【答案】C【解析】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着 BC，∴12A BOC ∠=∠，45A ∠=︒ ，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8.【答案】B【解析】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．9.【答案】D【解析】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S = ，故D 错误；故选：D ．10.【答案】C【解析】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限，∴24030a a -<⎧⎨+>⎩，∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点”，32a -<<，∴整数a 为2-，1-，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1-，()6,2-，()4,3-，()2,4-，∵1188=--，2163=--，3344=--，422=--∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4-，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11.【答案】2024【解析】解：()20242024--=，故答案为：2024．12.【答案】14【解析】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413.【答案】x=1【解析】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．14.【答案】100【解析】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15.【答案】2【解析】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：216.【答案】180【解析】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．17.【答案】6【解析】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．18.【答案】(6-##()6-【解析】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒-︒=︒，12dm OB =12tan 30BH ∴=⨯︒=，OH =OBH OCH OBCS S S =+△△△ 111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =-．故答案为：(6-．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.【答案】52【解析】解：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭13122=++-52=．20.【答案】1x x +，43【解析】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++=23x x x -=+1x x+=，当3x =时，原式31433+==．21.【答案】（1）100（2）见解析（3）36（4）300人【解析】【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，故答案为：100；【小问2详解】100330421015----=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒，故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22.【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23.【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵，根据题意，得()5030100038000a a +-≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24.【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =-=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒，∴tan tan21.80.4AMAFG MF ∠=︒=≈，∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==-=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25.【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，∴54c =-+，∴9c =，∴29y x =-+；【小问2详解】当0y =时，209x =-+，∴123,3x x =-=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴3y x =-+，设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+，13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQADCS x x x x S x x +-++-==-++ ，∴DC PDQA S S △△的值为定值；【小问3详解】设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩，∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩，∴12129y x x x -=+，当11x x =-时，()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．26.【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12【解析】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒-︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒，∴18019022OAE αα︒-∠==︒-，∵90OAC ∠=︒，∴12DAC α∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=，∴1122DFC ααα∠=+=，∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==，∴由勾股定理得53OC r =，∵23CE OE =，∴23CE r =，∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==，∵OG AE ⊥，OA OE =，∴12EOG α∠=，∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒，∴12EAH EOG α∠=∠=，在Rt OAH △中，4tan 3AH OH α==，∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =-=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12ACB DAC α∠=∠=，而12EAH α∠=，∴12ACB α∠=，∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．。

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷试卷考试总分：112 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 下列图案是历届冬奥会会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是 A. B. C. D.2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 下列计算正确的是( )A.B.C.D.4. 某快递员五月份送餐统计数据如下表：送餐距离小于等于公里大于公里占比送餐费元单元单则该快递员五月份平均每单送餐费是( )A.元()x−2−−−−−√x x ≥2x ≤2x >2x <2⋅=a 2a 3a 6=()a 23a 5=(a )b 32a 2b 6÷a =a 6a 63370%30%4/6/5D.不能确定5. 菱形的两条对角线的长分别为和，那么边长是（ ）A.B.C.D.6. 在平面直角坐标系中，点，在同一个反比例函数图象上，则的值是( )A.B.C.D.7. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是 A.B.C.D.8. 东胜到呼市相距千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的倍．从东胜到呼市的时间缩短了小时．设列车提速后所需时间为小时，根据题意，可列方程 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9. 如图，在中，弦所对的圆周角＝，＝，＝，则度数为（ ）A.B.60cm 80cm 60cm50cm40cm80cmA(8,−3)B(4,a)a 3−32−6−3526()180∘150∘120∘90∘234 2.21.2x ()−=1.2234x 2342.2x =×2.2234x+1.2234x −=1.22342.2x 234x ×2.2=234x+1.2234x⊙O AB ∠C 45∘AB BC 1∠A 30∘36∘10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且过点，则下列结论正确的是( )A.B.方程的两个根是，C.D.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11. 请写出绝对值小于的所有负整数________．12. 若，为实数，且，则的值为________．13. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为________．14. 七巧板被西方人称为“东方魔板”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为________．四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）15. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．16. 先化简，再求值：，其中.y =a +bx+c x 2x =1(3,0)abc <0a +bx+c =0x 2=−1x 1=3x 22a +b =04a +2b +c <05–√a b =0(a −2+|−16|)2b 2b +43a −b ∠MON O OM A ON B A B OA ∠MON C OC OA =5AB =6B AC 4 (x+1)≤1,①131−x <2.②(+)÷2x+2−4x+4x 2−4x 2x−2x+2x =417. 如图，已知在直角梯形中，，，，垂足为，联结，作，交边于点．求证：；若，求证：.18. “共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为，，，）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上，，，四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，请用列表法或画树状图的方法，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．19. 为了解某校八年级学生运篮球过障碍物的成绩情况，随机抽查了部分同学的成绩（满分为分，成绩取整数），规定：等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分以下），并根据调查结果制作了如下的频数分布图表（不完整）：请根据图表信息解答问题：表中的________，_______，_______；并补全频数分布直方图；这组数据的中位数落在________等次，众数落在________等次；若该校八年级有学生名，请估计运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数.20. “人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”．某杂粮经销商对本地购买袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案：每袋元，由经销商免费送货；方案：每袋元，客户需支付运费元．请分别写出按方案，方案购买该杂粮的应付款（元）与购买量（箱）之间的函数表达式；某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，.ABCD AD//BC ∠ABC =90∘AE ⊥BD E CE EF ⊥CE AB F (1)△AEF ∽△BEC (2)AB =BC AF =AD 2019A B C D A B C D 15A 12.515B 10.512.5C 8.510.5D 8.5(1)m=n =p =(2)(3)20008.520A 30B 26200(1)A B y x (2)△ABC A(−3,2)B(0,4)C(0,2)作关于点对称；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．22. 如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，楼高．现在要在甲楼后面盖一座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距，则甲楼的影子将落在乙楼上．若使甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，那么两楼的距离应是多少米？23. 如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．（1）如图，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；（2）如图，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图，延长交于点，若，且＝，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，于轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．求抛物线的解析式；点是第二象限抛物线上的一个动点，连接、、和，当时，求点的坐标；在的条件，过点作，交的延长线于点，点是第三象限抛物线上的一个动点，(1)△ABC C △C A 1B 1(2)△ABC A A 2(0,−4)△A 2B 2C 2(3)△C A 1B 1△A 2B 2C 216m 20m 6m AM △ABC D AM A DE//AB AC F CE//AM AE 1D M ABDE 2D M 3BD AC H BH ⊥AC BH AM ∠CAM O y =−x−3x A y C y =+bx+c x 2A C x B (1)(2)D AD BD CD BC =S △ACD 38S 四边形ACBD D (3)(2)D DE ⊥BC CB E P点关于点的对称点为点，连接并延长与抛物线在、之间的部分交于点，当时，求的长．P B Q QE A D F ∠DEF +∠BPC =∠DBE EF参考答案与试题解析2023年湖南省湘潭市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】结合轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不是轴对称图形.故选.2.【答案】A【考点】二次根式有意义的条件【解析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即，解不等式求的取值范围．【解答】解：要使在实数范围内有意义，则，解得．故选.3.【答案】C【考点】同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方【解析】此题暂无解析A,B,C D D x−2≥0x x−2−−−−−√x−2≥0x ≥2A【解答】解：，故错误；，故错误；，故正确；，故错误.故选.4.【答案】B【考点】加权平均数【解析】利用所占的百分比乘以送餐的价格之和进行求解即可.【解答】解：该快递员五月份平均每单送餐费是：（元）.故选.5.【答案】B【考点】菱形的性质【解析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为和，∴该菱形的边长为.故选.6.【答案】C【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】设出反比例函数，再根据已知条件求出函数表达式，即可求解.【解答】解：设反比例函数为，∵过，⋅=≠a 2a 3a 5a 6A =≠()a 23a 6a 5B =(a )b 32a 2b 6C ÷a =a 6a 5D C 4×70%+6×30%=4.6B 60cm 80cm =503+40202−−−−−−−−√(cm)B y =k xy =k x A(8,−3)3=k∴，∴，反比例函数为，∵过，∴.故选.7.【答案】B【考点】几何体的展开图弧长的计算【解析】利用底面周长展开图的弧长可得．【解答】解：，解得．故选．8.【答案】D【考点】由实际问题抽象出分式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得，提速之前的时间为：，故可列方程组为：.故选.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9.【答案】∵∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴OB ＝OA ＝【考点】圆周角定理【解析】此题暂无解析−3=k 8k =−24y =−24x y =−24x B(4,a)a =−=−6244C =2π×=526nπ180n =150∘B x+1.2×2.2=234x+1.2234xD【解答】此题暂无解答10.【答案】A,B,C【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】由抛物线对称轴的位置确定的符号，由抛物线与轴的交点在轴上方得，则可对进行判断，根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为 ，则可对进行判断，由对称轴可对进行判断，由当时，函数值大于，则有，于是可对进行判断．【解答】解：，抛物线与轴的交点在轴上方，.对称轴为直线，，，故正确；，抛物线过点，二次函数图象的对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，方程的两个根是，，故正确；，对称轴为直线，，，故正确；，当时，，，故错误.综上所述，正确结论的序号是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11.【答案】和【考点】估算无理数的大小【解析】找出绝对值小于的所有负整数得出答案．【解答】绝对值小于的所有负整数是12.【答案】ab y x c >0①x (−1,0)②③x =204a +2b +c <0④A ∵y x ∴c >0∵x =−=1b 2a ∴ab <0∴abc <0A B ∵(3,0)x =1∴x (−1,0)∴a +bx+c =0x 2=−1x 1=3x 2B C ∵x =1∴x =−=1b 2a ∴2a +b =0C D ∵x =2y >0∴4a +2b +c >0D ABC ABC −1−25–√5–√【考点】非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴解得∴．故的值是．故答案为：.13.【答案】【考点】作图—基本作图角平分线的性质【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点到的距离，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，为的角平分线，∵，平分，∴，设与交于点，作于点，∵，，，，∴，＝，，∴，∵．∴，解得，.故答案为：.2=0(a −2+|−16|)2b 2b +4 a −2=0，−16=0，b 2b +4≠0，{a =2，b =4，3a −b =6−4=23a −b 22245B AC OC ∠MON OA =OB OC ∠AOB OC ⊥AB OC ABD BE ⊥AC E AB =6OA =5AC =OA OC ⊥AB AC =5∠ADC 90∘AD =3CD =4=AB ⋅CD 2AC ⋅BE 2=6×425×BE 2BE =24524514.【答案】【考点】正方形的性质七巧板【解析】因为“一帆风顺”图中阴影部分是正方形中“”的部分的三角形，是等腰直角三角形，根据直角边为，即可求出面积为．【解答】解：由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形中“”的部分的三角形，是等腰直角三角形，因为直角边为，所以面积为：．故答案为．四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）15.【答案】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．16.【答案】5212212×2×2=2122x ≤2x >−1−1<x ≤2x ≤2x >−1−1<x ≤2[+]⋅(x−2)2解：原式.当，原式.【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式.当，原式.17.【答案】证明：∵，，∴，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.∵，∴.【考点】相似三角形的判定与性质【解析】=[+]⋅2x+2(x−2)2(x+2)(x−2)x+2x−2=[+]⋅2x+2x−2x+2x+2x−2=⋅x x+2x+2x−2=x x−2x =4==244−2=[+]⋅2x+2(x−2)2(x+2)(x−2)x+2x−2=[+]⋅2x+2x−2x+2x+2x−2=⋅x x+2x+2x−2=x x−2x =4==244−2(1)AD//BC ∠ABC =90∘∠BAD =90∘∠ABD+∠ADB =90∘AE ⊥BD ∠AEB =90∘∠ABD+∠BAE =90∘∠ADB =∠BAE ∠ADB =∠DBC ∠BAE =∠DBC EF ⊥CE ∠FEC =90∘∠AEF =∠BEC △AEF ∽△BEC (2)△AEF ∽△BEC =AF BC AE BE ∠AEB =∠BAD ∠ABE =∠DBA △ABE ∽△DBA =AE DA BE BA =AE BE AD AB =AF BC AD AB AB =BC AF =AD此题暂无解析【解答】证明：∵，，∴，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.∵，∴.18.【答案】解：由题意画树状图如下：共有种等可能的结果，其中小明和小华查找同一位院士资料的有种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为.【考点】列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意画树状图如下：共有种等可能的结果，其中小明和小华查找同一位院士资料的有种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为.19.(1)AD//BC ∠ABC =90∘∠BAD =90∘∠ABD+∠ADB =90∘AE ⊥BD ∠AEB =90∘∠ABD+∠BAE =90∘∠ADB =∠BAE ∠ADB =∠DBC ∠BAE =∠DBC EF ⊥CE ∠FEC =90∘∠AEF =∠BEC △AEF ∽△BEC (2)△AEF ∽△BEC =AF BC AE BE ∠AEB =∠BAD ∠ABE =∠DBA △ABE ∽△DBA =AE DA BE BA =AE BE AD AB =AF BC AD AB AB =BC AF =AD 164=41614164=41614,,,要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.【考点】众数中位数频数（率）分布直方图频数（率）分布表用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，补全的频数分布直方图如下：故答案为：；；.由的频数分布直方图可知，本组数据的总数为，则中位数为第个和第个数据的平均数，即中位数为，落在等次；再从频率分布直方图可得，最高的为数据出现次数最多的，则众数为，也落在等次；故答案为：；.要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.20.【答案】解：．．由，得，解得．由，得，解得．由，得，解得．∴两种方案是针对本地购买袋以上的客户，∴，答：当时，选择方案更省钱，当时，选择方案和方案都一样，当时，选择方案更省钱．10150.3B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)m=×20=100.20.4p =1−0.2−0.4−0.1=0.3n =×5=15p 0.110150.3(2)(1)502526=2020+202B 20B B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)=30x y A =26x+200y B (2)=y A y B 30x =26x+200x =50>y A y B 30x >26x+200x >50<y A y B 30x <26x+200x <5020x >20x >50B x =50A B 20<x <50A一次函数的应用【解析】无无【解答】解：．．由，得，解得．由，得，解得．由，得，解得．∴两种方案是针对本地购买袋以上的客户，∴，答：当时，选择方案更省钱，当时，选择方案和方案都一样，当时，选择方案更省钱．21.【答案】解：如图所示.如图所示.旋转中心的坐标为.【考点】中心对称作图－平移变换坐标与图形变化-旋转【解析】根据旋转进行求解即可.根据旋转进行求解即可.【解答】解：如图所示.如图所示.(1)=30x y A =26x+200y B (2)=y A y B 30x =26x+200x =50>y A y B 30x >26x+200x >50<y A y B 30x <26x+200x <5020x >20x >50B x =50A B 20<x <50A (1)△C A 1B 1(2)△A 2B 2C 2(3)(,−1)32(−,−1)32(1)△C A 1B 1(2)△A 2B 2C 2旋转中心的坐标为.22.【答案】【考点】解直角三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】∵，∴＝，∵，∴＝，∵是的中线，且与重合，∴＝，∴，∴＝，∵，∴四边形是平行四边形；结论成立，理由如下：如图，过点作交于，∵，∴四边形是平行四边形，∴＝，且，由（1）知，＝，，∴，＝，∴四边形是平行四边形；如图取线段的中点，连接，∵＝，∴是的中位线，∴，，∵，且＝，∴，，∴＝．(3)(,−1)3232mDE//AB ∠EDC ∠ABM CE//AM ∠ECD ∠ADB AM △ABC D M BD DC △ABD ≅△EDC AB ED AB//ED ABDE 2M MG//DECE G CE//AM DMGE ED GM ED//GM AB GM AB//GM AB//DE AB DE ABDE 3CH I MI BM MC MI △BHC MI //BH MI =BH 12BH ⊥AC BH AMMI =AM 12MI ⊥AC ∠CAM 30∘【考点】四边形综合题【解析】（1）先判断出＝，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论；（3）先判断出，，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．【解答】∵，∴＝，∵，∴＝，∵是的中线，且与重合，∴＝，∴，∴＝，∵，∴四边形是平行四边形；结论成立，理由如下：如图，过点作交于，∵，∴四边形是平行四边形，∴＝，且，由（1）知，＝，，∴，＝，∴四边形是平行四边形；如图取线段的中点，连接，∵＝，∴是的中位线，∴，，∵，且＝，∴，，∴＝．∠ECD ∠ADB △ABD ≅△EDC DMGE MI //BHMI =BH 12DE//AB ∠EDC ∠ABM CE//AM ∠ECD ∠ADB AM △ABC D M BD DC △ABD ≅△EDC AB ED AB//ED ABDE 2M MG//DECE G CE//AM DMGE ED GM ED//GM AB GM AB//GM AB//DE AB DE ABDE 3CH I MI BM MC MI △BHC MI //BH MI =BH 12BH ⊥AC BH AM MI =AM 12MI ⊥AC ∠CAM 30∘24.【答案】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴．∵经过，两点，∴解得∴抛物线的解析式为．过点作轴于点，交直线于点，于点，设．∵轴，∴∵，∴，∵，∴∵轴，∴.∴轴，∴，∴，∴，令，解得，∴．∵，∴∴∵，∴，解得（舍）∴.(1)y =−x−3x A y C A(−3,0),C(0,−3)y =+bx+c x 2A C {9−3b +c =0,c =−3,{b =2,c =−3.y =+2x−3x 2(2)D DK ⊥x K AC C DH ⊥AC H D(t,+2t−3)t 2DK ⊥x G(t,−t−3),DG =(+2t−3)−(−t−3)=+3t.t 2t 2A(−3,0),C(0,−3)OA =OC =3∠AOC =90∘∠OAC =∠ACO =,AC ==3.45∘O +O A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√DK ⊥x ∠DKO =∠COK =90∘DK//y ∠DGH =∠OCA =45∘DH =DG ⋅sin =DG =(+3t)45∘2–√22–√2t 2=AC ⋅DH =×3×(+3t)=+S △ACD 12122–√2–√2t 232t 2t 92+2x−3=0x 2=−3,=1x 1x 2B(1,0),AB =4D(t,+2t−3)t 2DK =+2t−3.t 2=+=×4(+2t−3)+×S 四边形ACBD S △ABC S △ABD 12t 2124×3=2+4t.t 2=S △ACD 38S 四边形ACBD +t =(2+4t)32t 29238t 2=−4,=0t 1t 2D(−4,5)过点作轴于点，过点，轴于点，过点，轴于点，延长交于，由知，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴∴∴，即，∴∵，∴∵轴，∴．∵，∴∴．∴，∵、关于点对称，∴，∵，∴，∴∴.∵，∴ ∴ ∴∴，∴ ．∵ ，∴，∴ .∵，∴，∴.∵ ，∴.∵轴，∴ ，∴.设，∴解得．∴.∵，∴轴．∵，∴轴．∴，令，解得，∴．(3)D DM ⊥y M P PN ⊥x N E ER ⊥x R DE PQ T (2)t =−4DH =(+3t)=2.2–√2t 22–√D(−4,5),C(0,−3)DM =4,CM =8CD ==4D +C M 2M 2−−−−−−−−−−−√5–√sin ∠ACD ===.DH CD 22–√45–√10−−√10B(1,0)OB =1BC ==，sin ∠OCB ==.O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√10−−√OB BC 110−−√∠ACD =∠OCB.∠ACD+∠OCD =∠OCB+∠OCD ∠ACO =∠DCE =45∘CE =CD ⋅sin =2.45∘10−−√BC =10−−√BE =BC =.10−−√ER ⊥x ∠ERB =∠COB =90∘∠EBR =∠CBO,BC =BE △OBC ≅△RBE.OB =BR =1,OC =ER =3E(2,3)P Q B PB =BQ BC =BE,∠PBC =∠QBE △PBC ≅△QBE.∠BPC =∠Q.EQ//CP ∠DEF +∠BPC =∠DBE,∠DEF =∠QET,∠BPC =∠Q ∠QET +∠Q =∠DBE.∠BTE =∠DBE.DE ⊥BC.∠BED =90∘∠DBE+∠BDE =90∘∠BTE =∠DBE ∠BTE+∠BDE =90∘∠DBT =90∘D(−4,5),B(1,0)DK =BK =5∠KDB =∠DBK =45∘∠DBT =90∘∠PBK =45∘PN ⊥x ∠PBK =∠BPN =45∘BN =PN P (m,+2m−3)m 21−m=−−2m+3.m 2=−2,=1m 1m 2P(−2,−3)C(0,−3)PC//x EQ//CP EQ//x ==3y E y F +2x−3=3x 2=−1，=−−1x 17–√x 27–√F (−−1,3)7–√∵，∴【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴．∵经过，两点，∴解得∴抛物线的解析式为．过点作轴于点，交直线于点，于点，设．∵轴，∴∵，∴，∵，∴∵轴，∴.∴轴，∴，∴，∴，令，解得，∴．∵，∴∴∵，∴，解得（舍）∴.E(2,3)EF =2−(−−1)=3+.7–√7–√(1)y =−x−3x A y C A(−3,0),C(0,−3)y =+bx+c x 2A C {9−3b +c =0,c =−3,{b =2,c =−3.y =+2x−3x 2(2)D DK ⊥x K AC C DH ⊥AC H D(t,+2t−3)t 2DK ⊥x G(t,−t−3),DG =(+2t−3)−(−t−3)=+3t.t 2t 2A(−3,0),C(0,−3)OA =OC =3∠AOC =90∘∠OAC =∠ACO =,AC ==3.45∘O +O A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√DK ⊥x ∠DKO =∠COK =90∘DK//y ∠DGH =∠OCA =45∘DH =DG ⋅sin =DG =(+3t)45∘2–√22–√2t 2=AC ⋅DH =×3×(+3t)=+S △ACD 12122–√2–√2t 232t 2t 92+2x−3=0x 2=−3,=1x 1x 2B(1,0),AB =4D(t,+2t−3)t 2DK =+2t−3.t 2=+=×4(+2t−3)+×S 四边形ACBD S △ABC S △ABD 12t 2124×3=2+4t.t 2=S △ACD 38S 四边形ACBD +t =(2+4t)32t 29238t 2=−4,=0t 1t 2D(−4,5)过点作轴于点，过点，轴于点，过点，轴于点，延长交于，由知，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴∴∴，即，∴∵，∴∵轴，∴．∵，∴∴．∴，∵、关于点对称，∴，∵，∴，∴∴.∵，∴ ∴ ∴∴，∴ ．∵ ，∴，∴ .∵，∴，∴.∵ ，∴.∵轴，∴ ，∴.设，∴解得．∴.∵，∴轴．∵，∴轴．∴，令，解得，∴．(3)D DM ⊥y M P PN ⊥x N E ER ⊥x R DE PQ T (2)t =−4DH =(+3t)=2.2–√2t 22–√D(−4,5),C(0,−3)DM =4,CM =8CD ==4D +C M 2M 2−−−−−−−−−−−√5–√sin ∠ACD ===.DH CD 22–√45–√10−−√10B(1,0)OB =1BC ==，sin ∠OCB ==.O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√10−−√OB BC 110−−√∠ACD =∠OCB.∠ACD+∠OCD =∠OCB+∠OCD ∠ACO =∠DCE =45∘CE =CD ⋅sin =2.45∘10−−√BC =10−−√BE =BC =.10−−√ER ⊥x ∠ERB =∠COB =90∘∠EBR =∠CBO,BC =BE △OBC ≅△RBE.OB =BR =1,OC =ER =3E(2,3)P Q B PB =BQ BC =BE,∠PBC =∠QBE △PBC ≅△QBE.∠BPC =∠Q.EQ//CP ∠DEF +∠BPC =∠DBE,∠DEF =∠QET,∠BPC =∠Q ∠QET +∠Q =∠DBE.∠BTE =∠DBE.DE ⊥BC.∠BED =90∘∠DBE+∠BDE =90∘∠BTE =∠DBE ∠BTE+∠BDE =90∘∠DBT =90∘D(−4,5),B(1,0)DK =BK =5∠KDB =∠DBK =45∘∠DBT =90∘∠PBK =45∘PN ⊥x ∠PBK =∠BPN =45∘BN =PN P (m,+2m−3)m 21−m=−−2m+3.m 2=−2,=1m 1m 2P(−2,−3)C(0,−3)PC//x EQ//CP EQ//x ==3y E y F +2x−3=3x 2=−1，=−−1x 17–√x 27–√F (−−1,3)7–√∵，∴E(2,3)EF =2−(−−1)=3+.7–√7–√。

2024年湖南省中考数学试题+答案详解（试题部分）本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效： 4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（ ） A. 180+元B. 300+元C. 180−元D. 480−元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. 70.401510⨯B. 64.01510⨯C. 540.1510⨯D. 34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（ ）A. B. C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a −=B. 32(0)a a a a ÷=≠C. 236a a a ⋅=D. ()3326a a =5. ）A.B. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720︒ D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A. DE BC ∥B. ADE ABC △△∽C. 2BC DE =D. 12ADEABC SS =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a −+在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. 3a <−B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024−−=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______． 14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为________． 16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MNAB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭20. 先化简，再求值：22432x x x x x−⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．①在水池外取一点E，使得点②过点E作GH CE⊥，并沿的长为4米；③在点F处用测角仪测得请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE和BC的长度：（2）求底座的底面ABCD的面积．25. 已知二次函数2y x c=−+的图像经过点()2,5A−，点()11,P x y，()22,Q x y是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC x⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =−，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x −，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】 已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ． ①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及ABBC的值．2024年湖南省中考数学试题+答案详解（答案详解）本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效： 4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ） A. 180+元 B. 300+元C. 180−元D. 480−元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“+”，则支出为“−”， 那么支出180元记作180−元． 故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯C. 540.1510⨯D. 34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯． 故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ， 故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ） A. 22321a a −= B. 32(0)a a a a ÷=≠C. 236a a a ⋅=D. ()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A 、22232a a a −=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意； C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B ．5. 的结果是（ ）A. B.C. 14D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．= 故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720︒ D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着BC ， ∴12A BOC ∠=∠， 45A ∠=︒，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A. DE BC ∥B. ADE ABC △△∽C. 2BC DE =D. 12ADE ABC S S =【答案】D【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽， ∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， ∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a −+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <−B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a −+在第二象限， ∴24030a a −<⎧⎨+>⎩， ∴32a −<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a −+为“整点”， 32a −<<，∴整数a 为2−，1−，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1−，()6,2−，()4,3−，()2,4−，∵1188=−−，2163=−−，3344=−−，422=−− ∴“超整点”P 为()2,4−，故选项C 正确；∵点()24,3P a a −+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4−，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024−−=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024−−=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14． 故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒−︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−⨯⨯=， 解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可． 【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l=，得2000.9k =， 解得180k =，故答案为：180． 17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．【详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =−=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6−##()6−+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC ，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒−︒=︒，12dm OB =12tan 30BH ∴=⨯︒=OH =OBH OCH OBC S S S =+△△△111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =−．故答案为：(6−．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭13122=++− 52=． 20. 先化简，再求值：22432x x x x x−⋅++，其中3x =． 【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：22432x x x x x−⋅++ ()()22232x x x x x x+−⋅++= 23x x x −=+ 1x x+=， 当3x =时，原式31433+==． 21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100 （2）见解析（3）36 （4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，故答案为：100；【小问2详解】100330421015−−−−=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒， 故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人． 22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得5030x y =⎧⎨=⎩， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a −棵，根据题意，得()5030100038000a a +−≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．①在水池外取一点E ，使得点②过点E 作GH CE ⊥，并沿的长为4米；③在点F 处用测角仪测得请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈， ∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =−=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒， ∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈， ∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==−=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =−+的图像经过点()2,5A −，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQA S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =−，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x −，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =−+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x −+，则()()2113,39Q x x +−++，()11,3D x x −+，表示出()()23PD x x =+−+，13CD x =−+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x −+，则()2112,49Q x x −−+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =−代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =−+的图像经过点()2,5A −， ∴54c =−+，∴9c =，∴29y x =−+；【小问2详解】当0y =时，209x =−+，∴123,3x x =−=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b −+=⎧⎨+=⎩， ∴13k b =−⎧⎨=⎩， ∴3y x =−+，设()211,9P x x −+，则()()2113,39Q x x +−++，()11,3D x x −+， ∴()()()2211111193623PD x x x x x x =−+−−+=−++=+−+，13CD x =−+． ∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +−++−==−++， ∴DCPDQA S S △△的值为定值； 【小问3详解】设()211,9P x x −+，则()2112,49Q x x −−+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+， ∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=−+⎨−+=−+⎩， ∴12129m x n x =⎧⎨=−+⎩， ∴12129y x x x −=+，当11x x =−时， ()22111113712924y x x x x ⎛⎫=−−+=−++ ⎪⎝⎭， ∴当12x =−时，线段MN 长度的最大值374． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角． 【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ． ①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12 【解析】 【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒−︒=︒； （2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===． 【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒−︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒， ∴18019022OAE αα︒−∠==︒−， ∵90OAC ∠=︒， ∴12DAC α∠=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=， ∴1122DFC ααα∠=+=， ∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==， ∴由勾股定理得53OC r =， ∵23CE OE =， ∴23CE r =， ∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==， ∵OG AE ⊥，OA OE =， ∴12EOG α∠=， ∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴12EAH EOG α∠=∠=， 在Rt OAH △中，4tan 3AH OH α==， ∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =−=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠=== ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥， ∴12ACB DAC α∠=∠=， 而12EAH α∠=， ∴12ACB α∠=， ∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

湖南省湘潭市2020 年中考数学试卷一、1．（ 3 分）（ 2020?湘潭）以下各数中是无理数的是（A．B．2C．0）D．考点：无理数．剖析：无理数就是无穷不循小数．理解无理数的观点，必定要同理解有理数的观点，有理数是整数与分数的称．即有限小数和无穷循小数是有理数，而无穷不循小数是无理数．由此即可判断．解答：解： A 、正确；B 、是整数，是有理数，；C、是整数，是有理数，；D 、是分数，是有理数，．故 A．点：此主要考了无理数的定，此中初中范内学的无理数有：不尽的数；以及像0.1010010001 ⋯，等有律的数．π， 2π等；开方开2．（ 3 分）（ 2020?湘潭）以下算正确的选项是（）A ． a+a 2=a3﹣1=C． 2a?3a=6a D． 2+=2 B． 2考点：式乘式；数的运算；归并同；整数指数．：算．剖析：A 、原式不可以归并，；B、原式利用指数法算获得果，即可做出判断；D、原式不可以归并，．解答：解： A 、原式不可以归并，故；B 、原式 =，故正确；D、原式不可以归并，故．故 B．点：此考了式乘式，熟掌握运算法是解本的关．3．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如，接AC 、 BC ，再取它的中点AB 是池塘两头，一方法量D、 E，得 DE=15 米， AB= （AB的距离，取点）米．C，A ．B． 15C．D． 30考点：三角形中位定理：用．剖析：依据三角形的中位得出AB=2DE ，代入即可求出答案．解答：解：∵ D 、 E 分是 AC 、 BC 的中点， DE=15 米，∴AB=2DE=30 米，应选 D．评论：本题考察了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．4．（ 3 分）（ 2020?湘潭）分式方程的解为（）A ． 1B． 2C． 3D． 4考点：解分式方程．专题：计算题．剖析：分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获得x 的值，经查验即可获得分式方程的解．解答：解：去分母得： 5x=3x+6 ，移项归并得：2x=6 ，解得： x=3 ，经查验 x=3 是分式方程的解．应选 C．评论：本题考察认识分式方程，解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．解分式方程必定注意要验根．5．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如图，所给三视图的几何体是（）A ．球B．圆柱C．圆锥D．三棱锥考点：由三视图判断几何体剖析：由主视图和左视图确立是柱体，锥体仍是球体，再由俯视图确立详细形状．解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．应选 C．评论：本题考察了由三视图判断几何体的知识，解题的重点是认识主视图和左视图的大概轮廓为长方形的几何体为锥体．6．（ 3 分）（ 2020?湘潭）式子存心义，则x 的取值范围是（）A ． x＞ 1B． x＜ 1C． x≥1D． x≤1考点：二次根式存心义的条件．专题：计算题．剖析：依据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣ 1≥0，经过解该不等式即可求得x 的取值范围．解答：解：依据题意，得x﹣ 1≥0，解得， x≥1．应选 C．评论：本题考察了二次根式的意义和性质．观点：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．7．（ 3 分）（ 2020?湘潭）以下四个命题正确的选项是（A ．随意三点能够确立一个圆B ．菱形对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D ．平行四边形的四条边相等）考点：命题与定理剖析：利用确立圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确立答案．解答：解： A 、不在同向来线上的三点确立一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不必定相等，故错误；D、平行四边形的四条边不必定相等．应选 C．评论：本题考察了命题与定理的知识，解题的重点是认识确立圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．8．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如图，A 、 B 两点在双曲线y=上，分别经过 A、 B 两点向轴作垂线段，已知 S 暗影 =1 ，则 S1+S2=（）A ． 3B． 4C． 5D． 6考点：反比率函数系数k 的几何意义．剖析：欲求 S1+S2，只需求出过 A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y= 的系数 k，由此即可求出 S1+S2．解答：解：∵点 A 、B 是双曲线 y= 上的点，分别经过 A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段，则依据反比率函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4 ﹣ 1×2=6 ．应选 D．评论：本题主要考察了反比率函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有必定的难度．二、填空题9．（ 3 分）（ 2020?湘潭）﹣ 3 的相反数是3．考点：相反数．剖析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．解答：解：﹣（﹣ 3） =3，故﹣ 3 的相反数是3．故答案为： 3．评论：本题考察了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是义与倒数的意义混杂．“﹣”号．一个正数0．学生易把相反数的意10．（ 3 分）（ 2020?湘潭）分解因式：ax﹣ a= a（ x﹣ 1）．考点：因式分解 -提公因式法．剖析：提公因式法的直策应用．察看原式ax﹣ a，找到公因式a，提出即可得出答案．解答：解： ax﹣a=a（ x﹣ 1）．评论：考察了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，而后再考虑公式法．要求灵巧运用各样方法进行因式分解．该题是直接提公因式法的运用．11．（3 分）（ 2020?湘潭）未测试两种电子表的走时偏差，做了以下统计均匀数方差甲乙则这两种电子表走时稳固的是甲．考点：方差；算术均匀数．剖析：依据方差的意义判断，方差反应了一组数据的颠簸大小，方差越大，颠簸性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．解答：解：∵甲的方差是，乙的方差是，＜，∴这两种电子表走时稳固的是甲；故答案为：甲．评论：本题考察方差的意义．它反应了一组数据的颠簸大小，方差越大，颠簸性越大，反之也成立．12．（ 3 分）（ 2020?湘潭）计算：（）2﹣ |﹣ 2|= 1．考点：实数的运算．专题：计算题．剖析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可获得结果．解答：解：原式 =3﹣ 2=1 ．故答案为： 1．评论：本题考察了实数的运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．13．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如图，直线a、b 被直线 c 所截，若知足∠1=∠2，则a、b 平行．考点：平行线的判断．专题：开放型．剖析：依据同位角相等两直线平行可得∠1=∠ 2 时， a∥ b．解答：解：∵∠ 1=∠ 2，∴a∥ b（同位角相等两直平行），故答案：∠ 1= ∠2．点：此主要考了平行的判断，关是掌握同位角相等两直平行．14．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如，⊙ O 的半径 3， P 是 CB 延上一点， PO=5， PA 切⊙ O于A点， PA= 4 ．考点：切的性；勾股定理．：算．剖析：先依据切的性获得OA ⊥ PA，而后利用勾股定理算PA 的．解答：解：∵PA 切⊙O 于 A 点，∴OA ⊥PA，在 Rt△OPA 中， OP=5， OA=3 ，∴PA==4．故答案 4．点：本考了切的性：的切垂直于切点的半径．也考了勾股定理．15．（ 3 分）（ 2020?湘潭）七、八年学生疏到雷、毛念参，共589 人，到毛念的人数是到雷念人数的 2 倍多 56 人．到雷念的人数x 人，可列方程2x+56=589 x．考点：由抽象出一元一次方程．剖析：到雷念的人数x 人，到毛念的人数（589 x）人，依据到毛念的人数是到雷念人数的 2 倍多 56 人．列方程即可．解答：解：到雷念的人数x 人，到毛念的人数（589 x）人，由意得， 2x+56=589 x．故答案： 2x+56=589 x．点：本考了由抽象出一元一次方程，解答本的关是懂意，出未知数，列出方程．16．（ 3 分）（ 2020?湘潭）如，按此律，第 6 行最后一个数字是 16 ，第 672 行最后一个数是 2020 ．考点：律型：数字的化．剖析：每一行的最后一个数字组成等差数列1， 4， 7， 10⋯，易得第n 行的最后一个数字1+3（ n 1）=3n 2，由此求得第 6 行最后一个数字，成立方程求得最后一个数是2020在哪一行．解答：解：每一行的最后一个数字组成等差数列1，4， 7， 10⋯，第 n 行的最后一个数字1+3 （ n 1） =3n 2，∴第 6 行最后一个数字是3×6 2=16；3n2=2020解得n=672．所以第 6 行最后一个数字是16，第 672 行最后一个数是2020．故答案为： 16，672．评论：本题考察数字的摆列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．三、综合解答题17．（ 2020?湘潭）在边长为 1 的小正方形网格中，△AOB 的极点均在格点上，（1） B 点对于 y 轴的对称点坐标为（﹣ 3，2）；（2）将△ AOB 向左平移 3 个单位长度获得△ A 1O1B1，请画出△ A 1O1B 1；（3）在（ 2）的条件下， A 1的坐标为（﹣ 2，3）．考点：作图 -平移变换；对于x 轴、 y 轴对称的点的坐标．专题：作图题．剖析：（ 1）依据对于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）依据网格结构找出点 A 、O、B 向左平移后的对应点 A1、 O1、 B1的地点，而后按序连结即可；（3）依据平面直角坐标系写出坐标即可．解答：解：（ 1） B 点对于 y 轴的对称点坐标为（﹣3， 2）；（2）△ A 1O1B 1以下图；（3） A 1的坐标为（﹣ 2， 3）．故答案为：（ 1）（﹣ 3， 2）；（ 3）（﹣ 2， 3）．评论：本题考察了利用平移变换作图，对于y 轴对称点的坐标，娴熟掌握网格结构正确找出对应点的地点是解题的重点．18．（ 2020?湘潭）先化简，在求值：（+）÷，此中x=2．考点 ：分式的化简求值． 专题 ：计算题．剖析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法例计算，同时利用除法法例变形，约分即可获得结果．解答：解：原式 =[+ ]?=?=，当 x=2 时，原式 ==．评论：本题考察了分式的化简求值，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．19．（ 2020?湘潭）如图，修公路碰到一座山，于是要修一条地道．为了加速施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延伸线上，假想过 C 点作直线 AB 的垂线 L ，过点 B 作向来线（在山的旁边经过） ，与 L 订交于 D 点，经丈量∠ ABD=135 °， BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（ ≈，精准到 1 米）考点 ：勾股定理的应用．剖析：第一证明△ BCD 是等腰直角三角形，再依据勾股定理可得CD 2+BC 2=BD 2，而后再代入 BD=800 米进行计算即可．解答：解：∵ CD ⊥ AC ，∴∠ ACD=90 °， ∵∠ ABD=135 °， ∴∠ DBC=45 °， ∴∠ D=45 °， ∴ CB=CD ，在 Rt △DCB 中： CD 2+BC 2=BD 2，2CD 2=8002，CD=400 ≈566（米），答：直线 L 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖．评论：本题主要考察了勾股定理的应用， 在应用勾股定理解决实质问题时勾股定理与方程的联合是解决实质问题常用的方法，重点是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出正确的表示图．领悟数形联合的思想的应用．20．（ 2020?湘潭）如图，将矩形 ABCD 沿 BD 对折，点 A 落在 E 处， BE 与 CD 订交于 F ，若 AD=3 ， BD=6 ．（1）求证：△ EDF≌△ CBF ；（2）求∠ EBC ．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判断与性质；矩形的性质剖析：（ 1）第一依据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC ，∠ E=∠ C=90 °，对顶角∠ DFE=∠BFC ，利用 AAS 可判断△ DEF ≌△ BCF；（2）在 Rt△ABD 中，依据 AD=3 ，BD=6 ，可得出∠ ABD=30 °，而后利用折叠的性质可得∠ DBE=30 °，既而可求得∠ EBC 的度数．解答：（ 1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC ，∠ E=∠ C=90°，在△ DEF 和△ BCF 中，，∴△ DEF≌△ BCF （ AAS ）；（2）解：在 Rt△ABD 中，∵ AD=3 ，BD=6 ，∴∠ ABD=30 °，由折叠的性质可得；∠DBE= ∠ ABD=30 °，∴∠ EBC=90 °﹣ 30°﹣ 30°=30°．评论：本题考察了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是重点．21．（ 2020?湘潭）某公司新增了一个化工项目，为了节俭资源，保护环境，该公司决定购置A 、B 两种型号的污水办理设施共8 台，详细状况以下表：A 型B 型价钱（万元 /台）1210月污水办理能力（吨/月） 200160经估算，公司最多支出89 万元购置设施，且要求月办理污水能力不低于1380 吨．（1）该公司有几种购置方案？（2）哪一种方案更省钱，说明原因．考点：一元一次不等式组的应用剖析：（ 1）设购置污水办理设施 A 型号 x 台，则购置 B 型号（ 8﹣ x）台，依据公司最多支出 89 万元购置设施，要求月办理污水能力不低于1380 吨，列出不等式组，而后找出最适合的方案即可．（ 2）计算出每一方案的花销，经过比较即可获得答案．解答：解：设购置污水办理设施 A 型号 x 台，则购置 B 型号（ 8﹣ x）台，依据题意，得，解这个不等式组，得：≤x≤．∵x 是整数，∴x=3 或 x=4 ．当 x=3 时， 8﹣ x=5；当 x=4 时， 8﹣ x=4．答：有 2 种购置方案：第一种是购置 3 台 A 型污水办理设施， 5 台 B 型污水办理设施；第二种是购置 4 台 A 型污水办理设施， 4 台 B 型污水办理设施；（2）当 x=3 时，购置资本为 12×1+10×5=62（万元），当 x=4 时，购置资本为 12×4+10×4=88（万元）．由于 88＞ 62，所认为了节俭资本，应购污水办理设施A型号 3台，B型号 5台．答：购置 3 台 A 型污水办理设施， 5 台 B 型污水办理设施更省钱．评论：本题考察了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转变为求不等式组的整数解问题，经过表格获得有关信息，在实质问题中抽象出不等式组是解决这种问题的重点．22．（ 2020?湘潭）有两个结构完整同样（除所标数字外）的转盘A、 B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为何？考点：列表法与树状图法．剖析：第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得全部等可能的结果与 A 大于 B 的有 5种状况， A 小于 B 的有 4 种状况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：选择 A 转盘．画树状图得：∵共有 9 种等可能的结果， A 大于 B 的有 5 种状况， A 小于 B 的有 4 种状况，∴P（A 大于 B）=，P（ A 小于 B）=，∴选择 A 转盘．评论：本题考察的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法能够不重复不遗漏的列出全部可能的结果，列表法适合于两步达成的事件，树状图法适合两步或两步以上达成的事件．用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．23．（ 2020?湘潭）从全校1200 名学生中随机选用一部分学生进行检查，检查状况： A 、上网时间≤1 小时； B、 1 小时＜上网时间≤4 小时； C、4 小时＜上网时间≤7 小时； D 、上网时间＞ 7 小时．统计结果制成了如图统计图：（1）参加检查的学生有200 人；（2）请将条形统计图补全；（3）请预计全校上网不超出7 小时的学生人数．考点：条形统计图；用样本预计整体；扇形统计图剖析：（ 1）用 A 的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）用总人数减去 A、 B 、D 的人数，再画出即可；（3）用总人数乘以全校上网不超出 7 小时的学生人数所占的百分比即可．解答：解：（ 1）参加检查的学生有 20÷=200（人）；故答案为： 200；（2） C 的人数是： 200﹣ 20﹣ 80﹣ 40=60 （人），补图以下：（3）依据题意得：1200 ×=960（人），答：全校上网不超出7 小时的学生人数是960 人．评论：本题考察的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不一样的统计图中获得必需的信息是解决问题的重点．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反应部分占整体的百分比大小．24．（ 2020?湘潭）已知两直线L 1： y=k 1x+b 1， L 2： y=k 2x+b2，若 L1⊥ L 2，则有 k1?k2=﹣1．（1）应用：已知 y=2x+1 与 y=kx ﹣ 1 垂直，求 k；（2）直线经过 A （ 2， 3），且与 y=x+3 垂直，求分析式．考点：两条直线订交或平行问题剖析：（ 1）依据 L 1⊥ L 2，则 k1?k2=﹣ 1，可得出k 的值即可；（2）依据直线相互垂直，则 k1?k2=﹣ 1，可得出过点 A 直线的 k 等于 3，得出所求的分析式即可．解答：解：（ 1）∵ L 1⊥L 2，则 k1?k2=﹣ 1，∴2k=﹣ 1，∴k= ﹣；（ 2）∵过点 A 直线与 y=x+3 垂直，∴设过点 A 直线的直线分析式为y=3x+b ，把 A （ 2， 3）代入得， b=﹣ 3，∴分析式为 y=3x ﹣ 3．评论：本题考察了两直线订交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k 值的乘积为﹣1．25．（ 2020?湘潭）△ ABC 为等边三角形，边长为a， DF⊥ AB ，EF⊥AC ，（1）求证：△ BDF ∽△ CEF；（2）若 a=4，设 BF=m ，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并研究当m 为何值时S 取最大值；（3）已知 A 、 D、 F、 E 四点共圆，已知tan∠ EDF= ，求此圆直径．考点：相像形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形专题 ：综合题；研究型．剖析：（ 1）只需找到两组对应角相等即可．（ 2）四边形 ADFE 面积 S 能够当作△ ADF 与△ AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD 、DF 、AE 、EF 的长，从而能够用含 m 的代数式表示 S ，而后经过配方，转变为二次函数的最值问题，就能够解决问题．（ 3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将∠ EDF 转变为∠ EAF ．在△ AFC 中，知道 tan ∠ EAF 、∠ C 、 AC ，经过解直角三角形即可求出 AF 长．解答：解：（ 1）∵ DF ⊥ AB ， EF ⊥ AC ，∴∠ BDF= ∠ CEF=90 °．∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ B=∠ C=60 °．∵∠ BDF= ∠ CEF ，∠ B= ∠ C ，∴△ BDF ∽△ CEF ．（ 2）∵∠ BDF=90 °，∠B=60 °， ∴ sin60°==，cos60°==．∵ BF=m ，∴ DF=m ， BD= ． ∵ AB=4 ，∴ AD=4 ﹣．∴ S △ ADF =AD ?DF= ×（ 4﹣） ×m= ﹣ m 2+m ．同理： S △AEF =AE ?EF= ×（ 4﹣） ×（ 4﹣ m ）= ﹣ m 2+2．∴ S=S △ADF +S △ AEF=﹣ m 2+m+2=﹣（ m 2﹣ 4m ﹣ 8）2 =﹣（ m ﹣ 2） +3．此中 0＜ m ＜ 4．∴当 m=2 时， S 取最大值，最大值为3．∴ S 与 m 之间的函数关系为： 2 S ═﹣（ m ﹣ 2） +3（此中 0＜ m ＜ 4）．（ 3）如图 2，∵ A 、 D 、 F 、 E 四点共圆，∴∠ EDF= ∠ EAF ．∵∠ ADF= ∠ AEF=90 °，∴ AF 是此圆的直径．∵ tan ∠ EDF= ，∴ tan ∠ EAF= ．∴ =．∵∠ C=60°，∴ =tan60°=．设 EC=x ，则 EF=x ，EA=2x ． ∵ AC=a ，∴ 2x+x=a ．∴ x= ．∴ EF=， AE= ．∵∠ AEF=90 °，∴ AF== ．∴此圆直径长为．评论：本题考察了相像三角形的判断、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转变到适合的地点是解决最后一小题的重点．26．（2020?湘潭）已知二次函数 y=﹣ x 2+bx+c 的对称轴为 x=2 ，且经过原点，直线 AC 分析式为y=kx+4 ，（ 1）求二次函数分析式；（ 2）若 =，求 k ；（3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k ．考点 ：二次函数综合题．剖析：（ 1）由对称轴为 x= ﹣，且函数过（ 0， 0），则可推出 b ， c ，从而得函数分析式．（ 2） =，且两三角形为同高不一样底的三角形，易得 =，考虑计算方即可作 B ， C 对 x轴的垂线，从而有 B ，C 横坐标的比为 =．由 B ，C 为直线与二次函数的交点，则联立可求得 B ， C 坐标．由上述倍数关系，则 k 易得． （ 3）以 BC 为直径的圆经过原点，即∠ BOC=90 °，一般考虑表示边长，再用勾股定理结构方程求解 k ．但是这个思路计算量异样复杂， 基本不考虑， 再考虑（ 2）的思路，发现 B ，C 横纵坐标恰巧可表示出 EB ，EO ，OF ，OC ．而由∠ BOC=90 °，易证△ EBO∽△ FOC ，即 EB?FC=EO?FO ．有此结构方程发现 k 值大多可约去，从而可得k 值． 解答：解：（ 1）∵二次函数 y=﹣ x 2+bx+c 的对称轴为 x=2 ，且经过原点，∴﹣ =2，0=0+0+c ，∴ b=4， c=0， 2∴ y=﹣ x +4x ．（ 2）如图 1，连结 OB ， OC ，过点 A 作 AE ⊥ y 轴于 E ，过点 B 作 BF ⊥ y 轴于 F ，∵ =，∴ =，∴ =，∵ EB ∥ FC ，∴ ==．2∵ y=kx+4 交 y=﹣ x +4x 于 B ， C ，∴ kx+4= ﹣ x 2+4x ，即 x 2+（ k ﹣ 4） x+4=0 ， ∴△ =（ k ﹣ 4） 2﹣ 4?4=k 2﹣ 8k ，∴ x= ，或 x= ，∵ x B ＜ x C ，∴ EB=x B =， FC=x C =，∴ 4?=，解得 k=9（交点不在 y 轴右侧，不符题意，舍去）或k=﹣ 1．∴ k= ﹣ 1．（ 3）∵∠ BOC=90 °，∴∠ EOB+ ∠ FOC=90 °，∵∠ EOB+ ∠ EBO=90 °，∴∠ EBO= ∠ FOC ， ∵∠BEO= ∠ OFC=90 °， ∴△EBO ∽△ FOC ，∴，∴ EB?FC=EO?FO ．∵ x B =， x C =，且 B 、 C 过 y=kx+4 ，∴ y B =k?+4， y C =k?+4，∴ EO=y B =k?+4， OF=﹣ y C =﹣ k?﹣ 4，∴ ?=（ k?+4） ?（﹣ k?﹣ 4），整理得 16k= ﹣ 20，∴ k= ﹣．评论：本题考察了函数图象交点的性质、 相像三角形性质、 一元二次方程及圆的基本知识． 题目特别，貌似思路不难，但若思路不对，计算异样复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．。

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是()A ．2B ．2-C ．12D ．12-【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：2-的相反数是2，故选：A ．2．（3分）下列整式与2ab 为同类项的是()A ．2a bB ．22ab -C ．ab D ．2ab c【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．【解答】解：在2a b ，22ab -，ab ，2ab c 四个整式中，与2ab 为同类项的是：22ab -，故选：B ．3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具数量（件)35475048426068则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是()A ．48，47B ．50，47C ．50，48D ．48，50【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均数即可．【解答】解：这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数1(35475048426068)507x =⨯++++++=（件)；将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，因此中位数是48，故选：C ．4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的特点解答即可．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；故选：A．5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是()A．404312x yx y+=⎧⎨+=⎩B．124340x yx y+=⎧⎨+=⎩C．403412x yx y+=⎧⎨+=⎩D．123440x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解： 组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，12x y∴+=；又 桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，4340x y∴+=．∴列出的方程组为12 4340 x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：B ．6．（3分）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则(BCD ∠=)A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【分析】根据平行线的性质可求得ACD ∠，即可求出BCD ∠．【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，40BAC ∠=︒，//AB CD ∴，40ACD BAC ∴∠=∠=︒，80ACB ∠=︒ ，120BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=︒，故选：C ．7．（3分）在ABC ∆中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:(ADE ABC S S ∆∆=)A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：在ABC ∆中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽，211:(24ADE ABC S S ∆∆∴==．故选：D ．8．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan (α=)A ．2B ．32C ．12D ．55【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tan α的值．【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1415⨯+=，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则225a b +=，1a b -=，解得2a =，1b =或1a =，2b =-（不合题意，舍去），2tan 21a b α∴===，故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9．（3分）若a b >，则下列四个选项中一定成立的是()A ．22a b +>+B ．33a b->-C ．44a b>D ．11a b -<-【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可．【解答】解：A ．22a b +>+，a b > ，22a b ∴+>+，故A 选项符合题意；B ．33a b ->-，a b > ，33a b ∴-<-，故B 选项不符合题意；C ．44a b >，a b > ，∴44a b >，故C 选项符合题意；D ．11a b -<-，a b > ，11a b ∴->-，故D 选项不符合题意；故选：AC ．10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一)班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：030x <，3060x <，6090)x <．则下列说法正确的是()A ．该班有40名学生B ．该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数最多C ．该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是5D ．该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数的80%【分析】把三个组的频数加起来判断A 选项；根据该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数为25人判断B 选项；根据该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是10判断C 选项；根据该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=判断D 选项．【解答】解：A 选项，1025540++=（名)，故该选项符合题意；B 选项，该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数最多，故该选项符合题意；C 选项，该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是10，故该选项不符合题意；D 选项，该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=，故该选项不符合题意；故选：AB ．11．（3分）下列计算正确的是()A ．422a a -=B ．325a a a ⋅=C ．224(3)6a a =D ．624a a a ÷=【分析】根据实数指数幂的运算方法分别判断各个选项即可．【解答】解：A ．422a a -=，422a a a -= ，故A 选项不符合题意；B ．325a a a ⋅=，计算正确，故B 选项符合题意；C ．224(3)6a a =，224(3)9a a = ，故C 选项不符合题意；D ．624a a a ÷=，计算正确，故D 选项符合题意；故选：BD ．12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段2AB =，分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ；②连接AC 、BC ，作直线CD ，且CD 与AB 相交于点H ．则下列说法正确的是()A ．ABC ∆是等边三角形B ．AB CD ⊥C ．AH BH=D ．45ACD ∠=︒【分析】利用基本作图得到CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，则可对A 选项、B 选项和C 选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D 选项进行判断．【解答】解：由作法得CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，ABC ∴∆为等边三角形，AB CD ⊥，AH BH =，所以A 、B 、C 选项符合题意；1302ACD ACB ∴∠=∠=︒．所以D 选项不符合题意；故选：ABC ．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13．（3分）四个数1-，0，12【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解答】解：四个数1-，0，1214．（3分）请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式2y x =-（答案不唯一）．【分析】根据y 随着x 的增大而增大时，比例系数0k >即可确定一次函数的表达式．【解答】解：在y kx b =+中，若0k >，则y 随x 增大而增大，∴只需写出一个0k >的一次函数表达式即可，比如：2y x =-，故答案为：2y x =-（答案不唯一）．15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为5410⨯米．【分析】根据科学记数法的形式改写即可．【解答】解：400000米用科学记数法表示为5410⨯米，故答案为：5410⨯．16．（3分）如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则AEF ∠=40︒．【分析】根据平面镜反射的规律得到20EDO CDB ∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，根据三角形内角和定理求出OED ∠的度数，即可得到AEF OED ∠=∠的度数．【解答】解： 一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，20EDO CDB ∴∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，1801801202040OED AOB EDO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，40AEF OED ∴∠=∠=︒．故答案为：40︒．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(4,0)B -，(2,2)C -．将ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到△111A B C ．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A (1,1)，1B ，1C ；（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；（2）根据弧长公式直接求值即可．【解答】解：（1）由图知，1(1,1)A ，1(0,4)B ，1(2,2)C ，故答案为：(1,1)，(0,4)，(2,2)；（2）由题意知，点B 旋转到点1B 的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90︒，∴弧长为：9042180ππ⨯=．18．（6分）先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷-⋅--+，其中2x =．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．【解答】解：原式21(1)(3)(3)31x x x x x x x x +=⋅+--⋅-+31x =+-2x =+，当2x =时，原式224=+=．19．（6分）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：AEC DEB ∆∆∽；（2）连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求O 的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB 的长，从而可以得到O 的半径．【解答】（1）证明：C B ∠=∠ ，AEC DEB ∠=∠，AEC DEB ∴∆∆∽；（2）解：C B ∠=∠ ，30C ∠=︒，30B ∴∠=︒，AB 是O 的直径，3AD =，90ADB ∴∠=︒，6AB ∴=，O ∴ 的半径为3．20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一)班由1A 、2A 、3A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若1A 、2A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A 、B 、C 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由1A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由2A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：1A 、2A 、3A ；1A 、3A 、2A ；2A 、1A 、3A ；2A 、3A 、1A ；3A 、1A 、2A ；3A 、2A 、1A ；共6种等可能的情况数；（2）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，则1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是3193=．21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618)DH AH≈：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20AB AC cm ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少1.732)≈【分析】作BE AH ⊥于点E ，根据三角函数求出AE 和EB ，再利用等腰直角三角形的性质得出DE ，再根据比例关系求出AH 的长度即可．【解答】解：作BE AH ⊥于点E ，120BAC ∠=︒ ，AH 平分BAC ∠，60BAE ∴∠=︒，1cos 602010()2AE AB cm ∴=⋅︒=⨯=，sin 602017.32()BE AB cm =⋅︒==，BD CD = ，90BDC ∠=︒，45BDE ∴∠=︒，17.32DE BE cm ∴==，1017.3227.32()AD AE DE cm ∴=+=+=， 0.618DH AH=，即27.320.618AH AH -=，解得72AH ≈，∴最少需要准备72cm 长的伞柄．22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集25354615343675834734数据整理本数02x <24x <46x <68x <组别A B C D 频数2m 63数据分析绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题：（1）在统计表中，m =9；（2）在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为；（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．【分析】（1）根据各组的频数之和等于总人数可得m 的值；（2）用360︒乘以样本中C 组人数所占比例即可；（3）用总人数乘以样本中C 、D 组人数和占被调查人数的比例即可．【解答】解：（1）由已知数据得B 组的频数20(263)9m =-++=，故答案为：9；（2）在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为636010820︒⨯=︒，故答案为：108︒；（3）632009020+⨯=（人)，答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12)m 和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1AE m =的水池，且需保证总种植面积为232m ，试分别确定CG 、DG 的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？【分析】（1）设水池的长为a m ，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，得出面积关于x 的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）(2112)33()m -÷= ，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为212336()m ⨯=，设水池的长为a m ，则水池的面积为21()a a m ⨯=，3632a ∴-=，解得4a =，4DG m ∴=，1248()CG CD DG m ∴=-=-=，即CG 的长为8m 、DG 的长为4m ；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，∴总种植面积为227147(213)3(7)3()24x x x x x -⋅=--=--+，30-< ，∴当72x =时，总种植面积有最大值为21474m ，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为21474m ．24．（8分）已知(3,0)A 、(0,4)B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．【分析】（1）作PC x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，可知矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==，利用//PD OA ，得PDB AOB ∆∆∽，从而求出点P 的坐标，利用待定系数法解决问题；（2）利用翻折的性质得，ON NM =，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =，再根据AOB AON ABN S S S ∆∆∆=+，求出点N 的坐标，利用待定系数法解决问题．【解答】解：（1）作PC x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，则四边形OCPD 是矩形，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，PC PD ∴=，∴矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==，(3,0)A 、(0,4)B ，3OA ∴=，4OB =，4BD x ∴=-，//PD OA ，PDB AOB ∴∆∆∽，∴PD BD AO BO =，∴434x x -=，解得127x =，12(7P ∴，127，设过点P 的函数表达式为k y x =，12121447749k xy ∴==⨯=，14449y x∴=；（2）方法一： 将AON ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，ON NM ∴=，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =，AOB AON ABN S S S ∆∆∆∴=+，∴1113435222ON MN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得，32ON =，3(0,)2N ∴，设直线AN 的函数解析式为32y mx =+，则3302m +=，12m ∴=-，∴直线AN 的函数解析式为1322y x =-+．方法二：利用BMN BOA ∆∆∽，求出BN 的长度，从而得出ON 的长度，与方法一同理得出答案．25．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．（1）特例体验：如图①，若直线//l BC ，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转(045)αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转(4590)αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S ∆．【分析】（1）易证ABD ∆和ACE ∆是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可．（2）（Ⅰ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可；（Ⅱ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可；（3）根据题意可证明ABD FBA ∆∆∽，由此可得出BF 的长，根据BFC ABC ABF S S S ∆∆∆=-，可得出结论．【解答】解：（1）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，//l BC ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，45CAE ACB ∠=∠=︒，45DAB ABD ∴∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，AD BD ∴=，AE CE =，AB AC ==1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=；（2）（Ⅰ）DE BD CE =+．理由如下：在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+．（Ⅱ）DE BD CE =-．理由如下：在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=-=-．（3）由（2）可知，ABD CAE ∠=∠，DE AE AD BD CE =-=-90BAC ADB ∠=∠=︒ ，ABD FBA ∴∆∆∽，::AB FB BD AB ∴=，3CE = ，1DE =，4AE BD ∴==，5AB ∴=．254BF ∴=．2112525532248BFC ABC ABF S S S ∆∆∆∴=-=⨯-⨯⨯=．26．（10分）已知抛物线2y x bx c =++．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交点(0,3)B -，连接AB ．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点(3,0)D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．【分析】（1）（Ⅰ）将A ，B 两点坐标代入抛物线的解析式求得b ，c ．从而得出结果；（Ⅱ）求出AB 的解析式，设出点P 坐标，表示出M 点坐标，从而表示出PH 和HM 的长，分别列出3PH HM =和32PH HM =时的方程，从而求得m 的值，进而求得P 点坐标；（2）分为0b >和0b <两种情形．当0b >时，抛物线对称轴在y 轴左侧，此时求得抛物线与y 轴交点，只需交点在点C 的上方，就满足抛物线与线段CE 没有交点，进一步求得结果，当0b <时，类似的方法求得这种情形b 的范围．【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，3930c b c =-⎧⎨++=⎩，∴32c b =-⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=--；（Ⅱ）存在点P ，使得点M 是线段PH 的三等分点，理由如下：(0,3)B - ，(3,0)A ，∴直线AB 的解析式为：3y x =-，设点2(,23)P m m m --，(,3)M m m -，223PH m m ∴=-++，3HM m =-，当3PH HM =时，2233(3)m m m -++=-，化简得，2560m m -+=，12m ∴=，23m =，当2m =时，222233y =-⨯-=-，(2,3)P ∴-，当3m =时，232330y =-⨯-=，此时(3,0)P （舍去），当32PH HM =时，2323(3)2m m m -++=-，化简得，22730m m -+=，33m ∴=（舍去），212m =，当12m =时，21115(23224y =-⨯-=-，1(2P ∴，15)4-，综上所述：(2,3)P -或1(2，15)4-；（2）如图1，抛物线2y x bx c =++过点(3,0)D -，2(3)30b c ∴--+=，39c b ∴=-，2(39)y x bx b ∴=++-，把3x =-，0y =代入43y x n =+得，40(3)3n =⨯-+，4n ∴=，4OC ∴=，90COD ∠=︒ ，3OD =，4OC =，5CD ∴=，四边形CDFE 是菱形，5CE CD ∴==，(5,4)E ∴，当02b -<时，即0b >时，当0x =时，39y b =-，(0,39)G b ∴-， 该抛物线与线段CE 没有交点，394b ∴->，133b ∴>，当0b <时，当5x =时，25539816y b b b =++-=+，(5,816)H b ∴+，抛物线与CE 没有交点，8164b ∴+<，32b ∴<-，综上所述：133b >或32b <-．第２１页，共２１页。

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20XX年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2b．﹣2c．D．±22．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．b．c．D．3．（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（bmI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（）A．15b．150c．200D．2000 4．（3分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（1，2）b．（﹣1，﹣2）c．（1，﹣2）D．（2，﹣1）5．（3分）如图，已知点e、F、g．h分别是菱形AbcD各边的中点，则四边形eFgh是（）第1页（共23页）A．正方形b．矩形c．菱形D．平行四边形6．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5b．x2?x3=x5c．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x37．（3分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（）A．b．c．D．8．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2=．10．（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，b，c，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题b的概率是．11．（3分）分式方程=1的解为．b．m≤1c．m＞1D．m＜112．（3分）如图，在等边三角形Abc中，点D是边bc的中点，则∠bAD=．第2页（共23页）13．（3分）如图，Ab是∠o的切线，点b为切点，若∠A=30°，则∠Aob=．14．（3分）如图，点e是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使bc∠AD，则可添加的条件为．（任意添加一个符合题意的条件即可）15．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠Abc中，∠Acb=90°，Ac+Ab=10，bc=3，求Ac的长，如果设Ac=x，则可列方程为．16．（3分）阅读材料：若ab=n，则b=logan，称b为以a为底n 的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39=．三、解答题（本题共10题，102分）17．（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷．．其中x=3．19．（6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，20XX年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点p的南偏东45°的方向上，且与观测点p的距离pA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达第3页（共23页）位于观测点p的北偏东30°方向上的b处，问此时巡逻舰与观测点p的距离pb为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．20．（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、b阅读，c足球，D 器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？21．（6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．（1）求该校的班级总数；（2）将条形统计图补充完整；（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．22．（6分）如图，在正方形AbcD中，AF=be，Ae与DF相交于点o．（1）求证：∠DAF∠∠Abe；（2）求∠AoD的度数．第4页（共23页）23．（8分）湘潭市继20XX年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？24．（8分）如图，点m在函数y=（x＞0）的图象上，过点m分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点b、c．（1）若点m的坐标为（1，3）．①求b、c两点的坐标；②求直线bc的解析式；（2）求∠bmc的面积．25．（10分）如图，Ab是以o为圆心的半圆的直径，半径co∠Ao，点m是上的动点，且不与点A、c、b重合，直线Am交直线oc于点D，连结om与cm．（1）若半圆的半径为10．①当∠Aom=60°时，求Dm 的长；②当Am=12时，求Dm的长．第5页（共23页）（2）探究：在点m运动的过程中，∠Dmc的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．26．（10分）如图，点p为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点n，且平行于x轴，点n的坐标为（0，﹣1），过点p作pm∠l于m．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得pm=pF 恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求Qp+pF的最小值．以下是为大家整理的20XX年湖南省湘潭市中考数学试卷及详细答案(2)的相关范文，本文关键词为20XX年,湖南省,湘潭市,中考,数学,试卷,详细,答案,2，您可以从右上方搜索框检索更多相关文章，如果您觉得有用，请继续关注我们并推荐给您的好友，您可以在中考初中中查看更多范文。

2022年湖南湘潭中考数学试题考生注意：本试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1. 如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是（）A BB A. 2 B. －2C. D. 1212-A2. 下列整式与为同类项的是（）2ab A. B. C. D. 2a b 22ab-ab 2ab cB3. “冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具数量（件）35475048426068则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）A. 48，47 B. 50，47C. 50，48D. 48，50C4. 下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）A. B.C. D.A5. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（）x y A. B. 404312x y x y +=⎧⎨+=⎩124340x y x y +=⎧⎨+=⎩C. D. 403412x y x y +=⎧⎨+=⎩123440x y x y +=⎧⎨+=⎩B6. 在中（如图），连接，已知，，则ABCD AC 40BAC ∠=︒80ACB ∠=︒（）BCD ∠=A. B. C. D. 80︒100︒120︒140︒C7. 在中（如图），点、分别为、的中点，则（）ABC D E AB AC :ADE ABC S S =A. B. C. D. 1:11:21:31:4D8. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（）αtan α=A. 2 B. C.3212A二、选择题（本题共4小题，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9. 若，则下列四个选项中一定成立的是（）a b >A. B. C.D.22a b +>+33a b->-44a b <11a b -<-A10. 依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数直方图：（数据分成3组：，，）．则下030x <≤3060x <≤6090x <≤列说法正确的是（）A. 该班有40名学生B. 该班学生当天完成作业时长在分钟的人数最多3060x <≤C. 该班学生当天完成作业时长在分钟的频数是5030x <≤D. 该班学生当天完成作业时长在分钟的人数占全班人数的060x <≤80%AB11. 下列计算正确的是（）A. B. C.D.422a a -=325a a a⋅=()22436a a =624a a a ÷=BD12. 如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，2AB =分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、A B AB C D AC ，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（）BC CD CD AB HA. 是等边三角形B. ABC AB CD ⊥C.D. AH BH =45ACD ∠=︒ABC三、填空题（本题共4个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上）13. 四个数－1，0，_________．12【详解】解：－1，0，是有理数；1214. 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________．y x （答案不唯一）y x =【详解】解：如，y 随x 的增大而增大．y x =故（答案不唯一）．y x =15. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约米的天宫空间站进行对接．请将米用科学记数法表示为_________米．4×105【详解】解：＝4×105，故4×105．16. 如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知CD OB OA EF ，，则_________．120AOB ∠=︒20CDB ∠=︒∠=AEF40°##40度【详解】解：依题意，，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠∵，，120AOB ∠=︒20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒∴，18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒．∴40AEF DEO ∠=∠=︒故40．四、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，ABC ()1,1A -，．将绕原点顺时针旋转后得到．()4,0B -()2,2C -ABC O 90︒111A B C △（1）请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________1A 1B 1C 1A 1B 1C （2）求点旋转到点的弧长．B 1B （1）（1，1）；（0，4）；（2，2）（2）2π【分析】（1）将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90º，OB =4，根据弧长公式即可计算求B 1B 出．【小问1详解】解：将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A 1（1，1）；B 1（0，4）；C 1（2，2）【小问2详解】解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB =4，B 1B ∴点旋转到点的弧长==2πB 1B 904180π⨯⨯本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．18. 先化简，再求值：，其中．22211391x x xx x x x +÷-⋅--+2x =x +2，4【分析】先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项．【详解】解：22211391x x x x x x x +÷-⋅--+=2(3)(3)11(1)31x x x x x x x x +⨯-⋅-++-=x +3-1=x +2．当x =2时，原式=2+2=4．此题考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．19. 如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．O AB CD E AC BD（1）求证：；AEC DEB △∽△（2）连接，若，，求⊙的半径．AD 3AD =30C ∠=︒O （1）证明见解析（2）⊙的半径为3O 【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角AD AD =C B ∠=∠相等，即可证明；（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，C B ∠=∠30B ∠=︒90ADB ∠=︒再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．30°O 【小问1详解】证明：在⊙中，O ∵，AD AD =∴，C B ∠=∠又∵,AEC DEB ∠=∠∴．AEC DEB △∽△【小问2详解】解：∵，30C ∠=︒由（1）可知，，30B C ∠=∠=︒∵直径，AB ∴，90ADB ∠=︒∴在中，，，Rt ADB 3AD =30B ∠=︒∴，26AB AD ==∴，132OA AB ==即⊙的半径为3．O本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知30°识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．30°20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位1A 2A 3A 的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，1A 2A A B C 除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片1A 记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关2A 英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或1A 2A “列表”等方法写出分析过程）A “杂交水稻之父”袁隆平B “天眼之父”南仁东C “航天之父”钱学森（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1（2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为1A 2A 13【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A 1A 2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：画树状图如下：∴共有6种等可能的结果，分别是：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1．答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A 1A 2A 3，②A 1A 3A 2，③A 2A 1A 3，④A 2A 3A 1，⑤A 3A 1A 2，⑥A 3A 2A 1．【小问2详解】解：画树状图如下：∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结1A 2A 果有3种，∴P (、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)==，1A 2A 3913答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为．1A 2A 13此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．21. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分0.618DHAH ≈AH ，，当时，伞完全打开，此时．请BAC ∠20cm AB AC ==120BAC ∠=︒90BDC ∠=︒）1.732≈72cm【分析】过点作于点，解，分别求得，进而B BE AH ⊥E Rt ,Rt ABE BED ,AE ED 求得，根据黄金比求得，求得的长，即可求解．AD DH AH 【详解】如图，过点作于点B BEAH ⊥E ，，始终平分，AB AC = 120BAC ∠=︒AH BAC ∠60BAE CAD ∴∠=∠=︒，1cos 60102AE AB AB ∴=︒⨯==BE ==,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠= ADC ADB∴ ≌90BDC ∠=︒45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+≈ 0.618DH AH ≈0.618DH DH AD∴≈+解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈答：最少需要准备长的伞柄72cm 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．22. 百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集： 2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 3 6 7 5数据整理：本数02x <≤24x <≤46x <≤68x <≤组别A B C D 频数2m 63数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题（1）在统计表中，_________；m =（2）在扇形统计图中，部分对应的圆心角的度数为_________；C （3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．（1）9（2）108º（3）90【分析】（1）由随机调查的八年级20名学生读书数量的数据直接得出m 的值；（2）根据读书数量在对应人数求出百分比再乘以360︒即可得到对应的圆心角；46x <≤（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【小问1详解】解：满足的本数有3和4，这样的数据有9个，所以m =9；24x <≤故9．【小问2详解】解：，360º×30%=108º，6100%30%20⨯=故108º．【小问3详解】解：∵20人中共有6+3=9名学生读书在4本以上，∴200××100%=90（人）920答：该校八年级学生读书在4本以上的人数为90人．本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，理解样本和总体的关系．23. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小12m 21m 组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池1m AE 且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；232m CG DG （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时BC 最大面积为多少？（1）CG 长为8m ，DG 长为4m （2）当BC =m 时，围成的两块矩形总种植面积最大=m 2721474【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y ，BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC ×DC ，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .【小问1详解】解：两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，那么AD ×DC -AE ×AH =32即12×3-1×（12-a ）=32解得：a =8∴CG =8m ，DG =4m ．【小问2详解】解：设两块矩形总种植面积为y m 2，BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，两块矩形总种植面积=BC ×DC即y =x ·(21-3x )∴y =-3x 2+21x=-3(x -)2+721474∵21-3x ≤12∴x ≥3∴当BC =m 时，y 最大=m 2．721474此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．24. 已知、是平面直角坐标系中两点，连接．()3,0A ()0,4B AB （1）如图①，点在线段上，以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点的P AB P P 反比例函数表达式；（2）如图②，点是线段上一点，连接，将沿翻折，使得点与线N OB AN AON AN O 段上的点重合，求经过、两点的一次函数表达式．AB M A N （1）14449y x=（2）1322y x =-+【分析】（1）根据的坐标，可得直线的解析式，根据题意点为与的,A B AB P y x =AB 交点，求得交点的坐标，即可求解；P（2）设，，根据题意求得，根据轴对称的性质结合图形求得()0,N n 04n ≤≤5AB =，在中，即可求得的值，进而待定系数,,BM MN BN Rt BMN △222BN BM NM =+n 法求解析式即可求解．【小问1详解】、 ()3,0A ()0,4B 设直线的解析式为，则，AB y kx b =+304k b b +=⎧⎨=⎩解得，434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩则直线的解析式为，AB 443y x =-+以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则，P P P x y =点为与的交点，∴P y x =AB ，443y x y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩解得，127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则，1212,77P ⎛⎫ ⎪⎝⎭设点的反比例函数表达式为，则，P 2k y x =214449k =；∴14449y x =【小问2详解】设，()0,N n 04n ≤≤将沿翻折，使得点与线段上的点重合，AON AN O AB M ，ON OM ∴=OA AM=、 ()3,0A ()0,4B 3,4OA OB ∴==中，Rt AOB△5AB ==，，2BM AB AM AB AO ∴=-=-=MN ON n ==4BN n=-在中，Rt BMN △222BN BM NM =+即()22242n n -=+解得32n =则30,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线的解析式为AN y sx t=+则3032s t t +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1232s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的解析式为．∴AN 1322y x =-+本题考查了坐标与图形，切线的性质，勾股定理与折叠，求直线解析式，求反比例函数解析式，求两直线交点，数形结合是解题的关键．25. 在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂ABC 90BAC ∠=︒AB AC =l A B C l 线，垂足分别为点、．DE （1）特例体验：如图①，若直线，、和的长；l BC ∥AB AC ==BD CE DE （2）规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、l A ()045αα<<︒BD 和的数量关系并说明理由；CE DE ②如图③，若直线从图①状态开始绕点A 顺时针旋转，与线段相l ()4590αα︒<<︒BC 交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；H BD CE DE（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．BD AC F 3CE =1DE =BFC S △（1）BD =1；CE =1；DE =2（2）DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析①（3）258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出，根据，得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒l BC ∥，，再根据，求出45DAB ABC ∠=∠=︒45EAC ACE ∠=∠=︒90BDA CEA ∠=∠=︒，，45ABD ∠=︒45ACE ∠=︒即可得出，最后根据三角函数得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，，即可求出；1AD BD ==1AE CE ==2DE AD AE =+=（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD =CE ，BD =AE ，即ABD CAE ∆∆≌可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出ABD CAE ∆∆≌结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出，根据，得出5AC ==DF CE ∥，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．AD AF AE CF =【小问1详解】解：∵，，90BAC ∠=︒AB AC =∴，90452ABC ACB ︒∠=∠==︒∵，l BC ∥∴，，45DAB ABC ∠=∠=︒45EAC ACE ∠=∠=︒∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴，90BDA CEA ∠=∠=︒∴，，904545ABD ∠=︒-︒=︒904545ACE ∠=-=︒︒︒∴，45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒∴，sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==∴．2DE AD AE =+=【小问2详解】DE =CE +BD ；理由如下：①∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴，90BDA CEA ∠=∠=︒∴，90DAB DBA ∠+∠=︒∵，90BAC ∠=︒∴，90DAB CAE ∠+∠=︒∴，DBA CAE ∠=∠∵AB =AC ，∴，ABD CAE ∆∆≌∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴，90BDA CEA ∠=∠=︒∴，90DAB DBA ∠+∠=︒∵，90BAC ∠=︒∴，90DAB CAE ∠+∠=︒∴，DBA CAE ∠=∠∵AB =AC ，∴，ABD CAE ∆∆≌∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．【小问3详解】根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴，314AE AD DE =+=+=在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：，5AC ==∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴，DF CE ∥∴，AD AF AE CF =即，345AF =解得：，154=AF ∴，155544CF AC AF =-=-=∵AB =AC =5，∴．1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．ABD CAE ∆∆≌26. 已知抛物线．2y x bx c =++（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．x ()3,0A y ()0,3B -AB ①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段P A P PH x ⊥H 交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的AB M P M PH P 坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点43y x n =+y C 2y x bx c =++，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与()3,0D -CD CDFE F x 线段没有交点，求的取值范围．CE b （1）①，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析223y x x =--12154（2）b <或b >32-133【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；M PH 13HM HP =23HM HP =（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE 在抛CE 物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【小问1详解】①解：把，代入，得()3,0A ()0,3B -2y x bx c =++，20333b c c ⎧=++⎨-=⎩解得：，23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把，代入，得()3,0A ()0,3B -，303k b b +=⎧⎨=-⎩解得，13k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点是线段的三等分点，M PH则或，13HM HP =23HM HP =即或，232331m m m -=--232332m m m -=--解得：m =2或m =或m =3，12经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（，-）12154【小问2详解】解：把点D （-3，0）代入直线，解得n =4，43y x n =+∴直线，443y x =+当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD ，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点在抛物线上，()3,0D -2y x bx c =++∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴，239y b x bx =++-∵该抛物线与线段没有交点，CE 分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <或b >32 133。