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数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何第一章：立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章：空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章：立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章：立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章：立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章：立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章：立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章：立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章：立体几何中的定理与性质（续）9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章：立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路第十一章：立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章：立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章：立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章：立体几何中的不等式与最值（续）14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题（续）利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章：立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析（续）立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析（续）分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路重点和难点解析重点：理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值（续）、立体几何的综合与应用。

竞赛辅导-立体几何

竞赛辅导-立体几何
B1 C 1 CB ⊥ 底面 ABC ， 且 AC 1 ⊥ BC . 距离； （ 1） 求异面直线 AA1 与 B1C 1 间的 距离； ）
（ 2） 求侧面 A1 B1 BA 与底面 ABC 所成二 ） 面角的度数． 面角的 度数．
19
变式五
20
21
练习 1: (1998 年全国高中数学联赛题 年全国高中数学联赛题) 设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱 AB、BC、CD 的中点 , 则二 面角 C ─FG ─E 的大 的中点, 小是( 小是( ) 6 π 3 (A) arc sin (B) + arc cos 3 2 3
所在的半平面为α 所在的半平面为 ， 所在的半平面为 ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1 所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角 α—BD1 —β 与 的交线。 C1 的度数 分析 因为二面角的平面角的度数是 D1
由相应平面角的来表示的， 由相应平面角的来表示的，所以解 题的一个方向是找平面角。 题的一个方向是找平面角。 A1 B1
二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面, 在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考, 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样 选取平面呢?有以下几个主要方法 选取平面呢?有以下几个主要方法 1、 截面法 、 2、隔离法 、 3、展平法 、 4、投影法 、
D
(C)
π
2
− arctan 2
(D) π − arctan 2
22
三、 图 形 变 换
例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点 、若空间四边形的两组对边相等，

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料

初中数学比赛专题选讲识图一、内容概要1.几何学是研究物体形状、大小、地点的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的会合。

点是构成几何图形的基本元素。

《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和互相地点。

3.几何里的点、线、面、体其实是不可以离开物体而独自存在的。

所以独自研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示地点，没有大小，不行再分。

线：只有长短，没有粗细。

线是由无数多点构成的，即“点动成线”。

面：只有长、宽，没有厚薄。

面是由无数多线构成的，“线动成面” 。

4.由于任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以辨别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

辨别图形包含静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的地点、数目的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。

还要注意一般图形和特别图形的差异。

二、例题例 1. 数一数甲图中有几个角（小于平角）乙图中有几个等腰三角形丙图中有几全等三角形丁图中有几平等边三角形E A甲ADD 丙C丁乙O OCDB ABB E C解：甲图中有10 个角：∠ AOB, ∠ AOC,∠ BOC,∠BOD,∠ COD,∠ COE,∠ DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.假如OA和OC成向来线，则少一个∠AOC，余类推。

乙图中有 5 个等腰三角形：△ ABC，△ ABD，△ BDC，△ BDE，△DEC 丙图中有全等三角形 4 对： ( 设 AC和 DB订交于 O)△AOB≌△ COD，△ AOD≌△ BOC，△ ABC≌△ CDA，△ BCD≌△ DAB。

边长丁图中共有等边三角形48 个：1 个单位：极点在上▲的个数有1＋ 2＋ 3＋4＋ 5＝ 15点在下▼的个数有1＋ 2＋ 3＋4＝ 102 个位：点在上▲的个数有1＋ 2＋ 3＋4＝ 10点在下▼的个数有1＋ 2＝33 个位：点在上▲的个数有1＋ 2＋ 3＝64 个位：点在上▲的个数有1＋ 2＝35 个位：点在上▲的个数有1以上要注意数一数的律例 2.平面内有 6 个点 A A A A A A ，此中随意 3 个点都不在同向来1，2，3，4，5，6上，假如每两点都成一条，那么共有段几条假如要使形不出有4个点的两两，那么最多可成几条段画出形。

八年级数学暑假竞赛培训讲义

八年级数学暑假竞赛培训讲义

第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种根本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：〔1〕综合法〔由因导果〕，从条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；〔2〕分析法〔执果索因〕从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到事实为止；〔3〕两头凑法：将分析与综合法合并使用，比拟起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后到达证明目的。

3、掌握构造根本图形的方法：复杂的图形都是由根本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成根本图形。

在更多时候需要构造根本图形，在构造根本图形时往往需要添加辅助线，以到达集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

【例1】：如下图，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF 【稳固】如下图，∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝ED【例2】：如下图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何教案章节：一、立体几何基本概念1.1 空间点、线、面的基本定义及性质1.2 平面、直线、圆锥、球等基本几何体的性质和方程1.3 空间向量与立体几何的关系二、立体几何中的角度和距离2.1 点与点、点与线、点与面之间的距离公式2.2 线与线、线与面之间的角度和距离公式2.3 空间中的平行公理和推论三、立体几何中的体积和表面积3.1 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的体积计算公式3.2 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的表面积计算公式3.3 空间几何体的对称性和轴截面四、立体几何中的定理和性质4.1 线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行等定理及其应用4.2 三垂线定理、射影定理等的重要性质和应用4.3 空间几何中的等体积转换和等角转换五、立体几何在数学竞赛中的应用题型及解题策略5.1 立体几何与解析几何的综合题型5.2 立体几何中的构造题型5.3 立体几何中的极限与最值问题5.4 立体几何中的几何计数问题六、立体几何中的坐标系和变换6.1 空间直角坐标系的定义和性质6.2 坐标变换公式及应用6.3 利用坐标系解决立体几何问题七、立体几何中的视图和投影7.1 平行投影和中心投影的定义和性质7.2 三视图的画法和性质7.3 利用视图和投影解决立体几何问题八、立体几何中的定积分和面积计算8.1 立体几何中的定积分定义和性质8.2 利用定积分计算立体几何体的表面积和体积8.3 立体几何中的面积计算方法和技巧九、立体几何中的概率和组合问题9.1 立体几何中的几何概率定义和性质9.2 利用几何概率解决立体几何问题9.3 立体几何中的组合问题和解题策略十、立体几何在数学竞赛中的应用实例解析10.1 立体几何与解析几何的综合实例解析10.2 立体几何中的构造实例解析10.3 立体几何中的极限与最值问题实例解析10.4 立体几何中的几何计数问题实例解析重点和难点解析一、立体几何基本概念重点和难点解析：空间点、线、面的关系及性质是立体几何的基础，理解并熟练运用这些基本概念对于解决复杂立体几何问题至关重要。

竞赛讲义几何综合培优

竞赛讲义几何综合培优

竞赛讲义类型一---最值1．如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上一动点，点M、N分别是AB、BC中点，则MP+NP的最小值是．2.菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，点M为CD的中点，点P为AC上一动点，则PM+PD的最小值是 .3.如图，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．则BP+PE的最小值是．4.如图，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ 的最小值是.类型二—折叠例：如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别落在x，y轴上，且OA=8，OC=4．如图②，把矩形OABC沿对角线AC折叠，使点B落在点D处，且CD交x轴于点E，连结OD，（1）直接写出点A，B，C的坐标A，B，C（2）三角形AEC为______三角形（3）AE=_____，E点的坐标为_______（4）三角形ADE的面积为____，三角形ADE中AE边上的高为_______D点的坐标为________（4）OD与CA的位置关系为_____四边形ODAC的面积为______．针对训练：1、已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试用x表示y．2、矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y 等于多少？例2、1.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）证明△ABG≌△AFG；（2）求BG的长；（3）求△FGC的面积．2、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC 上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．针对训练：1、如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD的中点E处，折痕为AF，CD=6，则△AEF的面积是（）2、如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2 C．2 D．3、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AD=3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则DC的长为．4、如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．类型三---一次函数易错题1．已知：一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求k和b的值．2.在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），且四边形ABCD为正方形，若直线l：y=kx+4与线段BC有交点，则k的取值范围是_____3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2）、B（3，4）、C（0，﹣1），直线y=kx+b过点C且与线段AB有交点，则k的取值范围是_____．4.在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，4），与原点的连线OA绕原点顺时针转90°，得到线段OB，连接线段AB，若直线y=kx﹣2与△OAB有交点，则k的取值范围是_____．5．直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B点作直线BP与x轴交于点P，使△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则点P的坐标为_______6．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y=kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．（1）证明：直线y=kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；（2）当直线y=kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．。

竞赛几何部分基础知识讲座


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引理2：到两圆的幂相等的点的集 合是根轴，根轴是一条直线，且垂 直于圆心连线O1O2 如图，若A满足AB· AC=AD· AE，则 A就是构成两圆根轴的一个点 证明：根轴的本质就是等差幂线， 因为AB· AC=AM² ，AD· AE=AN² （AM和AN是切线） 即AM² =AN² ，∵AO1² =AM² +O1M² ， AO2² =AN² +O2N²∴AO1² － AO2² =O1M² －O2N² =定值 同理若X做切线XP和XQ，则同样 可证XO1² －XO2² =定值，根据前面 的等差幂线知，XA是条直线，且垂 直于O1O2，也就是说，若两圆外 的两个点分别作两圆的切线，如果 这两个点对两圆的切线分别相等， 即若已知AM=AN，XP=XQ，那么 XA所在直线就是两圆的根轴
塞瓦定理
• 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长 AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 • 塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利 水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦 于1678年发表的《直线论》一书，也有书 中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。 • 塞瓦定理记忆法：三顶点选一个作为起点， 定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。
西姆松定理说明
• 相关的结果有： • （1）称三角形的垂心为H。西 姆松线和PH的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。 • （2）两点的西姆松线的交角等 于该两点的圆周角。 • （3）若两个三角形的外接圆相 同，这外接圆上的一点P对应两 者的西姆松线的交角，跟P的位 置无关。 • （4）从一点向三角形的三边所 引垂线的垂足共线的充要条件 是该点落在三角形的外接圆上。
• 引理三：三个不在同一直线的 圆的三条根轴交于一点，这个 交点为三圆的根心 证明：圆O1和圆O2的根轴为l， 圆O2与圆O3的根轴为k，设l与 k交于S，则S点的意义是S到圆 O1的幂（或切线长）等于到圆 O2的幂（或切线长）又等于到 圆O3的幂（或切线长），则很 明显S是圆O1与圆O3的根轴上 的一点，因为三条不重合的直 线有且仅有一个公共交点，则S 就是三个圆的根心

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何教案内容：一、立体几何的基本概念1. 立体图形的定义和分类2. 立体图形的性质和判定3. 立体图形的对称性4. 立体几何中的点、线、面关系二、立体图形的面积和体积1. 立体图形的面积计算2. 立体图形的体积计算3. 立体图形面积和体积的应用4. 立体图形的不规则体积计算三、立体几何中的角和线段1. 立体图形的角和线段长度计算2. 立体图形中的角和线段关系3. 立体图形中的角和平面关系4. 立体图形中的线段和平面关系四、立体几何中的方程和不等式1. 立体图形中的方程求解2. 立体图形中的不等式求解3. 立体图形中的线性方程组求解4. 立体图形中的参数方程求解五、立体几何中的图形的变换1. 立体图形的平移和旋转2. 立体图形的缩放和反射3. 立体图形变换的应用4. 立体图形变换与几何问题的解决六、立体几何中的视图和投影1. 立体图形的正交视图2. 立体图形的斜视图3. 立体图形的投影变换4. 视图和投影在立体几何中的应用七、立体几何中的坐标系和向量1. 立体坐标系的基本概念2. 向量在立体几何中的应用3. 向量的运算规则4. 向量与立体几何图形的交点求解八、立体几何中的空间解析几何1. 空间解析几何的基本概念2. 点、直线、平面的方程表示3. 空间解析几何中的距离和角度计算4. 空间解析几何在立体几何中的应用九、立体几何中的立体几何问题解析1. 立体几何问题的分类和特点2. 立体几何问题的解题方法和技巧3. 典型立体几何问题的解析和解答4. 立体几何问题在数学竞赛中的应用十、立体几何的综合训练和提高1. 立体几何的综合训练题目3. 立体几何解题中的常见错误和注意事项4. 提高立体几何解题能力的方法和技巧重点和难点解析一、立体几何的基本概念补充和说明：在讲解立体几何的基本概念时，需要重点强调立体图形的性质和判定方法，以及它们之间的对称性。

要详细解释点、线、面之间的关系，以及它们在立体几何中的作用。

高中数学竞赛平面几何讲义

高中平面几何(叶中豪话题几何问题的联系和转化解题和编题的一些规律调和点列,反演与配极,调和四边形完全四边形及其 Miquel 点例题和习题1. △ ABC 中, AB =AC , BD ⊥ AC 于 D , E 在 AC 延长线上,且 CE =CD , F 在CA 延长线上,且 AF = 12CD 。

求证:BE ⊥ BF 。

2. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线, D 为垂足。

分别在半圆上截取 AE =AD , BF =BD 。

求证:CD 平分 EF 。

3. 已知半圆的直径 AB 的长为 2r ,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为T ,AT =2a (2a <2r , 半圆上有相异两点 M 、 N , 它们与直线 l 的距离 MP 、 NQ 满足 MP AM=NQAN=1。

求证:AM +AN =AB 。

l PQ T4. 在△ ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D ,使 CD =AC ,△ ACD 的外接圆与以BC边为直径的圆交于 C 、 G 两点,直线 BG 、 AC 交于 E ,直线 CG 、 AB 交于F 。

求证:D 、 E 、 F 三点共线。

B5. △ ABC 内心为 I ,内切圆切 AB 、 AC 边于 E 、 F ,延长 BI 、 CI 分别交直线EF 于 M 、N 。

求证:S 四边形 AMIN =S △ IBC 。

B6. AC 是与 BD 垂直于 E 的直径, G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF ∥ DG 交DA 延长线于 F ,作 CH ⊥ GF 于 H 。

求证:B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。

7. 如图,圆 O 1和圆 O 2相交于 E 、 F ,过 E 作割线 AB ,使 AE =EB ,过 F 作割线CD , 联 AD 、 BC ,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。

高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)


HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
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第二部分 空间与图形20、线段与角思考练习1、已知线段AB ＝16，C 为AB 上的一点，且AC ∶CB ＝3∶5，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，求MN 的长．2、在直线l 上取A 、B 两点，使AB ＝10cm ，再在l 上取一点C ，使AC ＝2cm ， M 、N 分别为AB 、AC 的中点，求MN 的长．3、在一条直线形流水线上，依次在1A 、2A 、3A 、4A 、5A 处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？12A3 4 54、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?5、如图，已知A O E ∠和COG ∠都等于︒90，FOG BOC ∠>∠，则图中以O 为顶点的锐角共有_____个．6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______．7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___．8、小明家在车站O 的东偏北︒18方向300米处，学校B 在车站O 的南偏西︒10方向200米，小明经车站所走的=∠AOB ______度9、若AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 是AOB ∠的平分线，OE 在BOC ∠内，EOC BOE ∠=∠21，︒=∠72DOE ，求EOC ∠． 10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．11、如图，OM 是AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内部，ON 是BOC ∠的平分线，已知︒=∠80AOC ，求MON ∠的度数．MC NBAPA 区B 区C 区AGFEDC BOEB D CAOCN M BAO1 23 412、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )A 、3B 、1或3C 、1或2或3D 、不一定是1、2、313、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少︒30，求这两个角． 14、如图，已知AB ∥CD ，︒=∠110A ，︒=∠120C ，则=∠CEF _______．15、如图，已知AB 与CD 相交于点O ，OE 、OF 、分别是AOC ∠、BOD ∠、AOD ∠的平分线，求证：(1) E 、O 、F 三点共线；(2) EF OG ⊥．说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵︒=∠+∠180DOB AOD ，又AOD GOD ∠=∠21，DOB FOD ∠=∠21，∴︒=∠+∠=∠90)(21DOB AOD GOF ， 同理︒=∠90EOG ，∴︒=∠+∠=∠180GOF EOG EOF ， ∴E 、O 、F 三点共线． (2) ∵︒=∠90EOG ，∴EF OG ⊥．16、如图，平行直线a 与b 被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．21、三角形的边角关系例题讲练例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD 的4个顶点，如图现要建立一个维修站H ，试问H 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HD HC HB HA +++最小，说明理由．解：维修站H 建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H 的一点E ，连EA 、EB 、EC 、 ED ， 则AC EC EA >+，BD ED EB >+，=+>+++BD AC ED EC EB EA HD HC HB HA +++． 例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且c b a ≥≥．则215<a 当7=a 时，1,7==cb ；2,6==c b ；3,5==c b ；4,4==c b ．ACDBHEGFED C BA O D CE BAFba当6=a 时，3,6==c b ；4,5==c b ； 当5=a 时，5,5==c b ． 所以满足条件的三角形共有7个．例3 若直角三角形的两条直角边长为a 、b, 斜边长为c 斜边上的高为h, 则有( ) (A)2h ab = (B)h b a 111=+ (C) 222111hb a =+ (D) 2222h b a =+ 答：∵a ＞h ＞0，b ＞h ＞0，∴ ab ＞2h ，22b a +＞2h ＋2h ＝22h ；可见，（A ）、（D ）不正确；设斜边为c ，h b a )(21+＞ab ch 2121=，即有b a 11+＞h1，故（B ）也不正确； 由ab h b a 212122=+, 化简整理后，得 222111hb a =+，因些结论（C ）是正确的 思考练习1、若ABC ∆的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为______5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个．3、在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，A ACB ∠=∠2，BD 平分B ∠，BD BE =，图中有___个等腰三角形．4、在ABC ∆中，若︒=∠-∠90B A ，则ABC ∆是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形6、一个凸n 边形的内角和小于01999, 那么, n 的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、一个凸n 边形的内角和超过︒1000，则n 的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 108、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．图(一)B CDEA请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n 边形．图(二)9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N 的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 710、ABC ∆内共有n 个点，连结这些点(含A 、B 、C 共3+n 个点)可将ABC ∆个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？11、过平面内点O 任意作7条直线，证明：以点O 为顶点的角中，必有一个小于︒26． 12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于︒26．22、角度计算例题讲练例1 已知在ABC ∆中，D 、E 分别在边AC 、AB 上， 且AC AB =、BD BC =、EB DE AD ==，求A ∠的度数．略解：设A ∠的度数为x ，易见x AED A =∠=∠，x BED -︒=∠180x EDC 2=∠，22)180(180xx EDB EBD =-︒-︒=∠=∠x x x BDC C ABC 2322=-=∠=∠=∠， ∴︒=++1802323x x x ，∴︒=45x ．例2 在ΔABC 中,AB = AC, AD = AE, ∠BAD =060, 求∠EDC 的的度数．略解：设α2=∠CAD ，由AB = AC 知，∠B ＝αα-=--00060)260180(21α+=-∠-=∠0006060180B ADB , 由AD = AE 知，α-=∠090ADE ,∴030180=∠-∠-=∠ADB ADE EDC ．AED B CABCDE思考练习1、如图：求D C B A ∠+∠+∠+∠F E ∠+∠+的度数．2、如图，若EF 和CF 是E ∠和F ∠的平分线，若︒=∠40B ，︒=∠50D ，求F ∠．3、如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，且AC DA BD ==，︒=∠63BAC ，求DAC ∠．4、如图，CD BC AB ==，AE AD =，BE DE =，求C ∠的度数．5、如图，ABC ∆中，︒=∠40B ，延长BA 至E ，作︒=∠56EDA ，E ∠与C ∠的平分线交于F ，求EFC ∠的度数．6、如图，ΔABC 中，∠A ，∠B 的外角平分线AD 、BE 分别交对边的延长线于点D 、E ， 且AD =AB =BE ．求∠BAC 的度数．7、在ΔABC 中，AB = AC ， AD = AE ，60=∠BAD ，求∠EDC 的度数．8、在下列三个图形中，已知︒=∠8ABC ，︒=∠90θ． (1) 在图1中若21∠=∠，则=∠A _____(2) 在图2中若21∠=∠，43∠=∠，则=∠A _____(3) 在图3中若21∠=∠，43∠=∠，65∠=∠，……，n n ∠=-∠1，(n 是大于等于1的自然数)，试推出A ∠的度数x 与n 的关系式．G B F N E H DA EF DBCA CDBAAB 21Cθ图1AC124 5 n3θD AECB FEDB A2BAC13 4 图2图3ABCDEBACD23、构造全等三角形方法例题讲解例1 在ΔABC 中，AD 平分∠ABC ，AB ＋BD ＝AC ， 求证：∠B ＝2∠C.略证：在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，则ΔABD ≌ΔAED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ， ∵AC ＝AB ＋BD ＝AE ＋EC ， ∴ED ＝EC ∴∠B ＝∠AED ＝2∠C 例2 在ΔABC 中，AD 是中线，若AB ＝5，AC ＝3， 求AD 的取值范围.略解：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，则ΔABD ≌ΔECD ， 易见，2AD ＜3＋5，AD ＜4 又 3＋2AD ＞5，AD ＞1 ∴1＜AD ＜4例3 在ΔABC 中，∠BAC ＝0120，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数. 略解：在BC 上截取DE ＝DB ，连结AE ，则ΔABD ≌ΔAED ，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ， ∵AB ＋BD ＝DC ，∴EC ＝CD －DE ＝（AB ＋BD ）－BD ＝AB ＝AE ∴∠C ＝∠CAE ，∴∠B ＝∠AED ＝2∠C ∵∠B ＋∠C ＝060，∠C ＝020例4 已知，如图，O 是正方形内一点，∠OBC ＝∠OCB ＝150， 求证：ΔAOD 是等边三角形.略证：连AC ，延长BO 交AC 于P ，连PD ，易得 ∠BPC ＝∠DPC ＝1200， ∴∠DPO ＝1200， 又∠POC ＝∠PCO ＝300， ∴PO ＝PC ， ∴ΔOPD ≌ΔCPD ， ∴OD ＝DC ＝AD ，AB CD E AD BCEABCD EOBC A DP同理，OA ＝AB ＝AD ， ∴ΔAOD 是等边三角形. 思考练习1、已知D 为等边ΔABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝BA ， ∠DBE ＝∠DBC ，求∠BED 的度数.2、证明：有两边和第三边中线对应相等的两个三角形全等.3、在直角ΔABC 中，∠BAC ＝090，AB ＝AC ， BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 于E ，求证：BD ＝2CE.4、在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，E 是AB 上的一点，求证：MD ＝MN.5、若M 是正方形ABCD 的边AB 的中点，MN ⊥CM 交AD 于N ， 求证：∠BCM ＝∠MCN.6、在正方形ABCD 中，E 是BC 上任一点，∠EAD 的平分线交CD 于F ， 求证：BE ＋DF ＝AE ．7、在正方形ABCD 内作∠EAF ＝450，E 、F 分别在BC ，CD 上，AH ⊥EF ， 求证：AH = AB.答案提示1、注意到∠DBE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，可构造ΔBDE ≌ΔBDC ≌ΔCDA.2、延长中线构造全等三角形.3、注意到∠ABE ＝∠CBE ，BE ⊥CE ，可构造与ΔBEC 全等的三角形.4、利用中点构造全等三角形.5、用中点构造全等三角形.6、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等, 得出等于BE ＋DF 的线段.7、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等,由全等三角形对应高相等得结果.ABCDEABCDEA BCD MNEABCDMNABCD EFABCD EFH24、证两角相等的基本方法例题讲解例1 已知ΔABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，∠ABC ＝045，HD ＝DC ，求证：BH ＝AC.分析：只需证ΔACD ≌ΔBHD ，关键是证明∠DAC ＝∠DBH ， 考虑∠DAC ＝090－∠C ，∠DBH ＝090－∠C ，这样问题易证.例2 从等腰Rt ΔABC 的直角顶点C 作中线BD 的垂线，交BD 于F ，交AB 于E ，连结DE ，求证：∠CDF ＝∠ADE ．分析：易见，∠CBD ＝∠ACE ，结合BC = AC, ∠BCA 是直角，只要过A 作GA ⊥AC 交CE 的延长线于G ，则可构 造出ΔBCD ≌ΔCAG ，得∠CDF ＝∠G ，再证ΔADE ≌ΔAGE ， 得∠ADE ＝∠G ，从而得∠CDF ＝∠ADE.思考练习1、如图，在ΔABC 中，BD ＝DE ，AB ＝BE ＝EC ，求证：∠BAD ＝∠C.2、如图，D 是等边ΔABC 外一点，∠BDA ＝∠BCA ，求证：AD ＝BD ＋CD.3、在等边ΔABC 中，点D 、E 在边BC 和AC 上，且AE ＝DC ，AD 与BE 相交于点P ，BG ⊥AD 于G ，已知PE ＝1，PG ＝3，求AD 的长度.4、如图，在等腰ΔABC 中，AB ＝AC ，CE ＝BD ，求证：DF ＝EF.5、在等边ΔABC 中，P 、Q 、R 为各边中点，M 为RC 上任一点，ΔPMS 是等边三角形，连结SQ ，求证：RM ＝QS ．6、等腰Rt ΔABC 中，AC = BC ，AD 是中线，DE ⊥AB 于E ，求证：AB = AC + CD.ACDE ABCE DPG2 CB AD 1 3 A B CD E SPQA BCDHE AABC DEF G7、在ΔABC 中，AC = BC ，∠ACB = 090，D 是AC 上 一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又BD = 2AE ，求证：BD 平分∠ABC.8、在ΔABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，若AC = BH ， 求∠ABC 的度数。