人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿

学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师上课时间年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 课时教学课题 人教版 选修2-1第二章 抛物线 同步教案（基础）教学目标知识目标：抛物线的定义、标准方程、性质及其应用 能力目标：掌握抛物线的定义、标准方程、性质及其应用情感态度价值观：掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．教学重点与难点 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证教学过程知识梳理1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：标准方程 px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=图形▲y xO▲yxO▲y xO▲yxO焦点 )0,2(pF )0,2(pF - )2,0(p F )2,0(p F - 准线 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,00,≥∈y R x 0,≤∈y R x对称轴 x 轴y 轴顶点 （0，0）离心率 1=e2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++例题精讲【题型一、 抛物线的定义】[例1 ] 已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【题型二、抛物线的标准方程】[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上【题型三、 抛物线的几何性质】[例3 ] 设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且ο90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.巩固训练1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 63.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )A ．1(0,)4-B ．1(0,)4C ．1(,0)2-D ．1(,0)4-4. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n Λ成等差数列且45921=+++x x x Λ，则||5F P =（ ）．A ．5B ．6C ． 7D ．95.抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33B ．34C ．36D ．386.设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA uu u r 与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r为 ．7. 在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标8. 已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？9. 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．10.椭圆12222=+by a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.课后作业【基础巩固】 一、选择题1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ） A ．x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D ．x 2+ y 2-x -2 y +41=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4） 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2xB ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8B ．10C ．6D ．48．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．)2(4)3(2--=-x y B ．)2(4)3(2+-=-x y C ．)2(4)3(2--=+x y D ． )2(4)3(2+-=+x y 9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ）A ．2aB ．a 21 C ．4a D ． a4 二、填空题11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ． 12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．14．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ． 【能力提升】 三、解答题15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．17．动直线y =a ，与抛物线x y 212相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？参考答案[例1 ]【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3[例2 ] 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p=, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p= ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=. [例3 ]【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==pxy kxy 22解出A 点坐标为)2,2(2kp k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+, 令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p 练习答案1.[解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4． 2.[解析] B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y 的距离为5，故点P 的纵坐标为4． 3.[解析] D. 1,4,5-=-==a b b a4.[解析]B 根据抛物线的定义，可知12ii i p PF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n ΛΘ成等差数列且45921=+++x x x Λ,55=x ,||5F P =65、[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=+∴n m m m四边形ABEF 的面积==⨯++32)]13(2[21366、 [解析]21. 过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA7. [解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x ， 当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为），（1218. 解：（1）抛物线方程为y ax 12=点F 的坐标为)41,0(a（2）设20000 ),(ax y y x P =则 2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在Θ 直线l 的方程是)(2 0020x x ax ax y -=- 0 2 200=-ax y x ax －即. 411441)1()2(410 20222020ax a aax ax ad ≥+=-+--=∴)0,0( 0 0的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当P x = .L F 0,0)(P 的距离最小到切线处时，焦点在当∴9.证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 2p x my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=． 若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．10.解：（1）∵12222=+by a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……① ∵M （-4，59）在椭圆上 ∴125811622=+b a ……② ∵222c b a +=……③∴由①②③解得：a=5、b=3 ∴椭圆为192522=+y x 由p=8得抛物线为x y 162=设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF|∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|=541)059()44(22=-+--，即为所求的最小值. 课后作业答案 一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADABCBACCC二．填空题 11．2 12．4kx = 13．（1，0） 14．x y 542-= 三、解答题15．[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．16． [解析]：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则焦点F （0,2p -），由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m p m ，解之得⎩⎨⎧==462p m 或⎩⎨⎧=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m17． [解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （22a ，a ），又B )3,0(a 得 ⎩⎨⎧==ay a x 22消去a ，得轨迹方程为42y x =，即x y 42= 18． [解析]：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为)0(22>-=p py x ，由题意可知，B （4，-5）在抛物线上，所以6.1=p ，得y x 2.32-=， 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A （A y ,2），由A y 2.322-=得45-=A y ，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以75.0+=A y h =2米O x y A A'B。

第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。

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抛物线及其标准方程一、学情分析：对于高二的学生,在初中已经学过二次函数的图像是抛物线，研究过抛物线的顶点坐标、对称轴等问题，而我们现在学的圆锥曲线是要从最基本的图形入手来研究抛物线的特征，学生有了对抛物线的简单认识，所以学习这节课是对以前所学内容的进一步加深，符合我们的教育思路“由浅入深,步步深入”.二、学生课前准备活动:1.预习课本P64—67,对抛物线的定义和由来有一个大致的了解2.通过对抛物线的标准方程的认识,能够懂得现在要学的内容和以前所学的二次函数区别与联系。

三、教师课前准备:1.搜集与这节课有关的资料,认真备课，做课件，写教案，设计图片，明确教学过程中的重难点，设计引入问题的方法，结合学生的具体情况设计出符合学生具体内容的设计思路。

四、教学课题 2。

4 抛物线及其标准方程从这节课开始我们将对抛物线进行研究，和前面学的椭圆、双曲线的研究思路一样，都是先研究它的定义及标准方程,再研究它的简单几何性质，主要让学生进一步学习数形结合、分类太论，化归、函数与方程的数学思想。

五、教材分析：抛物线它是中学数学中的重要内容，它是在我们学习了二次函数的基础上的进一步深化,对于它的本质学生还不了解，所以我们在学习了椭圆（0<e<1)、双曲线（e〉1)这些圆锥曲线之后再来研究抛物线(e=1)就带来了很大的方便,这也是解析几何“用方程研究曲线”的思想的进一步深化。

2-1 1
抛物线的几何性质
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质教案 新人教B 版选修2-1
教学过程设计 教材处理 师生活动 二、例题向右，又抛物线经过点P （4，32） ，求它的标准方程，并画出图形。

例2．已知点A 在平行于Y 轴的直线上,且L 与X 轴的交点
三、随堂训练x 4
1=2、已知正三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线 6x y =上，O
是坐标原点,求三角形AOB 的边长。

3、垂直于x 轴的直线与抛物线4x y =交于A ，B 两点，且
34AB ，求直线4顶点在原点,关于坐标轴对称，且过点(2,3)-的抛物线方
辽宁省本溪满族自治县高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质教案新人教B版选修2-1
教学
目标
1。

抛物线【知识要点】1、抛物线的定义：平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2、 抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：|H 1H 2|=2P 4、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则①||AF =x 1+2p ，（定义） ②12x x =42p ，12y y =－p 2．（韦达定理）③ 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212,即当x 1=x 2时,弦长最短为2p ，此时弦即为通径。

④ 若AB 的倾斜角为θ，则AB =θ2sin 2p（焦点弦公式与韦达定理）---（重点）5、直线与抛物线相交所得弦长公式1212||||AB x x y y =-=-6、点P(x 0,y 0)和抛物线22y px =(0)p >的位置关系(1)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内⇔y 20<2px 0 (2)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上⇔y 20=2px 0 (3)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外⇔y 20>2px 07、直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：Ax+By+C=0: Ax+By+C=0,C f(x,y)=0,f(x,y)=0l ⎧⎨⎩设直线 圆锥曲线：由（注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．）---（重点）【解题方法】【关于抛物线定义的运用】1、 运用性质定理，抛物线上一点到焦点的距离相等列出等式，然后化简即得方程。