第2章 关系数据库数学模型

关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）

关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；

三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数

关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符

笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符

> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。

D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn


关系数据库
实体自身及实体间的联系都用关系来表 示； 在DBMS中，关系对应于多个表。

关系完整性

关系的完整性约束条件 实体完整性 （Entity Integrity） 若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不 能为空值； 如学生关系中的“学号”属性。

参照完整性 （Referential Integrity ） 外码(Foreign key) 设F是关系R的非码属性（组）。如果F与关系 S的主码K相对应（定义在同一个（组）域 上），则称F是关系R的外码。 参照关系（Referencing Relation) 如上述关系R 被参照关系(或目标关系)(Referenced Relation) 如上述关系S 规则： 定义外码与主码之间的引用规则，即外码 F取值。 1）空NULL； 2）目标关系中存在的值； *表内属性间的参照也要有存在的值；
范式（Normal Form）：规范化的关系。
关系模式

关系模式（Relation schema)

对关系的描述 关系是元组的集合(属性、域及其映象关系) 元组语义（使n目谓词<属性>为真的卡积 中的元素的全体） 形式化定义：R(U, D, dom, F) ５元组 R 关系名 完整性约束 U 组成关系的属性名的集合 D 为属性组U中属性的域 Dom为属性向域的映象集合 F 为属性间数据的依赖关系集合
关系完整性（续I）
样例： 学生(学号，姓名，年龄，性别，专业号) 专业(专业号，专业号) 课程(课程号，课程名，学分) 选修(学号，课程号，成绩)
实体完整性规定基本关系的所有主属性不能取空值。
参照完整性规定基本关系的外码取值。如上述学生关系 的“专业号”属性与专业关系的主码“专业号”对应， 因此“专业号”属性是学生关系的外码。它的取值规定 如下： a.空值表示尚未给该学生分配专业 b.非空值 必须是目标关系－专业关系中某个元 组的“专业号”值。
关系（续I）
候选玛（Candidate key）：可唯一 标识每一元组的属性（组）。 主码（ Primary key)：候选码中选 择其一称为主码。相应属性组为主 属性。 非码属性（Non-key attribute)：不 包含在任何候选码中的属性。 全码（All-Key)：用所有属性来唯一 标识表中元组时的候选码。
2）删除Delete；
3）修改
关系代数语言 - 用对关系的运算来表达查询要求 关系数据语言 关系演算语言 – 用谓词来表达查询要求 双重特点语言 如SQL（集查询、DDL、DML、DCL为一体）
关系数据模型概述（续II）

三类完整性约束 实体、参照 —— 用户自定义
DBMS保证

特点 关系：集合方式（操作对象和结果都是关系—— 元组的集合——关系） 非关系：层次/网状，以记录为操作单位。
第二章 关系数据库数学模型
内容
关系数据模型 关系数据结构与形式化定义 关系完整性 EER模型到关系模式的转换
关系代数
关系演算
关系数据模型概述
关系数据库系统是支持关系模型的数据库系统。 关系数据模型概述（ RDBMS）


关系模型： 关系数据结构 关系操作集合 关系完整性约束 关系数据结构 单一的数据结构——关系
EER模型到关系模式的转换（续II）

转换方法 对于强制性成员类 如果一个实体是某个联系的强制性成员，则在 二元关系转化为关系模式的实现方案中要增加 一条完整性约束。具体操作为：如果实体类型 E2在实体类型E1的n:1联系中是强制性成员， 则的E2关系模式中要包含E1的主属性。 如规定每一项工程必须有一个部门管理，则实 体类型Project是联系”Runs”的强制性成员， 因而在Project的关系模式中包含部门 Department的主属性。
EER模型到关系模式的转换

实体类型的转换 每种实体型可由一个关系模式来表示。 实体类型的属性为关系的属性； 实体类型的主键作为关系的主键。 如前面所述“学生”实体类型可以由如下关系模 式表示： 学生（学号，姓名，性别，出生年月，入学时间， 系） 二元关系的转换 分析一个1:n 的二元关系：
即： Project(P#,DName,Title,Start_Date,End_Date, ……) 这里DName既是关系Department的主属性，又是 关系Project的外键。 对于非强制性成员类

如果一个实体是某个联系的非强制性成员，则 通常新建一个分离关系来表示这种联系和属性。 具体操作为：如果
关系数据结构及形式化定义（续I）
若 A={a, b}, B={1, 2, 3} 则A x B= {（a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) } 卡积D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} 从每一集合中抽一个元素做组合；（有 序） 卡积没有交换率； 亦可看成是一个二维表；基数，二维表 的行数，集合元素的个数； 参考离散数学。 上述AxB卡积的6个元组n的二元关系通常要引入一个分离关系 来表示两个实体类型之间的联系，该关系 由两个实体类型的主属性及其联系属性组 成。如学生与课程的m:n联系及学生选课 的关系转换。
EER模型到关系模式的转换（续V）

实体内部之间联系的转换 实体内部之间1:1的联系 如非强制性的婚姻关系，可引入一个分离关系 实体内部之间1:n的联系 如职工与管理人员的联系。分强制与非强制联系。 实体内部之间m:n的联系 一般要引入分离关系
EER模型到关系模式的转换（续III）


实体类型E2在与实体类型E1的n:1联系中是一个 非强制性的成员，引入一个分离模式来表示联系 和属性。分离的关系模式包含E1和E2的主属性。 如在图书馆数据库的EER模型中，有两个实体类 型借书者(Borrower)和书(Book)之间的联系如下：
Borrower
关系数据结构及形式化定义

关系数据结构及形式化定义（集合论角度）

关系 1．域（Domain) 一组具有相同数据类型的值的集合。 例：自然数，实数，英文字母
2．笛卡尔积（Cartesian Product)---Descartes CPT：给定一组域D1,D2,…，Dn，这些域中可以有 相同的。则 D1,D2,…，Dn的笛卡尔积为：
A a a a b b b
B 1 2 3 1 2 3
关系
3．关系

D1 x D2 x…x Dn的子集叫做在域 D1,D2,..Dn上的关系。
表示为： R（D1，D2，…，Dn) 其中，R为关系名；n为关系的度或目。 关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。 n=1,单元关系（unary relation)； n=2,二元关系（Binary relation)。 关系为卡积的有限子集，也为二维表，行对应元 组，列对应于域。
关系（续III）
在许多实际的数据库产品中，基本表并不 完全具有上述性质。如Oracle、Foxpro等，它 们都允许关系表中存在两个基本点完全相同的 元组，除非用户特别定义了相应的约束条件。 关系模型还要求关系必须是规范化的，即 必须满足一定的规范条件。基本条件：关系的 每一个分量必须是一个不可分的数据项。
1
On_Load
n
Book
可以转换为以下两个模式 Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,B#,Title,……) 关系Book中的外键B#表明借书者的信息， 但图书馆的书很多，可能有许多书没有借出， 则B#的值为空。此时，对于不能处理空值的 DBMS，会出现问题。



此外，还须注意： 外码并不一定与目标关系的主码同名； 参照关系与目标关系可以是同一个关系。如学生关 系（学号，姓 名，性别，年龄，班长）中，“班 长”属性的取值情况。
关系完整性（续II）

用户自定义完整性（User-defined Integrity） 根据客观实际的一些约束条件。 例：性别（男，女） 年龄（15-25） ……