一类三角矩阵的特征值反问题

第５期　２０１０年９月　华东师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ＮＯ．５　Ｓｅｐ．２０１０　

文章编号：１０００－５６４１（２０１０）０５—００２７－０６　

子矩阵约束下的一类特征值反问题　

赵琳琳，陈果良　

（华东师范大学数学系，上海２００２４１）　

摘要：研究了子矩阵约束下反自反矩阵的逆特征值问题．利用矩阵的分解，建立了子矩阵约束　下反自反矩阵的逆特征值问题有解的充要条件、得到了解的一般表达式．　关键词：反白反矩阵；特征值反问题；矩阵范数　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　

Ｏｎｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｕｂｍａｔｒｉｘ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　

ＺＨＡＯ　Ｌｉｎ—ｌｉｎ，ＣＨＥＮ　ＧＵＯ—ｌｉａｎｇ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｅａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００２４１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａｎｔｉ－ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｕｂｍａｔｒｉｘ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　Ｗａｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｕｎｄｅｒ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｗａｓ　ｓｏｌｖａｂｌｅ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｎｔｉ—ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ；　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；　ｍａｔｒｉｘ　ｎｏｒｍ　

第２７卷　２Ｏ０ｒ７年　第５期　９月　高师理科学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．　２００７　

文章编号：１００７—９８３　１（２００７）０５—０００４—０３　

矩阵方程Ａ　＝　的一类反问题　

周月军，杨兴东，黄卫红　

（南京信息工程大学数学系，江苏南京２１００４４）　

摘要：利用矩阵分块，给出了Ａ　之反问题有正定解的充分必要条件，并在解存在情况下，给　出了通解表达式．　

关键词：Ｓｃｈｕｒ－余；正定矩阵；反问题　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　

１预备知识　

文献［１】中研究直接控制系统绝对稳定充分必要条件时，提出了关于线性方程组ＡＸ＝ｂ的反问题：对给　

定的ｎ维列向量Ｘ，ｂ　ｅＲｎ一｛Ｏ）满足条件　ｂ＞０，是否存在Ａ∈Ｒｎ”使得Ａ正定且满足ＡＸ＝ｂ．文献［２—３】　

对ＡＸ＝ｂ的反问题在对称正定矩阵中的解做了大量有成效的工作．本文则研究矩阵方程Ａ　＝Ｂ的一类反　

问题，给出满足某些条件的矩阵方程ＡＸ＝Ｂ之反问题有正定解的充分必要条件及通解表示．这些结果简　

化了文献【４］的结果．　本文中，Ｃ表示复数域，ＡⅣ表示矩阵Ａ的共轭转置，而Ａｒ表示矩阵Ａ的转置，Ａ＋表示Ａ的Ｍｏｏｒｅ　

—Ｐｅｎｒｏｓｅ逆，Ｐ　＝ＡＡ　，Ｐ　＝１一ＡＡ　．设Ａ，　为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则Ａ＞　表示Ａ一　为正定矩阵，　

而Ａ＞０表示Ａ正定，设令Ｎ＝｛１，２，…，，１），　＝｛ｆｌ，…，ｉ）　，　＝　一　，　，　）表示Ａ的行序ｒ　Ｎ　Ｎ　Ａ（ａ　

在　，列序在　－的子矩阵，特别地，当　：　一时，Ａ（ａ，　－）＝Ａ（ａ）．当Ａ（ａ）非异时，矩阵　

Ａ（ａ　）一Ａ（ａ　，　）［Ａ＠）ｒｌＡ（ａ，　）称为Ａ的子矩阵Ａ（ａ）之Ｓｃｈｕｒ一　，用Ａ／　表示，对于Ａ＝ＡⅣ∈　，　

显然存在置换矩阵Ｐ使ｐＴＡｐ＝ｐＨＡｐ＝【Ａ　）Ａ　），且［Ａ　，　）】Ⅳ＝Ａ　，　Ｉ）．　＼＾（　‘．　ｌ　＾（　‘ｌ　Ｊ　。　

第１３卷第５期　２０１１年１０月　黄山学院学报　Ｊｏｕ　ｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．１３．ＮＯ．５　Ｏｅｔ．２０１　１　

一类迹占优矩阵的特征值分布　

谭发龙．方辉　

（黄山学院数学系，安徽黄山２４５０４１）　

摘　要：基于迹占优矩阵给出了一类广义迹占优矩阵，得到了这一类广义迹占优矩阵的一些性质，并且　给出它的特征值估计和分布。　关键词：迹占优矩阵；广义迹占优矩阵；特征值　

中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２－４４７Ｘ（２０１１）０５—０００９—０４　

方阵的特征值分布是矩阵论及其应用中的重　

要问题，屠伯勋教授在文献旧从矩阵的迹总体占优，　

来讨论方阵的非奇异性，并得到迹占优矩阵的特征　值估计和分布。本文推广了先生的结果．给出一类　

广义迹占优矩阵，和这一类矩阵的特征值分布。　用尺和Ｃ分别表示实数域和复数域。　和Ｃ，Ｉ　

分别表示ｒｔ阶实矩阵全体和ｎ阶复矩阵全体．Ａ　表示　

Ａ的共轭转置，ＲｅＡ表示复数Ａ的实部，ＩｍＡ表示复　

数Ａ的虚部，　表示Ａ的迹，ｌｌ　Ａ　ｌｌ表示Ａ的　Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数。　设Ａ＝【　】∈　，其中Ａｉ表示Ａ的　阶顺　

序主子阵，１≤后≤凡一１　

记ｍ　Ｋｍ　ａｘ一　（０　ｌｌ＿ＩＩｃ，Ｖ，文【１］中定义如下：　

定义１：如果Ａ满足　

Ｊ　＞（ｎ－１）（］ＡＨ　－ｍ）　

则椭是Ｉ型迹占优阵：　如果　满足　

Ｉ　ｃ　ｌ　２　１ｍ　，　则称Ａ是Ⅱ型迹占优阵。　我们给出如下的定义，将以上两类迹占优阵看　

作下面定义２的特例。　

定义２：若存在　，　使得　

ｌｆｒＤ（　，　）Ｉ　＞（ｎ一１）（ＩｌＤ（　，　）ＩＩ　一　ｍ）　（１）　

其中Ｄ（ａ，　：　十一　＋ｐ　，则称Ａ是广义迹　

占优阵。　

显然如果Ａ是广义迹占优阵，那么ｄ，口一定不　

全为０。若存ａ＝／３＝ｌ在使得（１）成立，那么Ａ是Ｉ型迹　占优阵；若ｃｘ＝ｌ，／３＝０，使得（１）成立，那么Ａ是Ⅱ型迹　

占优阵。但是Ａ是广义迹占优阵时，其未必是Ｉ型和　Ⅱ型迹占优阵。　ｆ３＋√　２　ｏ／　

体上一类反三角分块矩阵群逆的注记

李斌;卜长江

【摘 要】分块矩阵的广义逆问题在自动控制领域里有重要的作用,而反三角分块矩阵[CABO]的群逆存在性和表达式一直是一个未解决的问题.令K是体,Km×n表示K上所有m×n矩阵的集合,M=[AX+YB A B O]是K上一类分块矩阵,其中A,B,X,Y∈Kn×n.利用矩阵的分解形式,在矩阵A群逆存在,AX=XA,rank(A)=rank

(AX)的条件下,得到了M群逆存在的充分必要条件以及群逆存在时的表达式.

【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》

【年(卷),期】2013(034)005

【总页数】4页(P658-661)

【关键词】体;分块矩阵;群逆;值域;反三角

【作 者】李斌;卜长江

【作者单位】哈尔滨工程大学理学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工程大学理学院,黑龙江哈尔滨150001

【正文语种】中 文

【中图分类】O151.21;TP202+.4

分块矩阵的广义逆问题在自动控制、概率统计、系统理论、数学规划等许多领域都有重要的应用［1-4］.1983 年 Campbell在文献［1］中提出找到形如的分块矩阵的D逆(群逆)表达式在奇异的微分方程系统中有重要的作用，虽然此问题至今未彻底解决，但其后出现了大量的在不同条件下对于此类反三角分块阵群逆的探讨［5-9］.

设K是任意体，Kn×n表示K上所有n×n矩阵的集合.若 A∈Kn×n，则称满足

AXA=A，XAX=X，AX=XA的矩阵X为A的群逆，记为 A#.文献［9］中在A#存在，AX=XA，X可逆的条件下研究了分块矩阵(其中 A，B，X，Y∈Kn×n)的群逆，本文继续了文献［9］的工作，研究了当X不一定可逆时，上述分块矩阵群逆存在的充分必要条件及其群逆表达式.此外本文将用到一些简单的结论与记号.A#存在的充分必要条件是 rank(A)=rank(A2);如果A#存在，那么它是唯一的;若I为n阶单位阵，记 Aπ=I-AA#;rank(A)，R(A)={AX|X∈Kn}分别代表矩阵A的秩与值域.