第5章 线性代数方程组的直接解法
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第5章 线性代数方程组的直接解法
一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题3分,共计15分) 1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是( )
(1)调换方程位置; (2)选主元; (3)直接求解; (4)化简方程组。
2、设矩阵A 的LU 分解如下:2231002234772100124511006A b a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
则该分解式中,a b 的值分别为 ( )
(1)2,6a b ==;(2)6,2a b ==;(3)2,3a b ==;(4)1,2a b =−=。 3、设矩阵n n
A R ×∈,n n
Q R
×∈,且T
Q Q E =,则下列关系式不成立的是( )
(1) 2
2A AQ =;(2) F
F QA
A =;(3) 22Qx x =,其中n x R ∈;
(4)
()()cond A cond AQ ∞∞=。
4、设矩阵314122232A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥
⎢⎥−−⎣⎦,111x ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则Ax
∞和
A ∞的值分别为(
)
(1) 88,; (2) 87,; (3) 86,; (4) 77,。
5、若解线性代数方程组的Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
()2632542T
−,则第三步主行是( )
(1) 第2行; (2) 第3行; (3) 第5行; (4) 第6行。 二、填空题(每小题3分,共计15 分)
1、设2101202A a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,为使A 可分解为T
A LL =,其中L 是对角元素为正的下三角矩阵,
则a 的取值范围是___________________。
2、设210121012A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
,则2()Cond A =_________________。 3、设()214T
x =,如果()2
00T
Lx =,则初等下三角矩阵L = 。
1
4、设n n
A R
×∈为上半带宽为p ,下半带宽为q 的带状矩阵,且A 的各阶顺序主子式均不为
零,A LU =为Doolitte 分解,则上三角矩阵U 的上半带宽为 。 5、设对称正定矩阵11(),0n n
ij A a R
a ×=∈≠,经过一次Gauss 消元得到形如11
10a A A ∗⎛⎞=⎜
⎟⎝⎠
的矩阵,则1A 是 矩阵。
三、(12分)试用高斯列主元素法求解线性方程组
123413243267102115914350156x x x x ⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 四、(12分)利用矩阵A 的三角分解A LU =求解下列方程组 123121022331302x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 五、(12分)用平方根法求解下列方程组
1234241021710341097x x x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 六、(10分)设线性代数方程组Ax b =中系数矩阵A 非奇异,x 为精确解,0b ≠,若向量
x
%是Ax b =的一个近似解,残向量r b Ax =−%,证明估计式:()x x r
cond A x b
−≤%(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。
七、(12分)设实对称矩阵()ij n n A a ×=的特征值为12,,,n λλλL
试证:F
A
=
。
八、(12分)已知方程组Ax b =,其中310110233110A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦,14514b ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,
(1)构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式,并说明理由;
(2)写出(1)中迭代方法的迭代矩阵。