历届全国初中数学联赛真题及答案

1991年全国初中数学联赛试题

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１． 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ； （B）31； （C）2； （D）35．

答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10； （B）12；

（C） 16； （D）18．

答（ ）

３． 方程012xx的解是

（A）251； （B）251；

（C）251或251； （D）251．

答（ ）

４． 已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991； （Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n； （Ｄ）11991)1(n． 答（ ）

５． 若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．

答（ ）

８． 在锐角ΔABC中，1AC，cAB，60A，ΔABC的外接圆半径R≤1，则

（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；

答（ ） 11S3S=1 32S （C）c > 2； （D）c = 2．

答（ ）

二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是

．

２．已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，acb32 ．

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，qpnmxxxx)1(1)1(恒成立，则

qpnm22)2( ．

４．四边形ABCD中，∠ ABC135，∠BCD120，AB6，BC35，

CD = 6，则AD = ．

120135第二试

x + y， x － y， x y， yx

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且

BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．

求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为 2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是

(A)>M (B)=M (C)>M; (D)不确定.

3.若01132xx,则44xx的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

答( )

5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是

(A)21SS (B)21SS

(C)21SS (D)不确定 答( )

6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S,则21SS的整数部分是

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

答( )

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD,

60A,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.

则AE:EB等于

(A)1:2 (B)1:3

(C)2:5 (D)3:10

答( )

8.设9321,,,,xxxx均为正整数,且

921xxx,220921xxx,则当54321xxxxx的值最大时,19xx的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

2.若0x,则xxxx44211的最大值是__________.

3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE

.

4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab

.

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.

求证：CDBD2.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

A：320651 B：105263

C：612305 D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式1612xx除以12x的余式是

(A)1; (B)-1; (C)1x; (D)1x;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,11xxy.下列四个结论:

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数54321,,,,xxxxx满足方程组

.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx

其中54321,,,,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,则54321,,,,xxxxx的大小顺序是

(A)54321xxxxx; (B)53124xxxxx;

(C)52413xxxxx; (D)24135xxxxx.

5.不等式73)1(12xxx的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5

6.在ABC中,BCAOOA,,是垂心是钝角,

则)cos(OCBOBC的值是 (A)22 (B)22

(C)23 (D)21.

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于

(A)cba1:1:1; (B)cba::

(C)CBAcos:cos:cos (D)CBAsin:sin:sin.

答( )

8.13333)919294(3可以化简成

(A))12(333; (B))12(333 (C)123 (D)123

答( )

二.填空题

1. 当x变化时,分式15632212xxxx的最小值是___________.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,30A.以BC边为直径作圆,与AB,