2020中考数学压轴题选择填空

几何综合结论1. （2020深圳）如图，矩形纸片個8中,AB=6. 5（7=12.将纸片折叠，使点3落在边"的延长线上的点 G 处，折痕为肪 点E 、尸分别在边血和边證上.连接％,交CD 于点、K, FG 交CD 于点、H.给出以下结 论： ① EF1BG ；② GE=GF ：③ 冰和2X00的而积相等；④ 当点尸与点Q 重合时，Z/?£F=75° ,其中正确的结论共有（ ）【解答】解：如图，连接宓设EFG BG 交于点0,•••将纸片折叠，使点〃落在边〃的延长线上的点G 处,B. 2个 C. 3个D. 4个:.EFIBG, BO=GO. BE=EG, BF= FG,故①正确,AD//BC.:・ZEGO= ZFBO、又T ZEOG= ZBOF,:.、BOZ'GOE (ASA\:・BF=EG,:・BF=EG=GF、故②正确，•: BE=EG=BF=FG、・••四边形购沪是菱形，:•乙BEF= ZGEF,当点尸与点Q重介时，则BF=BC=BE=\2,TsinZ 遊「，•••ZM5=30° ,:・ZDEF=W,故④正确，由题意无法证明△宓和△GAZf的而积相等，故③错误：故选：C.2.（2020贵州铜仁）如图，正方形個力的边长为4,点厅在边曲上，BE=\,ZQLW=45°，点尸在射线刖上，且过点尸作“的平行线交BA的延长线于点H, 67■与初相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论：①尸的而积为S②△庇G的周长为&③必=亦+血：其中正确的是（）A.①(D ③B. @@C.①②【解答】解：如图，在正方形個8中，AD//BC. AB=BC=AD=49AZZ£W=90° ,HF//AD.AZ J ^=90° ,VZ2£4F=90° - ZMQ45° >AAFH=AHAF.:.AH=HF=\=BE.:.EH=AE^AH=AB- BE ・AH=4 = BC 、:AEHFg'CBE (SAS'、:・EF=EC, ZHEF= ZBCE,•:乙BCE+乙BEC=9$ ,:・HEHZBEC=9y »:.ZFEC=9Q° ,:■ \ CEF 是等腰直角三角形, 在 R 仏CBE 中，BE=1. BC=A. H 刀D.②③ ZB=ZBAD=9Q Q ,:.EC=BE+BC = 17.=i=g =兰：£g云EF・EC 2EC 2\故①正确；过点尸作FQLBC于0,交.AD于P,•••Z 时=90° = ZH= ZHAD.・••四边形北明是矩形，•: AH=HF,.•・矩形册叨是正方形，:.AP=PH=AH=\,同理：四边形测是矩形，:.PQ=AB=\y BQ=AP1、FQ=FP-PQ=z. CQ=BO BQ=3、•: AD〃BC,•••△/TVs △磁，FP _况. 五一&在RtAEAG 中，根据勾股宦理得，EG°V/i^=4,=空 Is t 2旳工空 Is 产云 :・E C 羊D C+B E,故③错误，・•・正确的有①故选：C.:.AG=AP^PG'AEG 的周长为 AG-E&rAEI r 3=8,敬②正确; 25:.DG^BE 1£7•: EC= ( 3:.DG=AD- AG3. （2020黑龙江鹤岗）如图，正方形 馭7?的边长为⑦ 点&在边月万上运动（不与点川3重合），ADAM= 45°，点尸在射线凡『上，且AF ^^BE,仔■与血相交于点G,连接应'、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF= 45° :② △近的周长为（1 <3：③ B »D C=E C ；④△轩的而积的最大值是肚其中正确的结论是（ ）•:BE=BH, Z 翊=90° ,:・AF=EH,⑤当BE 二;a 时，G 是线段初的中点.A.①②③B.②④⑤C.①®®D.①④⑤ 【解答】解：如图1中, 任BC 上截取BH=庞,连接筋•: ZDAM=ZEHB=45° , Z馳?=90° ,:・ZFAE=ZEHC=\35° ,•: BA=BC, BE= BH,:.AE=HC.:仏FAE^HEHC (SAS)、:・EF=EC, ZAEF= ZECH,•:乙EC出乙CEB=90° ,:.AAEF^ACEB=W y•••Z亦*90° ,:•乙ECF= ZEFC='M ,故①正确，如图2中.延长初到/ 使得BE,则厶CBMHCDH ISAS). :・ZECB= ZDCH、：.2LECH= ABCD=W ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•: CG=CG、CE=CH.:.HGCE^HGCH (SAS),:・EG=GH,V GH=D&rDH. DH=BE、:・EG=BE+DG.故③错误，'AEG的周长=AE^EG-AG= AE-AH= AD-DH^AE= AE^E&vAD= A&rAD= 2a.故②错误,二屈 设殆F 贝^AE=a-x. AF 阳=—- 十一■ ■£> 2 W.Y ax解得-Y •:.AG=GD.故⑤正确,故选:D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在Rt △磁中，G9为斜边初的中线，过点。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2 2 ．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′2，的长l，∴阴影部分周长的最小值为2．故答案为：．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．【解答】解：如图，在直线y x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x，∴OB＝4，OA，∴tan∠OBA，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP OB＝2，此时PQ，BP2，∴OQ OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP BP，∴BE3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2 ．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为99 ．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM AB3，∴OA3，∴CM＝OC+OM＝33，∴S△ABC AB•CM6×（33）＝99．故答案为：99．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴，∵DF DE，∴，∴，∴，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4，∴GO＝5，∴EG的最小值是，故答案为：9．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． 1 B．C．2 1 D．2【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OM CD，即OM的最大值为；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2，∴k＝m（﹣m），故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15 ．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。

几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。

初三数学冲刺资料1．如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．7D．﹣72．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD 的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣23．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．B．1C．D．2第1题图第2题图第3题图4．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（）A．B．C．D．5.如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90∘，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA 旋转后能与△DFA重合．若AE=5cm，则四边形AECF的面积为________．6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90∘，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．第4题图第5题图第6题图7.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90∘，C为弧AB中点，点D在OB上，点E在OB 的延长线上，当正方形CDEF的边长为42时，则阴影部分的面积为________．8如图，.四边形ABCD中，AB＝CD，AD // BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝5，则图中阴影部分扇形面积___．9.如图，菱形ABCD的边长为2cm，以点O为圆心，OA长为半径的AD 经过点C，作CE⊥OD，垂足为点E，则阴影部分面积为________．第8题图第9题图第10题图10.如图，在圆心角为90∘的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．11．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π12．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_______．第10题图第11题图第12题图13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y 与x之间关系的是（）14.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．15.如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90∘，AC BC=43，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．。

2020年中考数学压轴题每日一练（4.18）一、选择题1．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣62．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2 C．2﹣2 D．5二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝，b＝；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．故选：A．2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．【分析】如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF＝DE＝EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB 的最小值．【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵C，D关于AB对称，∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA＝CB，∴四边形ACBD是正方形，∵CF＝AE，CA＝DA，∠C＝∠EAD＝90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE，∴AF+BE＝ED+EB，∵CA垂直平分线段DH，∴ED＝EH，∴AF+BE＝EB+EH，∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝3，b＝4；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．【分析】（1）根据函数的图象，即可得出a、b的值；（2）分点P在线段AB上跟点P在线段BC上讨论，依据相似三角形的性质，即可得出y与x之间的关系；（3）由等高三角形的面积比等于底边长之比，可得出BP的长，根据勾股定理得出x的值，代入到（2）中的关系式中即可求出y的值．【解答】解：（1）当点P在线段AB上时，D到AB的距离为AD，由函数图象可看出，AD＝4，即BC＝b＝4，当点P运动到线段BC上时，D到AB的距离出现变化，由函数图象可看出，AB＝3＝a．故答案为：3；4．（2）①当点P在线段AB上时，有0≤AP≤AB，即0≤x≤3，此时y＝4．②当点P在线段BC上时，连接AC，过点D作DE⊥AP于点E，如图，由勾股定理可得：AC＝＝5．∵此时P点过B点向C点运动，∴AB＜AP≤AC，即3＜x≤5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，又∵∠ABP＝∠DEA＝90°，∴△DAE∽△APB，∴＝，即＝，∴y＝．综合①②得：y＝．（3）∵△PCD的面积是△ABP的面积的，且两三角形等高，∴BP＝3PC，∵BP+PC＝BC＝4，∴BP＝3，由勾股定理可得：x＝＝3，将x＝3代入，得y＝＝2．故当△PCD的面积是△ABP的面积的时，y的值为2．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+P A取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出＝，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+P A的最小值＝PO′+P A＝AO′＝＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴＝＝．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴＝，即＝，∴AQ＝10，∴点Q的坐标为（9，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．。

函数综合结论图象上的任意四点，现有以下结论：1.（2020•福建）设A，B，C，D是反比例函数y=kk①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④2.（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；=1，可得b＝﹣2a，∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以−k2k由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．的部分图象如图所示，有以下结论：3.（2020•玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2=1|k|①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；②当x＜﹣1时，y1＞y2；③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；④函数y＝y1+y2的最小值是2．则所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：补全函数图象如图：①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；故①错误；②当x＜﹣1时，y1＞y2；故②正确；③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；故③正确；④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，故④正确．综上所述，正确的结论是②③④．故答案为②③④．4.（2020•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个=−2，【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−k2k∴4a﹣b＝0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴x ＝﹣1时y ＞0，且b ＝4a ，即a ﹣b +c ＝a ﹣4a +c ＝﹣3a +c ＞0，∴c ＞3a ，所以②错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），∴抛物线与直线y ＝2有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝2有两个不相等实数根，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴4kk −k 24k =3，∴b 2+12a ＝4ac ，∵4a ﹣b ＝0，∴b ＝4a ，∴b 2+3b ＝4ac ，∵a ＜0，∴b ＝4a ＜0，∴b 2+2b ＞4ac ，所以④正确；故选：C ．5.（2020•大兴安岭）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．6.（2020•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c ＞0．A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，−k2k＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x＝2右侧，即−k2k＞2，∴2+k2k =4k+k2k＜0，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，可得：抛物线y＝ax2+bx+c在0＜k＜−k2k上，y随x的增大而增大，在k＞−k2k上，y随x的增大而减小，∴y1＞y2不一定成立，故③错误；=3，即b＝﹣6a，若抛物线对称轴为直线x＝3，则−k2k则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，当x＝4时，16a+4b+c＝0，∴a=4k+k，−16+k+k≥0，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，则4k+k−16﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个．故选：B．7.（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a ＜0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c ＞0，故ac ＜0，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x 轴相交于A （﹣2，0）、B （1，0），由对称性可知，其对称轴为：k =−2+12=−12，因此②错误； 对于③：设二次函数y ＝ax 2+bx +c 的交点式为y ＝a （x +2）（x ﹣1）＝ax 2+ax ﹣2a ，比较一般式与交点式的系数可知：b ＝a ，c ＝﹣2a ，故2a +c ＝0，因此③正确；对于④：当x ＝﹣1时对应的y ＝a ﹣b +c ，观察图象可知x ＝﹣1时对应的函数图象的y 值在x 轴上方，故a ﹣b +c ＞0，因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C ．8.（2020•荆门）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为（1，2），则△ABC 的面积可以等于2；③M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x 1+x 2＞2，则y 1＜y 2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣l ，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．【解答】解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，正确，符合题意； ②△ABC 的面积=12AB •y C =12×AB ×2＝2，解得：AB ＝2，则点A （0，0），即c ＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x ＝1，若x 1+x 2＞2，则12（x 1+x 2）＞1，则点N 离函数对称轴远，故y 1＞y 2，故②错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．9.（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；．④当△BCD是直角三角形时，a=−√22其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，=1，∴对称轴为直线x=−k2k∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4=√9+9k2，∴a=−√7，3当AC＝BC时，4=√1+9k2，，∴a=−√153∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a=−√2，2若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，，故④错误．∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或−√22故选：B．10.（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是①③（填写序号）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；=−1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．11.（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，=1，∴−k2k∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．12.（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故此选项错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=−k2k =1，即a=−k2，代入得9（−k2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．13.（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．14.（2020•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：．①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为−1k 其中正确结论的序号是②③④．【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴ab＜0，故①错误；②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正确；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正确；④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，∵抛物线与x轴的交点为（1，0），，故④正确；∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为−1k故答案为②③④．15.（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个=1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x=−k2k0，于是有：ac＜0，因此①正确；=1，得2a+b＝0，因此③不正确，由x=−k2k抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，由对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c ＝0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④，故选：C．16.（2020•凉州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x=−k2k=1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a=−12b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴−12b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．17.（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x =−4k2k=2，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等； 故①正确；当x ＝3时，y ＝﹣3a ﹣5，当x ＝4时，y ＝﹣5， 若a ＞0时，当3≤x ≤4时，﹣3a ﹣5＜y ≤﹣5， ∵当3≤x ≤4时，对应的y 的整数值有4个，∴1≤a ＜43，若a ＜0时，当3≤x ≤4时，﹣5≤y ＜﹣3a ﹣5， ∵当3≤x ≤4时，对应的y 的整数值有4个，∴−43＜a ≤﹣1，故②正确；若a ＞0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6， ∴△＞0，25a ﹣20a ﹣5≥0，∴{16k 2+20k＞05k −5≥0， ∴a ≥1，若a ＜0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6， ∴△＞0，25a ﹣20a ﹣5≤0，∴{16k 2+20k＞05k −5≤0， ∴a ＜−54， 综上所述：当a ＜−54或a ≥1时，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6． 故选：D ．18.（2020•内江）已知抛物线y 1＝﹣x 2+4x （如图）和直线y 2＝2x +b ．我们规定：当x 取任意一个值时，x对应的函数值分别为y 1和y 2．若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较大者为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．①当x ＝2时，M 的最大值为4；②当b ＝﹣3时，使M ＞y 2的x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；③当b ＝﹣5时，使M ＝3的x 的值是x 1＝1，x 2＝3；④当b ≥1时，M 随x 的增大而增大．上述结论正确的是 ②③④ ．（填写所有正确结论的序号）【解答】解：①当x ＝2时，y 1＝4，y 2＝4+b ，无法判断4与4+b 的大小，故①错误．②如图1中，b ＝﹣3时，由{k =−k 2+4k k =2k −3，解得{k =−1k =−5或{k =3k =3， ∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M ＞y 2的x 的取值范围是﹣1＜x ＜3，故②正确，③如图2中，b ＝﹣5时，图象如图所示，M ＝3时，y 1＝3，∴﹣x 2+4x ＝3，解得x ＝1或3，故③正确，④当b ＝1时，由{k =2k +1k =−k 2+4k，消去y 得到，x 2﹣2x +1＝0， ∵△＝0，∴此时直线y ＝2x +1与抛物线只有一个交点，∴b ＞1时，直线y ＝2x +b 与抛物线没有交点，∴M 随x 的增大而增大，故④正确．19.（2020•宜宾）函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）①abc ＞0；②函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在x ＝1和x ＝﹣2处的函数值相等；③函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在﹣3≤x ≤3内既有最大值又有最小值．A ．①③B ．①②③C ．①④D ．②③④ 【解答】解：依照题意，画出图形如下：∵函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0．∴a ＜0，c ＞0，对称轴为x =−k 2k =−1，∴b ＝2a ＜0，∴abc ＞0，故①正确，∵对称轴为x ＝﹣1， ∴x ＝1与x ＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n ），∴抛物线解析式为；y ＝a （x +1）2+n ＝ax 2+2ax +a +n ， 联立方程组可得：{k =kk +1k =kk 2+2kk +k +k ， 可得ax 2+（2a ﹣k ）x +a +n ﹣1＝0，∴△＝（2a ﹣k ）2﹣4a （a +n ﹣1）＝k 2﹣4ak +4a ﹣4an ，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x ≤3时，当x ＝﹣1时，y 有最大值为n ，当x ＝3时，y 有最小值为16a +n ，故④正确，故选：C ．20.（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜−12．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=12，而点（2，0）关于直线x=12的对称点的坐标为（﹣1，0），∵c＞1，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=12，∴−k2k =12，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜0，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵b＝﹣a，∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，∴﹣2a＝c，∵c＞1，∴﹣2a＞1，，故③正确，∴a＜−12故选：C．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2√n，0）B．（0，√2n+1）C．（0，√2n(n−1)）D．（0，2√n）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m=√2−1，∴OB2＝2√2，设A3（a，2√2+n），则有n＝a（2√2+a）＝1，解得a=√3−√2，∴OB3＝2√3，同法可得，OB4＝2√4，∴OB n＝2√n，∴B n（0，2√n）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=−12x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y=−12x上，∴1=−12x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝212n，∴P2020的横坐标为212×2020=21010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=12k（k+1），应停在第12k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤12k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，12k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2； ∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…， ∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），把B1（t，√3t）代入y=√3x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x得（2√2+n）•√3n=√3，∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√n，0），故答案为：(2√n，0)．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC=(3−2)×180°3=60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD= (4−2)×180°4=90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE= (5−2)×180°5=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是1005050=2101，故选：D ．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A ，B ，C 三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A 型）地砖记作（1，1），第二块（B 型）地砖记作（2，1）…若（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，则正整数m ，n 须满足的条件是 m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数 ．【解答】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，正整数m ，n 须满足的条件为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数． 故答案为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；A 1B 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1C 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；C 1D 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯DA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则A 2020B 2020̂的长是 4039π ．【解答】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n ﹣1＝AA n ＝4（n ﹣1）+1，BA n ＝BB n ＝4（n ﹣1）+2，故A 2020B 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，A 2020B 2020̂的弧长=90180×8078π=4039π．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx +k +1与直线12：y ＝（k +1）x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 （﹣1，1） ；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝14，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为50101．【解答】解：∵直线11：y ＝kx +k +1＝k （x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y ＝（k +1）x +k +2＝k （x +1）+（x +1）+1＝（k +1）（x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）．∴无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点（﹣1，1）． ∵直线11：y ＝kx +k +1与x 轴的交点为（−k+1k ，0）， 直线12：y ＝（k +1）x +k +2与x 轴的交点为（−k+2k+1，0），∴S K =12×|−k+1k +k+2k+1|×1=12k(k+1)， ∴S 1=12×11×2=14； ∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]=12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）]=12×（1−1101） =12×100101 =50101． 故答案为（﹣1，1）；14；50101．18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a 1，第2幅图中“▱”的个数为a 2，第3幅图中“▱”的个数为a 3，…，以此类推，若2a 1+2a 2+2a 3+⋯+2a n=n 2020．（n 为正整数），则n 的值为 4039 ．【解答】解：由图形知a 1＝1×2，a 2＝2×3，a 3＝3×4， ∴a n ＝n （n +1）， ∵2a 1+2a 2+2a 3+⋯+2a n=n2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n2020，∴2×（1−1n+1）=n2020，1−1n+1=n4040，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y=−√3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，...的边OE1，E1E2，E2E3， (x)上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，∴当y＝0时，x=√33b，即点D的坐标为（√33b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=−√33b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=√3，∴∠ADO＝60°．∵直线y=−√3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴−√3x+b=k x，整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=√33k，即EB•FC=√33k，∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．。

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2二、填空题18．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．第3题第4题24．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．二、填空题3．【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，即可求解．【解答】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N．则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，∴AE＝BF＝2，S△ADB＝S△DBC，S△BGM＝S△BGF，S△DEG＝S△DNG，∴S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，∴S阴＝S矩形CFGN＝5，故答案为：5．4．【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x＝，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＝﹣2，∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0；∴①正确；A、B两点关于x＝对称，∴m+n＝1，∴③正确；a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，则AB的距离变小，∴⑤不正确；若m＜﹣1，n＞2，由图象可知n＞1，∴④不正确；当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，∴②不正确；故答案①③．三、解答题5．【分析】（1）当△DEF∽△COD时，＝，DF＝DE cos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC＝1，OD＝3，∴C（0，1），D（﹣3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，＝∴EF＝，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF＝DE cos∠CDO＝，作FK⊥OD于K，则FK＝DF sin∠CDO＝，DK＝DF cos∠CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝，又∵P为CD中点，P（﹣，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得a＝2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．6．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，x＝﹣1+（舍去）．∴，如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（﹣1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．。

2020年中考数学压轴题专题复习：一次函数与反比例函数一、选择题（本大题共6道小题）1. 如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C 、D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1＝( )A. 4B.143 C. 163D. 62. 已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )A. k ＞1，b ＜0B. k ＞1，b ＞0C. k ＞0，b ＞0D. k ＞0，b ＜03. 下列函数中，满足y 的值随x 的值增大而增大的是( )A. y ＝－2xB. y ＝3x －1C. y ＝1xD. y ＝x 24. 设函数y ＝kx (k ≠0，x >0)的图象如图所示，若z ＝1y，则z 关于x 的函数图象可能为( )5. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax＋b 与反比例函数y ＝cx的图象可能是( )6. 若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是()二、填空题（本大题共5道小题）7. 已知反比例函数y ＝k x的图象在每一个象限内y 随x 的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式____________．8. 如图所示，已知点C (1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．9. 将函数y ＝2x ＋b (b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |(b 为常数)的图象，若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0<x <3，则b 的取值范围为____________．10. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝a x的图象在第一象限交于点A (4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB .(1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝ax的表达式；(2)已知点C (0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC .求此时点M 的坐标．11. 如图，已知点A ，C 在反比例函数y ＝a x的图象上，点B ，D 在反比例函数y ＝b x的图象上，a >b >0，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB ＝34，CD ＝32，AB 与CD 间的距离为6，则a －b 的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)． (1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标．13. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．14. 如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．(1)求m的值；(2)求A、B两点的坐标；(3)点P(a，b)(－3<a<1)是抛物线上一点，当△P AB的面积是△ABC面积的2倍时，求a、b的值．15. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A 【解析】设E (x 1，0)，F (x 2，0)，则A (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 2x 2)，B (x 2，k 1x 2)，C (x 1，k 2x 1)，∴AC ＝k 1－k 2x 1＝2，BD ＝k 2－k 1x 2＝3，∴k 1－k 2＝2x 1，k 2－k 1＝3x 2，∴2x 1＋3x 2＝0，又∵EF ＝x 2－x 1＝103，∴x 2＝43，∴k 2－k 1＝3x 2＝3×43＝4.2. 【答案】A 【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴k －1>0，∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b ＜0，∴满足题意的k 、b 情况为k >1，b <0.3. 【答案】B 【解析】一次函数y ＝－2x 中，y 随x 增大而减小；一次函数y ＝3x －1中，y 随x 的增大而增大；反比例函数y ＝1x 中，在每一个分支上，y 随x 的增大而减小；二次函数y ＝x 2中，当x ＞0时，y 随x 增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故答案为B .4. 【答案】D 【解析】函数y ＝k x(k ≠0，x ＞0)的图象在第一象限，则k ＞0，x ＞0.由已知得z ＝1y ＝1k x＝xk，所以z 关于x 的函数图象是一条射线，且在第一象限，故选D.5. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b 过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx位于第二、四象限，故答案为C.6. 【答案】C 【解析】式子k －1＋(k －1)0有意义，则k >1，所以1－k <0，k －1>0，所以一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象经过第一、二、四象限．二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】y ＝－2x(答案不唯一) 【解析】∵反比例函数的图象在每一个象限内y 随x的增大而增大，∴k ＜0，∴k 可取－2(答案不唯一)．8. 【答案】10 【解析】作点C 关于y 轴的对称点C 1(－1，0)，点C 关于直线AB 的对称点C 2，连接C 1C 2交OA 于点E ，交AB 于点D ，则此时△CDE 的周长最小，且最小值等于C 1C 2的长．∵OA ＝OB ＝7，∴CB ＝6，∠ABC ＝45°.∵AB 垂直平分CC 2，∴∠CBC 2＝90°，∴C 2的坐标为(7，6)．在Rt △C 1BC 2中，C 1C 2＝C 1B 2＋C 2B 2＝82＋62＝10.即△CDE 周长的最小值是10.9. 【答案】－4<b<－2 【解析】先求出直线y ＝2与y ＝|2x ＋b|的交点的横坐标，再由已知条件列出关于b 的不等式组，便可求出结果．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝|2x ＋b|，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝2x ＋b或⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝－2x －b ，解得x ＝2－b 2或x ＝－2＋b2，∵0<x<3，∴⎩⎨⎧2－b2<3－b ＋22>0，解得－4<b<－2.10. 【答案】(1)【思路分析】由点A 的坐标和OA ＝OB 可得点B 的坐标，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点A 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式．解：∵点A(4，3)，∴OA ＝42＋32＝5，∴OB ＝OA ＝5， ∴B(0，－5)，将点A(4, 3)，点B(0, －5)代入函数y ＝kx ＋b 得，⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝3b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－5，(2分) ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5， 将点A(4, 3)代入y ＝ax 得，3＝a 4， ∴a ＝12，∴反比例函数的解析式为y ＝12x， ∴所求函数表达式分别为y ＝2x －5和y ＝12x.(4分) (2)【思路分析】由题意可知，使MB ＝MC 的点在线段BC 的垂直平分线上，故求出线段BC 的垂直平分线和一次函数的交点即可．解：如解图，∵点B 的坐标为(0, －5)，点C 的坐标为(0, 5)，∴x 轴是线段BC 的垂直平分线， ∵MB ＝MC ，∴点M 在x 轴上，又∵点M 在一次函数图象上，∴点M 为一次函数的图象与x 轴的交点，如解图所示， 令2x －5＝0，解得x ＝52，(6分)∴此时点M 的坐标为(52， 0)．(8分)11. 【答案】3 【解析】设点A 的纵坐标为y 1，点C 的纵坐标为y 2，∵AB ∥CD ∥x轴，∴点B 的纵坐标为y 1，点D 的纵坐标为y 2，∵点A 在函数y ＝ax 的图象上，点B 在函数y ＝b x 的图象上，且AB ＝34，∴a y 1－b y 1＝34，∴y 1＝4（a －b ）3，同理y 2＝2（b －a ）3，又∵AB与CD 间的距离为6，∴y 1－ y 2＝4（a －b ）3－2（b －a ）3＝6，解得a －b ＝3.三、解答题（本大题共4道小题）12. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12，∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分) (2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2， ∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3，∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)， ①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ，∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52， ∴E 1(3，52)．(6分) ②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2，∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°.∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)13. 【答案】解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k 、b 为常数且k≠0)，∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4050k ＋b ＝90， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝40， ∴y ＝x ＋40，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ＋40 （0≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数），(2分) 由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系．设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n(m ，n 为常数，且m≠0)， ∵p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)，∴⎩⎪⎨⎪⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝200， ∴p ＝－2x ＋200(0≤x≤90，且x 为整数)，(3分)当0≤x≤50时，w ＝(y －30)·p＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)，＝－2x 2＋180x ＋2000，当50＜x≤90时，w ＝(90－30)×(－2x ＋200)＝－120x ＋12000，综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是：w ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2000 （0≤x≤50，且x 为整数）－120x ＋12000 （50＜x≤90，且x 为整数）.(5分) (2)当0≤x≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050，∵a ＝－2＜0且0≤x≤50，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，(6分)当50＜x≤90时，w ＝－120x ＋12000，∵k ＝－120＜0，∴w 随x 增大而减小．∴x ＝50时，w 最大＝6000(元)，∵6050＞6000，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(8分)(3)24天．(10分)【解法提示】①当0≤x ≤50，若w 不低于5600元，则w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，解得30≤x ≤60，∴30≤x ≤50；②当50＜x ≤90时，若w 不低于5600元，则w ＝－120x ＋12000≥5600，解得x ≤1603， ∴50＜x ≤1603， 综合①②可得30≤x ≤1603， ∴从第30天到第53天共有24天利润不低于5600元．14. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上，∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9，又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0，∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝9， ∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15， S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分)又∵S △PAB ＝2S △ABC ，∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上，∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1，∴a ＝7－732， ∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)15. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4， S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4， S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ， 则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则 S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12， 设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)， ∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ， 其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6， ∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上， ∴点C(x ，－12x 2＋3x)， 如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则 点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.图③。

2020年中考数学压轴题每日一练（4.17）一、选择题1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32第1题第2题2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（）A．2B．4πC．2πD．二、填空题3．如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．第3题第4题4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三、解答题5．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．6．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠BAO＝，且线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根．（1）求直线AB的函数表达式．（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE ＝16．点F是直线CE上一点，分别过点E，F作x轴和y轴的平行线交于点G，将△EFG 沿EF折叠，使点G的对应点落在坐标轴上，求点F的坐标．（3）在（2）的条件下，点M是DO的中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，∵S△BOE﹣S OME＝S△CDF﹣S△OME，∴S3＝S2，故选：B．2．【分析】由轴对称性质可知，GE＝AE＝2是定长，故点G的运动路径为以E为圆心、AE 长为半径的圆弧上，圆弧的最大角度即点F到达中点D时，∠AEG的度数．利用AD、AE的长可求tan∠AED的值，求得∠AED并进而求得∠AEG为特殊角．再代入弧长公式即求出点G的运动路径长．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，E是AB的中点∴AE＝AB＝2∵△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称∴GE＝AE＝2，∠GEF＝∠AEF∴G在以E为圆心，AE长为半径的圆弧上运动如图，当点F与点D重合时，AD＝∴tan∠AED＝∴∠AED＝60°∴∠AEG＝2∠AED＝120°∴G运动路径长为：2π×2×＝故选：D．二、填空题3．【分析】直接利用圆环面积求法进而得出答案．【解答】解：正五边形的内切圆与外接圆所围圆环的面积为：π（OA2﹣OH2）＝π×AH2＝．故答案为：．4．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题5．【分析】（1）连接FD．证明△ADC≌△EDF（SAS）推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题．（2）成立．连接FD，证明△ADC≌△EDF（SAS）推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题．（3）分两种情形分别画出图形，利用（2）中结论求出CD即可解决问题．【解答】（1）证明：连接FD，∵AD＝ED，∠ADE＝90°，∴∠DAC＝∠AED＝45°，∵四边形BCEF是平行四边形，∠BCE＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴∠CEF＝∠AEF＝90°，BC＝EF＝AC，∴∠DEF＝45°，∴∠A＝∠DEF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠DCA＝∠DFE，∴∠FDC＝∠FEC＝90°，从而△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（2）解：成立．理由：连接FD，∵AD⊥DE，EF⊥AC，∴∠DAC＝∠DEF，又AD＝ED，AC＝EF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC，∴∠FDC＝∠ADE＝90°∴△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（3）解：如图3﹣1中，设AE与CD的交点为M，∵CE＝CA，DE＝DA，∴CD垂直平分AE，∴＝，DM＝，∴CD＝DM+CM＝3，∵CF＝CD∴CF＝6．如图3﹣2中，设AE与CD的交点为M，同法可得CD＝CM﹣DM＝﹣＝2，∴CF＝CD＝4，综上所述，满足条件的CF的值为6或4．6．【分析】（1）解方程求出OB，解直角三角形求出OA，可得A（﹣8，0），B（0，4），再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．可证△FHI∽△HER，推出＝＝＝2，设ER＝m，则IH＝2m，可得F（m﹣16，2m），再利用待定系数法即可解决问题．（3）分三种种情形分别求解：①如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时．②如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合．③如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时．【解答】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根，∴OB＝4，又tan∠BAO＝＝，∴OA＝8，∴A（﹣8，0）．B（0，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线AB：y＝x+4．（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．∵直线EC⊥AB，S△DOE＝16，∴OD＝4，OE＝8，可得直线DE：y＝﹣2x﹣8，∵∠GFE＝∠DEO，∴GE：GF＝EH：HF＝1：2∵∠FHE＝∠I＝∠R＝90°，可证△FHI∽△HER，∴＝＝＝2，设ER＝m，则IH＝2m，∴F（m﹣16，2m），把点F坐标代入y＝﹣2x﹣8，得到：2m＝﹣2（m﹣16）﹣8，∴m＝6，∴F（﹣10，12）．（3）如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD＝OB＝4，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠PNB＝∠ONM＝45°，∴OM＝DM＝ON＝2，∴BN＝2，PB＝PN＝，∴P（﹣1，3）．如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合，易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，∴P（0，2）．如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，则R（﹣1，3），∴P（0，6）．如图3﹣4中，当QN是对角线时，P（2，6）．。