第五章刚体力学基础

Jx = J y
1 2 Jx = J y = mR 4
z C x
m 圆盘 R y
例4 在半径为R,质量为M的均匀薄圆板上,挖出一个直径为R的 在半径为R,质量为M的均匀薄圆板上,挖出一个直径为R R,质量为 圆孔,孔的中心为R/2 R/2处 圆孔,孔的中心为R/2处,求所剩部分对通过原圆盘中心且与板 面垂直的轴的转动惯量。 面垂直的轴的转动惯量。 z′ Z 解 用补偿法 I = I 1 − I 2
( )
( )
I = I1 − I 2 =
1 3 13 MR 2 − MR 2 = MR 2 2 32 32
如图所示， 例5 如图所示，刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动 惯量如何计算？ 棒长为 惯量如何计算？(棒长为L , 半径为R） 球半径为 ） 解：
1 2 JL = mLL 3
mL
mO
JOC 2 = mO R2 5
2
m
2 2 2m R 4 = 3 ∫ r dr = mR 5 R 0
(薄板 薄板) 3. (薄板)垂直轴定理
Jz = Jx + J y
已知
x,y轴在薄板内； 轴在薄板内； 轴在薄板内 z 轴垂直薄板。 轴垂直薄板 薄板。
z
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量
1 Jz = mR2 2
x
y
J z = Jx + J y
三、定轴转动
ω, β
v r •P
刚体
dθ ω= dt
∆ω dω β = lim = dt ∆t → 0 ∆t
参 考 方 向
转动
r
定轴
ω = ω0 + α t 1 2 (θ − θ 0 ) = ω t + α t 2 2 ω 2 − ω0 = 2α (θ − θ 0 )
四、 角速度
1 1 L 2 J A JC m = mL + mL2 ＝ ＋ 12 4 2 1 = mL2 3
2
推广: 推广 若有任一轴与过质心的轴 平行且相距d 平行且相距 ，刚体对其转动惯 量为: 量为 J = JC + md 2 , 称为平行轴 定理。 定理。
d
c
求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。 例2 求质量为 半径为 的均匀圆环的转动惯量。轴 与圆环平面垂直并通过圆心。 与圆环平面垂直并通过圆心。 在环上任取一小线元dl 解: 在环上任取一小线元 其质量
2
求质量为m半径为 半径为R的匀质薄球壳绕过 例 4 求质量为 半径为 的匀质薄球壳绕过 中心轴的转动惯量。 中心轴的转动惯量。 在球面取一圆环带， 解:在球面取一圆环带，半径 r = Rsinθ m dm = 2π rRdθ 2 4π R
R sin θ dθ
J = ∫ r dm
2
= 2∫ mR sin θdθ
(3) 若力不在垂直于转轴的平面内 则将这些力沿平面和转轴方 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方 向分解，与转轴平行的分力力矩为零， 向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的 代数和即为这些力的合力矩; 代数和即为这些力的合力矩 (4) 由于刚体内质点间的相互作用力总 是成对出现，并遵守牛顿第三定律， 是成对出现，并遵守牛顿第三定律，所 以这些力对转轴的合力矩为零， 以这些力对转轴的合力矩为零，即合内 力矩为零。 力矩为零。
J = ∑∆ mi ri2
∆ m1
r 1
r2
∆ m2
若质量连续分布 质量为线分布
J = ∫ r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm = λ dl
λ为质量的线密度
dm = σ ds
σ为质量的面密度
dm = ρ dV
ρ为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体， 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。 用积分计算其转动惯量 一般刚体则用实验求其转动惯量。 一般刚体则用实验求其转动惯量
第五章 刚体力学基础
5.1 刚体的基本运动
什么是刚体? 一、 什么是刚体? F AB XY 如图,力的传播是由于物体各部分的压缩而推进的, 如图,力的传播是由于物体各部分的压缩而推进的,在这过程没有物 体的形变是不行的.但是, 体的形变是不行的.但是,在很多情况下物体的弹性形变小得可以忽 这样, 略.这样,我们就得到实际物体的另外一个抽象模型 刚体 定义刚体: 在任何情况下,组成物体的所有质点之间的距离保持不变 定义刚体: 在任何情况下, 的质点系. 的质点系. 完全不发生形变的物体如何传递弹性力? 完全不发生形变的物体如何传递弹性力? 问题不该这么提,实际上弹性波的传播速度正比于弹性模量的开方, 问题不该这么提,实际上弹性波的传播速度正比于弹性模量的开方, 物体刚性越大,弹性模量也越大,从而扰动在其中的传递速度也越大. 物体刚性越大,弹性模量也越大,从而扰动在其中的传递速度也越大. 刚体模型与弹性波传播速度无穷大的假设是等价的 一般, 一般,固体弹性波的速度约 3 × 10 3 m / s
F
1
r
二、转动定律
v v v 用牛顿第二定律： 对∆mi 用牛顿第二定律： Fi + fi = ∆mi ai
切向分量式为： Fi sinθi + fi sinϕi = ∆mi ait 切向分量式为： 两边同乘ri 2
Or
z
fi
i
ϕi
Fi
ait = riα
Fi ri sinθi + fi ri sinϕi = ∆mi ri α
z
dr o r R
dm = ρ ⋅ 2πrdr ⋅ l
dJ = r 2dm = ρ ⋅ 2πlr3dr
1 4 J = ∫ dJ = ∫ ρ ⋅ 2πlr dr = ρπR l 0 0 2 m 1 2 Qρ = 2 ∴J = mR 2 πR l
J R 3
可见，转动惯量与l 无关。所以， 可见，转动惯量与 无关。所以，实心圆柱对其轴 1 的转动惯量也是 J = mR2 。
角速度矢量: 角速度矢量: 大小: 大小:ω Nhomakorabeao′ Ri
o
dθ θ ω= dt
v = ω × ri
方向:与刚体转动方向成右手螺旋法别. 方向:与刚体转动方向成右手螺旋法别. 刚体上任一点p 刚体上任一点p的线速度与角速度之间 的关系可表示为: 的关系可表示为:
θ ri
v = ω × ri
速度的大小为: 速度的大小为: 其中
三、转动惯量
1. 定义 的单位： 在 ） J = ∑ ∆mi ri （SI）中，J 的单位：kgm2
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度， 物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。 反映了改变刚体转动状态的难易程度。 2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 刚体的形状。 刚体的质量及其分布; 转轴的位置; 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 乘积之和。 质量离散分布的刚体
JO = JOC + mOd 2 = JOC + mO ( L + R )2
J = JL + JO 1 2 2 = mLL + mO R2 + mO ( L + R )2 3 5
m
m dl dm = 2πR
O
R dm
J = ∫ R2dm
0
=R
2
∫
2π R
0
m dl 2πR
均匀圆环的 转动惯量： 转动惯量： J = mR2
R =m 2
求质量为m 半径为R 厚为l 例3 求质量为 ，半径为 ，厚为 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 取半径为r 宽为dr 解：取半径为 宽为 的薄圆环
外力矩 内力矩
∆ mi
θi
对所有质点求和： 对所有质点求和：
Fi ri sinθi + ∑ fi ri sinϕi = ( ∑∆mi ri2 )α ∑
Q ∑ fi ri sinϕi = 0
令J = ∑∆mi ri2
∴ ∑Fi ri sinθi = ( ∑∆mi ri2 )α
转动惯量 矢量式: 矢量式
v = ω ⋅ ri sin θ = ω ⋅ Ri
是质元P Ri 是质元P到转轴的垂直距离
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
z
M F
θ
一、力矩 1. 力矩的定义: F 在平面内 力矩的定义:
大小： M M = r × F 大小： = Fr sinθ = F ⋅ d 2. 物理意义
是决定刚体转动的物理量, 是决定刚体转动的物理量,表明力的大 小、方向和作用点对物体转动的影响。 方向和作用点对物体转动的影响。
二 、 平动和转动
平动: 固联在刚体上的任一条直线, 平动: 固联在刚体上的任一条直线,
在各时刻的位置始终保持彼此平行的 运动 特征: 各点的速度和加速度一样,因此, 特征: 各点的速度和加速度一样,因此,可 以选取刚体上的任一点来代表其运动. 以选取刚体上的任一点来代表其运动.
A B
A′′
A′
B′
求长为L 质量为m 例1 求长为 质量为 的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 转动惯量。
A L B A C L/2 L/2 B x
x
m 取轴处为原点建立一维坐标系如图所示， 解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =λdx λ = L
JA = ∫
JC = ∫