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软件测试技术(习题卷8)第1部分：单项选择题，共56题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]黑盒测试用例设计方法包括（ ）等A)等价类划分法、因果图法、正交试验设计法、功能图法、路径覆盖法、语句覆盖法B)等价类划分法、边界值分析法、判定表驱动法、场景法、错误推测法、因果图法、正交试验设计法、功能图法C)因果图法、边界值分析法、判定表驱动法、场景法、Z路径覆盖法D)场景法、错误推测法、因果图法、正交试验设计法、功能图法、域测试法答案:B解析:2.[单选题]软件测试是软件质量保证的重要手段，下列（ ）是软件测试的任务。
①预防软件发生错误；②发现改正程序错误；③提供诊断错误信息。
A)①B)②C)③D)以上都对答案:D解析:3.[单选题]在软件测试前,需要确定软件测试的优先级,优先级越高的测试项,应优先得到测试,如下哪个因素是与测试优先级最不相关的( )。
A)测试的难易程度B)开发修正缺陷的容易程度C)容易出错的测试项D)客户最常使用的产品特性答案:A解析:4.[单选题]（ ）是选择若干个测试用例，运行被测程序，使得程序中的每个可执行语句至少执行一次。
A)条件覆盖B)组合覆盖C)判定覆盖D)语句覆盖答案:D解析:5.[单选题]我做事不喜欢半途而废A)强烈同意B)同意C)不同意D)最不同意答案:A解析:6.[单选题]走查主要包括以下哪些内容( ) ①检查代码和设计的一致性 ②标准的遵循和可读性 ③评审对象主要是软件A)②③B)②③④C)①②③④D)①②③答案:C解析:7.[单选题]不属于单元测试内容的是( )。
A)模块接口测试B)局部数据结构测试C)独立路径测试D)用户界面测试答案:D解析:8.[单选题]下面四种说法中正确的是A)因果图法是建立在决策表法基础上的一种白盒测试方法；B)等价类划分法是边界值分析法的基础；C)健壮性等价类测试的测试用例要求在有效等价类中取值；D)在任何情况下做黑盒测试皆应首先考虑使用错误推断法。
第三章黑盒测试参考答案（注意：答案仅供参考，若有误，请自行修改。
）1、某保险公司计算保险费率。
计算方式为10点及10点以上保险费率为%，10点以下保险费率为%；而点数又是由投保人的年龄、性别、婚姻状况和抚养人数来决定，具体规则如下表所示。
其中，年龄有效输入范围为1-100；抚养人数可输入“无”或1-9之间的整数。
（1）通过对程序功能的分析，其等价类表如下所示：2、NextDate函数。
该函数要求输入三个变量month、day和year，输出该日期之后一天的日期。
其中year 的取值范围为：1900-2079。
如果输入的日期组合不合法，则显示“无效的输入日期”。
使用等价类划分进行测试用例设计。
参考答案：（1）通过对程序功能的分析，其等价类表如下所示：（2）设计测试用例表，覆盖等价类。
3、P62，习题7。
参考答案略。
4、某软件的一个模块的需求规格说明书中描述：（1）年薪制员工：严重过失，扣年终风险金的4%；过失，扣年终风险金的2%。
（2）非年薪制员工：严重过失，扣当月薪资的8%；过失，扣当月薪资的4%。
请绘制出因果图和判定表，并给出相应的测试用例。
参考答案：（1）根据程序的规格说明，原因和结果如下：原因：C1：年薪制员工。
（1：是年薪制员工；0：非年薪制员工）C2：严重过失C3：过失结果：e1：扣年终风险金的4%e2：扣年终风险金的2%e3：扣当月薪资的8%e4：扣当月薪资的4%（2）因果图：略（3）决策表：规则选项12345678条件C1：年薪制员工11110000 C2：严重过失11001100 C3：过失10101010结果e1：扣年终风险金的4%√e2：扣年终风险金的2%√e3：扣当月薪资的8%√e4：扣当月薪资的4%√不操作√√不可能√√（4）用例表：用例输入数据预期输出TC1年薪制员工，严重过失扣年终风险金的4%TC2年薪制员工，过失扣年终风险金的2%TC3非年薪制员工，严重过失扣当月薪资的8%TC4非年薪制员工，过失扣当月薪资的4%下“可乐”、“雪碧”或“橙汁”按钮，相应的饮料就送出来。
以下是一些等价类测试的例子：
1. 三角形问题：判断给定的三个整数是否能构成三角形。
根据三角形形成的条件（两边之和大于第三边），可以划分为不同的等价类。
例如，如果输入的三个数不满足三角形的条件，则程序应该输出“非三角形”。
2. 档案管理系统：用户输入以年月表示的日期，假设日期限定在1990年1月~2049年12月，规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。
可以用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的“日期检查功能”。
3. 佣金问题：根据销售额的不同，佣金的计算方式也不同。
可以根据佣金的输出值定义等价类，然后结合弱健壮测试用例来改进测试用例集合。
例如，对于一个销售额为500元的测试用例，其佣金应该为50元。
4. 找零问题：假设商店货品价格皆不大于100元（且为整数），若顾客付款在100元内，求找给顾客的最少货币个数。
可以根据输入和输出条件来分析无效和有效的输入和输出情形，并设计相应的测试用例。
以上例子仅供参考，如需更多等价类测试的例子，可以查阅软件测试相关书籍获取。
;T0l)D.R$@ e7b9j0S s N T8l S1i-O2Z0 说明：本系统的单元测试主要以单个单元内部的消息传递和功能实现为主。
测试方法为等价类划分法。
51Testing软件测试网 t p D a;V { g&K"|1．新用户注册页面:{ f Y5d0\ _ P;E |/@ a"\0数据项取值：51Testing软件测试网)a%t+c.x x,w+~USER NAME：长度为3-19 ；以字母开头;非空。
（没用）51Testing软件测试网/y&v u |4Y)Q LE H-{ 姓名：非空。
51Testing软件测试网 M%T-W)h7l.z.\%{ ~密码：非空。
U h)d ` d C*I:} n0确认密码：值和密码值相同。
H+Y K Q"{ f0s p0出生年份：年——四位数字；月——1-12；日——1-31。
51Testing软件测试网0O [ R-`%` }#Z9L4D u+k0B其余项：不要求。
51Testing软件测试网 \ R%[+rq b%s"C G等价类的划分：等价类表。
%u D n9F.C3V s0数据项有效等价类无效等价类;U9s W K W0USER NAME （1）长3-19 ；（2）以字母开头; （1）长度<3；（2）非字母开头（3）长度>19 51Testing软件测试网&r2s.h9r B)r G3k)a.n姓名（3）非空（4）为空 51Testing软件测试网-W.W A ]+F } }!| P密码（4）非空（5）为空 51Testing软件测试网,\ G V f&m K2Z确认密码（5）值和密码值相同（6）值和密码值不同 51Testing软件测试网;_ ^ F+V"_ x g出生年份（6）月—1-12；（7）日—1-31（没有列出年份）（7）月日中有字母（分别列出；月日中有非数字符号）（8）月数字为负（零）（9）月数字大于12（10）年数中有字母（有非数字符号，年数在合理范围）（11）日数字为负（零）（12）日数字大于31（判断大月小月）*B0]I W5t!L0其余项（8）都填（9）都不填 51Testing软件测试网? N K(J#@0R z~*M @ U*q.P s'}6n h"l-_0 51Testing软件测试网 X;X#h;s4j \!w n51Testing软件测试网9Lm A o u h)U F51Testing软件测试网)r%U Rm4f D S/q51Testing软件测试网 SA!O y*s Q o~;h X H,A5L(v0测试用例及结果结果陈述S _\.j2R p0 USER NAME 姓名密码确认密码出生年份其余项所属等价类结果3s$I k P-k7E C k E j0有效等价类 aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 1977.8.22 空（1）—（7），（9） Y 51Testing软件测试网4l7q z:t'U-Q*gTttttt Tttttt tttttt Tttttt 1977.8.22 非空（1）—（8） Y)L/^9U$Z x c/T0无效等价类 t tttt tttt tttt 1972.8.22 (1) Y%^(f Q T e T:S0 qqqqqqqqqqdfasdfasdfasdfadfasdfad tttt tttt Tttt 1977.8.22 (3) NT6i { w I&P U0 111111 tttt tttt tttt 1977.8.22 (2) 提示不符)Bb I _ S m(y m0 zzzz 空 zzzz zzzz 1977.8.23 (4) Y&C;| w)R q.Y ? @$A b0 zzzz zzzz 空 zzzz 1977.8.22 (5) Y 51Testing软件测试网v x'N3@ | ]&E Wzzzz zzzz zzzz tttt 1977.8.22 (6) YZ8z X M%z0S;\0 ssss ssss ssss ssss 19a7.8.22 (10) Y 51Testing软件测试网} s ?1X { p6Dssss ssss ssss ssss 1977.8a.22 (7) N*Q m6J W ?:C(y v n j0G0 ssss ssss ssss ssss 1977.8.2a (7) N 51Testing软件测试网 X-P:w Q/S*S c+?ssss ssss ssss ssss 1977.-1.22 (8) YO o n o W0 ssss ssss ssss ssss 1977.81.22 (9) Y!L6x3e&R D _-NB @)v0 ssss ssss ssss ssss 1977.8.-2 tt (11) Y 51Testing软件测试网 a b l F \ J$c ssss ssss ssss ssss 1977.8.55 (12) Y"{ | a tm T y2x0 E A,T Vr02.忘记密码部分0N-u c#G sw E [V6j0数据项取值51Testing软件测试网 b3t U0y q0v k'r z登录用户名：已存在的用户名{3N }0u t%W7k o)?*^0用户的回答：和注册值相同d$F @ J)q8N0密码：>=551Testing软件测试网$\ Ru k.] h!q o ?'T \确认密码：值和密码值相同51Testing软件测试网8| Y K7F T;i1l2p P9| V等价类的划分51Testing软件测试网6b c ` B!G x9l数据项有效等价类无效等价类 51Testing软件测试网A R!o R1k N h登录用户名 (1)已存在 (1)不存在（是否正确）? b4G*B l2c0用户的回答（2）和注册值相同（2）和注册值不同 51Testing软件测试网 o:p z:w \ T.n U 密码（3）>=5 （3）<58q P'k W)D0A\ T z0密码确认 (4)值和密码值相同 (4)和密码值不同 u d$X r~-U VR V$j6`051Testing软件测试网-|-t:l'P G U r1K)i测试用例及结果结果陈述51Testing软件测试网L.| Y"e Q F1} Q V&c lw登录用户名用户的回答密码密码确认所属等价类结果r1R-u6i#A2a r0有效等价类 ttttt aaaaa aaaaa (1)-(4) Ys3L!P!A+[&~;N3b0无效等价类 Tttttta (1) Y 51Testing软件测试网 \;^8] t s M ttttt ccc (2) Y 51Testing软件测试网,U S z Z r kttttt aa aa (3) Y 51Testing软件测试网8K Q!I e9F c6n u+httttt aaaaa aaaaa (4) YZ1m `5hc/d0i W2r/J H x z03.登陆页面51Testing软件测试网 U A b1D+u数据项取值|:^3U @x+@;| x ]0用户名:已存在值)F d.g q.F0密码:和注册值相同51Testing软件测试网0K t1b \ re等价类的划分51Testing软件测试网5~ U8J D$k p L I;k)r数据项有效等价类无效等价类 51Testing软件测试网 a1n/p7o a f用户名 (1)已存在 (1)不存在 51Testing软件测试网8V$X-K @ s*Q K密码（2）和注册值相同（2）和注册值不同 51Testing软件测试网1O TD#} | R,]3} qv ` o6D+` t0M Q0测试用例及结果结果陈述t } Y z D$\ ^ u6X _0 用户名密码所属等价类结果S Y1E F {6R ` @ J ^ F-m0有效等价类 ttttt aaaaa (1)-(2) Ya y%kb K8\:M1W0无效等价类 Tttttta aaaaa (1) Y3b h V2u;P O T r8b0 ttttt tttt (2) YS m M |&f,Q6z.I0H P"Z d(d ]04.信箱首页51Testing软件测试网3u!] td a B9C S ~ ~数据项取值K*Q ?$H&l0待创建的文件夹名：不存在的文件夹名51Testing软件测试网!V { q Mh T*K t)K待删除的文件夹名：已存在的文件夹名51Testing软件测试网8x-a ?8B W x I N等价类的划分e ~,D Z)F0数据项有效等价类无效等价类 51Testing软件测试网-z z/o+L"| m待创建的文件夹名 (1) 不存在的文件夹名 (1)已存在（2）空值 51Testing软件测试网 V B/`(L#E3O)] 待删除的文件夹名（2）已存在的文件夹名（3）不存在（4）空值（非文件夹）1} A | A-O$^ m a E M051Testing软件测试网 `0N a5R/p5S测试用例及结果!}9G-n%D Xm0 输入操作所属等价类结果Y Q B \-A V a0有效等价类 Aa 创建（1） Y 51Testing软件测试网 S ? v-P!E Baa 删除（2） Y 51Testing软件测试网 F _)S T9{ [8?#a无效等价类 Aaa（已存在）创建（1） ND4i i PY%l K u0 创建（2） Y (t r{ Z N \ B o D k y0 ttttt 删除（3） NN az @M9h0 删除（4） Yd%`-c H g0c%IK-{ @ U$@05．发邮件3T4l l s @6} p q b(P(o2A0数据项取值7B0U ]C ] Z0收件人：7d*D v N(x o#b0定时发送时间：年——四位数字；月——1-12；日——1-31；51Testing软件测试网 m0a P5A i H*r其余项：不要求51Testing软件测试网$xL2V T.Q i l U-] y操作：寄出，存原稿，存地址薄，加附件，取消F [(a w'F u1V0等价类的划分51Testing软件测试网.E"R3A1M1\数据项有效等价类无效等价类 51Testing软件测试网 J b;Q a7[收件人 (1) 非空寄出（3）非空存原稿（4）非空加入地址薄（5）非空加附件(6)取消为空寄出（9）为空存原稿（10）为空加入地址薄（11）为空加附件51Testing软件测试网+F }-`L a（输入字符不合法） 51Testing软件测试网 ^4Dy m X4j w定时发送时间（2）年——四位数字；月——1-12；日——1-31 （3）月日中有字母（4）月数字为负（5）月数字大于12（6）年数中有字母（7）日数字为负（8）日数字大于31 51Testing软件测试网7D-yb0Qm p其余项（7）都填（8）都不填 51Testing软件测试网'C l O7r u%c（对于有效等价类，所有操作都要列出。
§2.3 谓词公式的等价演算习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）没有小于负数的正数。
（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解 （1）令F (x )：x 小于负数，G (x )：x 是正数.⌝∃x (F (x )∧G (x ))=∀x ⌝ (F (x )∧G (x ))=∀x (F (x )→ ⌝G (x ))（2）令F (x,y )：x 和y 角相等，G (x,y )：x 和y 是对顶角。
⌝∀x ∀y (F (x,y )→ G (x,y ))=∃x ∃y ⌝( F (x,y )→ G (x,y ))=∃x ∃y (F (x,y )∧⌝ G (x,y ))2. 利用非形式化方法证明下列等价式。
（1）)()(x A x x xA ⌝∀=⌝∃（2）B x xA B x A x ∨∀=∨∀)())(( （3）B x xA B x A x ∧∃=∧∃)())((（4）B x xA B x A x ∨∃=∨∃)())(( （5） )()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃解（1）任给解释I （相应的个体域记为D ），在I 下，若⌝∃x A(x )取值0，则∃x A(x )取值 1，因此存在D a ∈，使得)(a A 取值1，即)(a A ⌝取值0，从而∀x ⌝ A(x )取值0；若⌝∃x A(x )取值1，则∃x A(x )取值0，因此对任意的D x ∈，)(x A 都取值0，即对任意的D x ∈， )(x A ⌝都取值1，从而∀x ⌝ A(x )取值1。
由解释I 的任意性可知（1）式成立。
（2）任给解释I （相应的个体域记为D ），在I 下，若∀x (A(x )∨B)取值1，则对任意的D x ∈，都有A(x )∨B 取值1，也就是分二种情况：对任意的D x ∈，都有A(x )取值1或B=1，得∀x A(x )=1或B=1，以上二种情况都能得到∀x A(x )∨B=1。
题型七因果类选择题高考真题专项训练一、选择题1．〔2023·全国·高三专题练习〕对于传统百货商场来说，超市和家电连锁大卖场的消灭使其经营陷入逆境，而互联网电商的消灭，又使超市和家电连锁大卖场的经营受到冲击。
上述现象背后的经济规律是〔〕A．商业模式创提升本钱优势C．数字营销增加商品的附加值【答案】A B．科技进步削减商品流通环节D．居民收入增长转变消费习惯【解析】A：对于传统百货商场来说，超市和家电连锁大卖场的经营方式可大大降低其经营本钱，所以具有较强的竞争优势。
而相对于线下实体店的营销模式而言，互联网电商的线上营销模式使其经营本钱进一步下降，使其更具有竞争优势。
这说明商业模式创可以提升成本优势，增加商场竞争力，A 项符合题意。
B：材料中未涉及商品流通环节削减的相关信息，B 项不符合题意，排解。
C：数字营销方式有利于降低经营者的经营本钱，但不会增加商品的附加值，C 项错误，排解。
D：随着居民收入水平的不断提高，人们的消费习惯可能会发生相应的变化，但材料未涉及这一内容， D 项排解。
故此题选A。
2．〔2023·山东·济南市济阳区第一中学高三阶段练习〕冠疫情爆发初期，医用口罩、防护服等防疫物资快速成为紧缺资源，价格急剧飙升。
后来越来越多的企业参与防疫物资生产大军，价格快速回落。
由此可见( )①商品生产所消耗的社会必要劳动时间打算价格②供求关系变化引起商品价格变化③市场难以解决公共物品的供给问题④企业会依据价格变化打算生产什么、生产多少A．①②【答案】CB．①③C．②④D．③④【解析】①：商品生产所消耗的社会必要劳动时间打算商品价值量，而价值打算价格，①错误。
②④：医用口罩，防护眼等防疫物资成为紧缺资源，价格急剧飙升，后越来越多的企业参与防疫物资生产大军，供给增加，价格快速回落，这说明供求关系变化引起商品价格变化，也说明企业会依据价格变化打算生产什么、生产多少，②④符合题意。
逻辑判断中因果共存型题目你了解多少？中公教育研究与辅导专家张萍历年公考（国考、省考、政法干警、招警、选调生、社区、三支一扶、村官等）中，行测笔试总会出现因果型的可能性推理，但这类题目的思路非常清晰，只要稍作了解就可以拿到这部分分数，所以理应成为我们前期备考的重点，本篇中公教育资深专家将给大家带来这方面知识的讲解。
【真题再现】研究人员对四川地区出生的一批恐龙骨骼化石进行分析后发现，骨骼化石内的砷、钡、铬、铀、稀土元素等含量超高，与现代陆生动物相比，其体内的有毒元素要高出几百甚至上千倍。
于是一些古生物学家推测这些恐龙死于慢性中毒：如果以下各项为真，不能质疑上述推测的是：A.恐龙化石附近土壤中的有毒元素会渗进化石B.恐龙化石内还有很多相应的解毒元素C.这批恐龙化石都是老年恐龙，属于自然死亡D.在恐龙化石附近的植物化石里，有毒元素含量很少【答案】D。
解析：本题属于削弱质疑型，但问法是让我们找一个最不能质疑的。
论点是：出土的恐龙死于慢性中毒。
论据是化石内有毒元素比现在动物高出几百倍甚至上千倍。
A项说毒素来自死后，属于另有他因；B项说有解毒元素，指出可能不会中毒；C项说死亡是因为年老死亡，不是中毒，属于另有他因；D项与本题无关，它想间接指出恐龙的食物含有毒元素少，进而不会中毒，但它忽略了有毒元素积累问题，因而削弱力度最弱。
【方法总结】对于因果共存型论证题目，最常见的削弱方式有：因果倒置（削弱力度最强）、另有他因、因不致果。
而对于此类题目最常见的加强方式有：排除他因、建立联系。
【小试牛刀】研究发现，试管婴儿的出生缺陷约为9%，自然受孕婴儿的出生缺陷率约为6.6％。
这两部分婴儿的眼部缺陷比例分别为0.3%和0.2%，心脏异常比例为5%和3%，生殖系统缺陷的比例分别为1.5%和1%。
因而可以说明，试管婴儿技术导致试管婴儿比自然受孕婴儿出生缺陷率高。
以下哪项如果为真，最能质疑该结论？A.试管婴儿要经过体外受精和胚胎移植过程，人为操作都会加大受精卵受损的风险B.选择试管婴儿技术的父母大都有生殖系统功能异常，这些异常会令此技术失败率增加C.试管婴儿在体外受精阶段可以产生很多受精卵，只有最优质的才被拣选到母体进行孕育D.试管婴儿的父母比自然受孕婴儿的父母年龄大很多，父母年龄越大，新生儿出生缺陷率越高【答案】D。
一、判断题（正确的“√”，错误的“╳”）2、测试程序仅仅按预期方式运行就行了。
(F )3、不存在质量很高但可靠性很差的产品。
(F )4、软件测试员可以对产品说明书进行白盒测试。
(F )5、静态白盒测试可以找出遗漏之处和问题。
( T)6、总是首先设计白盒测试用例。
(F )7、可以发布具有配置缺陷的软件产品。
(T )8、所有软件必须进行某种程度的兼容性测试。
(T )9、所有软件都有一个用户界面，因此必须测试易用性。
(F )10、测试组负责软件质量。
(F )11、软件测试按照测试过程分类为黑盒、白盒测试。
( F)12、在设计测试用例时，应包括合理的输入条件和不合理的输入条件。
( T)13、集成测试计划在需求分析阶段末提交。
(F )14、单元测试属于动态测试。
(F )15、缺陷跟踪系统只针对测试人员来使用。
(F )16、从用户软件开发者的角度出发，普遍希望通过软件测试暴露软件中隐藏的错误和缺陷，以考虑是否可接受该产品。
( F)17、项目立项前测试人员不需要提交任何工件。
( F)18、软件测试的目的是尽可能多的找出软件的缺陷。
( F)19、软件项目在进入需求分析阶段，测试人员应该开始介入其中。
(T )20、软件生存周期是从软件开始开发到开发结束的整个时期。
( F)21、单元测试能发现约80%的软件缺陷。
( F)22、数据流图和数据字典共同构成系统的逻辑模型。
(T )23、负载测试是验证要检验的系统的能力最高能达到什么程度。
(F )24、测试人员要坚持原则，缺陷未修复完坚决不予通过。
(T25、代码评审员一般由测试员担任。
( F)26、测试组负责软件质量。
(F )27、程序的效率与程序的复杂性相关。
(F )28、详细设计的目的是为软件结构图中的每一个模块确定使用的算法和块内数据结构，并用某种选定的表达工具给出清晰的描述。
(T ) 29、软件是一种逻辑实体，而不是具体的物理实体，因而它具有抽象性。
(T )30、测试程序仅仅按预期方式运行就行了。
墨达哥州易旺市菲翔学校高考数学第二轮复习等价转化法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不标准、复杂的问题转化为熟悉、标准甚至形式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变才能，进步思维才能和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或者必要的，要对结论进展必要的修正〔如无理方程化有理方程要求验根〕，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的打破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，施行等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题〞。
数学的解题过程，就是从未知向、从复杂到简单的化归转换过程。
在数学操作中施行等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、HY化的原那么，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比方从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比方数形结合法；或者者从非HY型向HY型进展转化。
按照这些原那么进展数学操作，转化过程时力，有如顺水推舟，经常浸透等价转化思想，可以进步解题的程度和才能。
一、方法简解：1.f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，那么f()等于_____。
B.－0.5 C2.设f(x)＝3x－2，那么f-1[f(x)]等于______。
A.x+89 B.9x－8 C.xD.132x-3.假设m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，那么mp＋nq的最大值是______。
表1 宿舍管理质量统计表
根据表1之数据绘出宿舍管理质量问题排列图。
同时试着画出一个简单的因果图。
一、计算作图题
某音响生产厂家采取一系列措施控制和提高音响策略。
为分析不合格产品产生的原因，对不合格产品按工序进行检查统计，下表是2002年不合格品数据，请据此作出排列图并进行ABC分析。
不合格原因
高频音
质不佳信号
不佳
接合
不佳
灵敏度
不佳
外观
不佳
音质
不佳
总计
不合格件数19 14 10 7 3 2 55 解：（考试时此类题目一定要有作图步骤）
该问题作图步骤如下：
⑴按排列图的作图要求将不合格项目进行重新排列（见下表）；
⑵计算各排列项目所占百分比（频率）；
⑶计算各排列项目所占累计百分比（累计频率）；
⑷根据各不合格项目的统计数（频数）画出排列图中的直方（见下图）；
⑸根据各排列项目所占累计百分比画出排列图中的排列线。
排列图数据表
产品不合格数排列图
分析：从图中可以看出，高频音质不佳、信号不佳、接合不佳3项不合格累计百分比占78.2%，为A类因素，是解决的主要问题。
因果类选择题解题模板参考答案高考真题1.【答案】D【解析】由材料“战国后期，秦国建造了一批大型水利工程，如郑国渠、都江堰等”可知商鞅变法后秦国建立了集权统治，推动国家组织人力、物力、财力开展大规模的经济建设，故选D项；战国后期，井田制遭破坏，封建土地私有制逐步确立，公田制度是受到破坏而非完善，排除A项；战国时期铁农具推广，秦汉时期得以普及，排除B项；秦统一六国后修筑驰道直道，加强了交通运输，排除C项。
2.【答案】C【解析】由材料“西汉初期，道家学说兼采阴阳、儒、墨、名、法各家学说的精髓；后来董仲舒的儒家学说也吸收阴阳五行、法、道等各种思想”可知道家和董仲舒的儒家学说都兼采众家之长以适应现实统治的需要，故选C项；汉景帝平定七国之乱，汉武帝颁布推恩令，削弱了诸侯国的势力，排除A 项；秦统一六国后“焚书坑儒”，奉行法家学说，打破了百家争鸣的局面，排除B项；文化政策是国家对于文化艺术等领域的制度性规定，汉武帝时期实行“罢黜百家，独尊儒术”的文化政策，排除D项。
3.【答案】D【解析】材料中“洛阳龙门石窟中，造像大都表情庄严，服饰亦趋整齐”属于北魏孝文帝改革的成效，其核心内容是学习汉文化，而儒学是汉文的核心，故选D项；“在今新疆和甘肃地区保存的佛教早期造像很多衣衫单薄，甚至裸身，面部表情生动；时代较晚的洛阳龙门石窟中，造像大都表情庄严，服饰亦趋整齐”描述中无法判断这两个地区的经济水平的差异，排除A项；“造像很多衣衫单薄，甚至裸身，面部表情生动；时代较晚的洛阳龙门石窟中，造像大都表情庄严，服饰亦趋整齐”与绘画技术无关，排除B项；“在今新疆和甘肃地区保存的佛教早期造像很多衣衫单薄，甚至裸身，面部表情生动；时代较晚的洛阳龙门石窟中，造像大都表情庄严，服饰亦趋整齐”无论在远期还是近期，这种大型佛像的建设没有政治干预是不可能成功的，排除C项。
4.【答案】C【解析】“汉定百年之间，亲属益疏，诸侯或骄奢……大者叛逆，小者不轨于法。
第5章 等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ）A 、)(,小于关系：<><<ZB 、)(,小于等于关系：≤>≤<ZC 、,()ZD D <>关系：整除 D 、,()Z M M <>关系：整倍数2、序偶(),A ρ<>⊆必为（ B ）A 、非偏序集B 、偏序集C 、线序集D 、良序集3、设≤小于等于关系：Z 为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ D ）A 、,()R R +<>≤：正实数集 B 、,()Q Q ++<≤>有理数集：正 C 、,()Z Z ++<≤>整数集：正 D 、,()N N <≤>：自然数集4、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）5、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为则它的哈斯图为（ A ）6、某人有三个儿子，组成集合123{ , , }A S S S =，则在A 上的兄弟关系一定不是（ D ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系7、有一个人群集合12{ , , , }n A P P P =L ，则在A 上的同事关系一定是（ D ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系8、设A 为非空集合，则下列A 上的二元关系中为等价关系的是（ D ）A 、空关系B 、全域关系C 、恒等关系D 、上述关系都是9、设{ 1, 2, 3 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、3B 、4C 、5D 、610、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、13B 、14C 、15D 、16注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述．11、设{ 1, 2 }S =，“•”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系 {,,, | ,,,,}R a b c d a b S S c d S S a d b c =<<><>><>∈⨯<>∈⨯•=•， 则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ D ）A 、1B 、2C 、3D 、4提示：记12341,1,1,2,2,1,2,2a a a a =<>=<>=<>=<>，则由R 的关系图易知1234{{},{},{},{}}S S a a a a ⨯=．12、设} 3 ,2 ,1 {=S ，“+”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=，则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ C ）A 、3B 、5C 、7D 、9提示：因a d b c +=+，则a b c d -=-因2,1,0,1,2a b -=--，则等价关系R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为5．二、填充题（每题4分）1、设{ , , , }A a b c d =，其上偏序关系R 的哈斯图为则R = {,,,,,,,,,}A a b a c a d b d c d I <><><><><>U ．2、设{ , , ,,,, }A a b c d e f g =，偏序集,A R <>的哈斯图为a b c de fg， 则R = {,,,,,,,,,,,,,}A a b a c a d a e a f d f e f I <><><><><><><>U ．3、偏序集({,}),a b ρ<⊆>的Hass 图为4、对于{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，则偏序集,A <>整除关系的哈斯图为234681224．5、设{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为1，最小元为1，极大元为24、最大元为24．6、设{ 2,3,4,6,8,12 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为2,3，最小元为无，极大元为8,12，最大元为无，既非极小元也非极大元的是4,6．7、设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有12345,,,,S S S S S ，A 的划分有345S S S ，，．8、设{ 1, 2, 3,4 }A =，{{1},{2,3},{4}}S =为A 的一个分划，则由S 导出的等价关系为 R = {1,1,2,2,2,3,3,2,3,3,4,4}<><><><><><>．提示：R =({1}{1})({2,3}{2,3})({4}{4})⨯⨯⨯U U ．9、非空正整数子集A 上的模k 等价关系R 的秩为k ，/A R ={[0],[1],,[1]}k k k k -L ．{}b a ,{}a {}b Φ三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合．答：若集合A 上的二元关系R 是自反的，反对称的和传递的，称序偶,A R <>为偏序集； 偏序集中的各元素并非都能比较，若都能比较，偏序集成为线序集；在线序集中，若A 的任一非空子集都有一最小元素，则线序集成为良序集．2、设||5A =，R 是A 的等价关系，由R 诱导的A 的划分块数为3，则不同的R 有多少种？ 答：一个集合上的等价关系数目与该集合的划分数目是一致的，因而，该题只需求出将5个元素的集合分成3份的划分种数即可．如果3份中元素个数分别为3，1，1，则共有35C 种，如果3份中元素个数分别为2，2，1，则共有25C 种，因此，A 上秩为3的等价关系共有35C +2520C =． 3、设A 是实数集合，试判断{,3}R x y x A y A x y =<>∈∧∈∧-=是A 上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？答：都不是；因 ∀x ∈A ，x －x =0≠2，所以<x ,x >∉R ，R 不是自反的．四、画图填表题（每题10分）1、设{ , , ,,}A a b c d e =上的关系R = {,}A c d I <>U ，画出偏序集,A R <>的哈斯图， 列表给出A 的子集123{ ,, ,,},{ ,},{,,}B a b c d e B c d B c d e ===的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．解：哈斯图如图4.44所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1a ,b ,d ,e a ,b ,c ,e 无 无 无 无 无 无 B 2d c d c d c d c B 3 d ,e c ,e无 无 无 无 无 无 2、设{ , , }A a b c =的幂集()A ρ上的关系⊆= {,()()}x y x A y A x y ρρ<>∈∧∈∧⊆， (),A ρ<⊆>()A ρ1{ ,{},{}}B a b =∅2,{{},{}}B a c =，3{{,},{,,}}B a c a b c =的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界． 解：哈斯图如图4.45所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1⎨a ⎬,⎨b ⎬ ∅ 无 ∅ ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,b ⎬ ∅ ⎨a ,b ⎬ ∅ B 2⎨a ⎬,⎨c ⎬ ⎨a ⎬,⎨c ⎬ 无 无 ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,c ⎬ ∅ ⎨a ,c ⎬ ∅ B 3 ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬3、试填出{1,2,3,4,5}A =上的等价关系R ，其产生划分/{{1,2},{3},{4,5}}A R =,并画出关系图． 解：{1,2}{1,2}{3}{3}{4,5}{4,5}R =⨯⨯⨯U U其关系图为：六、证明题（每题10分）1、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的拟序关系，则()A r R R I =U 是A 上的偏序关系．证明：（1）因()A A r R R I I =⊇U ，有()r R 是自反的；（2）设,(),x y r R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈若,,y x R <>∈由R 的传递性，知,,x x R <>∈与R 的反自反性矛盾，则,,y x R <>∉又,,A y x I <>∉有,()A y x R I r R <>∉=U ，于是有()r R 是反对称的；（3）由R 的传递性，知R R R ⊆o ，因()()()()(())(())A A A A A r R r R R I R I R I R R I I ==o U o U U o U U o(()())(()())()()A A A A A R R I R R I I I R R R I r R ==⊆o U o U o U o o U U ，则()r R 可传递； 综上所述，可证()r R 是A 上的偏序关系．2、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的偏序关系，则A R I -是A 上的拟序关系．证明：（1）()()()A A A A A A R I I R I I R I I R -===∅=∅I I I I I I ，则A R I -反自反；（2）设,,,A A x y R I y z R I <>∈-<>∈-，则,,,x y R y z R <>∈<>∈，而,x y y z ≠≠，因R 是传递的，有,x z R <>∈；若x z =，则,,,z y R y z R <>∈<>∈，由R 的反对称性，知y z =，与y z ≠矛盾，于是x z ≠，则,A x z R I <>∈-，有A R I -是传递的； 综上所述，可证A R I -是A 上的拟序关系．3、设R 是A 上的对称和传递关系，证明：若,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，则R 是A 上的等价关系．证明：,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，因R 是对称的，有,b a R <>∈，又因R 是传递的，所以,a a R <>∈，则R 在A 上自反，故R 是A 上的等价关系．4、设R 是S 上的偏序关系，证明：1R -是S 上的偏序关系．证明：（1）x S ∀∈，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，有1,x x R -<>∈，于是，1R -在S 上是自反的； （2）设1,,x y R -<>∈而x y ≠，则,,y x R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,x y R <>∉则1,,y x R -<>∉于是，1R -在S 上是反对称的； （3）设11,,,x y R y z R --<>∈<>∈，则11,,,z y R y x R --<>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,z x R <>∈则1,,x z R -<>∈于是，'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证1R -是S 上的偏序关系．（题4在证明中用了定义法）5、设R 是S 上的等价关系，证明：1R -是S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，有S I R ⊆，则11S S I I R --=⊆，有1R -在S 上自反； （2）因R 在S 上的对称性，有1R R -=，则111()R R R ---==，有1R -在S 上对称；（3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆，则1221()R R R R --=⊆=，有1R -在S 上可传递；则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=o I o I ，有'R 在'S 上是对称的； 综上所述，可证1R -是S 上的等价关系．（题5在证明中用了集合法）6、设,R S 是A 上的偏序关系，证明：R S I 是A 上的偏序关系．证明：（1）x A ∀∈，因,R S 在A 上的自反性，则,x x R S <>∈I ，有R S I 在A 上自反；（2）设,,x y R S <>∈I 而x y ≠，则,,,,x y R x y S <>∈<>∈因,R S 在A 上的反对称性，有,,,,y x R y x S <>∉<>∉则,,y x R S <>∉I 于是，R S I 在A 上是反对称的；（3）设,,,x y R S y z R S <>∈<>∈I I ，则,,,;,,,x y R y z R x y S y z S <>∈<>∈<>∈<>∈，因,R S 在A 上的传递性， 有,,,x z R x z S <>∈<>∈,则,x z R S <>∈I ，于是，R S I 在A 上是传递的； 综上所述，可证R S I 是A 上的偏序关系．（题6在证明中用了定义法）7、设,R S 是A 上的等价关系，证明：R S I 是A 上的等价关系．证明：（1）因,R S 在A 上自反，有,A A I R I S ⊆⊆，则A I R S ⊆I ，有R S I 在A 上自反；（2）因,R S 在A 上对称，有11,RR S S --==，则111()R S R S R S ---==I I I ，有R S I 在A 上对称； （3）因,R S 在A 上传递，有22,R R S S ⊆⊆， 则222()(())(())R S R S R R S S R S R S ⊆⊆⊆I I o I I o I I ，有R S I 在A 上可传递；综上所述，可证R S I 是A 上的等价关系．（题7在证明中用了集合法）8、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯I ,证明：如果R 是S 上的偏序关系，那么'R 是'S 上的偏序关系．证明：（1）'x S S ∀∈⊆，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，而,''x x S S <>∈⨯， 有,('')'x x R S S R <>∈⨯=I ，于是，'R 在'S 上是自反的；（2）设,',x y R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,y x R <>∉ 则,('')',y x R S S R <>∉⨯=I 于是，'R 在'S 上是反对称的；（3）设,',,'x y R y z R <>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,x z R <>∈而,''x z S S <>∈⨯，则,('')'x z R S S R <>∈⨯=I ，于是，'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的偏序关系．（题8在证明中用了定义法）9、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯I ,证明：如果R 是S 上的等价关系，那么'R 是'S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，则S I R ⊆，而'S S ⊆,有'S S I I R ⊆⊆，而'''S I S S ⊆⨯， 有'('')'S I R S S R ⊆⨯=I ，于是，'R 在'S 上是自反的； （2）因R 在S 上的对称性，有1RR -=，而1('')''S S S S -⨯=⨯，则1111(')((''))('')'R R S S R S S R ----=⨯=⨯=I I ，有'R 在'S 上是对称的； （3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆，有2'R R R R ⊆⊆o ，而2'('')('')''R S S S S S S ⨯⊆⨯=⨯o ，则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=o I o I ，有'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的等价关系．（题9在证明中用了集合法）10、若R 是A 上的等价关系，则{,|,(,,)}S a b a b A c A a c R c b R =<>∈∧∃∈<>∈∧<>∈也是A 上的一个等价关系．证明：（1）A a ∈∀，由R 自反，则,,a a R a a R <>∈∧<>∈，S a a >∈∴<,，有S 自反；（2）,a b S ∀<>∈，则c A ∃∈，使,,,,a c R c b R <>∈<>∈由R 在A 上对称，有,,,,b c R c a R <>∈<>∈有,b a S <>∈，知S 对称；（3）若,,,a b S b c S <>∈<>∈，则d A ∃∈，使,,,,a d R d b R <>∈<>∈同时e A ∃∈，使,,,,b e R e c R <>∈<>∈由R 在A 上传递，知,,,,a b R b c R <>∈<>∈有,a c S <>∈，有S 传递；综上所述，可证S 是A 上的等价关系．（题10在证明中用了定义法）六、证明计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a b c d +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[1,3],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b a b a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈Q 即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a b c d c d a b ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈a b c d e f +=+=+则， ,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[1,3]R <>{,,,4}{1,3,2,2,3,1}a b a b A A a b =<><>∈⨯+==<><><>, /{[1,1],[1,2],[1,3],[2,3],[3,3]}R R R R R A A R ⨯=<><><><><>．2、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ c b d a +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈Q 即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e +=++=++++=+++∴则有 a f b e +=+，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,3,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯=-=<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．3、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a d b c =g g ， “g ” 为普通乘法，证明： R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯．证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯=∴<<><>>∈Q gg 即R 自反； （2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈==∴gg g g 则 则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e ===∴gg g g g g g g g g 则， 有 a f b e =g g ，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,2,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯==<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1][1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．4、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，在A 的幂集()A ρ上规定{,|,()(||||}R s t s t A s t ρ=<>∈∧=， 证明：R 是()A ρ上的等价关系，并写出商集()A R ρ．证明：⑴()s A ρ∀∈ ，由于||||s s =，所以R s s >∈<,，即R 自反的；⑵,()s t A ρ∀∈ ，若R t s >∈<,，则||||||||s t t s =⇒=，R s t >∈∴<,，R 是对称的； ⑶,,()s t u A ρ∀∈，若R u t R t s >∈<>∈<,,且，即||||||u t s ==，则,s u R <>∈ 所以R 是传递的；综上得出，R 是()A ρ上的等价关系，(){[],[{1}],[{1,2}],[{1,2,3}],[{1,2,3,4}]}R R R R R A R ρ=∅．。
