2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教学案含解析理

心尺引州丑巴孔市中潭学校第2章 第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝2－xlg x 的定义域是( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，那么( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2.∴a ＞c ＞b .答案： B3．假设函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，那么f (x )＝()A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．x 2解析： 由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案： C4．0＜log a 2＜log b 2，那么a 、b 的关系是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞1解析： 由得，0＜1log 2a ＜1log 2b⇒log 2a ＞log 2b ＞0.∴a ＞b ＞1.答案： D5．函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析： ∵f (x )＝log 22－x2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x .∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．应选A.答案： A6．(2021·卷)设函数f (x )＝假设f (a )＞f (－a )，那么实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 假设a ＞0，那么由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1.假设a ＜0，那么由f (a )＞f (－a )得log 12(－a )＞log 2(－a )，即－log 2(－a )＞log 2(－a )，∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.答案： C二、填空题7．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，那么g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0，∴g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 128．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析： 令u ＝x 2－2x ，那么y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案： (－∞，0)9．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，那么使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________． 解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1.∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题10．f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．【解析方法代码108001018】解析： (1)由a x －1＞0，得a x＞1.当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，那么1＜a x 1＜a x 2， 故0＜a x 1－1＜a x 2－1， ∴log a (a x 1－1)＜log a (a x 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)， 故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．11．f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．【解析方法代码108001019】解析： ∵f (x )＝log a x ，那么y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)假设f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由． 解析： (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3. 那么g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，那么h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，12a －44a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。

2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． (1)对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，而对数函数的函数值y 恰好是指数函数的自变量x ，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y ＝x 对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致． 特别提示：底数a 对函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1还是0<a <1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) (3)函数f (x )＝lgx －2x ＋2与g (x )＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c 答案 D解析 解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a >b >c .故选D.(2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9 答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b ，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同，故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为( )A ．36B ．72C ．108 D.172用转化法．答案 C解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k2k －23k －3＝108.故选C. 典例2(2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 将指数式统一为对数式．解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是 log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 答案 C解析 因为3a＝4b＝12， 所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a＝log 123，1b＝log 124，所以1a ＋1b＝log 123＋log 124＝log 1212＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝32log 32·56log 23＝32×56＝54.题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 用数形结合法，排除法．答案 B解析 解法一：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1.故选B.解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C 、D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若典例变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．见典例．冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 B解析 由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B.2．(2017·青岛统考)已知函数g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 k ≤34或k ≥54解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a借助中间值1比较a ，b 的大小，用作商法比较b ，c大小．答案 A解析 因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，b >0，所以b >c ，故a >b >c .故选A.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12 x )≥2的解集为( )A ．(0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 利用函数的奇偶性，单调性结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1.又∵f (1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．根据复合函数单调性求解．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y ＝log a f (x )的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f (x )>0的x 的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y ＝log a u 及u ＝f (x )；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y ＝log a f (x )为增函数，若一增一减，则y ＝log a f (x )为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a 答案 B解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.2．(2017·南昌调研)a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1C.18≤a <14D.15≤a ≤14或a >1 答案 A解析 ∵a >0，a ≠1，令g (x )＝|ax 2－x |( x ≠0，x ≠1a)作出其图象如右：∵函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a >1，解得a >1；若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，1a >4，解得16≤a <14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1 (2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2用数形结合法．答案 B解析 由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为________．考虑定义域，应用分类讨论法．答案 2 解析方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域．见典例2. 2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f (x )＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m .又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)， ∴f (x )min ≥g (x )min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析 根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0，故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.4．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a,1－b )C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( )A ．[4,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132 D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C 解析4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B 解析 函数y ＝2x ln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2xln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )， ∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数． 当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．(2018·包头模拟)已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x2－ax －a 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12 4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a ，故选B.8．(2017·广东模拟)已知函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)，∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝lne x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x |的图象如图：∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2.当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min ＝－14. 13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9. 若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解。

1。

对数的概念如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N,即a b＝N,那么数b 叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果a〉0且a≠1,M〉0，N〉0，那么①log a（MN)＝log a M＋log a N；②log a错误!a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）；④log am M n＝错误!log a M(m，n∈R,且m≠0).（2）对数的性质①a log a N＝__N__;②log a a N ＝__N__(a>0且a≠1）。

(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝错误!(a，b均大于零且不等于1）；②log a b＝1log b a，推广log ab·log b c·log c d＝log a d。

3.对数函数的图像与性质a>10〈a〈1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)（2)值域：R （3）过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0（4)当x>1时,y>0当0〈x<1时，y<0（5）当x〉1时，y〈0当0〈x〈1时，y>04.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")(1)若MN〉0，则log a（MN）＝log a M＋log a N.（×)（2)log a x·log a y＝log a（x＋y).（×）3x都是对数函数。

( ×) (3）函数y＝log2x及y＝log13(4）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数。

( ×）（5）函数y＝ln错误!与y＝ln（1＋x）－ln(1－x)的定义域相同.（√）（6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点（1,0）,且过点（a，1），错误!,函数图像只在第一、四象限。

第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。

（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。

第六节　对数与对数函数[考纲传真]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重12要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数概念如果a x ＝N(a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔log a N ＝x性质log a 1＝0，log a a ＝1，alog a N ＝Nlog a (M·N)＝log a M ＋log a Nlog a ＝log a M －log a N MN运算法则log a M n ＝n log a M (n∈R )a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0换底公式换底公式：log a b ＝(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)log c blog c a2.对数函数的定义、图象与性质定义函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数a ＞10＜a ＜1图象在y 轴右侧，过定点(1,0)图象特征当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的定义域(0，＋∞)性质值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数当x ＝1时，y ＝0性质函数值变化规律当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞03.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝；1log b a(2)log am b n ＝log a b.nm其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函(1a ，－1)数图象不在第二、三象限．( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．已知a ＝2，b ＝log 2，c ＝log ，则( )-13131213A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 2＜log 21＝0，c ＝log ＞log ＝1，∴c ＞a ＞b.]-1313 121312123．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a ＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )34A.B ．(1，＋∞)(0，34)C.∪(1，＋∞) D.(0，34)(34，1)C [当0＜a ＜1时，log a ＜log a a ＝1，∴0＜a ＜；3434当a ＞1时，log a ＜log a a ＝1，∴a ＞1.34即实数a 的取值范围是∪(1，＋∞)．](0，34)5．计算：2log 510＋log 5＝________，2＝________.14log 432 [2log 510＋log 5＝log 5＝2，因为log 43＝log 23＝log 2，所以2314(102×14)123log 43＝2＝.]log 23对数式的化简与求值1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2　[原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.]2．2 ＝________.log 23＋log 433　[原式＝2·2＝3·2＝3.]3log 23log 43 log 233．log 23·log 38＋()＝________.3log 345　[原式＝3log 23·log 32＋3＝3＋2＝5.]log 324．设2a ＝5b ＝m ，且＋＝2，则m ＝________.1a 1b　[∵ 2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，10∴＋＝＋＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，1a 1b 1log 2m 1log 5m ∴m ＝.]10[规律方法]　对数运算的一般思路1 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；2 将同底对数的和、差、倍合并；3 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；4 利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.对数函数的图象及应用【例1】　(1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )A B C D(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )12A. B.(0，22)(22，1)C ．(1，)D ．(，2)22(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2)　[(1)函数y ＝lg|x －1|的图象可由函数y ＝lg|x |的图象向右平移1个单位得到，故选A.。

第6讲对数与对数函数一、知识梳理1．对数概念如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作b＝log a__N．其中a叫作对数的底数，N叫作真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a__N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)2.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1． (log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.答案：42．若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(自主练透)1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：22．若lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．解析：依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得：4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94. 因为x >0，y >0，2x －3y >0，所以x y ＝94，所以log 32xy＝2.答案：23．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________．解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：104．已知log 23＝a ，3b＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab.答案：2＋a ＋ab 2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(师生共研)(1)(2019·高考某某卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜313x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值X 围________．【解析】 (1)对于函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.(2)由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3(ab )＝0，故ab ＝1.结合函数f (x )的图象，在区间[3，＋∞)上， 令f (x )＝1可得c ＝3、d ＝7、cd ＝21. 令f (x )＝0可得c ＝4、d ＝6、cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.【答案】 (1)D (2)(21，24)对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较大小已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a .因为b ＝ln 2＝1log 2e<1<log 2e ＝a ， 所以a >b . 所以c >a >b . 【答案】 D比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度二 解简单对数不等式已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值X 围是________．【解析】 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12求解对数不等式的两种类型及方法类型 方法log a x >log a b借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论log a x >b需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解[提醒] 注意对数式的真数大于零，且不等于1. 角度三 与对数函数有关的综合问题已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考某某卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A.a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .2．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A.因为－1<x <0，所以0<x ＋1<1.又因为f (x )>0，所以0<2a <1，所以0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值X 围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞数形结合法在对数函数问题中的应用设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨令x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值X围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值X围是(0，1)．答案：(0，1)[基础题组练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.1<a ＝log 35＝12log 325<12log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln 2<1，所以c <a <b ，故选A.3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D.由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1.4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选 C.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值X 围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上是增加的， 可得函数g (x )的减区间为(0，1)．[综合题组练]1．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：选B.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1. 又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝xt ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．(2020·某某模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是减少的，则a 的取值X 围为________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞) 是减少的， 所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0， 所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：(－4，4]4．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：235．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。