【精校word含答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学理)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz+(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：∵2i2i1i=1i1i1iz(-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i，∴复数2i=1iz+的共轭复数z＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A ∩＝()．A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x|x≥0}，集合B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，＝{x|x＜2或x＞4}．因此A∩()＝{x|0≤x＜2或x＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q)C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p)∨(⌝q)．4．(2013湖北，理4)将函数yx＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是().A．π12B．π6C．π3D．5π6答案：B解析：∵y cos x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD方向上的投影为( )．A B C ． D ．答案：A解析：由题意可知AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，故AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==. 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4，即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝4203725ln 12t t t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12-B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0，∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-.故选D. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4 (2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x ＝0.2250＝0.004 4. (2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z ＝147=14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，则CD＝在Rt△OCD中，DE＝·OD CDOC==则83CE===，EO＝OC－CE＝81333-=.因此83=813CEEO=.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cossinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为πsin42mρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为__________．解析：将椭圆C的参数方程cos,sinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a＞b＞0)化为标准方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(m为非零常数)，即sin cosρθθ⎛+=⎝⎭，则该直线的一般式为y＋x－m＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b，其标准方程为x2＋y2＝b2.∵直线与圆O相切，∴b，|m.又∵直线l经过椭圆C的焦点，∴|m|＝c.∴c=，c2＝2b2.∵a2＝b2＋c2＝3b2，∴22223cea==.∴e=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A －3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S=b＝5，求sin B sin C的值．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝12bc ==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列， 从而1311531 =113mm n na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑ ＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111mn n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn n a =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQ CP=，记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E－l－C的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l∥平面P AC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.又EF平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l平面P AC，EF⊂平面P AC，所以直线l∥平面P AC.(2)证明：(综合法)如图1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且l∥AC.因为AB是O的直径，图1所以AC⊥BC，于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l.而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角E－l－C的平面角，即∠CBF＝β.由12DQ CP=，作DQ∥CP，且12DQ CP=.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，所以DQ＝PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA ，CB ，CP所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，QP＝(－a ，－b ，c )，BF ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅ m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m+，C 2：2222=1x y a n +.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |.由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==.② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)，等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A B x x BD AB x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-).因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1ABx x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++； (3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 令S [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,43350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④ (3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--＜， 4444333333(82)82)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜． 将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）(全国大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B.2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i 答案：A解析：323=13=8-.故选A.3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．(－1,0)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B.5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x －1(x ＞0) 答案：A解析：由题意知11+x＝2y ⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A.6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )． A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D.10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23B．3 C．3 D ．13答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即222CH ⋅⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12B．2 CD ．2答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.12．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图像关于直线π=2x 对称 C ．f (x )D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max，即f (x ).故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.答案：解析：由题意知cos α＝3==-. 故cot α＝cos sin αα14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4.16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________． 答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°. 又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OER . 又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°R ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C＝14，求C . 解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos C－sin A sin C＋2sin A sin C＝cos(A＋C)＋2sinA sin C＝1+22=，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△P AB和△P AD都是等边三角形知P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝EG＝12PB＝1，故AG3.在△AFG中，FG＝12CD=，AF=AG＝3，所以cos∠AFG＝22223 FG AF AGFG AF+-=-⨯⨯.因此二面角A－PD－C的大小为πarccos3-解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(0,0)，D(0，，0)，C(0)，P(0,0)．PC ＝(2，2-)，＝(0，，)． AP ＝，0)，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，＝0， 可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z＝1，故n 1＝(0，－1,1)． 设平面P AD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q)，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0. 取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为πarccos3-20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：2222=1x y a -(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C .(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝2 3 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是1 2 .(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k--==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖北,理1)在复平面内,复数z=2i1+i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:∵z=2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=i(1-i)=1+i,∴复数z=2i1+i的共轭复数z =1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限. 2.(2013湖北,理2)已知全集为R ,集合A={x |(12)x≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩∁R B=( ).A.{x|x ≤0}B.{x|2≤x ≤4}C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x|0<x ≤2或x ≥4}答案:C解析:由题意知集合A={x |(12)x≤1}={x|x ≥0},集合B={x|x 2-6x+8≤0}={x|2≤x ≤4}, ∁R B={x|x<2或x>4}.因此A ∩(∁R B )={x|0≤x<2或x>4}.3.(2013湖北,理3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ). A.( p)∨( q) B.p ∨( q) C.( p)∧( q) D.p ∨q答案:A解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为( p)∨( q).4.(2013湖北,理4)将函数y=√3cos x+sin x(x ∈R )的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ). A.π12B.π6C.π3D.5π6答案:B解析:∵y=√3cos x+sin x=2sin (x +π3),∴函数y=√3cos x+sin x(x ∈R )的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,变为函数y=2sin (x +π3+m)的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称,则有π3+m=k π+π2,k ∈Z , ∴m=k π+π6,k ∈Z .∵m>0,∴当k=0时,m 的最小值为π6. 5.(2013湖北,理5)已知0<θ<π4,则双曲线C 1:x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1与C 2:y 2sin 2θ−x 2sin 2θtan 2θ=1的( ).A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案:D解析:对于双曲线C 1:x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1,a 12=cos 2θ,b 12=sin 2θ,c 12=1; 对于双曲线C 2:y 2sin 2θ−x 2sin 2θtan 2θ=1,a 22=sin 2θ,b 22=sin 2θtan 2θ,c 22=sin 2θ+sin 2θtan 2θ=sin 2θ(1+tan 2θ)=sin 2θ(1+sin 2θcos 2θ)=sin 2θcos 2θ=tan 2θ. ∵只有当θ=k π+π4(k ∈Z )时,a 12=a 22或b 12=b 22或c 12=c 22,而0<θ<π4,∴排除A ,B ,C .设双曲线C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2,则e 12=1cos 2θ,e 22=tan 2θsin 2θ=1cos 2θ.故e 1=e 2,即两双曲线的离心率相等.6.(2013湖北,理6)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ).A.3√22B.3√152C.-3√22D.-3√152答案:A解析:由题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5),故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗|=15√50=3√22. 7.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是( ). A.1+25ln 5 B.8+25ln 113 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2答案:C解析:由于v(t)=7-3t+251+t,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4, 即汽车从刹车到停止共用4 s . 该汽车在此期间所行驶的距离 s=∫ 40(7-3t +251+t)d t=[7t -3t 22+25ln (t +1)]|4=4+25ln 5(m ).8.(2013湖北,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V 1,V 2,V 3,V 4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( ).A.V 1<V 2<V 4<V 3B.V 1<V 3<V 2<V 4C.V 2<V 1<V 3<V 4D.V 2<V 3<V 1<V 4答案:C解析:由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台,圆柱,四棱柱,四棱台.结合题中所给数据可得:V 1=13(4π+π+2π)=7π3,V 2=2π, V 3=23=8,V 4=13(16+4+8)=283. 故V 2<V 1<V 3<V4.9.(2013湖北,理9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X 的均值E(X)=( ). A.126125B.65C.168125D.75答案:B解析:由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125, 故E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=150125=65.10.(2013湖北,理10)已知a 为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则( ). A.f(x 1)>0,f(x 2)>-12B.f(x 1)<0,f(x 2)<-12C.f(x 1)>0,f(x 2)<-12D.f(x 1)<0,f(x 2)>-12 答案:D解析:由题意知,函数f(x)=x(ln x-ax)=x ln x -ax 2有两个极值点,即f'(x)=ln x+1-2ax=0在区间(0,+∞)上有两个根. 令h(x)=ln x+1-2ax,则h'(x)=1x -2a=-2ax+1x,当a ≤0时h'(x)>0,f'(x)在区间(0,+∞)上递增,f'(x)=0不可能有两个正根,∴a>0.由h'(x)=0,可得x=12a ,从而可知h(x)在区间(0,12a )上递增,在区间(12a ,+∞)上递减.因此需h (12a )=ln 12a +1-1=ln 12a >0,即12a >1时满足条件,故当0<a<12时,h(x)=0有两个根x 1,x 2,且x 1<12a <x 2.又h(1)=1-2a>0,∴x 1<1<12a <x 2,从而可知函数f(x)在区间(0,x 1)上递减,在区间(x 1,x 2)上递增,在区间(x 2,+∞)上递减.∴f(x 1)<f(1)=-a<0,f(x 2)>f(1)=-a>-12.故选D .二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.(2013湖北,理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x 的值为 ;(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为 .答案:(1)0.004 4 (2)70解析:(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)×50=0.22,于是x=0.22=0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50=0.7, ∴所求户数为0.7×100=70.12.(2013湖北,理12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i= .答案:5解析:第一次执行循环体后:a=5,i=2;第二次执行循环体后:a=16,i=3;第三次执行循环体后:a=8,i=4;第四次执行循环体后:a=4,i=5,满足条件,循环结束.输出i=5.13.(2013湖北,理13)设x ,y ,z ∈R ,且满足:x 2+y 2+z 2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z= . 答案:3√147解析:由柯西不等式得(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2当且仅当x1=y2=z3时等号成立,此时y=2x,z=3x.∵x 2+y 2+z 2=1,x+2y+3z=√14, ∴x=√1414,y=2√1414,z=3√1414.∴x+y+z=6√1414=3√147. 14.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n (n+1)2=12n 2+12n.记第n 个k 边形数为N(n,k)(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N(n,3)=12n 2+12n, 正方形数 N(n,4)=n 2, 五边形数 N(n,5)=32n 2-12n, 六边形数 N(n,6)=2n 2-n, …… ……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .答案:1 000解析:由题中数据可猜想:含n 2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n 项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=[12+(k -3)12]n 2+[12+(k -3)(-12)]n=k -22n 2+4-k2n.故N(10,24)=11n 2-10n=11×102-10×10=1000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2013湖北,理15)(选修4—1:几何证明选讲)如图,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D,点D 在半径OC 上的射影为E.若AB=3AD,则CEEO的值为 . 答案:8解析:设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1. 如图,由射影定理得 CD 2=AD ·BD=8, 则CD=2√2.在Rt △OCD 中,DE=OD ·CD OC=1×2√23=2√23. 则CE=√DC 2-DE 2=√8-89=83,EO=OC-CE=3-83=13.因此CEEO=8313=8. 16.(2013湖北,理16)(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为{x =acosφ,y =bsinφ(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ+π4)=√22m (m 为非零常数)与ρ=b .若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 . 答案:√63解析:将椭圆C 的参数方程{x =acosφ,y =bsinφ(φ为参数,a>b>0)化为标准方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).又直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=√22m (m 为非零常数),即ρ(sinθ·√22+cosθ·√22)=√22m ,则该直线的一般式为y+x-m=0.圆的极坐标方程为ρ=b,其标准方程为x 2+y 2=b 2.∵直线与圆O 相切,∴2=b,|m|=√2b.又∵直线l 经过椭圆C 的焦点,∴|m|=c.∴c=√2b ,c 2=2b 2.∵a 2=b 2+c 2=3b 2,∴e 2=c 2a 2=23.∴e=√63.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2013湖北,理17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos (B+C)=1. (1)求角A 的大小;(2)若△ABC 的面积S=5√3,b=5,求sin B sin C 的值. 解:(1)由cos 2A-3cos (B+C)=1,得2cos 2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=12或cos A=-2(舍去). 因为0<A<π,所以A=π3. (2)由S=12bc sin A=12bc ·√32=√34bc=5√3,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=25+16-20=21,故a=√21. 又由正弦定理得sin B sin C=ba sin A ·ca sin A=bca 2sin 2A=2021×34=57.18.(2013湖北,理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足:|a 2-a 3|=10,a 1a 2a 3=125.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得1a 1+1a 2+…+1a m≥1?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q,则由已知可得{a 13q 3=125,|a 1q -a 1q 2|=10,解得{a 1=53,q =3,或{a 1=-5,q =-1.故a n =53·3n-1,或a n =-5·(-1)n-1. (2)若a n =53·3n-1,则1an =35·(13)n -1,故{1a n }是首项为35,公比为13的等比数列, 从而∑n=1m1a n=35·[1-(13)m ]1-13=910·[1-(13)m ]<910<1.若a n =(-5)·(-1)n-1,则1n=-1(-1)n-1,故{1n}是首项为-1,公比为-1的等比数列,从而∑n=1m1n={-15,m =2k -1(k ∈N +),0,m =2k (k ∈N +),故∑n=1m1a n<1. 综上,对任何正整数m,总有∑n=1m1n <1. 故不存在正整数m,使得1a 1+1a 2+…+1a m≥1成立.19.(2013湖北,理19)(本小题满分12分)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A,B 的点,直线PC ⊥平面ABC,E,F 分别是PA,PC 的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D,且点Q 满足DQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗ ,记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E-l-C 的大小为β,求证:sin θ=sin αsin β. (1)解:直线l ∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F 分别是PA,PC 的中点, 所以EF ∥AC.又EF ⊄平面ABC,且AC ⊂平面ABC, 所以EF ∥平面ABC.而EF ⊂平面BEF,且平面BEF ∩平面ABC=l,所以EF ∥l. 因为l ⊄平面PAC,EF ⊂平面PAC, 所以直线l ∥平面PAC.图1(2)证明:(综合法)如图1,连接BD,由(1)可知交线l 即为直线BD,且l ∥AC.因为AB 是☉O 的直径, 所以AC ⊥BC, 于是l ⊥BC.已知PC ⊥平面ABC,而l ⊂平面ABC,所以PC ⊥l. 而PC ∩BC=C,所以l ⊥平面PBC. 连接BE,BF,因为BF ⊂平面PBC, 所以l ⊥BF.故∠CBF 就是二面角E-l-C 的平面角, 即∠CBF=β.由DQ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗ ,作DQ ∥CP,且DQ=12CP. 连接PQ,DF,因为F 是CP 的中点,CP=2PF, 所以DQ=PF,从而四边形DQPF 是平行四边形,PQ ∥FD.连接CD,因为PC ⊥平面ABC,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又BD ⊥平面PBC,有BD ⊥BF,知∠BDF 为锐角, 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角,即∠BDF=α, 于是在Rt △DCF,Rt △FBD,Rt △BCF 中,分别可得 sin θ=CFDF,sin α=BF DF,sin β=CF BF, 从而sin αsin β=CFBF ·BFDF =CFDF =sin θ, 即sin θ=sin αsin β.图2(向量法)如图2,由DQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗ ,作DQ ∥CP,且DQ=12CP. 连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点,向量CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP ⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 、y 、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E (12a ,0,c),F(0,0,c).于是FE ⃗⃗⃗⃗ =(12a ,0,0),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,-b,c),BF ⃗⃗⃗⃗ =(0,-b,c), 所以cos α=|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|QP ⃗⃗⃗⃗⃗|=√a 2+b +c 2,从而sin α=√1-cos 2α=√b 2+c 2√a 2+b +c 2.又取平面ABC 的一个法向量为m =(0,0,1),可得sin θ=|m ·QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |·|QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b +c 2,设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),所以由{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{12ax =0,-by +cz =0.取n =(0,c ,b ).于是|cos β|=|m ·n ||m |·|n |=√b +c 2, 从而sin β=√1-cos 2β=c√b +c 2.故sin αsin β=√b 2+c 2√a 2+b +c 2·√b +c 2=√a 2+b +c 2=sin θ,即sin θ=sin αsin β.20.(2013湖北,理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800,502)的椭机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.) (2)某客运公司用A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆? 解:(1)由于随机变量X 服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X ≤900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得p 0=P(X ≤900)=P(X ≤800)+P(800<X ≤900) =12+12P(700<X ≤900)=0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x,y 辆,则相应的营运成本为1 600x+2 400y. 依题意,x,y 还需满足:x+y ≤21,y ≤x+7,P(X ≤36x+60y)≥p 0.由(1)知,p 0=P(X ≤900),故P(X ≤36x+60y)≥p 0等价于36x+60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件{x +y ≤21,y ≤x +7,36x +60y ≥900,x ,y ≥0,x ,y ∈N ,且使目标函数z=1 600x+2 400y 达到最小的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1 600x+2 400y 经过可行域的点P 时,直线z=1 600x+2 400y 在y 轴上截距z2 400最小,即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21.(2013湖北,理21)(本小题满分13分)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn ,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2. (1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由. 解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1:x 2a2+y 2m 2=1,C 2:x 2a2+y 2n2=1. 其中a>m>n>0,λ=mn >1.图1(1)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0,则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|,S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|,所以S 1S 2=|BD ||AB |.在C 1和C 2的方程中分别令x=0,可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是|BD ||AB |=|y B -y D ||y A-y B|=m+n =λ+1. 若S 1S 2=λ,则λ+1λ-1=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=√2+1.故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ=√2+1. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n; S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|. 所以S 1S 2=|BD ||AB |=m+n m -n=λ+1λ-1. 若S 1S 2=λ,则λ+1λ-1=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=√2+1.故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ=√2+1.图2(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则d 1=√1+k =√1+k ,d 2=√1+k =√1+k ,所以d 1=d 2.又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2,所以S1S 2=|BD ||AB |=λ,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是|AD ||BC |=λ+1λ-1.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得 x A =√a 2k +m 2,x B =√a 2k +n 2.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是|AD ||BC |=√2A D 2BC=2x A2x B=m n √a 2k 2+n 2a 2k 2+m2.②从而由①和②式可得 √a 2k 2+n 2a 2k 2+m 2=λ+1λ(λ-1).③ 令t=λ+1λ(λ-1),则由m>n,可得t ≠1,于是由③可解得k 2=n 2(λ2t 2-1)a 2(1-t 2).因为k ≠0,所以k 2>0.于是③式关于k 有解,当且仅当n 2(λ2t 2-1)a 2(1-t 2)>0, 等价于(t 2-1)(t 2-1λ2)<0.由λ>1,可解得1λ<t<1,即1λ<λ+1λ(λ-1)<1,由λ>1,解得λ>1+√2,所以当1<λ≤1+√2时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ>1+√2时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1=λS 2.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2, 则d 1=√1+k =√1+k ,d 2=√1+k =√1+k ,所以d 1=d 2.又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2,所以S1S 2=|BD ||AB |=λ.因为|BD ||AB |=√1+k 2|x -x |√1+k |x A -x B |=x A +x B x A -x B =λ,所以xAx B=λ+1λ-1. 由点A(x A ,kx A ),B(x B ,kx B )分别在C 1,C 2上,可得x A 2a 2+k 2x A2m 2=1,x B 2a 2+k 2x B 2n 2=1,两式相减可得x A 2-x B2a 2+k 2(x A 2-λ2x B 2)m 2=0, 依题意x A >x B >0,所以x A 2>x B 2.所以由上式解得k 2=m 2(x A 2-x B 2)a 2(λ2x B 2-x A 2).因为k 2>0,所以由m 2(x A 2-x B 2)a 2(λ2x B 2-x A 2)>0,可解得1<xA x B<λ.从而1<λ+1λ-1<λ,解得λ>1+√2,所以当1<λ≤1+√2时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ>1+√2时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1=λS 2. 22.(2013湖北,理22)(本小题满分14分)设n 是正整数,r 为正有理数. (1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:n r+1-(n -1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1-n r+1r+1;(3)设x ∈R ,记[x]为不小于．．．x 的最小整数,例如[2]=2,[π]=4,[-32]=-1.令S=√813+√823+√833+…+√1253,求[S]的值.(参考数据:8043≈344.7,8143≈350.5,12443≈618.3,12643≈631.7) (1)解:因为f'(x)=(r+1)(1+x)r -(r+1)=(r+1)[(1+x)r -1],令f'(x)=0,解得x=0.当-1<x<0时,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,0)内是减函数; 当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数. 故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0. (2)证明:由(1),当x ∈(-1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立, 故当x>-1且x ≠0时,有 (1+x)r+1>1+(r+1)x.① 在①中,令x=1n(这时x>-1且x ≠0),得(1+1n )r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1,得(n+1)r+1>n r+1+n r (r+1),即n r <(n+1)r+1-n r+1r+1.② 当n>1时,在①中令x=-1n(这时x>-1且x ≠0),类似可得n r >n r+1-(n -1)r+1r+1.③且当n=1时,③也成立. 综合②,③得n r+1-(n -1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1-n r+1r+1.④ (3)解:在④中,令r=13,n 分别取值81,82,83,…,125,得34(8143-8043)<√813<34(8243-8143), 34(8243-8143)<√823<34(8343-8243), 34(8343-8243)<√833<34(8443-8343), ……34(12543-12443)<√1253<34(12643-12543).将以上各式相加,并整理得34(12543-8043)<S<34(12643-8143). 代入数据计算,可得34(12543-8043)≈210.2,34(12643-8143)≈210.9.由[S]的定义,得[S]=211.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为AB C ． D ．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+第8题图8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．75 10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++=_________.第9题图14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）D EOBA 第15题图C如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：s i n s i n s i n θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△B D M 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，43350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17． （Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.第21题图（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-. （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC .第19题解答图1第19题解答图2因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.第20题解故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③第21题解答图1第21题解答图2令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.22． （Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①第11页（共11页） 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n +++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11(1).1r r r n n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44--（），444433333382(8382)44-<-（，44443333338382(8483)44-<<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 试卷A 型 第1页（共15页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）【34】（A ，湖北，理1）在复平面内，复数2i 1iz=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】（A ，湖北，理1）D 解析：i 1i)i(1i1i 2+=-=+=z ，则i 1-=z ，其对应点Z （1，－1）位于第四象限.【1】（A ，湖北，理2）已知全集为R ，集合1{()1}2xAx =≤，2{680}Bx x x =-+≤，则A B=R ðA ．{0}x x ≤ B ．{24}x x ≤≤C ．{024}xx x ≤<>或D ．{024}xx x <≤≥或考点名称 集合【1】（A ，湖北，理2）C解析：∵4,20862><⇔>+-x x x x ，0121≥⇔≤⎪⎭⎫⎝⎛x x，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或.【2】（A ，湖北，理3文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q考点名称 常用逻辑语句 【2】（A ，湖北，理3文3）A解析：因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ . 【6】（B ，湖北，理4文6）将函数sin ()yx x x =+∈R 的图象向左平移(0)mm >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】（B ，湖北，理4文6）B第2页（共6页）解析：因为sin ()yx x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称. 【17】（B ，湖北，文2理5）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221co s sin xyθθ-=与2C ：222221sin sin tan yxθθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】（B ，湖北，文2理5）D解析：对于双曲线C1，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e . 对于双曲线C2，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===ac e .即这两双曲线的离心率相等.【7】（B ，湖北，理6文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量A B 在C D方向上的投影为A2B2C．2-D．2-考点名称 平面向量的概念及其运算 【7】（A ，湖北，理6文7）A解析：AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅=⋅=CD AB AB θ.【31】（C ，湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】（C ，湖北，理7）C 解析：令25()731v t t t=-++=0，解得t ＝4或t ＝38-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期第3页（共6页）间汽车继续行驶的距离为⎰⎰++-=44d )12537(d )(t t t t t v 42)1l n (25237⎪⎭⎫⎝⎛++-=t t t ＝5ln 254+. 【21】（B ，湖北，理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<<考点名称 空间几何体与三视图 【21】（B ，湖北，理8） C解析：显然32V V <，所以B 不正确. 又ππ37)1212(3221=⨯++=V ，ππ22122=⋅⋅=V ，8233==V ，328)2424(31224=⨯++=V ，从而2134V V V V <<<.【26】（B ，湖北，理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125B ．65C ．168125D ．75考点名称 统计【26】（B ，湖北，理9）B 125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为51750150=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =56651=⨯.第8题图第9题图第4页（共6页）【29】（C ，湖北，理10）已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-考点名称 导数及其应用 【29】（C ，湖北，理10）D 解析： ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作xy ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0），切线方程为1-=x y .再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. .则这函数的两个极点21,x x 满足2110x x <<<，所以)()1()(21x f f x f <<，而)0,21()1(-∈-=a f ，即)()(21x f a x f <-<，所以21)(,0)(21-><x f x f .【26】（A ，湖北，理11）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 考点名称 统计【26】（A ，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 解析：（Ⅰ）)]0012.00024.020036.00060.0(501[501+⨯++-=x＝0.0044；第11题图第5页（共6页）（Ⅱ）用电量落在区间[100,250)内的户数为7010050)0044.00060.00036.0(=⨯⨯++. 【24】（A ，湖北，理12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.考点名称 算法初步与框图 【24】（A ，湖北，理12）5解析：已知初始值1,10==i a ，∵410≠=a ，则执行程序，得2,5==i a ；因为45≠=a ，则执行程序，得3,16==i a ；416≠=a ，则第三次执行程序，得4,8==i a ；∵48≠=a ，则第四次执行程序，得5,4==i a ；∵4=a ，执行输出i ，5=i .【13】（C ，湖北，理13）设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=则x yz ++=_________.考点名称【13】（C ，湖北，理137解析：【39】（湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n+=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n=+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n=-，六边形数2(,6)2N n n n=-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________. 考点名称 创新与拓展【13】（C ，湖北，理13）1000解析：三角形数 211(,3)22N n n n=+，正方形数2(,4)N n n= =n n )2121()2121(2212-++个， 第12题图第6页（共6页）五边形数231(,5)22N n n n=-=n n )212121()212121(2213--+++个， 六边形数2(,6)2N n n n=- =n n )21212121()21212121(2122214----++++个个=， ………………………………………推测k 边形=),(k n N n n k k )21 (2121212)1()2121...2121(21)4(221)2(--------+++++个个n k n k )4(21)2(212---=.所以1000100110010)424(2110)224(21)24,10(2=-=⨯-⨯-⨯-⨯=N .【37】（B ，湖北，理15）如图，圆O 上一点C 在直径A B 上的射影为D ，点D 在半径O C 上的射影为E ．若3AB AD=，则C E E O的值为_________．考点名称 选修4-1：几何证明选讲 【37】（B ，湖北，理15）8解析：根据题设，易知DO AO OC 3==， Rt △ODE ∽Rt △DCE ∽Rt △OCD ，∴13===ODOC DECD OEOD ，即CO=3OD=9OE ，在Rt △ODE 中，22222289OEOE OE OEDODE =-=-=，在Rt △CDE 中，22222289DEDEDEDECDCE=-=-=264OE=，即6422=EOCE ，∴8=EOCE .【36】（A ，湖北，理16）在直角坐标系xO y 中，椭圆C 的参数方程为co s ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ab >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xO y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin ()42ρθ+=（m 为非零常数）与bρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.考点名称 选修4-4：坐标系与参数方程OD E BA第15题图C第7页（共6页）【36】（A ，湖北，理163椭圆C 的方程可以化为12222=+by ax ，圆O 的方程可化为222b yx =+，直线l 的方程可化为m y x =+，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则m c =，m b 22=，m mm a 26222=+=，所以椭圆的离心率3626===m m ac e .【10】（B ，湖北，理17）在△A B C中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos 23cos()1A BC -+=.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△A B C的面积S=5b=，求sin sin B C 的值.考点名称 解三角形【10】（B ，湖北，理17）（Ⅰ）由cos 23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1co s 2A=或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A=.（Ⅱ）由11sin 2224Sb c A b c c ==⋅==得20b c=. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a=又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c b c B CA A A a a a=⋅==⨯=.【19】（B ，湖北，理18）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.考点名称 等比数列【19】（B ，湖北，理18）（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩故1533n na -=⋅，或15(1)n na -=-⋅-.第8页（共6页）（Ⅱ）若1533n na -=⋅，则1131()53n na -=⋅，故1{}na 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013mmm n n a =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n na -=-⋅-，则111(1)5n na -=--，故1{}na 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn nm k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn na =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.【23】（B ，湖北，理19）如图，A B 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B的点，直线P C⊥平面A B C ，E ，F 分别是P A ，P C 的中点.（Ⅰ）记平面B E F 与平面A B C 的交线为l ，试判断直线l 与平面P A C 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12D QC P =.记直线P Q 与平面A B C 所成的角为θ，异面直线P Q 与E F 所成的角为α，二面角El C--的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.考点名称 空间向量与立体几何【23】（B ，湖北，理19）（Ⅰ）直线l ∥平面P A C ，证明如下：连接E F ，因为E ，F 分别是P A ，P C 的中点，所以E F ∥A C . 又E F ⊄平面A B C ，且A C⊂平面A B C ，所以E F ∥平面A B C .而E F ⊂平面B E F ，且平面B E F平面A B Cl=，所以E F ∥l .因为l⊄平面P A C ，E F⊂平面P A C ，所以直线l ∥平面P A C .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接B D ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线B D ，且l ∥A C . 因为A B 是O的直径，所以A CB C⊥，于是lB C⊥. 已知P C ⊥平面A B C ，而l⊂平面A B C ，所以P Cl⊥.而P CB C C= ，所以l⊥平面P B C.第19题图第19题解答图1第9页（共6页）连接B E ，B F ，因为B F ⊂平面P B C ，所以lB F⊥.故C B F ∠就是二面角El C--的平面角，即C B Fβ∠=.由12D Q C P= ，作D Q ∥C P ，且12D Q C P=.连接P Q ，D F ，因为F 是C P 的中点，2C PP F=，所以D QP F=，从而四边形D Q P F 是平行四边形，P Q ∥F D . 连接C D ，因为P C⊥平面A B C ，所以C D 是F D 在平面A B C 内的射影，故C D F ∠就是直线P Q 与平面A B C 所成的角，即C D F θ∠=.又B D⊥平面P B C ，有B DB F⊥，知B D F ∠为锐角，故B D F ∠为异面直线P Q 与E F 所成的角，即B D F α∠=，于是在R t △D C F，R t △F B D，R t △B C F中，分别可得sin C F D Fθ=，sin B F D F α=，sin C F B Fβ=， 从而sin sin sin C F B F C F B FD FD Fαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=.（Ⅱ）（向量法）如图2，由12D Q C P=，作D Q ∥C P ，且12D QC P=.连接P Q ，E F ，B E ，B F ，B D ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线B D . 以点C 为原点，向量,,C A C B C P所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2C Aa C Bb C P c===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2F Ea =，(,,)Q P a b c =--，(0,,)B Fb c =-，所以||co s ||||F E Q P F E Q P α⋅==⋅，从而sin α=又取平面A B C 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||Q P Q P θ⋅==⋅ m m ，设平面B E F 的一个法向量为(,,)x y z =n， 所以由0,0,F E B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n可得10,20.a x b y cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取(0,,)c b =n.第19题解答图2第10页（共6页）于是|||co s |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β=.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.【40】（B ，湖北，理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?考点名称 随机变量及其分布，简单的线性规划【40】（B ，湖北，理20）（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y+. 依题意,, x y还需满足：21, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P Xx yp≤+≥等价于3660900x y+≥.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，第20题解答图第11页（共6页）且使目标函数16002400zx y=+达到最小的,x y.作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R . 由图可知，当直线16002400zx y=+经过可行域的点P 时，直线16002400zx y=+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值. 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.【16】（C ，湖北，理21）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为M N 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()nm n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△B D M和△A B N的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．考点名称 直线与圆锥曲线【16】（C ，湖北，理21）依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y am+=，2C ：22221x y an+=. 其中0am n >>>， 1.m nλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x=，则111||||||22S B D O M a B D =⋅=，211||||||22S A B O N a A B =⋅=，所以12||||S B D S A B =.在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得Ay m=，By n=，Dy m=-，于是||||1||||1B D A B y y B D m n A B y y m nλλ-++===---.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||B D O B O D m n =+=+，||||||A B O A O B m n=-=-；111||||||22S B D O M a B D =⋅=，211||||||22S A B O N a A B =⋅=.第21题图第12页（共6页）所以12||1||1S B D m n S A B m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)Ma -，(,0)N a 到直线l的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S B D d =，221||2S A B d =，所以12||||S B D S A B λ==，即||||B D A B λ=.由对称性可知||||A B C D =，所以||||||(1)||B C B D A B A B λ=-=-，||||||(1)||A D B D A B A B λ=+=+，于是 ||1||1A DBC λλ+=-. ①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，Bx =. 根据对称性可知CBx x =-，DAx x =-，于是2||||2A Bx A D B C x ===②从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图2第13页（共6页）1(1)λλλ+=-. ③令1(1)tλλλ+=-，则由mn >，可得1t≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t ka t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)Ma -，(,0)N a 到直线l的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S B D d =，221||2S A B d =，所以12||||S B D S A B λ==.因为||||A B A Bx x B D A B x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x am+=，222221B B x k x an+=，两式相减可得22222222()A BA B x x k x x amλ--+=，依题意0A B x x >>，所以22ABx x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x ka x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；第14页（共6页）当1λ>+l 使得12S S λ=.【40】（湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数. （Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rnn n nn r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S=+，求S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）考点名称 导数，函数的性质，不等式，创新与拓展，交汇与整合 【40】（湖北理22）（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r rf x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x=.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x>时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =.（Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x>-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x++>++. ①在①中，令1x n=（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r nn+++>+.上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r rnnn r +++>++，即11(1).1r r rn nn r +++-<+ ②当1n>时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立.综合②，③得第15页（共6页）1111(1)(1).11r r r r rnn n nn r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r=，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（）<，44443333338281(8382)44-<-（）<，44443333338382(8483)44-<<-（），………4444333333125124(126125)44-<-（）.将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）.代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）.由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁RB=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4} 3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p）∧（¬q）D．p∨q 4．（5分）（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25lnC．4+25ln5 D．4+50ln2 8．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A ． V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ． V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ． V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ． V 2＜V 3＜V 1＜V 49．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E （X ）=（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）（2013•湖北）已知a 为常数，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：分布直方图如图所示： （Ⅰ）直方图中x 的值为的值为 _________ ；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为）内的户数为 _________ ．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= _________ ．13．（5分）（2013•湖北）设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z= _________ ．14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为．记第n 个k 边形数为N （n ，k ）（k ≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：数的表达式： 三角形数，正方形数N （n ，4）=n 2， 五边形数，六边形数N （n ，6）=2n 2﹣n ， …可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，24）= _________ ． 15．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若AB=3AD ，则的值为的值为_________ ．16．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为为参数，a ＞b ＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b ．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为率为 _________ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （Ⅰ）求角A 的大小；的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积，求sinBsinC 的值．的值．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n }满足：|a 2﹣a 3|=10，a 1a 2a 3=125．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．的中点．（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E ﹣l ﹣C 的大小为β．求证：sin θ=sin αsin β．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N （800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0．（Ⅰ）求p 0的值；的值； （参考数据：若X ～N （μ，ς2），有P （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）=0.6826，P （μ﹣2ς＜X ≤μ+2ς）=0.9544，P （μ﹣3ς＜X ≤μ+3ς）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？型车各多少辆？ 21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n （m ＞n ），过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ，记，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，求λ的值；的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2？并说明理由．？并说明理由．22．（14分）（2013•湖北）设n 是正整数，r 为正有理数．为正有理数．（Ⅰ）求函数f （x ）=（1+x ）r+1﹣（r+1）x ﹣1（x ＞﹣1）的最小值；）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）分）考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题．计算题． 分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i ，即可求得，从而可知答案．，从而可知答案． 解答：解：∵z====1+i ，∴=1﹣i ．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，）位于第四象限， 故选D ．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）分）考点： 其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题；不等式的解法及应用．计算题；不等式的解法及应用．分析： 利用指数函数的性质可求得集合A ，通过解一元二次不等式可求得集合B ，从而可求得A ∩C R B ． 解答：解：∵≤1=，∴x ≥0，∴A={x|x ≥0}；又x 2﹣6x+8≤0⇔（x ﹣2）（x ﹣4）≤0， ∴2≤x ≤4．∴B={x|2≤x ≤4}，∴∁R B={x|x ＜2或x ＞4}，∴A ∩∁R B={x|0≤x ＜2或x ＞4}，故选C ．点评： 本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题． 3．（5分）分）考点： 复合命题的真假． 专题： 阅读型．阅读型．分析： 由命题P 和命题q 写出对应的￢p 和￢q ，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．即可得到表示． 解答： 解：命题p 是“甲降落在指定范围”，则￢p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则￢q 是“乙没降落在指定范围”， 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围” 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p ）V （￢q ）． 故选A ．点评： 本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题． 4．（5分）分）考点： 两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B 点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．关键．5．（5分）分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故它们的离心率相同．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．6．（5分）分）考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．题的关键．7．（5分）分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t 2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．8．（5分）分）考点：由三视图求面积、体积．计算题．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8 V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．解题的关键．9．（5分）分）考点：离散型随机变量的期望与方差．压轴题；概率与统计．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了面，两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X 0 1 2 3 P 的分布列为故X的分布列为因此E（X）==．故选B．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题： 压轴题；导数的综合应用．压轴题；导数的综合应用． 分析： 先求出f ʹ（x ），令f ʹ（x ）=0，由题意可得lnx=2ax ﹣1有两个解x 1，x 2⇔函数g （x ）=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点⇔g ʹ（x ）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax ，（x ＞0）令f ʹ（x ）=0，由题意可得lnx=2ax ﹣1有两个解x 1，x 2⇔函数g （x ）=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点⇔g ʹ（x ）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a ≤0时，g ʹ（x ）＞0，f ʹ（x ）单调递增，因此g （x ）=f ʹ（x ）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a ＞0时，令g ʹ（x ）=0，解得x=，∵x ，g ʹ（x ）＞0，函数g （x ）单调递增；时，g ʹ（x ）＜0，函数g （x ）单调递减．单调递减． ∴x=是函数g （x ）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln （2a ）＜0，∴0＜2a ＜1，即．∵，f ʹ（x 1）=lnx 1+1﹣2ax 1=0，f ʹ（x 2）=lnx 2+1﹣2ax 2=0．且f （x 1）=x 1（lnx 1﹣ax 1）=x 1（2ax 1﹣1﹣ax 1）=x 1（ax 1﹣1）=﹣＜0，f （x 2）=x 2（lnx 2﹣ax 2）=x 2（ax 2﹣1）＞=﹣．（）．故选D ．点评： 熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 11．（5分）分） 考点： 频率分布直方图． 专题： 图表型．图表型．分析： （I ）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x 的方程，解方程即可得到答案．（II ）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答： 解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x ×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II ）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18， 样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3． 样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．点评： 根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．考点： 程序框图．分析： 框图首先给变量a 和变量i 赋值，然后对a 是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a 是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a 等于4时跳出循环，输出i 的值．的值． 解答： 解：框图首先给变量a 和变量i 赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3； 判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i 的值为5． 故答案是5．点评： 本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．到条件满足跳出循环．是基础题．13．（5分）分）考点： 一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理． 专题： 计算题；不等式的解法及应用．计算题；不等式的解法及应用．分析： 根据柯西不等式，算出（x+2y+3z ）2≤14（x 2+y 2+z 2）=14，从而得到x+2y+3z 恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z 的值．的值．解答： 解：根据柯西不等式，得解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立时，上式的等号成立 ∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14，结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评： 本题给出x 、y 、z 的平方和等于1，在x+2y+3z 恰好取到最大值的情况下求x+y+z 的值．的值．着重考查了运着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．14．（5分）分）考点： 归纳推理． 专题： 计算题．计算题． 分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000 故答案为：1000 点评： 本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题． 15．（5分）分）考点： 与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理． 专题： 压轴题；选作题．压轴题；选作题．分析：设圆O 的半径为3x ，根据射影定理，可以求出OD 2=OE •OC=x 2，CD 2=CE •OC=8x 2，进而得到的值．的值．解答： 解：设圆O 的半径OA=OB=OC=3x ，∵AB=3AD ，∴AD=2x ，BD=4x ，OD=x 又∵点C 在直径AB 上的射影为D ，在△ABC 中，由射影定理得：CD 2=AD •BD=8x 2，在△ODC 中，由射影定理得：OD 2=OE •OC=x 2，CD 2=CE •OC=8x 2， 故==8 故答案为：8 点评： 本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”． 16．（2013•湖北）湖北）考点： 参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l 的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，从而得到c=b ，又b 2=a 2﹣c 2，消去b 后得到关于a ，c 的等式，即可求出椭圆C 的离心率．的离心率．解答：解：直线l 的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y ﹣m=0，它与x 轴的交点坐标为（m ，0），由题意知，（m ，0）为椭圆的焦点，故|m|=c ， 又直线l 与圆O ：ρ=b 相切，∴，从而c=b ，又b 2=a 2﹣c 2， ∴c 2=2（a 2﹣c 2）， ∴3c 2=2a 2，∴=．则椭圆C 的离心率为的离心率为 ．故答案为：．点评： 本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．分析问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）分）考点： 余弦定理；正弦定理．专题： 解三角形．解三角形．分析： （I ）利用倍角公式和诱导公式即可得出；）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II ）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a ．又由正弦定理得即可得到即可得出．即可得出．解答： 解：（Ⅰ）由cos2A ﹣3cos （B+C ）=1，得2cos 2A+3cosA ﹣2=0，即（2cosA ﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A ＜π，所以． （Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评： 熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键． 18．（12分）分）考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．计算题；等差数列与等比数列． 分析： （I ）设等比数列{a n }的公比为q ，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a 1，q ，进而可求通项公式项公式（Ⅱ）结合（I ）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断，即可判断解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得解得故． （Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，列，从而故．综上，对任何正整数m ，总有．故不存在正整数m ，使得成立．成立．点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19．（12分）分）考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法． 专题：空间位置关系与距离；空间角．空间位置关系与距离；空间角． 分析： （I ）直线l ∥平面P AC ．连接EF ，利用三角形的中位线定理可得，EF ∥AC ；利用线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面ABC ．由线面平行的性质定理可得EF ∥l ．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l ∥平面P AC ．（II ）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BC ．故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角，即∠CBF=β．已知PC ⊥平面ABC ，可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影，内的射影，故∠故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，所成的角，即即∠CDF=θ．由BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C 为原点，向量所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答： 解：（Ⅰ）直线l ∥平面P AC ，证明如下：，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点，所以EF ∥AC ， 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC=l ，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC ． （Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ． 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC ． 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l ． 而PC ∩BC=C ，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BF ．故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ ∥CP ，且．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP=2PF ，所以DQ=PF ， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF=θ． 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF=α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得，从而． （Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ ∥CP ，且．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a ，CB=b ，CP=2c ，则有． 于是，∴=，从而，又取平面ABC 的一个法向量为，可得，设平面BEF 的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sin θ=sin αsin β．点评： 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力． 20．（12分）分）考点： 简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计．不等式的解法及应用；概率与统计．分析： （I ）变量服从正态分布N （800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X ≤900范围内取值即在（μ﹣2ς，μ+2ς）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p 0．（II ）设每天应派出A 型x 辆、B 型车y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．画出可行域求解．解答： 解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布N （800，502），故有μ=800，ς=50，P （700＜X ≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p 0=（P （X ≤900）=P （X ≤800）+P （800＜X ≤900）=（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1600x+2400y ．依题意，x ，y 还需满足：x+y ≤21，y ≤x+7，P （X ≤36x+60y ）≥p 0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．取得最小值．辆．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．得到目标函数的最优解．21．（13分）分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积的值；比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．围．解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．，则（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．已知全集为R ，集合(){}|121xA x =≤，集合{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ） （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|24x x ≤≤（C ）{}|024x x x ≤<>或 （D ）{}|024x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()()p q ⌝∨⌝ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）p q ∨4．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） （A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）56π5．已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等6．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） （A （B （C ） （D ）7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+（C ）425ln5+ （D ）450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<< （C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）（ ❿湖北）在复平面内，复数（♓为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）✌．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限．（ 分）（ ❿湖北）已知全集为 ，集合，则✌✆ （）✌． ⌧⌧♎❝ ． ⌧♎⌧♎❝ ． ⌧♎⌧＜ 或⌧＞❝ ． ⌧＜⌧♎或⌧♏❝．（ 分）（ ❿湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题☐是❽甲降落在指定范围❾，❑是❽乙降落在指定范围❾，则命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾可表示为（）✌．（✶☐）☎（✶❑） ．☐☎（✶❑） ．（✶☐） （✶❑） ．☐☎❑．（ 分）（ ❿湖北）将函数的图象向左平移❍（❍＞ ）个单位长度后，所得到的图象关于⍓轴对称，则❍的最小值是（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿湖北）已知，则双曲线的（）✌．实轴长相等 ．虚轴长相等 ．焦距相等 ．离心率相等．（ 分）（ ❿湖北）已知点✌（﹣ ， ）， （ ， ）， （﹣ ，﹣ ）， （ ， ），则向量在方向上的投影为（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：♦，❖的单位：❍♦）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：❍）是（）✌． ●⏹ ． ●⏹ ． ●⏹ ． ●⏹．（分）（ ❿湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为✞ ，✞ ，✞ ，✞ ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）✌．✞ ＜✞ ＜✞ ＜✞ ．✞ ＜✞ ＜✞ ＜✞ ．✞ ＜✞ ＜✞ ＜✞ ．✞ ＜✞ ＜✞ ＜✞．（ 分）（ ❿湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为✠，则✠的均值☜（✠） （）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿湖北）已知♋为常数，函数♐（⌧） ⌧（●⏹⌧﹣♋⌧）有两个极值点⌧ ，⌧ （⌧ ＜⌧ ）（）✌．．． ．二、填空题：本大题共 小题，考生共需作答 小题，每小题 分，共 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（ 题）（二）选考题（请考生在第 、 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑．如果全选，则按第 题作答结果计分．）．（ 分）（ ❿湖北）从某小区抽取 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 至 度之间，频率分布直方图如图所示：（♊）直方图中⌧的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉；（♋）在这些用户中，用电量落在区间☯， ）内的户数为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果♓♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿湖北）设⌧，⍓， ，且满足：，则⌧⍓♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 ， ， ， ，⑤，第⏹个三角形数为．记第⏹个 边形数为☠（⏹， ）（ ♏），以下列出了部分 边形数中第⏹个数的表达式：三角形数，正方形数☠（⏹， ） ⏹ ，五边形数，六边形数☠（⏹， ） ⏹ ﹣⏹，⑤可以推测☠（⏹， ）的表达式，由此计算☠（ ， ） ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：几何证明选讲）如图，圆 上一点 在直径✌上的射影为 ，点 在半径 上的射影为☜．若✌✌，则的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：坐标系与参数方程）在直角坐标系⌧⍓中，椭圆 的参数方程为为参数，♋＞♌＞ ）．在极坐标系（与直角坐标系⌧⍓取相同的长度单位，且以原点 为极点，以⌧轴正半轴为极轴）中，直线●与圆 的极坐标方程分别为为非零常数）与⇧♌．若直线●经过椭圆 的焦点，且与圆 相切，则椭圆 的离心率为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿湖北）在 ✌中，角✌， ， 对应的边分别是♋，♌，♍，已知♍☐♦✌﹣ ♍☐♦（ ） ．（♊）求角✌的大小；（♋）若 ✌的面积，求♦♓⏹♦♓⏹的值．．（ 分）（ ❿湖北）已知等比数列 ♋⏹❝满足： ♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ♋ ．（♊）求数列 ♋⏹❝的通项公式；（♋）是否存在正整数❍，使得？若存在，求❍的最小值；若不存在，说明理由．．（ 分）（ ❿湖北）如图，✌是圆 的直径，点 是圆 上异于✌， 的点，直线 平面✌，☜，☞分别是 ✌， 的中点．（♊）记平面 ☜☞与平面✌的交线为●，试判断直线●与平面 ✌的位置关系，并加以证明；（♋）设（♊）中的直线●与圆 的另一个交点为 ，且点✈满足．记直线 ✈与平面✌所成的角为→，异面直线 ✈与☜☞所成的角为↑，二面角☜﹣●﹣ 的大小为↓．求证：♦♓⏹→♦♓⏹↑♦♓⏹↓．．（ 分）（ ❿湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数✠是服从正态分布☠（ ，  ）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 的概率为☐ ．（♊）求☐ 的值；（参考数据：若✠～☠（↗，⇔ ），有 （↗﹣⇔＜✠♎↗⇔） ， （↗﹣ ⇔＜✠♎↗⇔）， （↗﹣ ⇔＜✠♎↗⇔） ．）（♋）某客运公司用✌， 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，✌， 两种车辆的载客量分别为 人和 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 元 辆和 元 辆．公司拟组建一个不超过 辆车的客运车队，并要求 型车不多于✌型车 辆．若每天要以不小于☐ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备✌型车、 型车各多少辆？．（ 分）（ ❿湖北）如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 ☠且在⌧轴上，短轴长分别为 ❍， ⏹（❍＞⏹），过原点且不与⌧轴重合的直线●与 ， 的四个交点按纵坐标从大到小依次为✌， ， ， ，记， 和 ✌☠的面积分别为 和 ．（♊）当直线●与⍓轴重合时，若 ↖ ，求↖的值；（♋）当↖变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线●，使得 ↖ ？并说明理由．．（ 分）（ ❿湖北）设⏹是正整数，❒为正有理数．（♊）求函数♐（⌧） （ ⌧）❒﹣（❒）⌧﹣ （⌧＞﹣ ）的最小值；（♋）证明：；（♌）设⌧ ，记☯⌧为不小于⌧的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数 的分母实数化，求得 ♓，即可求得，从而可知答案．解答：解：  ♓，﹣♓．对应的点（ ，﹣ ）位于第四象限，故选 ．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数 的分母实数化是关键，属于基础题．．（ 分）考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的性质可求得集合✌，通过解一元二次不等式可求得集合 ，从而可求得✌✆ ．解答：解： ♎，⌧♏，✌⌧⌧♏❝；又⌧ ﹣ ⌧♎（⌧﹣ ）（⌧﹣ ）♎，♎⌧♎．⌧♎⌧♎❝，⌧⌧＜ 或⌧＞ ❝，✌✆ ⌧♎⌧＜ 或⌧＞ ❝，故选 ．点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．．（ 分）考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：由命题 和命题❑写出对应的￢☐和￢❑，则命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾即可得到表示．解答：解：命题☐是❽甲降落在指定范围❾，则￢☐是❽甲没降落在指定范围❾，❑是❽乙降落在指定范围❾，则￢❑是❽乙没降落在指定范围❾，命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾包括❽甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围❾或❽甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围❾或❽甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围❾三种情况．所以命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾可表示为（￢☐）✞（￢❑）．故选✌．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．．（ 分）考点：两角和与差的正弦函数；函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于⍓轴对称，即可求出❍的最小值．解答：解：⍓♍☐♦⌧♦♓⏹⌧（♍☐♦⌧♦♓⏹⌧） ♦♓⏹（⌧），图象向左平移❍（❍＞ ）个单位长度得到⍓♦♓⏹☯（⌧❍） ♦♓⏹（⌧❍）， 所得的图象关于⍓轴对称，❍ ⇨（ ☪），则❍的最小值为．故选点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．．（ 分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为 ♍☐♦→，虚轴长 ♦♓⏹→，焦距 ，离心率，双曲线的实轴长为 ♦♓⏹→，虚轴长 ♦♓⏹→♦♋⏹→，焦距♦♋⏹→，离心率，故它们的离心率相同．故选 ．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．．（ 分）考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：❿♍☐♦＜＞❿ ，故选✌．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．．（ 分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令❖（♦） ，解得♦，则所求的距离 ，解出即可．解答：解：令❖（♦） ﹣ ♦，化为 ♦ ﹣ ♦﹣ ，又♦＞ ，解得♦． 由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离♦ ●⏹．故选 ．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．．（ 分）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记↖为✞ ．✞  ⇨⇨，✞ ✞ ；，✞ ＜✞ ＜✞ ＜✞故选 ．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．．（ 分）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：✠所有可能取值为 ， ， ， ．♊个顶点处的 个小正方体涂有 面，♋每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有 个小正方体涂有 面，♌每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有 个小正方体涂有一面，♍由以上可知：还剩下 ﹣（ ） 个内部的小正方体的 个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及✠的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：✠所有可能取值为 ， ， ， ．♊个顶点处的 个小正方体涂有 面， （✠） ；♋每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有 个小正方体涂有 面， （✠） ；♌每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有 个小正方体涂有一面， （✠） ．♍由以上可知：还剩下 ﹣（ ） 个内部的小正方体的 个面都没有涂油漆， （✠） ．✠故✠的分布列为因此☜（✠） ．故选 ．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键． ．（ 分）考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出♐ （⌧），令♐ （⌧） ，由题意可得●⏹⌧♋⌧﹣ 有两个解⌧ ，⌧ 函数♑（⌧）●⏹⌧﹣ ♋⌧有且只有两个零点 ♑ （⌧）在（ ， ）上的唯一的极值不等于 ．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解： ●⏹⌧﹣ ♋⌧，（⌧＞ ）令♐ （⌧） ，由题意可得●⏹⌧♋⌧﹣ 有两个解⌧ ，⌧ 函数♑（⌧） ●⏹⌧﹣ ♋⌧有且只有两个零点 ♑ （⌧）在（ ， ）上的唯一的极值不等于 ．．♊当♋♎时，♑（⌧）＞ ，♐ （⌧）单调递增，因此♑（⌧） ♐ （⌧）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．♋当♋＞ 时，令♑ （⌧） ，解得⌧，⌧，♑ （⌧）＞ ，函数♑（⌧）单调递增；时，♑ （⌧）＜ ，函数♑（⌧）单调递减．⌧是函数♑（⌧）的极大值点，则＞ ，即＞ ， ●⏹（ ♋）＜ ， ＜ ♋＜ ，即．，♐ （⌧ ） ●⏹⌧ ﹣ ♋⌧ ，♐ （⌧ ） ●⏹⌧ ﹣ ♋⌧ ．且♐（⌧ ） ⌧ （●⏹⌧ ﹣♋⌧ ） ⌧ （ ♋⌧ ﹣ ﹣♋⌧ ） ⌧ （♋⌧ ﹣ ）﹣＜ ，♐（⌧ ） ⌧ （●⏹⌧ ﹣♋⌧ ） ⌧ （♋⌧ ﹣ ）＞ ﹣．（）．故选 ．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共 小题，考生共需作答 小题，每小题 分，共 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（ 题）（二）选考题（请考生在第 、 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑．如果全选，则按第 题作答结果计分．）．（ 分）考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：（✋）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为 ，我们易得到一个关于⌧的方程，解方程即可得到答案．（✋✋）由已知中的频率分布直方图，利用☯， ）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到☯， ）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答：解：（♊）依题意及频率分布直方图知，⌧，解得⌧．（✋✋）样本数据落在☯， ）内的频率为 ，样本数据落在☯， ）内的频率为 ．样本数据落在☯， ）内的频率为 ，故在这些用户中，用电量落在区间☯， ）内的户数为（ ） ．故答案为： ； ．点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对于❽频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．．（ 分）考点：程序框图．分析：框图首先给变量♋和变量♓赋值，然后对♋是否等于 进行判断，不等于 ，继续判断♋是否为奇数，是执行路径♋♋，否执行路径，再执行♓♓，依次循环执行，当♋等于 时跳出循环，输出♓的值．解答：解：框图首先给变量♋和变量♓赋值，♋，♓．判断 不成立，判断 是奇数不成立，执行，♓；判断 不成立，判断 是奇数成立，执行♋，♓；判断 不成立，判断 是奇数不成立，执行，♓；判断 不成立，判断 是奇数不成立，执行，♓；判断 成立，跳出循环，输出♓的值为 ．故答案是 ．点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．．（ 分）考点：一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，算出（⌧⍓） ♎（⌧ ⍓  ） ，从而得到⌧⍓恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出⌧、⍓且 ，由此即可得到⌧⍓的值．解答：解：根据柯西不等式，得（⌧⍓） ♎（   ）（⌧ ⍓  ） （⌧ ⍓  ）当且仅当时，上式的等号成立⌧ ⍓  ， （⌧⍓） ♎，结合，可得⌧⍓恰好取到最大值，可得⌧，⍓， 因此，⌧⍓故答案为：点评：本题给出⌧、⍓、 的平方和等于 ，在⌧⍓恰好取到最大值的情况下求⌧⍓的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．．（ 分）考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把⏹， 代入可得答案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故 ﹣ 故答案为： 点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．．（ 分）考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．专题：压轴题；选作题．分析：设圆 的半径为 ⌧，根据射影定理，可以求出  ☜❿⌧ ，  ☜❿⌧ ，进而得到的值．解答：解：设圆 的半径 ✌⌧，✌✌，✌⌧， ⌧， ⌧又 点 在直径✌上的射影为 ，在 ✌中，由射影定理得：  ✌❿⌧ ，在 中，由射影定理得：  ☜❿⌧ ，  ☜❿⌧ ，故 故答案为：点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围⑤❽双垂直❾．．（ ❿湖北）考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线●的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线●经过椭圆 的焦点，且与圆 相切，从而得到♍♌，又♌ ♋ ﹣♍ ，消去♌后得到关于♋，♍的等式，即可求出椭圆 的离心率．解答：解：直线●的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为⌧⍓﹣❍，它与⌧轴的交点坐标为（❍， ），由题意知，（❍， ）为椭圆的焦点，故 ❍♍，又直线●与圆 ：⇧♌相切， ，从而♍♌，又♌ ♋ ﹣♍ ，♍ （♋ ﹣♍ ），♍ ♋ ， ．则椭圆 的离心率为．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（✋）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（✋✋）由三角形的面积公式即可得到♌♍．又♌，解得♍．由余弦定理得♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌﹣ ，即可得出♋．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（♊）由♍☐♦✌﹣ ♍☐♦（ ） ，得 ♍☐♦ ✌♍☐♦✌﹣ ，即（ ♍☐♦✌﹣ ）（♍☐♦✌） ，解得（舍去）．因为 ＜✌＜⇨，所以．（♋）由  ，得到♌♍．又♌，解得♍．由余弦定理得♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌﹣ ，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．．（ 分）考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（✋）设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求♋ ，❑，进而可求通项公式（♋）结合（✋）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（♊）设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑，则由已知可得解得故．（♋）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣ 的等比数列，从而故．综上，对任何正整数❍，总有．故不存在正整数❍，使得成立．点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 ．（ 分）考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析： （✋）直线●平面 ✌．连接☜☞，利用三角形的中位线定理可得，☜☞✌；利用线面平行的判定定理即可得到☜☞平面✌．由线面平行的性质定理可得☜☞●．再利用线面平行的判定定理即可证明直线●平面 ✌．（✋✋）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明●平面 ．连接 ☜， ☞，因为 ☞②平面 ，所以●．故 ☞就是二面角☜﹣●﹣ 的平面角，即 ☞↓．已知 平面✌，可知 是☞在平面✌内的射影，故 ☞就是直线 ✈与平面✌所成的角，即 ☞→．由 平面 ，有 ☞，知 ☞↑，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点 为原点，向量所在直线分别为⌧，⍓， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 解答： 解：（♊）直线●平面 ✌，证明如下：连接☜☞，因为☜，☞分别是 ✌， 的中点，所以☜☞✌，又☜☞④平面✌，且✌②平面✌，所以☜☞平面✌． 而☜☞②平面 ☜☞，且平面 ☜☞✆平面✌●，所以☜☞●． 因为●④平面 ✌，☜☞②平面 ✌，所以直线●平面 ✌．（♋）（综合法）如图 ，连接 ，由（♊）可知交线●即为直线 ，且●✌．因为✌是 的直径，所以✌，于是●．已知 平面✌，而●②平面✌，所以 ●．而 ✆，所以●平面 ．连接 ☜， ☞，因为 ☞②平面 ，所以●☞．故 ☞就是二面角☜﹣●﹣ 的平面角，即 ☞↓．由，作 ✈，且．连接 ✈， ☞，因为☞是 的中点， ☞，所以 ✈☞，从而四边形 ✈☞是平行四边形， ✈☞．连接 ，因为 平面✌，所以 是☞在平面✌内的射影，故 ☞就是直线 ✈与平面✌所成的角，即 ☞→．又 平面 ，有 ☞，知 ☞↑，于是在 ♦☞， ♦☞， ♦☞中，分别可得，从而．（♋）（向量法）如图 ，由，作 ✈，且．连接 ✈，☜☞， ☜， ☞， ，由（♊）可知交线●即为直线 ．以点 为原点，向量所在直线分别为⌧，⍓， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ✌♋， ♌， ♍，则有．于是，，从而，又取平面✌的一个法向量为，可得，设平面 ☜☞的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即♦♓⏹→♦♓⏹↑♦♓⏹↓．点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．．（ 分）考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（✋）变量服从正态分布☠（ ，  ），即服从均值为 ，标准差为 的正态分布，适合 ＜✠♎范围内取值即在（↗﹣ ⇔，↗⇔）内取值，其概率为： ，从而由正态分布的对称性得出不超过 的概率为☐ ．（✋✋）设每天应派出✌型⌧辆、 型车⍓辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答：解：（♊）由于随机变量✠服从正态分布☠（ ，  ），故有↗，⇔， （ ＜✠♎） ．由正态分布的对称性，可得☐ （ （✠♎） （✠♎） （ ＜✠♎）（♋）设✌型、 型车辆的数量分别为⌧，⍓辆，则相应的营运成本为 ⌧⍓．依题意，⌧，⍓还需满足：⌧⍓♎，⍓♎⌧， （✠♎⌧⍓）♏☐ ．由（♊）知，☐ （✠♎），故 （✠♎⌧⍓）♏☐ 等价于 ⌧⍓♏．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数 ⌧⍓达到最小值的⌧，⍓．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 （ ， ），✈（ ， ）， （ ， ）．由图可知，当直线 ⌧⍓经过可行域的点 时，直线 ⌧⍓在⍓轴上截距最小，即 取得最小值．故应配备✌型车 辆， 型车 辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．．（ 分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（♊）设出两个椭圆的方程，当直线●与⍓轴重合时，求出 和 ✌☠的面积 和 ，直接由面积比 ↖列式求↖的值；（♋）假设存在与坐标轴不重合的直线●，使得 ↖ ，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出 和☠到直线●的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的 值存在讨论↖的取值范围．解答：解：以题意可设椭圆 和 的方程分别为，．其中♋＞❍＞⏹＞ ，．（♊）如图 ，若直线●与⍓轴重合，即直线●的方程为⌧，则，，所以．在 和 的方程中分别令⌧，可得⍓✌ ❍，⍓ ⏹，⍓ ﹣❍，于是．若，则，化简得↖ ﹣ ↖﹣ ，由↖＞ ，解得．故当直线●与⍓轴重合时，若 ↖ ，则．（♋）如图 ，若存在与坐标轴不重合的直线●，使得 ↖ ，根据对称性，不妨设直线●：⍓⌧（ ＞ ），点 （﹣♋， ），☠（♋， ）到直线●的距离分别为♎ ，♎ ，则，所以♎ ♎ ．又，所以，即 ↖✌．由对称性可知 ✌，所以 ﹣ ✌（↖﹣ ） ✌， ✌✌（↖） ✌，于是．将●的方程分别与 和 的方程联立，可求得根据对称性可知⌧ ﹣⌧ ，⌧ ﹣⌧✌，于是♋从而由♊和♋可得♌令，则由❍＞⏹，可得♦♊，于是由♌可得．因为 ♊，所以 ＞ ．于是♌关于 有解，当且仅当，等价于，由↖＞ ，解得， 即，由↖＞ ，解得，所以 当时，不存在与坐标轴不重合的直线●，使得 ↖；当时，存在与坐标轴不重合的直线●，使得 ↖ ．点评： 本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（♋）中判断↖的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．．（ 分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明．专题：压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析： （♊）先求出函数♐（⌧）的导函数♐（⌧），令♐（⌧） ，解得⌧，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为♐（ ） ；（♋）根据（♊）知，即（ ⌧）❒♏（❒）⌧，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（♌）根据（♋）的结论，令，⏹分别取值 ， ， ，⑤， ，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．解答： 解；（♊）由题意得♐（⌧） （❒）（ ⌧）❒﹣（❒） （❒）☯（ ⌧）❒﹣ ， 令♐（⌧） ，解得⌧．当﹣ ＜⌧＜ 时，♐（⌧）＜ ， ♐（⌧）在（﹣ ， ）内是减函数；当⌧＞ 时，♐（⌧）＞ ， ♐（⌧）在（ ， ）内是增函数．故函数♐（⌧）在⌧处，取得最小值为♐（ ） ．（♋）由（♊），当⌧ （﹣ ， ）时，有♐（⌧）♏♐（ ） ，即（ ⌧）❒♏（❒）⌧，且等号当且仅当⌧时成立，故当⌧＞﹣ 且⌧♊，有（ ⌧）❒＞ （❒）⌧，♊在♊中，令（这时⌧＞﹣ 且⌧♊），得．上式两边同乘⏹❒，得（⏹）❒＞⏹❒ ⏹❒（❒），即，♋ 当⏹＞ 时，在♊中令（这时⌧＞﹣ 且⌧♊），类似可得，♌且当⏹时，♌也成立． 综合♋，♌得，♍ （♌）在♍中，令，⏹分别取值 ， ， ，⑤， ，得，，，⑤，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由☯的定义，得☯．点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．。

理科数学1． 在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．D [解析] z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i ，z 对应的点在第四象限，选D.2． 已知全集为，集合A ＝，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x ≥4}2．C [解析] A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|2≤x ≤4}，∁B ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C. 3． 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4． 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π64．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.5． 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x 2sin 2 θtan 2 θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．D [解析] e ＝c a ＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2 θ，故e 1＝e 2，选D.6． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 1526．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22，选A.7． 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 27．C [解析] 令v(t)＝0，得3t 2－4t －32＝0，解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，求定积分得行驶距离为s ＝⎠⎛04v(t)dt ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )dt ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t)]⎪⎪⎪ )40＝4＋25ln 5，选C. 8． 一个几何体的三视图如图1－1所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图1－1A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 48．C [解析] 由图知组成该几何体的从上到下的简单几何体为圆台，圆柱，棱柱，棱台，其体积分别为V 1＝7π3，V 2＝2π，V 3＝8，V 4＝283，选C.9． 如图1－2所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )图1－2A.126125B.65C.168125D.759．B [解析] X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.10． 已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－1210．D [解析] f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.11． 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1x ＝0.004 4.(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.12． 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.图1－412．5 [解析] 逐次运算结果是a ＝5，i ＝2；a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5，满足条件，输出i ＝5.13． 设x ，y ，z ∈，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x ＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 14． 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n 2＋(4－k)n2，故N(10，24)＝1 000.图1－515． (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO ，k 2＝x·3k ，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －k 3k3＝8.16． (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b 2e ＝c a ＝63.17． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．解： (1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sinA c a sin A ＝bc a 2sin 2 A ＝2021×34＝57.18． 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．18．解： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1，故{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n＝35[1－（13）m ]1－13＝910[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N ＋），0，m ＝2k （k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．， 如图1－6所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.图1－619．解： (1)直线l ∥平面PAC ，证明如下：联结EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC.又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l.因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC.(2)方法一：(综合法)如图①，联结BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC. 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC. 已知PC ⊥平面ABC ，而l 平面ABC ，所以PC ⊥l ， 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC.联结BE ，BF ，因为BF 平面PBC ，所以l ⊥BF ，故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD.联结CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ.又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.方法二：(向量法)如图②，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，b ，0)，P(0，0，2c)，Q(a ，b ，c)，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F(0，0，c)，于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c)，BF →＝(0，－b ，c)，所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2. 又取平面ABC 的一个法向量为＝(0，0，1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为＝(x ，y ，z)，所以由⎩⎪⎨⎪⎧·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取＝(0，c ，b)，于是|cos β|＝|m·n ||m||n |＝b b 2＋c 2，从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c2. 故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsinβ.20．， 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P 0.(1)求P 0的值；(参考数据：若X ～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于P 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？20．解： (1)由于随机变量X 服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得P 0＝P(X ≤900)＝P(X ≤800)＋P(800<X ≤900) ＝12＋12P(700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y ，依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P(X ≤36x ＋60y)≥P 0.由(1)知，P 0＝P(X ≤900)，故P(X ≤36x ＋60y)≥P 0等价于36x ＋60y ≥900，于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y 值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．21．， 如图1－9，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－921．解： 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n ；S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1，若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m na 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝（λ＋1）λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0，由λ>1可解得1λ<t<1， 即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ. 因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B|＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1. 由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B n 2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ， 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以 当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22．， 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x ∈，记[x]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－32]＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7) 22．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x)r －1]，令f′(x)＝0，解得x ＝0.当－1<x<0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x ≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x ≠0)，得⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n . 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.② 当n>1时，在①中令x ＝－1n (这时x>－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③ 且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④ (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得 34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S<34(12643－8143)， 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－ ≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.。